Bước chuyển từ số học sang đại số: trường hợp khái niệm phương trình tương đương ở THCS (Luận văn thạc sĩ)

Bước chuyển từ số học sang đại số trường hợp khái niệm phương trình tương đương ở THCSBước chuyển từ số học sang đại số trường hợp khái niệm phương trình tương đương ở THCSBước chuyển từ số học sang đại số trường hợp khái niệm phương trình tương đương ở THCSBước chuyển từ số học sang đại số trường hợp khái niệm phương trình tương đương ở THCSBước chuyển từ số học sang đại số trường hợp khái niệm phương trình tương đương ở THCSBước chuyển từ số học sang đại số trường hợp khái niệm phương trình tương đương ở THCSBước chuyển từ số học sang đại số trường hợp khái niệm phương trình tương đương ở THCSBước chuyển từ số học sang đại số trường hợp khái niệm phương trình tương đương ở THCSBước chuyển từ số học sang đại số trường hợp khái niệm phương trình tương đương ở THCSBước chuyển từ số học sang đại số trường hợp khái niệm phương trình tương đương ở THCSBước chuyển từ số học sang đại số trường hợp khái niệm phương trình tương đương ở THCS

Đỗ Thị Huyền

BƯỚC CHUYỂN TỪ SỐ HỌC SANG ĐẠI SỐ: TRƯỜNG HỢP KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017

Đỗ Thị Huyền

BƯỚC CHUYỂN TỪ SỐ HỌC SANG ĐẠI SỐ: TRƯỜNG HỢP KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số : 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh - 2017

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu, những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực

Đỗ Thị Huyền

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Lê Thị Hoài Châu, người đã tận tình hướng dẫn và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn đến thầy Lê Văn Tiến, thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, cô Vũ Như Thư Hương, cô Nguyễn Thị Nga, thầy Tăng Minh Dũng về những bài giảng didactic bổ ích Tôi cũng xin chân thành gởi lời cảm ơn đến quý thầy cô của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tham gia giảng dạy lớp Cao học khóa 26 để tôi có được hướng đi tốt trong nghiên cứu của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn GS.TS Claude Comiti và GS.TS Annie Bessot

về những lời góp ý cho đề cương luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, Khoa Toán – Tin của Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi

Tôi cũng xin cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng về những góp ý quý báu

để tôi có thể hoàn thiện luận văn hơn

Xin kính chúc quý thầy cô luôn dồi dào sức khỏe và hạnh phúc

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn và các anh chị cùng lớp Didactic toán khóa 26 về những sẻ chia và giúp đỡ trong thời gian học tập và làm luận văn

Tôi xin gởi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường THCS Bình Chuẩn (Bình Dương) cùng toàn thể học sinh lớp 9A1 đã giúp tôi hoàn thành tốt thực nghiệm

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và những người bạn vì sự quan tâm và động viên giúp tôi hoàn thành khóa học

Người thực hiện

Đỗ Thị Huyền

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục bảng

Danh mục hình

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ BƯỚC CHUYỂN TỪ SỐ HỌC SANG ĐẠI SỐ VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG 8

1.1 Vài nét đặc trưng cơ bản của Số học và Đại số 8

1.2 Một vài kết quả nghiên cứu về bước chuyển từ Số học sang Đại số trong dạy học 10

1.3 Khái niệm phương trình tương đương 16

1.4 Các định lý về phương trình tương đương 17

1.5 Phương trình tương đương trong mối liên hệ với phép tương đương 18

Chương 2 MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ VỀ BƯỚC CHUYỂN TỪ SỐ HỌC SANG ĐẠI SỐ: TRƯỜNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG 20

3.1 Các phép toán trên biểu thức và quy tắc biến đổi trên đẳng thức ở lớp 6 20

3.2 Các phép toán trên biểu thức và quy tắc biến đổi trên đẳng thức ở lớp 7 22

3.2.1 Phép toán trên biểu thức 22

3.2.2 Quy tắc biến đổi trên đẳng thức 25

3.3 Các phép toán liên quan đến đa thức và phân thức đại số trong SGK Đại số 8 29

3.3.1 Phép nhân và phép chia đa thức 29

3.3.2 Phân thức đại số trong SGK 8 31

3.4 Phương trình tương đương (PTTĐ) trong SGK Đại số 8: 34

3.4.1 Phân tích SGK 34

3.4.2 Các tổ chức toán học liên quan đến PTTĐ trong SGK đại số 8 52

3.4.3 Tiểu kết phần nghiên cứu sách giáo khoa 52

3.5 Kết luận chương 2 53

Chương 3 THỰC NGHIỆM 56

4.1 Đối tượng thực nghiệm 56

4.2 Mục đích thực nghiệm 56

4.3 Các bài toán thực nghiệm 56

4.4 Kịch bản dạy học 58

4.5 Phân tích tiên nghiệm 61

4.6 Phân tích hậu nghiệm 78

KẾT LUẬN 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO 92 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Nxb : Nhà xuất bản SGK : Sách giáo khoa (Đại số) SGV : Sách giáo viên (Đại số) SBT : Sách bài tập

BTĐS: Biểu thức đại số PTĐS: Phân thức đại số

THCS : Trung học cơ sở THPT : Trung học phổ thông

DANH MỤC HÌNH

Hình 1 1 Mô hình sự phát triển liên tục của kiến thức đối với việc hiểu các

khái niệm đại số 13

Hình 3 1 Lời giải bài toán 1 của các nhóm sử dụng cả 3 quy tắc ứng với chiến lược S biến đổi 80

Hình 3 2 Lời giải bài toán 1 của nhóm không sử dụng 3 quy tắc ứng với chiến lược S biến đổi tương đương và chiến lược Sxét tập nghiệm 81

Hình 3 3 Lời giải bài toán 1 của nhóm sử dụng 3 quy tắc ứng với chiến lược 82

Hình 3 4 Lời giải của bài toán 2, nhóm 1 84

Hình 3 5 Lời giải của bài toán 2, nhóm 2 86

Hình 3 6 Lời giải sai của bài toán 2, nhóm 3 86

Hình 3 7 Quá trình biến đổi tương đương để nối phương trình (1) và (1c) 87

Hình 3 8 Quá trình biến đổi tương đương để nối phương trình (2) và (2a), (3) và (3c) 87

Hình 3 9 Quá trình biến đổi tương đương để nối phương trình (4) và (4a), (5) và (5c) 88

Hình 3 10 Lời giải của học sinh, bài toán 3 89

DANH MỤC BẢNG

Bảng 1 1 Tổng hợp đặc trưng của số học và đại số 10

Bảng 2 1 Thống kê các quy tắc thực hiện phép toán trên BTĐS và yếu tố công nghệ tương ứng trong SGK 7 23

Bảng 2 2 Thống kê các quy tắc thực hiện phép toán với PTĐS và yếu tố công nghệ tương ứng 33

Bảng 2 3 Thống kê các KNV liên quan đến PTTĐ trong SGK đại số 8 tập 2 52

Bảng 3 1 Bảng các phương trình trong đề bài toán 1 56

Bảng 3 2 Các đáp án có thể khi dùng chiến lược S biến đổi 63

Bảng 3 3 Các đáp án có thể khi dùng Chiến lược S biến đổi tương đương 64

Bảng 3 4 Các đáp án có thể khi dùng chiến lược S biến đổi 66

Bảng 3 5 Các đáp án có thể khi dùng chiến lược Sxét tập nghiệm 67

Bảng 3 6 Các lời giải có thể khi dùng chiến lược Sxét tập nghiệm 67

Bảng 3 7 Các đáp án có thể khi dùng chiến lược Sxét tập nghiệm 70

Bảng 3 8 Thống kê số lượng nhóm đã sử dụng 3 quy tắc R1, R2, R3 79

Bảng 3 9 Thống kê câu trả lời của học sinh theo chiến lược 79

Bảng 3 10 Các chiến lược của học sinh ở bài toán 2 83

MỞ ĐẦU

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Trong lịch sử toán học, bước chuyển từ số học sang đại số, tương ứng với việc chuyển từ tính toán trên các biểu thức số sang biểu thức chữ, được ví như một cuộc cách mạng Để biểu diễn các đại lượng chưa biết, thay đổi, chưa xác định, người ta có thể dùng những kí hiệu bằng chữ rồi thực hiện tính toán trên chúng tương tự như trên các đại lượng đã biết Điều này không chỉ tạo thuận lợi cho việc tìm các đại lượng chưa biết mà còn cho phép làm tăng khả năng của tính toán và giảm đáng kể khối lượng công việc cần phải làm Phân tích lợi ích lớn lao của việc sử dụng hệ thống ký hiệu, tác giả Lê Thị Hoài Châu (2008) đã chỉ ra rằng: nếu như trước kia người ta phải viện dẫn ngôn ngữ hình học để giải nhiều bài toán của Đại số, thì kể từ khi hệ thống ký hiệu ra đời, Đại số đã có thể phát triển độc lập với Hình học Thậm chí, nhìn thấy sức mạnh của việc tính toán trên các chữ này mà Descartes và Fermat đã nảy sinh ý tưởng đại số hóa Hình học, xây dựng nên nền tảng của Hình học Giải tích [3, tr.29 - 42] Tuy nhiên, trong dạy học thì bước chuyển này lại không mấy dễ dàng với học sinh Những tính toán hình thức nhiều khi chỉ được thực hiện với những điều kiện nào

đó của các chữ, trong khi nhiều quy tắc tính toán lại tương tự như trong số học

Một trong những đối tượng quan trọng và đặc trưng của Đại số là phương trình Mỗi phương trình trong Đại số có thể đại diện cho số lượng lớn các bài toán trong số học Để tìm tập hợp nghiệm của một phương trình thì buộc phải cần đến những phép biến đổi tương ứng trên phương trình đó Nhưng không phải bất kì phép biến đổi nào trên phương trình cũng hoàn toàn thực hiện như những biến đổi trên đẳng thức số được tiếp cận trước đó Mà giữa chúng có một sự khác biệt về điều kiện tồn tại của các biểu thức chứa chữ Để giải một phương trình ta thường biến đổi phương trình đã cho về một phương trình đơn giản hơn đã biết cách giải Nếu phép biến đổi không làm thay đổi miền xác định của phương trình thì tạo ra phương trình mới tương đương với phương trình ban đầu, còn nếu thay đổi miền xác định thì có thể tập hợp nghiệm của phương trình đã cho cũng bị thay đổi Vậy vai trò của phương trình tương đương là gì trong việc tìm lời giải? Phải chăng nó chỉ là một đối tượng trung gian trong quá trình tìm lời giải cho một phương trình hay nó còn là một công cụ giúp HS thấy được những

sai lầm của mình trong các bước biến đổi từng quen thuộc trên các đối tượng số nhưng không còn phù hợp trên các kí hiệu bằng chữ Chẳng hạn, một sai lầm thường gặp khi biến đổi trên phương trình như sau:

Vậy nguyên nhân của những sai lầm đó xuất phát từ đâu? Phải chăng bắt nguồn

từ việc chuyển đổi tính toán số học sang đại số hay từ chính khái niệm phương trình tương đương được thể chế lựa chọn chưa có sự gắn kết với các phép biến đổi tương đương trên phương trình? Biện pháp nào có thể khắc phục tình trạng trên? Đây chính

là yếu tố thôi thúc chúng tôi hướng đến việc nghiên cứu đề tài: Bước chuyển từ số học sang đại số: trường hợp khái niệm phương trình tương đương ở THCS, với những câu hỏi ban đầu sau:

 Đặc trưng của số học, đại số là gì?

 Trong dạy học toán ở đầu trung học cơ sở, giai đoạn chuyển giao từ số học sang đại số, các phép toán trên biểu thức tiến triển ra sao? Những quy tắc biến đổi trên đẳng thức số được vận dụng trong biến đổi phương trình như thế nào ?

 Kết hợp giữa việc thực hiện các phép toán trên biểu thức cùng với những quy tắc biến đổi trên phương trình đã tạo những sai lầm nào khác hay không? Những khó khăn HS gặp phải là gì?

 PTTĐ có thể giúp HS nhận ra và khắc phục các sai lầm đó như thế nào ?

2 Tổng quan về các công trình nghiên cứu liên quan

Với những câu hỏi đã đặt ra định hướng cho việc nghiên cứu của mình, chúng tôi tiến hành thu thập tài liệu và tìm thấy các công trình nghiên cứu có liên quan sau đây:

 Liên quan đến bước chuyển từ số học sang ĐS ở THCS:

Hoàng Thị Hồng Hà (2016), Bước chuyển từ số học sang đại số trong dạy học

toán ở trung học cơ sở: trường hợp phân thức đại số, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại

học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Với những gì đã trình bày trong luận văn cho thấy rằng: bước chuyển từ số học sang đại số gồm 2 giai đoạn: giai đoạn nhen nhóm xuất hiện góp phần thể hiện vai trò công cụ của đại số một cách ngầm ẩn, là khái quát các tính chất số học Giai đoạn thể hiện tường minh, biểu thức đại số (BTĐS) có mặt trong các hàm số, phân thức đại số, phương trình và bất phương trình Cả hai giai đoạn, BTĐS được hiểu theo nghĩa hẹp, nó chỉ là sự khái quát kiến thức và công cụ để giải quyết các bài toán Ảnh hưởng của quá trình chuyển đổi từ số học sang đại số đã được làm rõ qua phân tích khái niệm phân thức đại số ở chương trình đại số 8 Tại đây, tác giả chú trọng làm rõ những sai lầm của HS trong việc thực hiện phép chia đa thức

mà không tìm điều kiện của đa thức chia Bên cạnh đó, học sinh tính giá trị của một phân thức thông qua phân thức rút gọn ngay cả với các giá trị của biến nằm ngoài tập xác định chung của hai phân thức mà nguyên nhân là do sự ảnh hưởng của quan điểm đại số khi định nghĩa hai phân thức bằng nhau của SGK Từ kết quả đạt được của luận văn, chúng tôi kế thừa những đặc trưng của hai phân môn Số học, Đại số và bước chuyển giữa chúng Đồng thời ghi nhận những sai lầm đã được chỉ ra liên quan đến phân thức đại số, điều này sẽ giúp ích cho những phân tích của chúng tôi về một số sai lầm khi biến đổi phương trình có liên quan đến PTTĐ Từ đó, có thể thiết kế hệ thống bài tập sử dụng khái niệm PTTĐ giúp HS vượt qua sai lầm trong học tập

 Liên quan đến các phép biến đổi tương đương:

Lê Thanh Hải (2009), trong luận văn thạc sĩ của mình: “Tiếp cận khái niệm

phương trình và phép biến đổi phương trình bậc nhất một ẩn ở trường phổ thông”, đã

thực hiện việc nghiên cứu sơ lược các cách tiếp cận phương trình bậc nhất một ẩn, các khái niệm liên quan và các kỹ thuật giải phương trình ở THCS Tác giả đã chỉ ra sự khác nhau về mức độ tường minh và ý nghĩa của từng cách tiếp cận phương trình bậc nhất một ẩn Nhờ đó mà giải thích được tại sao cùng là tiếp cận phương trình nhưng lại

có thể đưa vào chương trình với nhiều cấp độ, tiến triển liên tục trong suốt các năm học của học sinh từ khi bắt đầu học toán cho đến những năm cuối của chương trình toán phổ thông Bên cạnh đó, việc tìm ra những giai đoạn tiến triển khi thì ngầm ẩn, có lúc tường minh trong các cách tiếp cận phương trình và sự tiến triển song song của các

kỹ thuật giải qua từng cấp học đã giải thích được một số lựa chọn của chương trình và SGK trong việc xây dựng quá trình tiếp cận phương trình ở phổ thông Qua phân tích mối quan hệ thể chế, tác giả đã chỉ ra được một số cách tiếp cận tổ chức toán học liên quan đến phương trình là hợp lý, phù hợp với những tiến triển tất yếu của tri thức Nhưng cũng có những sự lựa chọn gây ra những ứng xử thậm chí rất khác nhau ở cả

GV và HS Luận văn đã cung cấp cho chúng tôi mối quan hệ thể chế đối với phương trình bậc nhất ở THCS

Lâm Thị Ngọc Dung (2009), trong luận văn thạc sĩ của mình: “Nghiên cứu

didactic về phép kéo theo và phép tương đương trong dạy học toán ở trung học cơ sở”,

đã làm sáng tỏ những đặc trưng khoa học luận của phép kéo theo và phép tương đương

và chức năng của chúng trong dạy học Toán Đồng thời qua những phân tích chương trình và SGK bậc THCS chỉ ra rằng:

Phép kéo theo và phép tương đương là những tri thức xuất hiện ngầm ẩn trong thể chế dạy học ở THCS

Tổ chức toán học xoay quanh hai đối tượng này là chưa hoàn chỉnh do thiếu yếu tố công nghệ lý thuyết

Tuy nhiên, việc kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu chỉ mới thực hiện trên

HS Điều còn bỏ ngỏ của luận văn là kiểm chứng trên GV và hướng tới xây dựng một

tiểu đồ án didactic có thể giới thiệu đầy đủ nghĩa của phép kéo theo và phép tương đương trong đào tạo GV ở THCS? Với hai giả thuyết được phát biểu như sau:

H1: Trong kiểu nhiệm vụ: “Tìm điều kiện để hình (H) thỏa tính chất cho trước”,

sự vắng mặt của các ostensif ,  trong đề bài cho phép HS đồng nhất điều kiện cần

và điều kiện đủ

H2: Trong giải quyết các kiểu nhiệm vụ của thể chế, sự xuất hiện của các ostensif

cho phép HS ưu tiên giá trị biểu đạt hơn giá trị công cụ của các ostensif này

Đỗ Tất Thắng, (2009), nghiên cứu didactic về phép kéo theo và phép tương

đương trong dạy học toán ở trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học

Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Luận văn là một công trình nghiên cứu cùng một tri thức với công trình của tác giả Lâm Thị Ngọc Dung vừa được đề cập ở trên Do đó, tác giả cũng đã chỉ ra một số đặc trưng khoa học luận của phép kéo theo và phép tương đương Tuy nhiên, nghiên cứu sự vận hành của hai phép này có được nhờ những phân tích thể chế, chương trình ở THPT Cuối cùng là đề xuất cho một hướng nghiên cứu mới về tiến trình và xây dựng những tình huống đưa vào khái niệm phép kéo theo, phép tương đương trong hệ thống dạy học ở trường phổ thông, sao cho khái niệm này

có được tất cả các đặc trưng khoa học luận của chúng

3 Khung lý thuyết tham chiếu

Chúng tôi vận dụng các công cụ lý thuyết của Didactic Toán để làm cơ sở cho nghiên cứu của mình Cụ thể là quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, khái niệm tổ chức toán học của “lý thuyết nhân chủng học”, khái niệm “hợp đồng dạy học” Những khái

niệm này được trình bày đầy đủ trong giáo trình song ngữ Việt – Pháp Những yếu tố

cơ bản của Didactic toán bởi Bosset.A và các tác giả Nhờ việc vận dụng các tổ chức

toán học, chúng tôi có thể tiến hành phân tích sách giáo khoa Toán Việt Nam đã cho học sinh tiếp cận khái niệm PTTĐ và các phép biến đổi tương đương phép như thế nào Bên cạnh đó, chúng tôi cũng sử dụng các kiến thức liên quan đến hợp đồng didactique để chỉ ra sự tồn tại các sai lầm do tuân theo những quy tắc hành động, liên quan đến các phép biến đổi tương đương giữa các phương trình trong thể chế dạy học Toán 8 Việt Nam Từ các hoạt động đó chúng tôi có thể đưa ra câu trả lời thỏa mãn cho câu hỏi ban đầu

4 Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

Trong phạm vi khuôn khổ lý thuyết đã chọn, để tìm lời giải đáp cho bốn câu hỏi được nêu bên dưới là mục tiêu nghiên cứu của luận văn này Các câu hỏi bao gồm:

Câu hỏi 1: Đặc trưng cơ bản của bước chuyển từ số học sang đại số là gì?

Phương trình tương đương ở cấp độ tri thức bác học được định nghĩa như thế nào? Ảnh hưởng của quá trình chuyển đổi từ Số học sang Đại số lên nhận thức của HS ra sao?

Câu hỏi 2: Trong thể chế dạy học toán THCS (chương trình hiện hành) các phép

biến đổi nào trên biểu thức đại số có thể gây ra sai lầm trong giai đoạn chuyển giao từ

số học sang đại số? Sự vận hành của các quy tắc biến đổi trên đẳng thức số diễn ra như thế nào trong việc giải phương trình? Sự lựa chọn của thể chế có thể hiện đầy đủ vai trò của phương trình tương đương, đặc biệt trước những sai lầm do tính toán hình thức gây nên? Có những tổ chức toán học tiêu biểu nào gắn liền với khái niệm phương trình tương đương được xây dựng trong chương trình Toán 8?

Câu hỏi 3: Liệu có thể xây dựng bộ câu hỏi xoay quanh khái niệm PTTĐ, qua

đó tạo cơ hội cho HS thảo luận và phát hiện các sai lầm của mình, đồng thời thấy được vai trò công cụ của phương trình tương đương trong việc giải quyết các khó khăn khi chuyển từ số học sang đại số

5 Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục đích đã đề ra, chúng tôi tiến hành nghiên cứu theo các bước sau:

Bước 1: Tổng hợp đặc trưng khoa học luận của số học, đại số và bước chuyển giữa hai phân môn này và những đặc trưng của PTTĐ

Bước 2: Phân tích chương trình và SGK đại số 8 của Việt Nam để chỉ ra các tổ chức toán học gắn với khái niệm PTTĐ

Bước 3: Phân tích chương trình toán trung học cơ sở để thấy được bối cảnh diễn

ra bước chuyển từ Số học sang Đại số trong dạy học các biến đổi trên biểu thức, phương trình trong mối liên hệ với PTTĐ Từ đó giải thích cho các sai lầm tồn tại ở

HS

Bước 4: Xây dựng bộ câu hỏi gắn với những tổ chức toán học đã được đề cập, để

HS trao đổi và nhận ra sai lầm của mình khi giải phương trình Đặc biệt, luận văn hướng tới việc sử dụng phương trình tương đương như một công cụ để qua đó thấy được sự khác nhau giữa tính toán trên biểu thức số và biểu thức chứa chữ

6 Cấu trúc luận văn

Kết quả nghiên cứu ở bốn bước nêu trên được chúng tôi trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Tổng quan về bước chuyển từ số học sang đại số và đặc trưng của

phương trình tương đương

Chương 2: Một nghiên cứu thể chế về bước chuyển từ số học sang đại số: trường

hợp PTTĐ

Chương 3: Thực nghiệm

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ BƯỚC CHUYỂN TỪ SỐ HỌC SANG ĐẠI SỐ

VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày lại những đặc trưng cơ bản của Số học

và Đại số, đôi nét của những ảnh hưởng từ quá trình chuyển đổi từ Số học sang Đại số trong quá trình dạy và học, bằng cách phân tích và tổng hợp các kết quả nghiên cứu đã

có từ một vài công trình nghiên cứu khoa học và các giáo trình đại học Những tài liệu chính mà chúng tôi sử dụng:

- Hoàng Chúng (2001), Phương pháp dạy học số học và đại số ở trường trung

học cơ sở, NXB Giáo dục

- Hoàng Thị Hồng Hà (2016), Bước chuyển từ số học sang đại số trong dạy học

toán ở trung học cơ sở: trường hợp phân thức đại số, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại

học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

- Hitendra Pillay, Lynn Wilss, Gillian Boulton-Lewis (1998), Sequential

development of Algebra knowledge: A congnitive analysis, 10, (2), pp.87-102

- Eugenio Filloy, Teresa Rojano (1989), Solving equations: the transition from

Arithmetic to Algebra, 9, (2), pp.19-26

1.1 Vài nét đặc trưng cơ bản của Số học và Đại số

Theo Từ điển toán học, “Số học là bộ phận của toán học, nghiên cứu tính chất

của số, nguồn gốc và sự phát triển của khái niệm “số”, tính chất của các phép tính cùng hệ thức trong các tập hợp số và cấu trúc tiên đề của các tập hợp số ấy.” (Từ điển

Toán học, 1999, tr 18)

“Trong tuyển tập của người Hy lạp cổ người ta thường dùng hai thuật ngữ khác nhau: logistic tức là nghệ thuật tính toán và số học tức là khoa học về các tính chất của các số Thuật ngữ đầu chỉ phần thực tiễn của số học, thuật ngữ sau là phần lý thuyết, trong đó không có phần kỹ thuật tính toán   Chỉ đến thời kỳ Phục Hưng, hai phần trên mới được nhập lại thành cái tên chung là “số học” Thuộc về

kỹ thuật tính toán có bốn phép tính số học cơ bản và các ứng dụng thực tiễn, tỷ lệ thức, phép nâng lên luỹ thừa, phép khai căn, phép lấy loga và giải các phương trình đơn giản có hệ số bằng số” [22, tr 18]

Số học có liên hệ chặt chẽ với đại số - phân môn toán học cũng nghiên cứu các

phép tính với các số Cụ thể, đại số xuất hiện trong quá trình tìm kiếm những biện pháp tổng quát để giải các bài toán số học cùng kiểu Những biện pháp đó thường là lập và giải các phương trình Để làm điều này, người ta cần một hệ thống ký hiệu phù hợp, điều mà tận đến thế kỷ 16 các nhà toán học mới đạt được với đề nghị của Viète

“Vấn đề giải và biện luận các phương trình có ảnh hưởng lớn đến sự phát triển khái niệm số học ban đầu về số Khi số âm, số vô tỷ, số phức được đưa vào thì việc nghiên cứu tổng quát tính chất của các hệ thống số khác nhau đó được chuyển cho đại số Bấy giờ trong đại số hình thành những ký hiệu chữ, đặc trưng cho cách diễn đạt gọn ghẽ tính chất các phép toán với các số, thuận tiện trong tính toán với các biểu thức chữ” [22, tr 242]

Đại số cũng là lĩnh vực mà ở đó người ta sử dụng bộ công cụ ký hiệu để mã hóa các tính toán trong trường hợp tổng quát của các số, nhưng nó cung cấp một phương tiện ưu việt hơn, liên quan đến việc sử dụng các chữ để chỉ các biến số Với vai trò chỉ biến số, chữ gắn liền với sự xuất hiện của các đối tượng của đại số như biểu thức đại

số, phương trình, bất phương trình

Đại số phát triển qua mỗi giai đoạn là khác nhau, trước thế kỉ 20 là thời kì của đại

số cổ điển – nhiệm vụ gói gọn trong nghiên cứu các tính chất của hệ thống số và những phương pháp tổng quát giải bài toán bằng phương trình Sau thế kỉ 20 trở đi, đại

số được hiểu theo nghĩa rộng hơn (gọi là đại số hiện đại) bởi các chữ được dùng trong đại số có thể mang bản chất của một vectơ hoặc ma trận và nghiệm của phương trình cũng có thể là một vectơ hoặc một ma trận

Điểm chung của Số học và Đại số là sử dụng chung một bộ công cụ kí hiệu (dấu các phép toán, dấu bằng, dấu bất đẳng thức, chữ) để mã hóa tính toán, nhưng nghĩa của chúng thay đổi theo ngữ cảnh xuất hiện Ví dụ, trong số học chữ cái được sử dụng để

chỉ đơn vị đo lường hay các đối tượng, với cách viết 8m có thể hiểu là tám mét hoặc tám chiếc xe máy (trường hợp này chữ m đóng vai trò như một nhãn, nó không được xét đến trong tính toán) Trong đại số, chữ cái dùng để biểu thị các số, lúc này 8m được hiểu là tích của 8 và m

Bên cạnh đó, có thể phân biệt giữa Số học và Đại số dựa vào cách thức giải một bài toán và công cụ được sử dụng trong mỗi phân môn, cụ thể:

- Phương pháp Số học dựa trên trực giác kết hợp với diễn giải bằng lời và thực hiện các phép toán với những số cụ thể; phương pháp Đại số lập và giải phương trình biểu thị mối tương quan giữa các đại lượng

- Công cụ toán học sử dụng trong Đại số là các phương trình, ẩn, hàm số

Nói cách khác, có thể thấy rõ đặc trưng của Số học và Đại số trong bảng sau:

Cơ chế hoạt động của

phép toán, thuật toán

Các phép tính cơ bản trên tập số

Phép tính cơ bản, thuật toán, suy luận logic

Mục đích của hoạt

động toán học

Định lượng: tính toán trên các số có sẵn để đạt kết quả

Định tính: thao tác bằng các thuật toán trên đại lượng chưa biết để phát hiện các quan hệ ngầm ẩn hoặc giá trị của các đại lượng thỏa yêu cầu

1.2 Một vài kết quả nghiên cứu về bước chuyển từ Số học sang Đại số trong dạy học

Theo tạp chí nghiên cứu Toán học của Đại học công nghệ Queensland về chủ đề

“Sự phát triển tuần tự của kiến thức toán học – một phân tích nhận thức1” của các tác giả Hitendra Pillay, Lynn Wilss, và Gillian Boulton-Lewis, xuất bản năm 1998 thì việc vận hành các phép toán đại số là một quá trình phức tạp, phụ thuộc vào sự mở rộng từ kiến thức Số học đến những khái niệm phức tạp hơn của Đại số Qua đó, nghiên cứu cũng đã chỉ ra tồn tại một giai đoạn trung gian (Tiền đại số) giữa Số học và Đại số Đại số và Số học có gắn bó mật thiết Thật vậy, trong nhiều khía cạnh đại số được gọi là “tổng quát hóa của số học”, liên quan đến sự vận dụng của các phép toán số học trên các biến

1

Sequential Development of Algebra Knowledge: A Cognitive Analysis

“Thế nhưng, học trò trung học dường như không thể áp dụng các khái niệm, các

kỹ năng cơ sở của đại số và không thể hiểu được bản chất cấu trúc ngầm ẩn Điều

đó đặc biệt thấy rõ khi ta phân biệt giữa thành tích với việc hiểu đại số (được xem như kết quả của dạy học)” [37, tr 88]

Theo các tác giả, ở bước chuyển từ số học sang đại số, sự hiểu biết về đại số được thể hiện qua khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong số học để thực hiện các thao tác đại số, đặc biệt là làm việc với các ẩn và biến số

 Kiến thức Số học và Đại số

Kirean (1990) cho rằng kiến thức đại số bắt đầu hình thành khi HS học cách thao tác với ngôn ngữ ký hiệu, sau đó tiếp tục phát triển khi nghiên cứu các phép toán trong một phương trình Collis (1974) cũng đánh giá cao khả năng chấp nhận một kết thúc mở trong đó trọng tâm là nghiên cứu mối quan hệ giữa các yếu tố chứ không hẳn

là đưa ra một đáp số có được do tính toán (điều được đòi hỏi trong số học) Scandura (1971) cũng ủng hộ quan điểm này Theo tác giả, mối liên hệ giữa các yếu tố và phương diện biến đổi hình thức là điều quan trọng trong đại số Mà để biến đổi và xác định các mối quan hệ thì phải có những hiểu biết nhất định Chẳng hạn như phải hiểu rằng dấu bằng chỉ một quan hệ tương đương chứ không hẳn là một chỉ dẫn để tìm câu trả lời hay để thực hiện một phép toán Theo cách tiếp cận của tâm lý học, Linchevski (1995) cho rằng việc thực hiện các tính toán đại số đòi hỏi HS phải chuyển cách nhìn các phương trình theo một hướng duy nhất sang cách tiếp cận thông tin từ nhiều hướng khác nhau

Các kiến thức số học được xem như là nền tảng để thực hiện các phép tính trên các đối tượng của đại số Herscovics và Linchevski (1994) minh họa cho vai trò quan trọng của việc nắm vững kiến thức số học đối với đại số bằng cách phân tích các kiến thức cần thiết để giải phương trình 4     n 2 5 11 2 5 Họ khẳng định rằng HS cần có khả năng sử dụng tính giao hoán để có được (n  4) 2 5 và tính kết hợp để biểu diễn (4 2) 5  Trước đó, Booth (1988) cho rằng HS không nắm đầy đủ khái niệm tính giao hoán sẽ tin rằng phép chia giống phép cộng nên có tính giao hoán Do

đó, trong một nghiên cứu của mình, Linchevski và Herscovics (1994) đã chỉ ra rằng học sinh lớp 6 không kiểm soát thứ tự các phép toán, hiểu không chính xác về việc rút

gọn các hạng tử trong một phương trình nên chúng đã thực hiện liên tục các phép toán

từ trái sang phải, và không thể hiện vai trò của các dấu ngoặc Từ nghiên cứu của mình

mà Linchevski và Herscovics (1996) đã đưa ra một nhận định:

“Cần sự chuẩn bị kĩ càng về kiến thức số học trong trường trung học ở mức cao hơn có thể nhằm giúp học sinh vượt qua chướng ngại và phát triển các kỹ năng tiền đại số mới.”

[37, tr 89]

 Các biến và giá trị

Liên quan đến việc biểu diễn mối quan hệ giữa biến, giá trị và các phép toán trên biến thì Linchevski và Herscovics (1994) tiến hành khảo sát đối với các học sinh 14 tuổi Khi được yêu cầu cộng 4 với 3n, 64% cho ra kết quả không chính xác Kết quả này phần nào cho thấy việc sử dụng các chữ cái để biểu diễn các biến, các số tổng quát, các giá trị của hàm số là các yếu tố tạo nên bước chuyển từ số học sang đại số Tuy nhiên nó cũng thể hiện một khó khăn của HS Cụ thể là các chướng ngại liên quan đến việc sử dụng chữ cái trong những khái niệm khác nhau của Đại số Nó chứng tỏ một thiếu hụt trong việc nối khớp các kiến thức Qua đây có thể thấy được một số nhận định đưa ra trước đó là hoàn toàn có cơ sở; thật vậy:

“Sự chuyển từ số học sang đại số cũng đòi hỏi sự thay đổi về quan niệm của học sinh về các phép toán trên các con số, nghĩa là phát triển các phép tính toán trên các biến (Filloy và Rojano, 1989) Cortes, Vernaud và Kavafian (1990) xem phép chuyển này như sự thiết lập một bước nhảy nhận thức, yêu cầu một sự chuyển giao từ kiến thức số học sang đồng hóa với các khái niệm và cách thức tính toán, biến đổi mới” [37, tr 89]

 Kiến thức tiền đại số

Các nghiên cứu trên đã chỉ ra rằng, sự chuyển đổi từ Số học sang Đại số là phức tạp, điều này đã dẫn đến hệ quả là nhiều HS phát triển chưa hoàn thiện các kiến thức đại số Như đã đề cập trước, HS thật sự gặp khó khăn khi tính toán trên các phương trình đại số được lí giải từ hệ quả của một sự không nối khớp sư phạm Linchevski và Herscovics (1996) khẳng định rằng HS không thể tính toán tùy tiện trên biến và việc nhóm các hạng tử đại số là một khó khăn đối với chúng Họ cũng nhận xét rằng, HS xem các biểu thức đại số một cách trực quan như là một tiến trình tính toán (ví dụ

4 6 n10n) Điều này có nghĩa là HS sẽ cần một hiểu biết cơ bản các ký hiệu, phép toán, các luật số học (Boulton-Lewis, 1995) Đây là những yếu tố mà sau đó có thể

được tổng quát hóa thành các khái niệm đại số về biến, phương trình và sự tương đương Tác giả dùng sơ đồ dưới đây để mô tả các giai đoạn chuyển từ số học sang đại

số trong dạy học Toán

Hình 1 1 Mô hình sự phát triển liên tục của kiến thức đối với việc hiểu

các khái niệm đại số

[37, tr 91]

“Trong mô hình trên, đầu tiên HS phải có được các hiểu biết thuật toán bao gồm các luật tính như nghịch đảo, giao hoán, phân phối, để có thể thực hiện tính toán số học và có thể ứng dụng thuật toán nghịch đảo trong tiến trình giải phương trình Thêm nữa,  …  cấu trúc đại số yêu cầu HS cần hiểu rằng dấu “=” nghĩa là “sự bằng nhau” hoặc “biểu diễn mối quan

hệ bằng” Nhận thức được điều này sẽ tạo cơ sở cho sự hiểu các quan niệm đại số và số học phức tạp hơn Từ điều này, chúng tôi cho rằng các quan niệm tiền đại số phải được thiết lập Chúng bao gồm sự kết nối, ẩn và biến, dấu bằng được hiểu với nghĩa mỗi vế trong một phương trình là có cùng giá trị, sử dụng thủ thuật nghịch đảo để giải một phương trình tuyến tính một ẩn và thảo luận về các biểu thức Cuối cùng là các phương pháp giải phương trình đại số kết hợp chặt chẽ với phép toán trên ẩn, sử dụng các phép biến đổi tương đương

và nghĩa của dấu bằng như một mối quan hệ tương đương” [37, tr 91]

Tác giả kết luận: Để hiểu được các khái niệm đại số HS phải có một sự hiểu biết vững chắc về các luật số học và các phép toán được gắn với các quy tắc tiền đại số Sự hiểu biết của HS về luật giao hoán, luật phân phối và trật tự các phép toán cần được phát triển một cách tuần tự Thêm nữa, kiến thức tiền đại số về nghĩa của dấu “=” cần được dạy, đó là cả hai vế của phương trình là cùng một giá trị Khi làm như vậy, nhận thức về những sự bằng nhau cũng sẽ tiến triển một cách tuần tự, thuận lợi cho sự lĩnh hội về một quan hệ tương đương, điều này là cần thiết cho tính toán đại số

 Giải phương trình trong sự chuyển tiếp từ Số học sang Đại số

Liên quan đến các phép toán thực hiện trên chữ trong quá trình biến đổi để xác định nghiệm của phương trình, Filloy E., Rojano T (1989) đã chỉ ra tồn tại một “vết

cắt” trong công trình nghiên cứu Giải phương trình: Sự chuyển tiếp từ Số học sang

Đại số2, cụ thể: Nghiên cứu thực hiện ở HS từ 12 - 13 tuổi về “phép toán trên cái chưa biết” như một phần của nghiên cứu tổng quát “Sự tiếp nhận ngôn ngữ đại số” Ở đó, tính toán dựa trên cái chưa biết xuất hiện như một hành động cần thiết để giải một số phương trình bậc nhất với ít nhất hai lần xuất hiện của ẩn Thật vậy:

“Để giải những phương trình này, sẽ là không đủ nếu chỉ sử dụng các thủ thuật số nghịch đảo (số đối) trên các số Chẳng hạn, bước chuyển từ tính toán trong giải phương trình

27 58

x  hoặc 4(x 11)  52 đến các PT 38x 72  56 ;3x x 20  x 164 không xảy

ra ngay lập tức Cần thiết phải xây dựng một số yếu tố thuộc về cú pháp đại số dựa trên kiến thức số học đã biết trước đó, nói cách khác cú pháp này mô tả cho quy trình của thủ thuật nghịch đảo trên các biểu thức chữ Tuy nhiên, điều này ít nhiều cũng làm phá vỡ khái niệm số nhất định Sự gián đoạn này hiện diện cho một vết cắt” [43, tr 19]

Ghi nhận này kết hợp với những phân tích ở trên cho phép chúng tôi chỉ ra rằng,

“vết cắt” mà tác giả chỉ ra mang đặc trưng của bước chuyển từ tiền đại số sang đại số Xét khái niệm phương trình, theo số học thì vế trái của phương trình là một dãy các phép toán giữa các số (biết hoặc chưa biết), vế phải đại diện cho kết quả của những phép toán đó Nói cách khác, đây là khái niệm “số học” của đẳng thức Từ khái niệm

2

Filloy E., Rojano T (1989), Solving equations: the transition from Arithmetic to Algebra, 9, (2),

pp.19-26

này, một phương trình như Ax B C có thể được giải quyết đơn giản bằng cách thực hiện các phép toán ngược với các phép toán đã có trên các số Tác giả gọi dạng phương trình này là “số học” Tuy nhiên, khái niệm số học không áp dụng cho phương trình có dạng Ax B CxD, việc giải nó cần đến một phép toán ngoài số học, đó là phép toán giữa những cái chưa biết Việc làm cho người học có thể nắm bắt được phép toán này là rất cần thiết, thật vậy:

“Nghiên cứu cho thấy rằng, đối với phương trình dạng Ax B Cx  , lần đầu tiếp xúc, HS

đã sử dụng phương pháp thử - sai, không cố gắng tính toán các hạng tử chứa x Do đó, các

can thiệp thích hợp từ giáo viên tại thời điểm chuyển tiếp là rất quan trọng đối với học sinh khi chúng học đại số lần đầu tiên” [43, tr 19]

Mặt khác, dù một số khái niệm số học nhất thiết phải thay đổi để các khái niệm đại số mới xuất hiện, nhưng các kiến thức số học cũng phải được bảo tồn Chẳng hạn, trong ví dụ đơn giản mà ta đã trình bày, các phép toán số học cần thiết tiếp tục được công nhận và cần có thêm một phép toán đặt giữa số học và số đại số, nghĩa là một mức độ kiến thức tiền đại số

Trong giai đoạn chuyển tiếp, như chúng tôi đã trình bày ở trên, các quan niệm

của HS về các phép toán được thực hiện trên các số cần phải thay đổi để các khái niệm của các phép toán trên các đối tượng phức tạp hơn các con số (như các ẩn) có thể được

phát triển Tương ứng với những biến đổi của tri thức, giảng dạy đại số vào thời điểm này phải có sự hỗ trợ của các phương pháp sư phạm phù hợp

Như vậy, các quan niệm đại số có ý nghĩa quan trọng trong quá trình học tập của

HS, đặc biệt trong giai đoạn chuyển giao sang đại số Sự hiểu biết đúng sẽ giúp HS phân biệt được những điểm khác nhau khi tính toán trên chữ so với trên số Một đối tượng đặc trưng của đại số là phương trình, những biến đổi trên phương trình là một trong những hoạt động chứa đựng nhiều sai lầm của HS Như đã đề cập ở trên, việc học sinh quan niệm dấu “=” và áp đặt nó từ số học sang đại số đã dẫn đến các khó khăn trong việc tiếp nhận các đặc trưng của đại số Và theo sơ đồ hình 1.1, sự mở rộng nghĩa của dấu “=” tương ứng với 1 chu trình dạy học từ số học sang đại số với sự tham gia của bước đệm tiền đại số Ở cấp độ đại số, dấu “=” ám chỉ sự tương đương

Mục đích của luận văn là sử dụng khái niệm tương đương như một công cụ nhằm

giúp học sinh nhận ra một số quy tắc biến đổi chỉ đúng khi tác động lên các con số (số học, tiền đại số), và không còn phù hợp khi áp dụng cho các biểu thức chữ (đại số) Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày khái niệm phương trình tương đương ở cấp độ tri thức bác học, qua đó làm cơ sở tham chiếu trong việc nghiên cứu mối quan

hệ thể chế về đối tượng khái niệm phương trình tương đương trong chương trình và sách giáo khoa Toán bậc trung học cơ sở tại Việt Nam

1.3 Khái niệm phương trình tương đương

Tham khảo giáo trình đại số sơ cấp3

từ trang 99 đến 102 chúng tôi thấy rằng: Trong khoa học toán, người ta có thể xây dựng khái niệm phương trình một cách chặt chẽ Chẳng hạn có thể định nghĩa phương trình qua khái niệm hàm mệnh đề như sau:

Giả sử y f x( ) và yg x( ) là các hàm số mà miền xác định chung là M Ta gọi hàm mệnh đề “giá trị của f x( ) và g x( ) bằng nhau” là một phương trình và kí hiệu

là f x( ) g x( )” phần tử x0M được gọi là nghiệm của phương trình đó nếu mệnh đề

0 0

" ( )f x g x( )" là mệnh đề đúng

Từ đó, định nghĩa hai phương trình tương đương được phát biểu nhờ sử dụng ngôn ngữ tập hợp như sau: “Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm” Hay sự tương đương giữa hai phương trình là tương đương giữa hai mệnh đề chứa biến Định nghĩa này đã mang lại một số hệ quả khi xét hai phương trình tương đương, bao gồm:

Hai phương trình vô nghiệm coi là tương đương và tập nghiệm của chúng đều

1.4 Các định lý về phương trình tương đương

Định lý 1: Cho phương trình f x( )g x( ) Nếu h x( ) có nghĩa trong miền xác định của phương trình đã cho thì:

f x h x g x

f x g x h x

Hệ quả 2: Mọi phương trình đều có thể đưa về dạng mà vế phải bằng không

Vì thế, với mỗi phương trình đều có thể ký hiệu là F x( )0

Điều kiện ( )h x có nghĩa trong miền xác định của f x( )g x( ) là điều kiện đủ nhưng không phải là điều kiện cần Nói cách khác, nếu có điều kiện ấy thì các phương trình f x( )g x( ) và f x( )h x( )g x( )h x( ) tương đương, còn không có điều kiện ấy

thì chúng có thể tương đương hoặc không tương đương, chẳng hạn:

x không có nghĩa tại x1, nghiệm của phương trình

x 

Định lý 2: Cho phương trình f x( )g x( ) Nếu h x( ) có nghĩa và khác không trong miền xác định của phương trình đã cho thì:

1.5 Phương trình tương đương trong mối liên hệ với phép tương đương

Hai phương trình tương đương đồng nghĩa với sự tương đương giữa hai mệnh đề chứa biến Kí hiệu tương đương ra đời gắn liền với logic kí hiệu (Đại số Boole) trải

qua hai thời kì thay đổi hình thức, thật vậy:

“Đại số Boole hay logic kí hiệu ra đời đã đánh dấu một bước tiến cơ bản của logic học, với việc đưa ngôn ngữ kí hiệu vào logic đã mang lại ý nghĩa quyết định đối với sự phát triển của logic học

Đại số Boole cho phép làm sáng tỏ những tình huống logic phức tạp nơi có sự can thiệp

của vô số các mệnh đề Những hàm mệnh đề có thể trở nên cực kỳ phức tạp và việc thay thế chúng bởi một phép tính đại số để đơn giản hóa đã đem lại một thuận lợi to lớn

Sau đó, Frege (1848 - 1925) với sự xuất hiện của các biến số trong logic mệnh đề và việc

sử dụng các dấu lượng, Frege đã thực hiện các phép toán trên các mệnh đề chứa biến Những khái niệm và các kí hiệu này được hoàn thiện bởi Peano từ năm 1888 đến 1908 Peano đưa ra các kí hiệu  ,  ,  ,  ,  , Sau đó, Boubaki đề nghị đổi các kí hiệu

trong đại số được xây dựng dựa trên phép tương đương Từ đó thể hiện chức năng là giá trị công cụ của phép tương đương Bên cạnh đó, chuỗi các phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình lại thể hiện giá trị biểu đạt của phép tương đương

[24, tr 13]

Kết luận: Như vậy sự tương đương giữa hai phương trình gắn liền với những phép biến đổi tương đương nhằm bảo toàn tập nghiệm của phương trình ban đầu Tuy nhiên những biến đổi trên phương trình lại chịu sự tác động của các quy tắc tính toán trên các đẳng thức số Điều này dễ dẫn đến sự đồng nhất các quy tắc tính toán trong số học với các quy tắc tính toán trong đại số Trong một số trường hợp nếu không quan tâm đến các điều kiện tồn tại của các biểu thức (hay các phép biến đổi) có thể là một trong những nguyên nhân dẫn đến sai lầm khi giải phương trình

Chương 2 MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ

VỀ BƯỚC CHUYỂN TỪ SỐ HỌC SANG ĐẠI SỐ:

TRƯỜNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Dựa vào khái niệm phương trình tương đương, các sai lầm liên quan đến biến đổi tương đương trên phương trình chịu sự tác động của nhận thức ban đầu về các quan niệm đại số đã chỉ ra ở chương 1 Chúng tôi nhận thấy rằng có thể dùng tri thức PTTĐ như là một trong những công cụ giúp cho HS phát hiện những sai lầm trong kỹ thuật biến đổi trên biểu thức đại số cũng như trong lời giải phương trình Vậy SGK đã tận dụng yếu tố này như thế nào? Những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến PTTĐ được đề cập trong SGK Toán 8 Việt Nam? Tồn tại những sai lầm nào của HS khi áp dụng các quy tắc tính toán trong số học vào đại số? Điều này đồng nghĩa với việc cần chỉ ra bước chuyển từ số học trong đại số diễn ra như thế nào trong dạy và học ở THCS? Những quy tắc biến đổi trên biểu thức số, biểu thức chữ xuất hiện ở đâu? Có những quy tắc nào mà việc vận dụng chúng vào trong các tính toán trong đại số dễ gây ra sai lầm? Nó tiếp tục được vận dụng trong giải phương trình ra sao? Những trường hợp nào

có thể sử dụng phương trình tương đương như một công cụ giúp HS vượt qua sai lầm

3.1 Các phép toán trên biểu thức và quy tắc biến đổi trên đẳng thức ở lớp 6

“Từ chương I - phần đại số 7 trở về trước, mạch các yếu tố đại số được tích hợp trong mạch số học Chúng được sắp xếp xen kẽ và có mối liên hệ chặt chẽ với các kiến thức số học Chúng luôn phải dựa vào các kiến thức số học để tìm nghĩa cho mình, nhưng ngược

lại, chúng là công cụ để khái quát hóa các kiến thức số học

Ở giai đoạn này, các khái niệm đại số đã nhen nhóm xuất hiện, chẳng hạn như đại lượng không đổi, đại lượng biến thiên,… Các kí hiệu phép toán, dấu đẳng thức, bất đẳng thức đã hình thành gần như đầy đủ, nhưng chúng chỉ xuất hiện ở phương diện lập thành “cách viết đúng” Sự xuất hiện của kí hiệu chữ góp phần thể hiện vai trò công cụ của đại số một cách ngầm ẩn, là khái quát các tính chất của số học” [28, tr 46]

Do đó, các phép toán thực hiện trên những con số cụ thể, hoặc trên một biểu thức

số, tính toán trên chữ chưa xuất hiện, kết quả của các phép tính là số cụ thể Nói cách khác, quy tắc tính toán dựa vào các thủ thuật số học Việc tuân theo các quy tắc tính toán trong biểu thức số luôn tạo ra kết quả đúng (các thành phần trong phép toán bảo đảm cho việc tính toán có nghĩa) Chẳng hạn, số chia luôn khác không, số bị trừ luôn lớn hơn hoặc bằng với số trừ trên tập ,…Trong khi đó, chữ xuất hiện trong các biểu thức và đẳng thức trong giai đoạn này đại diện cho một số chưa biết, không có ý nghĩa thay thế cho một biểu thức đại số Chính vì thế các quy tắc được áp dụng trong việc tìm các thành phần chưa biết mang đặc trưng cho những quy tắc tính toán trong Số học

Phân tích SGK ĐS 8 tập 2, chúng tôi thấy rằng một số quy tắc biến đổi trên phương trình (chuyển vế, nhân chia hai vế của phương trình với một số khác 0) có mối liên hệ mật thiết với các quy tắc tương ứng trong đẳng thức số, cụ thể:

Tính chất “nếu a b thì a  c b c và nếu a  c b c thì ab” đóng vai trò công nghệ giải thích quy tắc chuyển vế, đồng thời là công cụ trong tìm lời giải của dạng toán “tìm x” Quy tắc chia hai vế của đẳng thức cho cùng một số khác không được thể hiện dưới dạng “tìm thành phần chưa biết của một tích”, không phát biểu tường minh

Quy tắc chuyển vế trên đẳng thức lần đầu tiên được tiếp cận, biến đổi giữa các đẳng thức tương ứng với biến đổi tương đương trên phương trình sau này

Trong một đẳng thức, chữ cái được sử dụng phần lớn để đại diện cho một số trong tập hợp số nguyên Tuy nhiên bắt đầu xuất hiện trường hợp một chữ đại diện cho hai giá trị

+ Quy tắc biến đổi trên đẳng thức chứa lũy thừa bắt đầu hình thành Với

a0,a 1, nếu am n

a

 thì m n  Phương trình thể hiện ngầm ẩn nên không có khái niệm tập nghiệm, phương trình tương đương

Như vậy, căn cứ vào mô hình sự phát triển liên tục của kiến thức đối với việc hiểu các khái niệm đại số ở trên cho thấy kiến thức trong chương trình Toán 6 là sự đan xen giữa các kiến thức trong hai giai đoạn Số học và Tiền Đại số

3.2 Các phép toán trên biểu thức và quy tắc biến đổi trên đẳng thức ở lớp 7 3.2.1 Các phép toán trên biểu thức

Các phép toán được mở rộng trên tập hữu tỉ, số thực với quy tắc tính toán được

kế thừa trên tập số nguyên

Đối với hai số hữu tỉ bất kì, quy tắc cộng-trừ-nhân-chia được thực hiện tương tự như trên phân số Còn đối với số thập phân cũng được viết dưới dạng phân số thập phân rồi làm theo các quy tắc các phép tính đã biết về phân số

Khi chia số thập phân x cho số thập phân y (y0), ta áp dụng quy tắc thương

hai số thập phân x và y là thương của x và y với dấu “ ” đằng trước nếu x và y

cùng dấu và dấu “-” đằng trước nếu x và y khác dấu

Khái niệm biểu thức đại số lần đầu tiên được giới thiệu tường minh ở chương 4 Với yêu cầu đặt ra bao gồm:

“HS nhận biết được biểu thức đại số (BTĐS) (trong BTĐS, coi chữ là “đại diện” cho số), biết cách tính giá trị của BTĐS Nhận biết được đơn thức, đơn thức đồng dạng, biết thu gọn đơn thức, đa thức; biết cộng, trừ đa thức, đặc biệt là đa thức một biến Không nêu định nghĩa hai BTĐS bằng nhau mà chỉ nêu các quy tắc tính toán quen thuộc để đưa biểu thức này về biểu thức kia” [10, tr 5]

Như vậy, BTĐS chính thức được định nghĩa và có tên gọi Sự bằng nhau giữa hai biểu thức đại số hoàn toàn không được đề cập Trong khi đó, các quy tắc tính toán quen thuộc để biến đổi biểu thức này về biểu thức kia lại được chỉ rõ Bắt đầu từ chương IV, chữ là “đại diện” cho số chính thức được xét đến trong tính toán, lần đầu tiên các phép toán thực hiện trên chữ vẫn thực hiện như trên các số Các quy tắc tính toán vẫn được giữ nguyên nhưng tính toán trên chữ trong một số trường hợp cần phải

có điều kiện đi kèm để bảo đảm hai biểu thức bằng nhau với mọi giá trị của biến thuộc điều điện xác định của biểu thức

Ngoài ra, các vấn đề về đơn thức, đa thức, đặc biệt là đa thức một biến cũng được

đề cập với các nội dung: khái niệm bậc, hệ số (hệ số cao nhất, hệ số tự do), nghiệm và giá trị của đa thức một biến, phép cộng, trừ các đa thức Tuy nhiên, HS chưa phải tìm nghiệm, SGK chỉ yêu cầu HS biết kiểm tra một số có phải là nghiệm của đa thức hay không [28, tr 24]

Mặc dù, tính toán trên chữ được thực hiện như trên số, nhưng vẫn tồn tại một số sai lầm mà người dạy học cần quan tâm Đặc biệt khi cộng, trừ đa thức:

“Học sinh thường dễ sai lầm (nhầm dấu) khi thực hiện phép trừ đa thức, giáo viên cần chú ý rèn kĩ năng thực hiện phép cộng, trừ các đa thức” [15, tr 49]

Bảng 2.1 dưới đây trình bày một số phép toán trên biểu thức đại số được đưa vào trong SGK 7 tập 2, tr.34-46

Bảng 2 1 Thống kê các quy tắc thực hiện phép toán trên BTĐS và yếu tố công nghệ tương ứng trong SGK 7

Ví dụ:

2 7 4 6

2 4 7 6 6 13

(3 16 ).(3 16 )(3 3 ).(16 16 ) 3 16

21

21

Thông qua bảng thống kê trên ta thấy các quy tắc của phép toán trên các đa thức

về cơ bản được hình thành do kế thừa từ những tính chất của một số phép toán trên các

số Tuy nhiên, quy tắc, thứ tự thực hiện các phép tính trên biểu thức số và chữ đã có sự khác biệt Khi mà tính toán trên các BTĐS dựa vào các đơn thức đồng dạng, còn đối với biểu thức số lại ưu tiên thực hiện lần lượt theo thứ tự đã quy ước5

Như vậy, đã thấy rõ có sự ngắt quãng trong tính toán khi chuyển từ Số học sang Đại số Sự phân tích này như một minh chứng cho nhận định ở trên của Linchevski và Herscovics

(1996) rằng “học sinh không thể tính toán tùy tiện trên biến và gặp khó khăn trong

việc nhóm các hạng tử đại số” Hơn nữa đây cũng là một trong những nguyên nhân

giải thích cho các sai phạm khi thực hiện các phép toán trên chữ Không chỉ dừng lại ở

đó, việc rút gọn trên các biểu thức chữ không bị ràng buộc bởi điều kiện của biến Tuy nhiên đây là thời điểm lần đầu tiên các tính toán trên chữ được vận hành với những kỹ

thuật và công nghệ tường minh Do vậy, với nhận định về sai lầm của HS mà SGV đề cập ở trên là khó tránh khỏi

3.2.2 Quy tắc biến đổi trên đẳng thức

Quy tắc chia hai vế của đẳng thức cho một số khác 0 chưa được phát biểu tường minh mà thông qua việc tìm thừa số chưa biết của một tích Trong khi đó, quy tắc chuyển vế tiếp tục được mở rộng lên tập và sử dụng làm công cụ chính khi biến đổi trên đẳng thức, cụ thể:

“Khi chuyển vế một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó

Với mọi , ,x y z :x    y z x z y” [13, tr 9]

Các quy tắc ra đời nhằm phục cho việc tính toán trên các đẳng thức nhanh, gọn

Từ đó giúp củng cố tính chất các phép toán trên tập hợp Thật vậy,

“…Điểm mới ở đây là giới thiệu thêm quy tắc “chuyển vế” Quy tắc này rất thuận tiện cho HS khi sử dụng để tính toán Đối với HS đại trà, GV chỉ cần cho HS công nhận để áp dụng Đối với HS khá, giỏi có thể yêu cầu HS tập suy luận để được quy tắc “chuyển vế”….” [12, tr 18]

Điều này có nghĩa là, SGK không chú trọng vào công nghệ giải thích cho quy tắc

chuyển vế, mà quan tâm đến việc vận dụng quy tắc này sao cho tránh sai lầm “chuyển

vế không kèm theo đổi dấu hạng tử”

Sự khác biệt so với chương trình lớp 6 về số lượng chữ trong bài toán tìm x Giá trị x không xuất hiện một lần duy nhất trong phép toán như trước mà xuất hiện ở nhiều

vị trí khác nhau, do đó nó không còn là một thành phần chưa biết của phép toán (số hạng chưa biết, số bị trừ chưa biết, số chia chưa biết…) Vì vậy kỹ thuật giải quyết cũng thay đổi [30, tr 40 - 41]

Ví dụ: “Tìm x, biết:

)3, 2 ( 1, 2) 2,7 4,9 ) ( 5,6) 2,9 3,86 9,8"

x x

x x x x

Kỹ thuật giải quyết dạng toán này dựa vào biến đổi đồng nhất mỗi vế

3, 2.x ( 1, 2).x2.x (câu a) và ( 5,6). x2,9.x 3.x (câu b) kết hợp với quy tắc chuyển vế Tuy nhiên, khái niệm đơn thức và quy tắc cộng, trừ đơn thức đồng dạng không được sử dụng để giải thích cho phép rút gọn ở trên mà thay vào đó sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng trên tập hợp (hay

So với chương trình lớp 6, bài tập liên quan đến lũy thừa có bổ sung dạng toán thành phần chưa biết có vai trò là cơ số của một lũy thừa (chỉ trong SBT, phần bổ sung) Trong khi đó, SGK vẫn tiếp tục với dạng bài tập như chương trình Toán 6 nhưng mở rộng trên tập số hữu tỉ, cụ thể:

chất thì đây chính là những bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ “giải phương trình n

x a hoặc đưa được về dạng đó” Trong các bài toán trên, bằng cách dựa vào quy tắc tìm số

bị chia khi biết thương người ta chuyển phương trình đã cho về dạng n

x a Vì khái niệm căn thức chưa đưa vào chương trình nên kỹ thuật giải lúc này là biến đổi phương trình x n a về dạng x n b n (nếu n lẻ) hay n  n

x  b (nếu n chẵn) rồi từ đó tìm được

x Tương tự như vậy với một số bài tập sau:

số là một biểu thức nhưng một vế của đẳng thức luôn là một số

Một số trường hợp khác, khi biến đổi để đưa về một trong hai dạng trên trở nên khó khăn (đôi khi là không thể), các bước tìm lời giải bao gồm: Chuyển hết về cùng một vế  phân tích thành nhân tử ( ( ) ( ) 0A x B x  ) Trong đó, cơ sở để phân tích thành nhân tử dựa vào tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng hoặc trừ các số hữu tỉ Chẳng hạn,

kỹ thuật đưa về tích các biểu thức bằng 0 Vậy câu hỏi đặt ra trong trường hợp số mũ

là chẵn, hai cơ số là một biểu thức chứa chữ, HS sẽ ứng xử ra sao? Khả năng HS đồng nhất hai vế một cách hình thức và làm mất đi giá trị của x

Điều đáng lưu ý rằng, trong chương trình toán 7, phương trình chưa có tên gọi

tường minh Tuy nhiên, nó tồn tại một cách gián tiếp dưới dạng tìm x thoả mãn một đẳng thức, và việc tìm x được thực hiện nhờ các quy tắc biến đổi trên đẳng thức, các

quy tắc biến đổi trên đẳng thức không ảnh hưởng đến sự bằng nhau của hai biểu thức đại số Nói cách khác biến đổi trên đẳng thức mà tuân theo quy tắc chuyển vế các hạng

tử, rút gọn các BTĐS luôn bảo toàn sự bằng nhau giữa hai vế của đẳng thức Do đó, những sai lầm trong biến đổi trên biểu thức chữ, đẳng thức có nguyên nhân chủ yếu từ

kĩ năng tính toán và khó khăn khi coi chữ như số, phương trình tương đương không phải là công cụ để giúp HS thấy được những sai lầm của mình

3.3 Các phép toán liên quan đến đa thức và phân thức đại số trong SGK Đại

số 8

Đại số 8 gồm 4 chương:

Chương I: Phép nhân và phép chia các đa thức

Chương II: Phân thức đại số

Chương III: Phương trình bậc nhất một ẩn

Chương IV: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

3.3.1 Phép nhân và phép chia đa thức

Yêu cầu đặt ra với nội dung này gồm có :

“HS cần nắm vững và thực hành tốt các quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức…chia đơn thức cho đơn thức, chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã sắp xếp” [18, tr 4]

“Về phép chia đa thức: Chủ yếu là phép chia hết của các đa thức có cùng một biến”

[18, tr 9]

Phép nhân đơn thức với đa thức được thực hiện tương tự quy tắc bên số học

“nhân một số với một tổng” Phép nhân đa thức với đa thức xây dựng dựa trên quy tắc nhân đơn thức với đa thức Thật vậy,

“Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau”

“Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau” [16, tr 4 - 7]

Vì các đơn thức, đa thức và các biểu thức xác định với mọi giá trị của biến trong tập R nên đa thức chỉ kết quả của các phép tính cũng xác định với mọi giá trị của biến

Do đó, phép thu gọn trong các đẳng thức của dạng toán “tìm x” là phép biến đổi đồng nhất Phân tích hệ thống bài tập tương ứng, chúng tôi thấy quan điểm “rèn luyện các quy tắc tính toán” được thể hiện rõ ràng Chẳng hạn: Làm tính nhân, thực hiện phép nhân, rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức,… Thậm chí, đối với những bài toán “tìm x”, mục đích chính vẫn là thao tác trên các quy tắc được nêu trên Ví dụ:

“Tìm x, biết:

) 3 (12 4) 9 (4 3) 30 ) (5 2 ) 2 ( 1) 15

“Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau:

- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B

- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B

- Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau” [16, tr 26]

“Ta viết được 2 2 2 1 3

Nhận xét:

- Điều kiện để thực hiện phép chia đa thức chỉ được đề cập một cách hình thức khi giới thiệu về phép chia Tuy nhiên, trong thực hành tính toán hoàn toàn bỏ qua điều kiện của biến để phép chia có nghĩa Nói cách khác không thấy sự cần thiết của việc đặt điều kiện cho biến

- Các phép biến đổi trên đẳng thức là phép đồng nhất, không làm thay đổi điều kiện của biến

- Liên quan đến tính toán trên các biểu thức đại số, phân tích hệ thống bài tập trong chương trình kết hợp với những nhận định đã được tác giả Trịnh Duy Trọng

(2009, tr.11 - 14) chỉ ra trong nghiên cứu về đề tài Cuộc sống ngầm ẩn của tính toán

đại số trong dạy học hàm số ở trung học phổ thông Chúng tôi thấy rằng phần lớn bài

toán tập trung vào rèn luyện kĩ năng tính toán đại số hình thức, còn việc nắm vững quy tắc, thực hiện thành thạo các phép tính, nắm các phương pháp biến đổi để làm gì thì không được nói rõ Chính điều này có thể là một trong những nguyên nhân lí giải cho những biến đổi hình thức trên những đẳng thức hoặc phương trình mà HS được tiếp cận sau này

3.3.2 Phân thức đại số trong SGK 8

Trích từ nghiên cứu của tác giả Hoàng Thị Hồng Hà (2016, tr.25-38) chúng tôi

có được:

 Về khái niệm phân thức đại số (PTĐS)

Theo SGV ĐS 8 Tập 1, có hai cách tiếp cận PTĐS

“…xét trên quan điểm đại số (nhìn nhận phân thức như một đối tượng của đại số mà học