Mô hình hóa trong dạy học các tham số thống kê mô tả ở trường phổ thông (Luận văn thạc sĩ)

Mô hình hóa trong dạy học các tham số thống kê mô tả ở trường phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Mô hình hóa trong dạy học các tham số thống kê mô tả ở trường phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Mô hình hóa trong dạy học các tham số thống kê mô tả ở trường phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Mô hình hóa trong dạy học các tham số thống kê mô tả ở trường phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Mô hình hóa trong dạy học các tham số thống kê mô tả ở trường phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Mô hình hóa trong dạy học các tham số thống kê mô tả ở trường phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Mô hình hóa trong dạy học các tham số thống kê mô tả ở trường phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Mô hình hóa trong dạy học các tham số thống kê mô tả ở trường phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Mô hình hóa trong dạy học các tham số thống kê mô tả ở trường phổ thông (Luận văn thạc sĩ)

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS ĐÀO HỒNG NAM

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của cá nhân, các trích dẫn được trình bày trong luận văn hoàn toàn chính xác và đáng tin cậy

Tác giả Nguyễn Ngọc Đan

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Đào Hồng Nam,

người thầy tuyệt vời của tôi Thầy đã tận tình chỉ bảo và có nhiều tâm huyết trong việc hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này Thầy không chỉ dìu dắt tôi bằng những kinh nghiệm và kiến thức, mà còn cả những lời động viên, khích

lệ

Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô: PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS

Lê Văn Tiến , TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga, TS Tăng Minh Dũng và các quý thầy cô đã tận tình giảng dạy, truyền cho chúng tôi nhiệt huyết và sự hấp dẫn của chuyên ngành Didactic Toán trong suốt thời gian tham gia lớp cao học

Xin chân thành cảm ơn GS.TS Annie Bessot và Thầy Hamid Chaachoua đã dành thời gian đến Việt Nam để góp ý và định hướng cho luận văn của chúng tôi Xin chân thành cảm ơn:

 Phòng Sau đại học trường ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học

 Ban Giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ Toán-Tin Trung tâm Giáo dục thường xuyên Quận 8 đã tạo điều kiện và giúp đỡ cho tôi an tâm đi học và hoàn thành luận văn này

Lời cuối cùng, tôi xin cảm ơn chân thành các bạn học viên cùng lớp didactic Toán khóa 26 Tôi không bao giờ quên những kỉ niệm mà chúng ta đã cùng nhau trải qua trong suốt thời gian học tập, những niềm vui nỗi buồn cùng chia sẻ trong suốt hai năm học tập vất vả

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục các bảng

Danh mục các hình

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 NGHIÊN CỨU Ý NGHĨA VÀ MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ MÔ TẢ 12

1.1 Các tham số đo lường xu hướng tập trung (Tham số định tâm) 12

1.1.1 Số trung bình 13

1.1.2 Số trung vị 13

1.1.3 Mốt 13

1.1.4 So sánh số trung bình, trung vị và mốt 14

1.2 Các tham số đo lường sự biến thiên của dữ liệu (Tham số đo độ phân tán) 15

1.2.1 Biên độ 16

1.2.2 Tứ phân vị - Biểu đồ hộp 16

1.2.3 Phương sai, độ lệch chuẩn, sai số chuẩn 17

1.3 Phân phối chuẩn 18

Kết luận chương 1 20

Chương 2 CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ MÔ TẢ TRONG SGK VIỆT NAM VÀ SỰ SO SÁNH VỚI MỘT SGK MỸ 21

2.1 Số trung bình và Mốt trong SGK S7 21

2.1.1 Về lý thuyết 21

2.1.2 Các praxéologie gắn liền với số trung bình cộng và mốt 23

2.2 Các tham số thống kê mô tả trong SGK S10 26

2.3 Các tham số cơ bản của thống kê trong SGK S10NC 36

2.3.1 Phần lý thuyết 36

2.3.2 Các praxéologie gắn với các tham số thống kê trong S10NC 39

2.4 Tham số thống kê mô tả trong SGK Precalculus của Demana - Waits (kí hiệu: SM) 40

Kết luận chương 2 48

Chương 3 THỰC NGHIỆM 49

3.1 Mục đích thực nghiệm 49

3.2 Đối tượng, thời điểm thực nghiệm 49

3.3 Giới thiệu tình huống thực nghiệm 49

3.1 Bài toán thực nghiệm 49

3.2 Dàn dựng tình huống theo pha 50

3.4 Phân tích apriori 55

3.4.1 Biến didactic và các giá trị của biến 55

3.4.2 Biến tình huống và các giá trị của biến 56

3.4.3 Chiến lược 57

3.4.4 Phân tích hai bài toán theo bốn bước của tiến trình mô hình hóa toán học 58

3.5 Phân tích hậu nghiệm 60

3.5.1 Khẳng định các giả thuyết 60

3.5.2 Phân tích tiến trình tiết học 64

Kết luận chương 3 72

KẾT LUẬN 73

TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 PHỤ LỤC

Bảng 2.1 Bảng thống kê số lượng bài tập theo các KNV trong S7 23

Bảng 2.2 Bảng thống kê số lượng bài tập theo các KNV trong S10 29

Bảng 2.3 Bảng thống kê số lượng bài tập theo các KNV trong S10NC 39

Bảng 3.1 Thống kê bài làm của HS trong bài toán 1 theo chiến lược 61

Bảng 3.2 Thống kê bài làm của HS trong bài toán 2 theo chiến lược 62

Hình 1.1 Hình minh họa biểu đồ boxplot 16

Hình 1.2 Hình minh họa ba trường hợp phân phối dữ liệu 18

Hình 1.3 Hình minh họa dạng của phân phối chuẩn 18

Hình 1.4 Hình minh họa xu hướng tập trung của phân phối chuẩn 19

Hình 2.1 Ví dụ 7, S10NC trang 176 38

Hình 2.2 Ví dụ 8, S10NC trang 176 38

Hình 2.3 Biểu đồ histogram ứng với ba trường hợp phân phối 43

Hình 2.4 Biểu đồ histogram ứng với phân phối chuẩn 43

Hình 2.5 Bảng 9.11 trong Sách SM 45

Hình 2.6 Bảng 9.13 trong Sách SM 46

Hình 3.1 Phân tích số liệu của mẫu A 53

Hình 3.2 Phân tích số liệu của mẫu A 54

Hình 3.3 Bài làm của HS 1.5 61

Hình 3.4 Bài làm của HS 2.1 62

Hình 3.5 Bài làm của HS 2.2 63

Hình 3.6 Bài làm của HS 6.1 63

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Những ghi nhận ban đầu

Thống kê toán học là một công cụ đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và đời sống thực tiễn Lịch sử phát triển của nhân loại đã công nhận sự đóng góp của thống kê trong nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên (đánh giá thống kê dữ liệu thiên văn, phân tích dữ liệu hóa học…), khoa học xã hội (thống

kê dân số, thống kê khảo cổ…) và kể cả lĩnh vực tài chính (đánh giá rủi ro bảo hiểm, tài chính…) Với tầm ứng dụng rộng rãi như vậy, thống kê đã được các nhà biên soạn chương trình giáo dục trên toàn thế giới đưa vào nội dung giảng dạy cho học sinh ở trường phổ thông

Ở Việt Nam hiện nay, nội dung thống kê được đưa vào giảng dạy ở lớp 7

và lớp 10, với thời lượng số tiết là khá ít (8 tiết ở lớp 7 và 3 tiết ở lớp 10) Nội dung thống kê được giới thiệu chỉ ở mức rất sơ khai, gồm một số cách trình bày

dữ liệu và các tham số cơ bản của thống kê mô tả Vị trí của thống kê lại ngày càng suy giảm và bị cả giáo viên lẫn học sinh xem nhẹ, bởi lẽ nó hoàn toàn không xuất hiện trong các kỳ thi tốt nghiệp và đại học

Trong luật giáo dục, điều 27 có đề cập một trong những mục tiêu của giáo

dục phổ thông là “chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống

lao động” Ở bậc đại học, thống kê xuất hiện ở rất nhiều lĩnh vực, ngành học

khác nhau Liệu rằng với sự trang bị ít ỏi và sơ sài ở bậc phổ thông, mục tiêu chuẩn bị kiến thức nền tảng để tiếp học học lên có đạt được hay không? Nếu xét

về mặt đi vào cuộc sống lao động, nghĩa là học sinh phải là người sử dụng toán, vận dụng kiến thức và kỹ năng toán học để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn, liệu rằng những điều được học về thống kê trong chương trình hiện hành có đủ

để đạt được điều đó hay không?

Khi đề cập đến việc vận dụng toán để giải quyết vấn đề thực tiễn, không

thể không nhắc đến dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa Theo Lê

Thị Hoài Châu (2011), thống kê là một trong những phần hiếm hoi của chương trình phổ thông mang lại nhiều cơ hội cho dạy học mô hình hóa và dạy học bằng

mô hình hóa Tuy nhiên, tác giả đã chỉ ra một vấn đề tồn tại: mặc dù bài toán trong SGK có nội dung thực tiễn, tuy nhiên dữ liệu lại không thừa, không thiếu, vấn đề được phát biểu bằng ngôn ngữ toán học Như vậy, thực chất HS chỉ giải quyết bài toán toán học mang dáng dấp thực tiễn

Từ nhận xét trên, chúng tôi có một số ghi nhận ban đầu rằng: các kiểu

nhiệm vụ (theo quan điểm của Thuyết nhân học trong didactic toán) được SGK

đề nghị đều là kiểu nhiệm vụ thuần túy toán học Chẳng hạn, SGK đưa ra một

bảng số liệu gắn với thực tiễn rồi yêu cầu học sinh thực hiện một số nhiệm vụ như

- Tính số trung bình

- Tính phương sai, độ lệch chuẩn…

Để giải quyết các nhiệm vụ này, học sinh chỉ cần vận dụng công thức toán học có sẵn mà không cần phải biết khi nào cần tính số trung bình, số trung vị, hay chẳng cần biết vận dụng phương sai, độ lệch chuẩn trong thực tế để làm gì Trong khi đó, các tham số cơ bản trong thống kê mô tả (bao gồm số trung bình,

số trung vị, mốt, phương sai, độ lệch chuẩn…) lại có vai trò rất quan trọng trong thống kê, việc hiểu và vận dụng chúng là cần thiết khi học về các tham số này

Do đó, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến việc dạy học các tham số này ở trường phổ thông Mỗi tham số này được giới thiệu cho học sinh như thế nào? Ý nghĩa

và vai trò của từng tham số có được trình bày rõ ràng hay không?

Một cách hệ thống hơn, chúng tôi nhận thấy cần thiết phải đặt ra những câu hỏi như sau:

 Đặc trưng khoa học luận của các tham số cơ bản trong thống kê là gì? Mỗi tham số có ý nghĩa và được sử dụng như thế nào?

 Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy ở trường phổ thông, chúng xuất hiện như thế nào? Ý nghĩa của chúng có thể hiện rõ không?

 Làm thế nào để xây dựng một đồ án dạy học liên quan đến các tham số này nhằm giúp cho học sinh tiếp cận với đầy đủ các ý nghĩa thực tiễn của từng tham số?

1.2 Tổng quan một số công trình nghiên cứu

Trong bài báo Dạy học thống kê ở trường phổ thông và vấn đề năng cao

năng lực hiểu biết toán cho học sinh của Lê Thị Hoài Châu (2011), tác giả đã

chỉ ra một khiếm khuyết của chương trình, rằng các bài toán trong SGK và SBT hiện nay, chưa thực sự giúp HS hiểu được đầy đủ nghĩa của tri thức thống

kê, cũng không rèn luyện được “tư duy thống kê”, do đó ít rèn luyện được năng lực hiểu biết toán cho họ (năng lực hiểu biết toán ở đây có thể hiểu là sử dụng các kiến thức toán học để giải quyết những vấn đề toán học hay vấn đề thực tiễn)

Đồng thời, tác giả đưa ra một bài toán thực tiễn nhằm bổ sung cho khiếm khuyết này, tức là giúp HS hình thành các tri thức liên quan đến thống kê theo quan điểm mô hình hóa toán học

Trong Dạy học xác suất – thống kê ở trường phổ thông của tác giả Lê Thị

Hoài Châu (2012), tác giả cũng nhấn mạnh thêm về vấn đề này và đưa ra một tình huống dạy học thống kê liên quan đến việc biểu diễn và phân tích mẫu số liệu (trang 115)

Liên quan trực tiếp đến các tham số thống kê mô tả, có hai nghiên cứu đáng

lưu ý, trước tiên là Các tham số định tâm trong dạy học thống kê ở lớp 10 –

Phạm Thị Tú Hạnh (2012) Theo tác giả, số trung vị ngoài mang ý nghĩa là giá trị chia mẫu dữ liệu thành hai phần bằng nhau: 50% số giá trị bé hơn hoặc bằng

nó, 50% số giá trị lớn hơn hoặc bằng nó, còn mang một ý nghĩa khác là “giá trị

làm tối tiểu hóa tổng các độ lệch của nó so với các giá trị khác của mẫu số liệu”

[Phạm Thị Tú Hạnh, 2012] Thực nghiệm mà nghiên cứu này đưa ra nhằm mục đích chính là cho học sinh tiếp cận nghĩa thứ hai này của số trung vị Bên cạnh

đó là nghiên cứu tập trung về hai tham số đo độ phân tán: phương sai và độ lệch chuẩn của Huỳnh Công Chức (2012) Tác giả đã chỉ ra sự tồn tại của hai quy tắc hợp đồng liên quan đến hai tham số này như sau:

R1: Khi yêu cầu học sinh so sánh tính đồng đều của các mẫu số liệu có cùng dấu hiệu điều tra thì giáo viên có trách nhiệm chọn các mẫu số liệu có cùng số trung bình hay có các số trung bình xấp xỉ bằng nhau

R2: Đối với yêu cầu nhận xét về độ phân tán/tính đồng đều của các mẫu số liệu thì - GV: Giáo viên có trách nhiệm cho các mẫu số liệu có dạng dãy số liệu thô hoặc bảng phân bố tần số hoặc bảng phân bố tần số ghép lớp

- HS: Học sinh luôn tìm cách tính cho được phương sai/độ lệch chuẩn của các mẫu số liệu và kết luận dựa vào nguyên tắc sau: mẫu số liệu nào có phương sai/độ lệch chuẩn lớn hơn thì sẽ có độ phân tán lớn hơn

[6, Tr.55] Thực nghiệm của tác giả đưa ra nhằm kiểm tra hai hợp đồng didactic trên Nghiên cứu chưa tính đến việc xây dựng tình huống dạy học để làm rõ ý nghĩa

và vai trò của các tham số đo độ phân tán trong thống kê mô tả

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi mong muốn tiếp tục phân tích chương trình, SGK Việt Nam hiện hành, bổ sung thêm sự so sánh với một bộ SGK thuộc thể chế dạy học khác (Mỹ) để thấy được sự khác biệt cũng như lý do dẫn đến những khác biệt đó, và điều đó ảnh hưởng thế nào đến HS Đồng thời, chúng tôi

mong muốn xây dựng một tiểu đồ án dạy học liên quan trực tiếp đến các tham số

cơ bản trong thống kê, mà trong đó, ý nghĩa của mỗi tham số được hình thành nơi HS một cách rõ ràng, giúp họ có khả năng vận dụng chúng vào thực tiễn cuộc sống Đặc biệt, ý nghĩa của các tham số định tâm và tham số đo độ phân tán được đặt trong mối quan hệ với nhau, hỗ trợ cho nhau trong việc phân tích số liệu thống kê

2 Khung lí thuyết tham chiếu

Chúng tôi đặt nền móng của luận văn này bằng lý thuyết Didactic toán Trước hết, chúng tôi phải tiến hành phân tích mối quan hệ thể chế của đối tượng tri thức là các tham số thống kê mô tả Như vậy, chúng tôi sẽ dựa vào các công

cụ lý thuyết Nhân chủng học (quan hệ thể chế, tổ chức toán học) để phân tích các sách giáo khoa

Bên cạnh đó, để xây dựng được một đồ án dạy học, chúng tôi dựa vào lý thuyết đồ án didactic

Mặt khác, các công cụ của lý thuyết tình huống do Brousseau (1998) đặt nền móng là một công cụ không thể thiếu để thiết kế, phân tích và xây dựng các tình huống thực nghiệm, cũng như xây dựng kịch bản dạy học Mục tiêu của lý thuyết tình huống là tạo nên điều kiện tốt nhất để người học lĩnh hội thực sự tri thức cần giảng dạy, thông qua việc giải quyết các tình huống được nhà nghiên cứu thiết kế sẵn Người học thực sự cần đến tri thức cần giảng dạy để giải quyết tình huống, từ đó một hay nhiều ý nghĩa của tri thức sẽ được nổi bật lên

Các lý thuyết trên đã được trình bày trong cuốn giáo trình song ngữ Việt

- Pháp của Bessot và các cộng sự (2009) Trong phần này, chúng tôi chỉ mô tả ngắn gọn một số khái niệm cần tham chiếu của các lý thuyết trên

2.1 Lí thuyết nhân chủng học

a Quan hệ thể chế

Quan hệ thể chế:

Quan hệ R(I,O) của một thể chế I với đối tượng tri thức O là tập hợp các tác động giữa thể chế I đến tri thức O và ngược lại Mối quan hệ này cho biết O xuất hiện khi nào, ở đâu, như thế nào, nội dung và ý nghĩa như thế nào

Quan hệ cá nhân:

Quan hệ R(X,O) của một cá nhân X với đối tượng tri thức O là tập hợp các tác động qua lại giữa cá nhân X với tri thức O, nghĩa là X hiểu gì, nghĩ gì, hình dung về O ra sao, có thể sử dụng O và thao tác với O thế nào

“Học” chính là quá trình tạo mới hay điều chỉnh mối quan hệ R(X,O) sâu sắc hơn so với quan hệ đã có Cá nhân X là một bộ phận của thể chế I, chịu ảnh hưởng của thể chế Do đó, muốn nghiên cứu R(X,O), ta có thể nghiên cứu từ R(I,O) Vấn đề trung tâm trong Didactic là nghiên cứu R(I,O), xếp thứ hai mới

là nghiên cứu R(X,O)

Vậy, làm thế nào để mô tả mối quan hệ thể chế với một tri thức? Công cụ

để phân tích R(I,O) là praxéologie

b Tổ chức toán học

Trong thuyết nhân học, ta công nhận một điều: mỗi hoạt động của con người như là việc thực hiện một nhiệm vụ t thuộc kiểu nhiệm vụ T nào đó, nhờ nào một kĩ thuật  , được giải thích bởi một công nghệ , và công nghệ thậm chí lại được giải thích dựa vào lý thuyết  Ta gọi bộ T, , ,   là một

praxéologie

 Nhiệm vụ, kiểu nhiệm vụ: là câu trả lời cho câu hỏi dạng “làm thế nào?”

Kiểu nhiệm vụ phải liên quan đến một đối tượng O đã được xác định rõ và được thể chế xây dựng

 Kỹ thuật: cách làm, cách thức giải quyết T Trong thể chế I, đối với mỗi kiểu nhiệm vụ T, nói chung chỉ tồn tại một  hay cùng lắm là một số ít kỹ thuật  được I thừa nhận

 Công nghệ: Mọi kỹ thuật đều cần có một công nghệ giải thích cho nó Trong thể chế I, việc tồn tại công nghệ là một điều kiện sinh thái chủ yếu cho sự tồn tại kỹ thuật Công nghệ có thể khác nhau tùy theo thể chế

 Lý thuyết: là yếu tố giải thích cho công nghệ, hay nói cách khác, lý thuyết là

“công nghệ của công nghệ”

Nếu một praxéologie gắn với toán học, nghĩa là các thành phần của nó

mang bản chất toán học, ta gọi là Tổ chức toán học Như vậy, để phân tích mối

quan hệ thể chế với đối tượng tri thức O, ta có thể chỉ ra tất cả các praxéologie hay tổ chức toán học liên quan đến O trong I, đồng thời phân loại, đánh giá chúng

2.2 Đồ án didactic

Theo Chevallard Y (1982) và Artigue M (1988), đồ án dicdactic là một tình huống dạy học được nhà nghiên cứu xây dựng, Sở dĩ người ta dùng từ “đồ án” vì nhà nghiên cứu đóng vai trò giống như là kỹ sư: dựa trên kiến thức thuộc lĩnh vực khoa học của mình để làm việc trên các đối tượng phức tạp hơn nhiều

so với các đối tượng được sàng lọc của khoa học

Đồ án didactic thực hiện hai chức năng:

 Thực hiện một hoạt động dựa trên hệ thống dạy học, dựa trên nghiên cứu didactic trước

 Thực hiện kiểm chứng những lý thuyết được nghiên cứu trước bằng việc thực hiện chúng trong một hệ thống giảng dạy

Các pha khi tiến hành nghiên cứu đồ án didactic:

 Pha 1: Các phân tích ban đầu Có thể tiến hành các phân tích khoa học luận,

phân tích về tình huống xuất phát của tri thức trong lịch sử, trò chơi,… hay phân tích mối quan hệ thể chế và mối quan hệ cá nhân đối với tri thức

 Pha 2: Lên kịch bản, phân tích a priori và việc tổ chức tập dữ liệu

 Pha 3: Thực nghiệm và tổ chức các quan sát

 Pha 4: Phân tích a posteriori và hợp thức hóa nội tại dựa trên kết quả thực

nghiệm và các phân tích ở trên

2.3 Mô hình hóa Toán học

Một vấn đề thực tiễn được giải quyết nhờ các công cụ Toán học, thì có thể thực hiện theo bốn bước sau đây (theo Lê Thị Hoài Châu - Vũ Như Thư Hương, 2013):

Bước 1: Xây dựng mô hình trung gian của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có

ý nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập các qui luật mà chúng ta phải tuân theo

Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình trung gian Lưu ý là ứng với vấn đề đang xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo chỗ các yếu

tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng được xem là quan trọng Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước hai Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp

Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba Ở đây người ta phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia

Việc áp dụng mô hình hóa vào dạy học toán ở phổ thông có thể giúp HS nâng cao khả năng vận dụng toán học vào thực tiễn, điều này rất cần thiết trong dạy học tích cực hiện nay Việc tăng cường dạy toán thông qua dạy học bằng mô hình hóa giúp HS làm quen việc áp dụng mô hình toán học vào nhiều môn học khác như vật lý, hóa học, sinh học…, cũng như trong đời sống

3 Mục đích và câu hỏi nghiên cứu

Chúng tôi xin trình bày các câu câu hỏi trong nghiên cứu của mình:

CH1: Các tham số thống kê mô tả có ý nghĩa gì và bối cảnh sử dụng chúng

như thế nào?

CH2: Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, các tham số thống kê mô tả được

SGK Việt Nam đưa vào như thế nào? Ý nghĩa và ứng dụng của chúng có thể hiện rõ không? Có những điểm nào khác biệt trong chương trình dạy học ở Mỹ?

CH3: Có thể xây dựng một đồ án dạy học liên quan đến các tham số này

theo tư tưởng mô hình hóa như thế nào nhằm giúp cho học sinh hiểu được ý nghĩa của tri thức và vận dụng vào các tình huống trong thực tế?

4 Phương pháp nghiên cứu

Để trả lời cho những câu hỏi được nêu trên, chúng tôi xác định phương pháp, được tóm tắt trong sơ đồ sau:

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

(kiểm chứng mối quan hệ cá nhân )

XÂY DỰNG TIỂU ĐỒ ÁN DẠY HỌC

NGHIÊN CỨU SỰ TRÌNH BÀY CÁC

THAM SỐ THỐNG KÊ TRONG

SGK PRE-CALCULUS (MỸ)

NGHIÊN CỨU SỰ TRÌNH BÀY CÁC

THAM SỐ THỐNG KÊ TRONG

SGK VIỆT NAM

NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN

Cụ thể, chúng tôi sẽ tiến hành nghiên cứu tri thức luận về các tham số thống kê: về mặt định nghĩa, vai trò, lý do xuất hiện của các tham số đó và mối quan hệ của chúng với nhau Đây là một nghiên cứu tri thức luận ở mắt xích thứ nhất: tri thức bác học

Bước thứ hai, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích mối quan hệ thể chế R(I,O):

cụ thể là sự trình bày các tham số thống kê mô tả trong thể chế dạy học ở Việt Nam Như vậy, chúng tôi sẽ làm rõ các praxéologie và tổ chức toán học liên quan đến các tham số này trong thể chế dạy học hiện nay, để rút ra kết luận: cái

gì cần có mà chưa xuất hiện? Nghĩa là ý nghĩa thực tiễn của các tham số thống

kê đã xuất hiện trong dòng lịch sử, nay có được đề cập đến trong thể chế dạy học ở Việt Nam hay không? Nếu không, liệu rằng HS có thể vận dụng được tri thức này cho những vấn đề trong thực tiễn được không?

Để có sự so sánh, chúng tôi muốn nhìn qua một thể chế dạy học khác, do

đó sẽ tiến hành phân tích sự trình bày tri thức trong SGK nước ngoài Trong khuôn khổ luận văn, chúng tôi lựa chọn phân tích cuốn Precalculus (tác giả Demana và Waits) - một sách giáo khoa được sử dụng cho việc dạy học ở trường phổ thông tại Mỹ

Từ những phân tích trên, chúng tôi đúc kết những điều chưa tồn tại trong thể chế dạy học Việt Nam làm che mờ đi ý nghĩa thực tiễn của các tham số thống kê Đó cũng chính là cơ sở để xây dựng đồ án dạy học nhằm mục đích bổ sung cho khiếm khuyết được chỉ ra

5 Cấu trúc luận văn

Luận văn có phần mở đầu, phần kết luận và ba chương

Mở đầu:

Trong phần này, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, khung lí thuyết tham chiếu, trình bày mục đích và câu hỏi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn

Chương 1: Đặc trưng khoa học luận của thống kê

Chúng tôi trình bày tóm tắt tri thức luận về các tham số thống kê mô tả

về mặt khái niệm, ý nghĩa, vai trò ứng dụng và sự tương quan giữa chúng

Chương 2: Phân tích sự trình bày các tham số cơ bản của thống kê trong

thể chế dạy học ở Việt Nam hiện nay trong sự so sánh với SGK Precalculus của Mỹ

Trong chương này, chúng tôi sẽ phân tích sự trình bày về mặt lý thuyết cũng như các tổ chức toán học gắn liền với các tham số thống kê mô tả trong hai giáo trình thuộc hai thể chế khác nhau: Mỹ và Việt Nam, để có sự so sánh, đối chiếu Từ đó, chúng tôi có thể đưa ra các giả thuyết nghiên cứu

Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm

Chúng tôi xây dựng các tình huống thực nghiệm để kiểm tra các giả thuyết nghiên cứu đã được đề ra trong phần trước, đồng thời trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu được đề ra ở phần mở đầu Từ đó, chúng tôi tiến hành bước cuối cùng là xây dựng một đồ án dạy học các tham số thống kê mô tả mà trong

đó, ý nghĩa thực tiễn và ứng dụng của các tham số này được bộc lộ rõ ràng cho

HS

Kết luận

Chương 1 NGHIÊN CỨU Ý NGHĨA VÀ MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC

THAM SỐ THỐNG KÊ MÔ TẢ

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày tổng quan về các tham số thống

kê mô tả Chúng tôi không chỉ nêu khái niệm, ý nghĩa, mà sẽ làm nổi bật lên mối liên hệ giữa các tham số này với nhau Phân tích này giúp chúng tôi có cái nhìn tổng quan về các tham số, về khái niệm và ý nghĩa của chúng, để từ đó làm cơ

sở đối chiếu với thể chế dạy học hiện nay: những gì được thể chế lựa chọn giữ lại, những gì được chú trọng và xem nhẹ

Trong thống kê mô tả, người ta thường sử dụng hai loại tham số: các tham

số đo lường xu hướng tập trung của dữ liệu (số trung bình, số trung vị, mốt) và các tham số đo lường sự biến thiên của dữ liệu (biên độ, phương sai, độ lệch chuẩn, sai số chuẩn) Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày khái niệm và ý nghĩa của từng tham số Trong phân tích dưới đây, chúng tôi sử dụng các định nghĩa được nêu trong Sách Elementary Statistics (7th Edition) của tác giả Neil A.Weiss - một giáo trình thống kê cơ bản sử dụng cho sinh viên đại học, cao đẳng ở Mỹ

1.1 Các tham số đo lường xu hướng tập trung (Tham số định tâm)

Giả sử rằng một người chạy 100 m trong sáu lần, mỗi lần chạy lại dùng đồng hồ đo lại thời gian chạy (tính bằng giây) và kết quả 6 lần chạy gồm sáu giá trị như sau:

X={25.1, 21.2, 17.9, 23.0, 24.6, 19.5}

Dãy 6 số liệu trên cung cấp cho ta thông tin gì? Hiển nhiên, một trong

những điều ta quan tâm đến nhất là thời gian trung bình để hoàn thành đoạn đường 100m đó Từ “trung bình” ở trên liệu có phải là trung bình cộng (hay

trung bình số học)?

Trong phần này, chúng tôi sẽ đề cập đến 3 tham số cùng diễn tả từ

“trung bình” đó, nhưng được sử dụng trong các trường hợp khác nhau

Sắp xếp các giá trị theo thứ tự tăng dần

- Nếu số phần tử của mẫu là số lẻ thì số trung vị là số ở vị trí chính giữa của dãy

- Nếu số phần tử của mẫu là số chẵn thì số trung vị là trung bình cộng của hai

số ở hai vị trí chính giữa của dãy

Trong mẫu số liệu về thời gian chạy 100m, nếu sắp xếp lại ta sẽ được:

X={17.9, 19.5, 21.2, 23.0, 24.6, 25.1}, số trung vị sẽ là 21.2 23.0 22.1

2

Số trung vị là giá trị giữa của một phân bố, nó chia đôi tập hợp các giá trị

ra làm 2 phần bằng nhau: 50% các giá trị trong phân bố nhỏ hơn hay bằng số trung vị và 50% giá trị trong phân bố lớn hơn hay bằng nó

1.1.3 Mốt

Mốt là giá trị có tần số lớn nhất trong mẫu số liệu Trong trường hợp không có giá trị nào được lặp lại thì mẫu không có mốt Một mẫu cũng có thể có nhiều mốt

Chẳng hạn, X={17.9, 19.5, 21.2, 23.0, 24.6, 25.1} là một mẫu không có mốt Mốt thể hiện vị trí “đỉnh” của phân bố, nghĩa là giá trị nào xuất hiện nhiều nhất

1.1.4 So sánh số trung bình, trung vị và mốt

Trong ba tham số trên, mặc dù số trung bình có vẻ quen thuộc và thường được sử dụng để đại diện cho mẫu, tuy nhiên, số trung vị mới là tham số đo lường xu hướng tập trung mạnh nhất Trở lại ví dụ chạy 100m như trên, giả sử trong lần chạy thứ 7, người này bị đau chân và phải đi bộ, thời gian mất là 79.9 giây Anh ta cố gắng chạy thêm lần thứ 8 nhưng kết quả vẫn là 79.9 giây Lúc này, mẫu gồm những giá trị như sau: X={17.9, 19.5, 21.2, 23.0, 24.6, 25.1, 79.9, 79.9} Ba tham số trong từng trường hợp được tính ra như sau:

Việc lựa chọn tham số nào để đại diện cho mẫu còn phụ thuộc vào tình huống và mục đích thống kê Chẳng hạn, trong từng trường hợp dưới đây, mỗi tham số thể hiện ưu thế của nó:

Một HS làm 4 bài kiểm tra Toán với điểm số lần lượt là 88, 75, 95 và

100 Khi báo cáo kết quả học tập của học phần, GV sẽ chọn số trung bình là 89.5 Nhưng nếu HS này về khoe thành tích với phụ huynh, rất có thể HS sẽ chọn số lớn nhất là 100!

b) Hiệp hội các Nhà đầu tư quốc gia công bố dữ liệu về giá bán nhà tại 1 quận ở Mỹ

40; 45.5; 112.8; 114; 115.5; 118 ;120 ; 121.5; 124.4; 125.5; 129; 130.2

(đơn vị: Nghìn USD) Tham số phù hợp nhất để đưa ra giá bán bình quân là số trung vị: 119 (nghìn USD), bởi lẽ nó thể hiện được: giá bán nhà dao động quanh giá trị 119 nghìn USD mà không bị ảnh hưởng nhiều bởi các nhà có giá quá rẻ so với mặt bằng chung

c) Người ta thống kê điểm kiểm tra 1 tiết của môn Toán của một lớp 10 Lớp gọi là đạt nếu có từ 50% trở lên số HS đạt trên điểm 5 Để đánh giá lớp đạt hay không đạt, có thể sử dụng số trung vị, vì số này chia đôi dữ liệu thành 2 phần bằng nhau: nếu số trung vị lớn hơn hay bằng 5 nghĩa là có 50% số HS đạt trên mức đó

d) Số người có hút thuốc ở một quận được ghi nhận lại là 312 người đàn ông và 122 người phụ nữ Tham số phù hợp nhất ở đây là mốt Với các dữ liệu định tính hay phân loại, tham số duy nhất có thể sử dụng là mốt Chẳng hạn, dữ liệu mô tả giới tính nam là 0, giới tính nữ là 1, thì số trung bình hay số trung vị

Cả hai đều có điểm trung bình là 5.6, tuy nhiên ta dễ dàng thấy rằng, HS

B có điểm số đều và ổn định quanh số trung bình hơn là A Như vậy, con số nào sẽ đánh giá mức độ “lệch” của số liệu so với số trung bình? Trong thống kê

mô tả, người ta sử dụng các tham số đo độ phân tán dưới đây

Tứ phân vị là đại lượng mô tả sự phân bố và sự phân tán của tập dữ liệu

Tứ phân vị có 3 giá trị, đó là tứ phân vị thứ nhất (Q1), thứ nhì (Q2), và thứ ba (Q3) Ba giá trị này chia một tập hợp dữ liệu (đã sắp xếp dữ liệu theo trật từ từ

bé đến lớn) thành 4 phần có số lượng quan sát đều nhau

Tứ phân vị được xác định như sau:

Như vậy, Q2 trong tứ phân vị chính là số trung vị

Khoảng tứ phân vị (IQR) được xác định là: IQR = Q3 - Q1

Một giá trị được xem là Giá trị ngoại lai (Outliers) nếu nó lớn hơn Q3+1.5 *

IQR hay nhỏ hơn Q1 - 1.5 * IQR

Biểu đồ hộp (Boxplot) giúp ta biểu diễn các đại lượng quan trọng của dữ liệu như giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tứ phân vị, IQR một cách trực quan, dễ hiểu Một Box plot có dạng như sau:

Hình 1.1 Hình minh họa biểu đồ boxplot

1.2.3 Phương sai, độ lệch chuẩn, sai số chuẩn

Biên độ đo độ lệch giữa hai đầu mút của dữ liệu, tuy nhiên có một điểm đáng lưu ý là cả biên độ và tứ phân vị lại không quan tâm đến giá trị trung tâm (thường là số trung bình) Khi muốn đo lường mức độ phân tán so với giá trị trung bình, ta đo lường mức độ lệch của từng cá thể so với số trung bình:

(x i X) Tuy nhiên, tổng độ lệch

1

n i i





 bằng 0 vì tính chất san bằng mọi bù trừ của số trung bình toán học Để khắc phục điều này, có thể sử dụng tổng các

giá trị tuyệt đối của độ lệch:

1

n i i





 Tuy nhiên, vấn đề của giá trị tuyệt đối

là không liên tục tại gốc tọa độ (trong trường hợp này lại là số trung bình), do

đó các nhà thống kê đã chọn một công thức tốt hơn, đó là:

2

1

11

n i i

n 

 

Số này được gọi là phương sai, nó thể hiện mức độ phân tán của dữ liệu

so với số trung bình, loại bỏ sự ảnh hưởng của kích thuớc mẫu và là hàm liên tục Tuy nhiên, do trong công thức có bình phương nên phương sai không cùng đơn vị so với dữ liệu, do đó ta lấy  2

2

1

11

n i i

  , gọi là độ lệch chuẩn

Một vấn đề nữa cần quan tâm là mỗi lần lấy mẫu ta có một số trung bình

và từ đó ta tính được phương sai của mẫu Phương sai của mẫu cho biết sự biến

thiên của các cá thể trong tổng thể Giả sử ta lấy mẫu k lần, tương ứng sẽ có k

số trung bình Để mô tả sự biến thiên của các số trung bình mẫu lấy từ tổng thể

người ta sử dụng đại lượng sai số chuẩn được tính bằng cách lấy độ lệch chuẩn

chia cho căn bậc hai của kích thước mẫu: SE s

n

 (SE: Standard Error)

Như vậy, độ lệch chuẩn mô tả biến thiên của các cá thể trong tổng thể còn sai số chuẩn mô tả sự biến thiên của các số trung bình mẫu lấy từ tổng thể Một cách dễ hiểu, nếu ta lấy mẫu k lần từ tổng thể và ta có k số trung bình thì độ lệch chuẩn của k số trung bình đó gọi là sai số chuẩn

Vấn đề quan trọng trong việc sử dụng các tham số là: khi nào có thể sử dụng một tham số nào đó để đại diện (mà người ta thường dùng là số trung

bình)? Câu trả lời nằm ở một khái niệm gọi là phân phối chuẩn

1.3 Phân phối chuẩn

Dữ liệu có thể phân phối theo nhiều cách khác nhau: trải về bên trái, trải

về bên phải, hay sắp xếp lung tung lộn xộn, nhưng trong nhiều trường hợp, dữ liệu có xu hướng tập trung xung quanh 1 vị trí trung tâm, và có hình dạng như một “quả chuông”

Hình 1.2 Hình minh họa ba trường hợp phân phối dữ liệu

Hình 1.3 Hình minh họa dạng của phân phối chuẩn

Phân phối này gọi là phân phối chuẩn Trong tự nhiên, có rất nhiều sự

vật gần như tuân theo phân phối chuẩn như: chiều cao con người, chỉ số huyết

áp, v.v… Khi dữ liệu phân phối theo kiểu này, khoảng 68% dữ liệu rơi vào

khoảng 1 độ lệch chuẩn tính từ số trung bình; 95% rơi vào khoảng 2 độ lệch chuẩn tính từ số trung bình; và 99.7% rơi vào khoảng 3 độ lệch chuẩn

Hình 1.4 Hình minh họa xu hướng tập trung của phân phối chuẩn

Như vậy, nếu chỉ dựa vào khái niệm phân phối chuẩn, ta có thể suy ra cách nhận biết một phân phối chuẩn như sau:

 Hình dạng biểu đồ histogram: tập trung vào đỉnh ở giữa, không lệch qua trái hay phải, đường cong có dạng quả chuông

 Số trung bình, trung vị xấp xỉ nhau

 Phương sai và độ lệch chuẩn có trị số tương đối nhỏ

Khi dữ liệu phân phối theo kiểu này, hầu hết giá trị tập trung quanh số trung bình, do đó, số trung bình là một đại diện rất tốt cho mẫu

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Từ những phân tích trên, chúng tôi rút ra một số điểm quan trọng sau đây:

Thứ nhất, ba tham số định tâm (số trung bình, số trung vị, mốt) được sử

dụng để đại diện cho mẫu trong những trường hợp khác nhau Tuy nhiên, thông thường người ta hay nghĩ đến việc sử dụng số trung bình hơn Điều này có thể dẫn đến sai lầm

Thứ hai, công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn được xây dựng từ

độ lệch của từng giá trị cá thể so với số trung bình, do đó nó phản ánh mức độ lệch của các giá trị so với trung tâm Như vậy, để số trung bình đại diện tốt cho mẫu, một trong những điều kiện phải thỏa là phương sai và độ lệch chuẩn không được quá lớn

Nói cách khác, vấn đề là khi nào thì số trung bình mới đại diện tốt cho

mẫu dữ liệu? Đó là khi dữ liệu phân phối theo dạng phân phối chuẩn Việc

kiểm tra một mẫu có xu hướng “chuẩn” hay không là điều rất quan trọng trước khi ta chọn tham số nào làm đại diện cho mẫu đó để đưa ra những so sánh hay nhận xét

Những phân tích trong chương này sẽ là một khung tham chiếu để chúng tôi nhìn vào thể chế dạy học hiện nay: các tham số thống kê mô tả nào được chọn lựa đưa vào giảng dạy ở trường phổ thông? Nó xuất hiện với ý nghĩa như thế nào? Có dẫn đến sai lầm nào khi sử dụng các tham số không? Như vậy, trong chương tiếp theo, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích mối quan hệ thể chế bằng công cụ lý thuyết nhân chủng học

Chương 2 CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ MÔ TẢ TRONG SGK VIỆT NAM VÀ SỰ SO SÁNH VỚI MỘT SGK MỸ

Trong chương này, chúng tôi tiến hành phân tích sự trình bày nội dung các tham số cơ bản trong thống kê trong chương trình phổ thông Việt Nam Nội dung thống kê được giới thiệu cho HS vào đầu học kỳ 2 của lớp 7, trong chương III - Thống kê Sau đó, HS tiếp tục được tiếp cận với thống kê trong chương V - SGK Đại số 10 (cơ bản và nâng cao) Như vậy, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích những tài liệu sau đây:

- Toán 7 (tập 2), Phan Đức Chính, Tôn Thân, Trần Đình Châu, Trần Phương Dung, Trần Kiều, 2009, NXBGD (kí hiệu: S7)

- Đại số 10, Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đoàn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài, 2011, NXBGD (kí hiệu: S10)

- Đại số 10 nâng cao, Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông, 2013, NXBGD (kí hiệu: S10NC)

Cùng các SGV và tài liệu hướng dẫn GV đi kèm các SGK này

Đồng thời, chúng tôi cũng sẽ phân tích một SGK ở một thể chế chể dạy

học khác, cụ thể đó là cuốn SGK Precalculus của Demana - Waits (kí hiệu: SM)

Những phân tích từ SGK này giúp chúng tôi có một cán cân so sánh để chỉ ra những khác biệt và nguyên nhân dẫn đến những khác biệt với chương trình của Việt Nam

2.1 Số trung bình và Mốt trong SGK S7

2.1.1 Về lý thuyết

Ngoài số trung bình cộng và mốt của dấu hiệu ra, còn có một vài tham số khác như số trung vị, hệ số biến thiên, … song để phù hợp với trình độ HS lớp 7, sách chỉ giới thiệu số trung bình cộng và mốt của dấu hiệu

[5, tr.16] Trong các tham số thống kê mô tả, S7 chỉ giới thiệu cho HS số trung bình cộng và mốt Việc tính “trung bình cộng” của hai hay ba số đã là một kiểu

nhiệm vụ quen thuộc đối với HS, cho nên việc tính toán số trung bình cộng cho dãy số liệu sẽ không quá khó khăn Tri thức mới mà S7 muốn HS hình thành là

số trung bình cộng với tư cách là một số đặc trưng cho dấu hiệu, mang tính chất đại diện và dùng để so sánh Do đó S7 giới thiệu số trung bình cộng thông qua tình huống so sánh điểm kiểm tra của hai lớp 7A và 7C Sách giáo viên đưa ra gợi ý dạy học như sau:

GV có thể nêu vấn đề sau đây để HS thảo luận khi bắt đầu tiết học:

Hai lớp học Toán với cùng một giáo viên dạy, cùng làm một bài kiểm tra viết Sau khi có kết quả, nói chung nếu muốn biết lớp nào làm bài tốt hơn thì ta phải làm như thế nào? (quá trình hướng dẫn thảo luận sẽ hướng tới việc sử dụng số trung bình cộng, từ đó xuất hiện yêu cầu tính số trung bình cộng làm đại diện

và sau đó dùng nó để so sánh)

[5, tr.16] Như đã phân tích, việc áp dụng công thức tính số trung bình cộng sẽ không khó khăn đối với HS, và sau khi áp dụng nó để tính điểm trung bình của hai lớp 7A, 7C, HS dễ dàng rút ra được so sánh: lớp 7A làm bài tốt hơn lớp 7C (6.675 > 6.25) Từ đó, S7 đưa ra ý nghĩa của số trung bình cộng:

Số trung bình cộng thường được dùng làm đại diện cho dấu hiệu, đặc biệt là khi muốn so sánh các dấu hiệu cùng loại

[5, tr.17] S7 cũng lưu ý rằng không nên sử dụng số trung bình cộng khi các giá trị của dấu hiệu có khoảng chênh lệch rất lớn với nhau, cũng như có thể không phải

là một giá trị của dấu hiệu Trong trường hợp có khoảng chênh lệch lớn, S7 không đưa ra giải pháp thay thế nào để bổ sung cho khiếm khuyết của số trung bình cộng

Khái niệm mốt được đưa vào thông qua ví dụ về các cỡ dép bán được của một cửa hàng, và cửa hàng quan tâm đến cỡ dép nào bán được nhiều nhất Như vậy, S7 giới thiệu mốt là một “giá trị đại diện” khác của dấu hiệu, được sử dụng khi người ta quan tâm đến giá trị có tần số cao nhất

Tóm lại, về mặt lý thuyết, S7 chỉ đề cập đến một phần rất nhỏ liên quan đến các tham số thống kê mô tả, bao gồm số trung bình cộng và mốt, cách tính

và ý nghĩa của chúng Tuy nhiên, ý nghĩa của hai tham số này tồn tại độc lập, không có sự liên hệ, bổ sung gì cho nhau, và chỉ thể hiện được ý nghĩa của chúng qua một vài trường hợp đặc biệt (các giá trị có độ chênh lệch không cao…)

2.1.2 Các praxéologie gắn liền với số trung bình cộng và mốt

S7 đưa ra 4 kiểu nhiệm vụ được thống kê trong bảng sau:

Bảng 2.1 Bảng thống kê số lượng bài tập theo các KNV trong S7

T2: quyết định có sử dụng số

trung bình cộng để đại diện cho

dấu hiệu hay không

Kiểu nhiệm vụ T1: Tính số trung bình cộng

Ví dụ: bài tập 17a, trang 20

Kỹ thuật: SGK nêu tường minh kỹ thuật như sau:

Công nghệ: định nghĩa số trung bình cộng

Kiểu nhiệm vụ T2: quyết định có sử dụng số trung bình cộng để đại diện cho dấu hiệu hay không

Ví dụ: bài tập 16, trang 20

Lời giải SGV đề nghị như sau:

Không nên dùng số trung bình cộng làm đại diện vì các giá trị có khoảng chênh lệch lớn

[S5, tr.19]

Kỹ thuật: tính khoảng chênh lệch giữa các giá trị

- Nếu khoảng chênh lệch lớn: kết luận không nên dùng số trung bình cộng làm đại diện

- Nếu khoảng chênh lệch nhỏ: kết luận có thể dùng số trung bình cộng làm đại diện

Công nghệ: định nghĩa số trung bình cộng

Kiểu nhiệm vụ T3: Tìm mốt của dấu hiệu

Ví dụ: Bài tập 17b, trang 20

Kỹ thuật:

- Xác định giá trị có tần số n lớn nhất Kết luận giá trị đó là mốt

- Nếu có nhiều hơn 1 giá trị có cùng tần số lớn nhất thì dấu hiệu có nhiều mốt là tất cả các giá trị đó

Công nghệ: định nghĩa mốt

Nhận xét về các praxéologie:

Kiểu nhiệm vụ chiếm đa số được đề nghị là T1: Tính số trung bình cộng Mặc dù SGV nêu rõ mục tiêu bài học là HS cần đạt được: “biết sử dụng số trung bình cộng để làm đại diện cho một dấu hiệu trong một số trường hợp và để so sánh khi tìm hiểu những dấu hiệu cùng loại”, kiểu nhiệm vụ T3 - so sánh, lại hoàn toàn vắng bóng trong phần bài tập (chỉ xuất hiện qua một ví dụ trong bài)

Tất cả kiểu nhiệm vụ mà SGK đề nghị có thể xem là nằm ngoài phạm vi toán học, vì các số liệu được đưa ra là số liệu thực tiễn (hoặc phỏng thực tiễn), nhưng không phải là bài toán thực tiễn để dạy học mô hình hóa hay dạy học bằng mô hình hóa Bởi lẽ, các yêu cầu “tính số trung bình cộng”, “tìm mốt” đều

được đặt ra trước, HS chỉ việc áp dụng công thức hoặc quy tắc để cho đáp số mà không cần phải thiết lập mô hình, hay giải thích ý nghĩa của các con số vừa tính

ra Nói cách khác, đây hoàn toàn là kiểu nhiệm vụ thuần túy toán học Nhu cầu thực tế của việc phải tính số trung bình cộng hay mốt của dấu hiệu hoàn toàn vắng bóng qua các kiểu nhiệm vụ

2.2 Các tham số thống kê mô tả trong SGK S10

[9, tr.119] Như vậy, S10 giới thiệu các tham số cơ bản này cho HS với tư cách là những con số đặc trưng, mang ý nghĩa riêng biệt đối với số liệu thống kê Tuy nhiên, S10 chưa nêu rõ mỗi tham số này mang ý nghĩa gì Phân tích dưới đây sẽ chỉ rõ, S10 có thực sự quan tâm đến việc làm rõ ý nghĩa của các tham số này hay không

Trong phần I - số trung bình cộng, S10 xem như HS đã biết công thức tính số trung bình cộng ở lớp 7, nên chỉ nhắc lại thông qua ví dụ 1a (tính số trung bình cộng khi cho bảng phân bố tần số), đồng thời bổ sung thêm cách tính

số trung bình cộng khi cho bảng phân bố tần số (tần suất) ghép lớp

Sau đó, SGK nêu ra công thức tính số trung bình cộng một cách tổng quát:

Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất:

a) Tính số trung bình cộng của bảng 6 và bảng 8 b) Từ kết của câu a), có nhận xét gì về nhiệt độ ở thành phố Vinh trong tháng 2

và tháng 12 (của 30 năm được khảo sát)

[9, tr.120] Với nhiệm vụ “nhận xét về nhiệt độ trong tháng 2 và tháng 12”, HS được nhấn mạnh lại về ý nghĩa “so sánh” của số trung bình cộng Tóm lại, số trung bình cộng được S10 nêu ra cách tính và ý nghĩa đầy đủ

Trong mục II - Số trung vị được giới thiệu lần đầu tiên cho HS thông qua một dãy số liệu có sự chênh lệch lớn:

Ví dụ 2: Điểm thi toán cuối năm của một nhóm 9 học sinh:

1; 1; 3; 6; 7; 8; 9; 10

Từ ví dụ này, SGK chỉ ra rằng số trung bình cộng trong trường hợp này (5,9) không đại diện được cho các số liệu, mà phải chọn một số đại diện thích hợp hơn là số trung vị Như vậy, số trung vị được giới thiệu như một con số đại diện thay cho số trung bình trong trường hợp các số liệu có sự chênh lệch lớn

Định nghĩa số trung vị được S10 nêu như sau:

Sắp thứ tự các số liệu thống kê thành dãy không giảm (hoặc không tăng) Số trunng vị kí hiệu là Me là số đứng giữa dãy nếu số phần tử là lẻ và là trung bình cộng của hai số đứng giữa dãy nếu số phần tử là chẵn

[9, tr.121] Như vậy, S10 lựa chọn nêu định nghĩa số trung vị theo cách xác định của

nó, chứ không đề cập đến nghĩa: số trung vị là con số chia đôi dãy dữ liệu thành hai phần, một phần có giá trị lớn hơn hoặc bằng nó và một phần có giá trị nhỏ

hơn hoặc bằng nó Các ví dụ và hoạt động tiếp theo cũng chỉ củng cố thêm cách xác định số trung vị

Trong mục III - Mốt được nhắc lại là giá trị có tần số lớn nhất S10 nhấn

mạnh rằng một mẫu có thể có hai mốt, nhưng không thấy lưu ý rằng: nếu không

có giá trị nào của dấu hiệu được lặp lại thì mẫu không có mốt

S10 có đưa ra một nhận xét sau khi tìm được mốt của ví dụ bảng 9 như sau:

Kết quả vừa thu được cho thấy rằng trong kinh doanh, cửa hàng nên ưu tiên nhập hai cỡ áo số 38 và 40 nhiều hơn

[9, tr.122]

Như vậy, S10 mong hình thành ý nghĩa của mốt nơi HS là giá trị có tần

số xuất hiện cao nhất trong các số liệu, hay công dụng của mốt là khi cần chọn

lựa giá trị nào thường hay xuất hiện nhất Các đặc trưng ý nghĩa khác của mốt cũng như công dụng của mốt trong những mẫu kiểu phân loại hay có phạm vi giá trị rất rộng hoặc rất hẹp, hoàn toàn vắng bóng

Phương sai được S10 giới thiệu thông qua ví dụ về 2 dãy số liệu sau đây

[9, tr.123] S10 chỉ ra rằng, hai dãy này cố số trung bình cộng bằng nhau (bằng 200), tuy nhiên dãy (1) ít phân tán (so với giá trị trung bình cộng) hơn dãy (2) Từ đó, SGK xây dựng công thức tính phương sai tổng quát trong cả hai trường hợp: bảng phân bố tần số, tần suất hoặc bảng phân bố tần số, tần suất lớp ghép

S10 có đề cập tường minh ý nghĩa của phương sai: nếu phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán của các số liệu thống kê càng bé Như vậy, phương sai được S10 trình bày đầy đủ về cách tính cũng như ý nghĩa của nó

Độ lệch chuẩn được giới thiệu như là căn bậc hai của phương sai, vì lý do tránh sự sai khác đơn vị của phương sai so với đơn vị đo của các số liệu S10 chỉ đưa ra một hoạt động yêu cầu tính độ lệch chuẩn, không yêu cầu sử dụng độ lệch chuẩn này để đo mức độ phân tán của các số liệu thống kê

2.2.2 Các praxéologie gắn với các tham số thống kê mô tả trong S10

S10 đưa ra một số KNV được thống kê trong bảng sau:

Bảng 2.2 Bảng thống kê số lượng bài tập theo các KNV trong S10

T2: Quyết định số trung bình có

đại diện cho mẫu được không

T3: So sánh 2 dấu hiệu cùng loại

dựa vào số trung bình cộng

Kỹ thuật: được rút ra từ ví dụ 1, S10 trang 119 như sau:

- Tính các giá trị đại diện của mỗi khoảng lớp ghép ( ; )a b i i bằng công

thức:

2

i i i

- Nhân giá trị đại diện của mỗi lớp với tần số của lớp đó, cộng các kết quả lại rồi đem chia cho tổng tần số, ta được số trung bình cộng

Công nghệ: định nghĩa số trung bình cộng

Kiểu nhiệm vụ T2: Quyết định xem có sử dụng số trung bình làm đại diện cho mẫu được không: Đây là KNV xuất hiện trong S7 nhưng không xuất hiện tường minh trong S10, mà chỉ có mặt ngầm ẩm trong KNV T6

Kiểu nhiệm vụ T3: So sánh 2 dấu hiệu cùng loại dựa vào số trung bình cộng

Vẫn xét ví dụ là bài tập 2 trang 122 như trên, với yêu cầu “nhận xét về kết quả làm bài thi của hai lớp”

SGV đề nghị lời giải như sau:

Trung bình cộng của các điểm thi ở lớp 10A lớn hơn trung bình cộng các điểm thi ở lớp 10B, nên có thể nói rằng kết quả làm bài thi của học sinh ở lớp 10A là cao hơn

[8, tr.109]

Kỹ thuật:

- So sánh các số trung bình cộng của các dãy số liệu

- Mẫu nào có số trung bình cộng lớn hơn thì có kết quả cao hơn (tốt hơn)

Công nghệ: Số trung bình cộng có thể làm đại diện cho các số liệu khi

cần so sánh các mẫu số liệu cùng loại

Đánh giá: với yêu cầu “nêu nhận xét về điểm bài thi của 2 lớp”, thì lời

giải và kỹ thuật S10 đưa ra chưa đầy đủ, chỉ đánh giá được một khía cạnh của 2 bảng số liệu Số trung bình cộng ở đây chỉ giúp so sánh được bảng số liệu nào

có bình quân cao hơn, không thấy được sự chênh lệch điểm của các HS trong mỗi lớp, số HS trên điểm trung bình, mức điểm nào có nhiều HS đạt được nhất… Như vậy, yêu cầu nhận xét này thực chất chỉ là so sánh 2 số trung bình cộng Trong thực tế, khi nhận xét một mẫu số liệu, cần phối hợp giữa số trung bình cộng, trung vị, mốt cùng với phương sai và độ lệch chuẩn Mặt khác, một điểm đáng lưu ý là yêu cầu so sánh dựa vào số trung bình được SGK áp đặt sẵn,

liệu rằng điều này có dẫn đến quan niệm sai lầm cho HS rằng: Khi cần so sánh hai mẫu số liệu, ta chỉ cần so sánh hai số trung bình?

Kiểu nhiệm vụ T4: Tìm mốt

Ví dụ: bài tập 3, S10 trang 123