Dạy học các phép toán phân số ở Tiểu học theo quan điểm tích hợp (Luận văn thạc sĩ)

Dạy học các phép toán phân số ở Tiểu học theo quan điểm tích hợp (Luận văn thạc sĩ)Dạy học các phép toán phân số ở Tiểu học theo quan điểm tích hợp (Luận văn thạc sĩ)Dạy học các phép toán phân số ở Tiểu học theo quan điểm tích hợp (Luận văn thạc sĩ)Dạy học các phép toán phân số ở Tiểu học theo quan điểm tích hợp (Luận văn thạc sĩ)Dạy học các phép toán phân số ở Tiểu học theo quan điểm tích hợp (Luận văn thạc sĩ)Dạy học các phép toán phân số ở Tiểu học theo quan điểm tích hợp (Luận văn thạc sĩ)Dạy học các phép toán phân số ở Tiểu học theo quan điểm tích hợp (Luận văn thạc sĩ)Dạy học các phép toán phân số ở Tiểu học theo quan điểm tích hợp (Luận văn thạc sĩ)Dạy học các phép toán phân số ở Tiểu học theo quan điểm tích hợp (Luận văn thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Lâm Hồng Thắm

DẠY HỌC CÁC PHÉP TOÁN PHÂN SỐ

Ở TIỂU HỌC THEO QUAN ĐIỂM TÍCH HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Lâm Hồng Thắm

DẠY HỌC CÁC PHÉP TOÁN PHÂN SỐ

Ở TIỂU HỌC THEO QUAN ĐIỀM TÍCH HỢP

Chuyên ngành: Giáo dục học (Tiểu học)

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được xuất phát từ yêu cầu trong công việc để hình thành hướng nghiên cứu

Các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực, có nguồn gốc

rõ ràng, được thu thập trong quá trình nghiên cứu và không trùng lặp với các đề tài khác

Người viết

Nguyễn Lâm Hồng Thắm

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Thị Hoài Châu – Giảng viên Khoa Toán – Tin, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Em xin gửi lòng biết ơn sâu sắc tới Cô vì những hướng dẫn và nhận xét quý báu của Cô trong suốt quá trình em làm luận văn

Em xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong Khoa đã cho nhiều ý kiến đóng góp quý báu để luận văn được hoàn thiện hơn

Em cũng xin cảm ơn các Thầy Cô, Cán bộ thuộc phòng Sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Cuối cùng, xin bày tỏ lòng cảm ơn đến những người thân, bạn bè và đặc biệt là Ban Giám hiệu trường Tiểu học Tân Thạch A đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho quá trình khảo sát, dạy thử nghiệm của đề tài được thuận lợi, thành công

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 6

1.1 Về quan điểm tích hợp trong giáo dục 6

1.1.1 Khái niệm tích hợp trong dạy học 6

1.1.2 Lợi ích của dạy học tích hợp 6

1.1.3 Các phương thức tích hợp trong dạy học toán 7

1.1.4 Biểu diễn trực quan trong dạy học toán 10

1.2 Kết luận chương 1 11

Chương 2 NGHĨA CỦA KHÁI NIỆM VÀ CÁC PHÉP TOÁN PHÂN SỐ CÁC MÔ HÌNH BIỂU DIỄN PHÂN SỐ 13

2.1 Các cách tiếp cận phân số và nghĩa tương ứng của nó 13

2.1.1 Cách tiếp cận dựa trên số phần của tổng thể 13

2.1.2 Cách tiếp cận độ đo 13

2.1.3 Cách tiếp cận dựa trên phép chia 14

2.1.4 Cách tiếp cận dựa trên tỉ số 14

2.1.5 Cách tiếp cận dựa trên tia số 15

2.2 Một số mô hình trực quan có thể dùng để biểu diễn phân số 15

2.2.1 Mô hình diện tích 15

2.2.2 Mô hình độ dài 16

2.2.3 Mô hình tập hợp 16

2.3 Nghĩa của các phép toán phân số và những biểu diễn có thể kết hợp với chúng 17

2.3.1 Nghĩa của phép cộng và phép trừ phân số 17

2.3.2 Nghĩa của phép nhân phân số 18

2.3.3 Nghĩa của phép chia phân số 19

2.4 Kết luận chương 2 20

Chương 3 PHÂN SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN PHÂN SỐ TRONG SÁCH

GIÁO KHOA TOÁN 4 HIỆN HÀNH: MỘT NGHIÊN CỨU

3.1 Chủ đề phân số trong chương trình toán tiểu học 22

3.2 Phân số trong sách giáo khoa Toán 4 24

3.2.1 Khái niệm phân số trong sách giáo khoa Toán 4 24

3.2.2 Các phép toán phân số trong SGK4 26

3.2.3 Sơ bộ kết luận 33

3.3 Chủ đề phân số trong SGK Singapore 34

3.3.1 Về khái niệm phân số 34

3.3.2 Về các phép tính trên phân số 35

3.3.2 Về hệ thống bài tập 41

3.4 Kết luận chương 3 44

Chương 4 THIẾT KẾ MỘT SỐ TÌNH HUỐNG DẠY HỌC CÁC PHÉP TOÁN PHÂN SỐ THEO QUAN ĐIỂM TÍCH HỢP 46

4.1 Tình huống dạy phép cộng phân số 46

4.2 Tình huống dạy phép trừ phân số 49

4.3 Tình huống dạy phép nhân phân số 52

4.4 Tình huống dạy phép chia phân số 54

4.5 Mối liên hệ giữa các phép toán 58

Chương 5 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 61

5.1 Thực nghiệm thứ nhất 61

5.1.1 Mục đích thực nghiệm 61

5.1.2 Đối tượng và bối cảnh thực nghiệm 61

5.1.3 Các bài toán thực nghiệm 61

5.1.4 Kịch bản và diễn biến thực nghiệm 62

5.2 Thực nghiệm thứ hai 75

5.2.1 Mục đích thực nghiệm 75

5.2.2 Các bài toán thực nghiệm 76

5.2.3 Phân tích sơ bộ các bài toán 76

5.2.4 Lời giải mong đợi 77

5.2.5 Phân tích kết quả thu được 80

KẾT LUẬN 86

TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Những năm gần đây người ta nói nhiều đến việc đổi mới mục tiêu giáo dục, chuyển từ “cung cấp kiến thức, rèn luyện kỹ năng” sang “phát triển năng lực”, nhằm tạo cho học sinh khả năng vận dụng kiến thức thu nhận được trong nhà trường vào giải quyết những vấn đề quen thuộc của cuộc sống, và sau này có thể thích ứng với những biến đổi không ngừng của thực tiễn

Tiểu học là bậc học bắt buộc, cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản mà mọi công dân đều cần biết để có thể hoạt động trong xã hội Đây cũng là bậc học có vai trò quan trọng trong việc bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất, năng lực cho học sinh Cùng với môn Tiếng Việt, môn Toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong chương trình Tiểu học Các kiến thức, kĩ năng của môn Toán ở Tiểu học có nhiều ứng dụng trong đời sống, rất cần thiết cho người lao động, cho việc học các môn học khác Nhờ học Toán, học sinh có phương pháp nhận thức một số mặt của thế giới xung quanh và biết cách hoạt động có hiệu quả trong đời sống

Phân số là một trong những kiến thức phổ thông, nền tảng, không thể thiếu đối với mọi người Việc dạy học chủ đề “phân số” được phân thành nhiều giai đoạn và chiếm một tỷ trọng không nhỏ trong chương trình tiểu học

Là giáo viên, từ thực tiễn giảng dạy chúng tôi nhận thấy hầu như học sinh chỉ có những kiến thức hình thức về phân số, không hiểu bản chất khái niệm, bản chất phép toán, nên phạm nhiều sai lầm Chẳng hạn, trong phép cộng phân số, nhiều sai lầm của

học sinh có thể giải thích là do các em thực hiện “qui tắc”:

d b

c a d

c b

áp dụng tương tự cho phép trừ trong trường hợp a>c, b>d Đối với phép nhân hai phân

số, học sinh vẫn quy đồng mẫu số rồi mới nhân hai tử số và nhân hai mẫu số với nhau Như vậy là các em lại nhớ đến quy tắc quy đồng mẫu số khi cộng (trừ) hai phân số Ngoài ra, học sinh còn phạm sai lầm khi áp dụng qui tắc nhân hai phân số vào phép

chia hai phân số:

d b

c a d

c b

a

:::  (chia tử cho tử, mẫu cho mẫu)

Thực trạng trên cùng với nhu cầu, xu hướng đổi mới nội dung và phương pháp dạy học khiến chúng tôi luôn trăn trở với câu hỏi: cần tổ chức dạy học như thế nào để chủ đề phân số trở nên hấp dẫn, dễ hiểu, tạo hứng thú học tập và hình thành cho học sinh năng lực giải quyết các vấn đề của thực tiễn?

Đặt câu hỏi này trong xu hướng xem dạy học tích hợp là một giải pháp được chú

trọng khi nói đến việc xây dựng chương trình, viết sách giáo khoa và tìm những cách thức dạy học hướng đến mục tiêu đổi mới (chuyển từ “cung cấp kiến thức, rèn luyện

kỹ năng” sang “phát triển năng lực”), chúng tôi chọn hướng nghiên cứu liên quan đến vấn đề tích hợp trong dạy học phân số ở bậc tiểu học Với nghiên cứu này, chúng tôi mong muốn góp một phần công sức của mình vào việc nâng cao hiệu quả dạy học theo hướng đổi mới của mục tiêu giáo dục

Ở Việt Nam đã có một số nghiên cứu về nội dung dạy học phân số ở tiểu học

Trần Ngọc Lan (2000) với đề tài luận án “Nội dung và phương pháp dạy học

phân số ở tiểu học theo yêu cầu phổ cập và tương đối hoàn chỉnh” đã xây dựng được

phương án dạy học phân số ở trường tiểu học Việt Nam có tính phổ cập, tính hoàn chỉnh, tính khả thi, tính hiệu quả và phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh Tác giả hoàn thiện và cụ thể hóa nội dung và phương pháp dạy học phân số trong

dự thảo chương trình quốc gia về môn toán ở tiểu học cho năm 2000 Ở đây, tác giả chỉ tập trung nghiên cứu nội dung phương án đổi mới dạy học phân số ở trường tiểu học Việt Nam

Phạm Ngọc Bảo (2002) với đề tài “Đào tạo giáo viên tiểu học về bước chuyển từ

phân số như là “Những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị” đến phân số như là

“thương” ở lớp 3 và lớp 4” Tác giả đã phân tích chương trình đào tạo giáo viên tiểu

học ở trường Cao đẳng Sư phạm đào tạo giáo viên tiểu học, phân tích các giáo trình về phân số của để làm rõ những đặc trưng cơ bản của chiến lược đào tạo giáo viên và mối quan hệ thể chế với đối tượng phân số

Dương Hữu Tòng (2014) với đề tài luận án “Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt động giải các bài toán” đã làm rõ những đặc trưng khoa học luận của khái niệm phân số và trình bày việc tổ chức dạy học thông qua hoạt động giải toán

Qua nghiên cứu sơ bộ một số tài liệu liên quan, chúng tôi nhận thấy khái niệm phân số đã được đề cập trong luận án tiến sỹ của tác giả Dương Hữu Tòng Vì thế, chúng tôi giới hạn đề tài ở việc nghiên cứu các phép toán trên phân số Như vậy,

chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là “Dạy học các phép toán phân số ở Tiểu học theo

quan điểm tích hợp”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu và vận dụng quan điểm dạy học tích hợp để thiết kế một số tình huống dạy học các phép toán phân số ở bậc tiểu học nhằm giúp học sinh nắm vững kiến thức, hứng thú và say mê học toán, có năng lực vận dụng kiến thức học được vào giải quyết những vấn đề đơn giản của thực tiễn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt đươc mục đích đề ra, chúng tôi xác định cần triển khai năm nhiệm vụ cơ bản dưới đây

3.1 Nghiên cứu cơ sở lý luận của đề tài

Tìm hiểu những vấn đề lí thuyết có liên quan đến dạy học tích hợp: tích hợp là gì? vì sao phải dạy học tích hợp? các phương thức tích hợp? Dạy học toán có thể tiếp

cận theo quan điểm tích hợp bằng cách nào?

3.2 Tìm hiểu nghĩa của các phép toán phân số

Câu hỏi mà chúng tôi đặt ra ở đây là: đâu là nghĩa của mỗi phép toán phân số? kiểu tình huống nào cho phép mang lại những nghĩa đó?

3.3 Phân tích cách giới thiệu phép toán phân số trong chương trình và sách giáo khoa Toán 4

Cách phép toán phân số được đưa vào chương trình môn toán lớp 4, nên nghiên cứu của chúng tôi sẽ tập trung vào việc phân tích sách giáo khoa ở lớp này Phân tích này nhằm trả lời hai câu hỏi: chương trình và sách giáo khoa (SGK) Toán 4 đã:

- Hình thành nghĩa của các phép toán phân số như thế nào?

- Thể hiện quan điểm tích hợp ra sao trong việc trình bày các phép toán phân số?

3.4 Thiết kế các tình huống dạy học các phép toán phân số theo quan điểm tích hợp

3.5 Thực nghiệm sư phạm

Triển khai các tình huống đã thiết kế để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của chúng

4 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu

Dạy học phân số theo quan điểm tích hợp ở tiểu học

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Các phương pháp nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu cơ sở lí luận về quan điểm dạy học tích hợp

Tổng quan các tài liệu về các vấn đề có liên quan đến đề tài, đặc biệt là những công trình nghiên cứu đặc trưng của tri thức cần dạy, ở đây là phân số

Sử dụng phối hợp các phương pháp: phân tích, tổng hợp, phân loại, hệ thống hóa, khái quát hóa các tài liệu có liên quan để xây dựng cơ sở lý thuyết và nội dung của đề tài

6.2 Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Phân tích SGK, sách giáo viên (SGV) toán 4 để hiểu được một phần thực trạng dạy học phân số ở tiểu học

- Thực nghiệm sư phạm

- Thống kê kết quả xử lý số liệu

7 Dự kiến những đóng góp mới của đề tài nghiên cứu

Đề xuất được một số tình huống dạy học phép toán phân số theo quan điểm tích hợp, góp phần năng cao chất lượng giảng dạy môn toán ở trường Tiểu học

8 Dự kiến cấu trúc của luận văn

Với mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu đã xác định, chúng tôi dự kiến sẽ trình bày kết quả nghiên cứu trong 5 chương, mỗi chương trình bày kết quả nghiên cứu lên quan đến một trong năm nhiệm vụ đã nêu trên Cụ thể:

Trong chương 1 chúng tôi sẽ làm rõ một số khái niệm tích hợp, các phương thức tích hợp trong dạy học toán Như sẽ chỉ ra ở phần sau chúng tôi sẽ tập trung vào hình thức tích hợp trong nội bộ môn toán cụ thể là khai thác các biểu diễn hình học vào việc dạy học phân số Lí do của sự lựa chọn này chính là vì vai trò quan trọng của các biểu diễn trực quan đối với HS lứa tuổi tiểu học Điều này cũng sẽ được làm rõ trong chương 1

Chương 2 dành cho việc tìm hiểu một số đặc trưng tri thức luận của các phép toán phân số Những câu hỏi chủ yếu mà chúng tôi dự định tìm kiếm câu trả lời trong chương này là:

1 Nghĩa của khái niệm phân số: phân số được hình thành từ nhu cầu gì?

2 Những biểu diễn có thể đi kèm với các phân số?

3 Nghĩa của các phép toán phân số?

Các yếu tố trả lời sẽ là điểm tựa cho việc phân tích cách trình bày chủ đề “phân số” trong SGK toán tiểu học

Chương 3 dành cho việc phân tích cách trình bày các kiến thức về phân số trong SGK toán lớp 4 Những câu hỏi mà chúng tôi cố gắng trả lời trong chương này là: Mục đích dạy học phân số theo qui định của chương trình toán tiểu học hiện hành? Những nghĩa nào của khái niệm được hình thành? Vấn đề tích hợp được SGK tính đến như thế nào trong việc trình bày các nội dung về phân số? Những cái gì cần tồn tại nhưng

đã không tồn tại?

Chương 4 tập trung nghiên cứu việc thiết kế một số tình huống dạy học về bốn phép toán: cộng, trừ, nhân, chia phân số theo quan điểm tích hợp Các tình huống được thiết kế nhắm đến mục đích bổ sung cho sự chưa đầy đủ của SGK một mặt là trong việc tính đến nghĩa của các phép toán và mặt khác là tính đến quan điểm tích hợp Chương 5 chương cuối cùng của luận văn nhằm mục đích xem xét tính khả thi của các tình huống đã thiết kế

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1 Về quan điểm tích hợp trong giáo dục

1.1.1 Khái niệm tích hợp trong dạy học

Tích hợp (“Integration”) là một khái niệm được sử dụng trong nhiều lĩnh vực, và

là một xu hướng dạy học hiện đại Thuật ngữ “Integration” có nguồn gốc từ tiếng tinh với nghĩa xác lập cái chung, cái toàn thể, cái thống nhất trên cơ sở những bộ phận riêng lẻ Theo từ điển Anh – Anh (Oxford Advanced Learner’s Dictionary) từ Integrate có nghĩa là kết hợp những phần, những bộ phận với nhau trong một tổng thể Tích hợp phải đảm bảo được sự liên kết toàn diện và hài hòa những thành phần khác nhau để tạo thành một thể thống nhất Trong sự liên kết đó, các thành phần phải hỗ trợ,

La-bổ sung lẫn nhau đảm bảo tính bền vững của một thực thể toàn vẹn

“Như vậy, trong dạy học, tích hợp có thể được hiểu như là sự liên kết các đối tượng giảng dạy, học tập trong cùng một kế hoạch hoạt động dạy học để đảm bảo sự thống nhất, hài hòa, trọn vẹn, của hệ thống dạy học nhằm đạt mục tiêu dạy học tốt nhất Hay nói cách khác, tích hợp là sự lồng ghép, sự kết hợp những nội dung các môn học (hoặc các phân môn trong một môn học) theo những khía cạnh khác nhau: tích hợp nội dung, phương pháp, tích hợp trong đánh giá,

Và cách tiếp cận tìm tòi - khám phá này khuyến khích học thông qua quá trình tìm kiếm tích cực, sẽ kết hợp hơn là mở rộng các kiến thức rời rạc.”(Trương Thị Thúy Ngân, 2016, tr.29)

Quan điểm tích hợp đòi hỏi người dạy phải vận dụng nhiều kiến thức, phương pháp giảng dạy tích cực khác nhau trong cùng một kế hoạch hoạt động dạy học để đảm bảo sự thống nhất, hài hòa, trọn vẹn nhằm đạt mục tiêu dạy học tốt nhất có thể

Theo chương trình giáo dục phổ thông tổng thể “dạy học tích hợp là định hướng

dạy học giúp học sinh phát triển khả năng huy động tổng hợp kiến thức, kỹ năng, thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau để giải quyết có hiệu quả các vấn đề trong học tập và trong cuộc sống, được thực hiện ngay trong quá trình lĩnh hội tri thức và rèn luyện kỹ năng; phát triển được những năng lực cần thiết, nhất là năng lực giải quyết vấn đề.”(Bộ

giáo dục và đào tạo, 2005, tr.5)

1.1.2 Lợi ích của dạy học tích hợp

Trong dạy học tích hợp, học sinh (HS) cần biết hệ thống, tổng hợp và vận dụng các kiến thức, kĩ năng, phương pháp thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau để xử lí các vấn

đề mà họ phải đối đầu một cách hiệu quả nhất Theo cách hiểu đó, dạy học tích hợp có những lợi ích lớn lao

Thứ nhất, nó làm cho những kiến thức dạy ở nhà trường không mang tính hàn lâm,

mà trái lại, gần gũi với HS khi được gắn với cuộc sống hàng ngày Dạy học tích hợp sẽ rèn luyện cho HS cách sử dụng kiến thức, kĩ năng, phương pháp học được vào đời sống thực tế, từ đó, các em nhận thức được ý nghĩa của quá trình học tập

Thứ hai, nó có tác dụng liên kết các khái niệm, kiến thức đã học riêng lẻ theo phạm vi từng phân môn, từng môn học cũng như giữa các môn học với nhau, qua đó

có một cái nhìn từ đơn lẻ đến cái chung

Thứ ba, tích hợp trong giáo dục nhằm đảm bảo tính toàn diện và tính hài hòa giữa đức, trí, thể, mĩ với mục tiêu giáo dục là phẩm chất, năng lực của học sinh

Thứ tư, dạy học tích hợp còn đảm bảo sự tinh giản, hiện đại, thiết thực tránh những trùng lặp về nội dung môn học gây lãng phí thời gian, tiền của Nó còn đáp ứng được những quan điểm mới trong Chương trình giáo dục phổ thông “tập trung dạy cách học và rèn luyện năng lực tự học”

Chính vì những lợi ích trên nên Clark (2002) cho rằng: “tích hợp là cách tư duy

trong đó các mối liên kết được tìm kiếm; do vậy, tích hợp làm cho việc học chân chính xảy ra” (trích theo Trương Thị Thúy Ngân, 2016, tr.29) Theo quan điểm này, tích hợp

có ý nghĩa quan trọng trong giáo dục Nó được thể hiện qua sự tìm tòi, huy động, kết hợp, liên hệ các yếu tố có liên quan với nhau của nhiều lĩnh vực để giải quyết có hiệu quả một vấn đề trong thực tiễn

1.1.3 Các phương thức tích hợp trong dạy học toán

Các nhà nghiên cứu giáo dục thường nói đến 4 phương thức tích hợp: tích hợp trong nội bộ môn học, tích hợp đa môn, tích hợp liên môn, tích hợp xuyên môn Ở đây chúng tôi không đi sâu phân tích các phương thức tích hợp về mặt lí luận mà chỉ tập trung nghiên cứu những phương thức tích hợp phù hợp với dạy học toán ở tiểu học Bàn về tích hợp trong dạy học toán nói chung, tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014)

đã đưa ra hai hướng: Hướng thứ nhất là tích hợp trong nội bộ môn toán, hướng thứ hai

là tích hợp theo phương thức liên môn và gắn toán học với thực tiễn

1.1.3.1 Tích hợp trong nội bộ môn toán

Theo hướng thứ nhất, tác giả đề nghị liên kết các phân môn toán học lại với nhau

Toán học là một khoa học suy diễn Các kiến thức toán học được liên kết chặt chẽ với nhau trong một mạng lưới đa chiều Do đặc trưng đó của toán học mà việc dạy học toán đương nhiên không thể đề cập theo kiểu từng đơn vị kiến thức riêng lẻ Nói như vậy có nghĩa là dạy học môn toán theo truyền thống đã chứa đựng yếu tố tích hợp Hướng này đặc biệt phù hợp với HS tiểu học Nhìn vào chương trình ta cũng thấy

rõ điều đó: môn toán ở Tiểu học được tổ chức thành một môn học thống nhất (không chia thành các phân môn) qua tên gọi Toán 1, Toán 2, Toán 3, Toán 4, và Toán 5, tương ứng với năm lớp học ở bậc tiểu học Chương trình được xây dựng theo kiểu đồng tâm và các kiến thức về số học, đại số, hình học được trình bày đan xen, bổ sung cho nhau nhằm cung cấp những kiến thức cơ bản trong cuộc sống

Về hình thức tích hợp này, tác giả Lê Thị Hoài Châu đã phân tích rằng cho dù Toán học có được phân thành các phân môn khác nhau, thì người ta vẫn có thể đại số hóa hình học để khai thác công cụ đại số - giải tích vào nghiên cứu hình học, và ngược lại, hình học hóa đại số - giải tích, khai thác ngôn ngữ hình học để mang lại nghĩa cho các khái niệm trừu tượng, thậm chí để giải nhiều bài toán đại số - giải tích (Tham khảo

Lê Thị Hoài Châu, 2008, tr.40-44) Ngôn ngữ của toán học rất phong phú, các phân môn khác nhau vẫn liên thông với nhau nên việc chuyển bài toán hình học thành bài toán đại số - giải tích, hay ngược lại, nhiều khi mang đến cho ta những phương pháp thuận lợi để nghiên cứu một vấn đề Đặc biệt, đối với HS tiểu học, do đặc điểm tâm sinh lý lứa tuổi mà nhiều khi trong dạy học ta phải dùng ngôn ngữ hình học để đưa vào những khái niệm trừu tượng của số học

Trong cấu trúc chương trình môn Toán ở Tiểu học thì số học là nội dung trọng

tâm chiếm một khối lượng và thời lượng khá lớn Các nội dung khác như đại lượng,

đo đại lượng, một số yếu tố hình học và giải toán được trình bày xen kẽ với nội dung

số học nhằm tạo sự hỗ trợ lẫn nhau Đây cũng là sự thể hiện quan điểm tích hợp trong

nội bộ môn học Cụ thể, người ta sử dụng các kiến thức, kĩ năng về số học như là công

cụ, phương tiện để hình thành nhiều kiến thức, kĩ năng của các tuyến kiến thức khác

và ngược lại, thông qua các tuyến kiến thức khác để đưa vào một số khái niệm số học, đồng thời củng cố, ôn tập và vận dụng các kiến thức, kĩ năng số học

1.1.3.2 Tích hợp theo phương thức liên môn và gắn toán học với thực tiễn

Hướng thứ hai thể hiện sự phối hợp của các phương thức tích hợp đa môn, liên môn, xuyên môn, làm cho toán học dạy trong nhà trường gần với thực tiễn

Theo hướng này, dạy học toán được gắn với hoạt động thực hành, quan sát thực

tế Đây là phương thức tích hợp phù hợp cho HS đầu cấp tiểu học Ở giai đoạn này, việc tích hợp đa môn theo kiểu HS huy động kiến thức nhiều môn học để giải quyết vấn đề là không dễ Vì vậy cách thức tích hợp chỉ dừng lại ở mức độ gắn việc học tập với vui chơi; dạy kiến thức kĩ năng thông qua hoạt động thực hành và quan sát thực tế

Ví dụ, khi học về tỉ lệ bản đồ, giáo viên tổ chức cho học sinh thực hành đo đoạn thẳng trên mặt đất bằng thước dây hay cách gióng thẳng hàng các cọc tiêu trên mặt đất

Ta cũng có thể tích hợp kiến thức toán trong những môn học khác hoặc ngược lại Với cách thức tích hợp này chúng ta nên tập trung đưa ra những ý tưởng, những nội dung khác xoay quanh một khái niệm toán học Ví dụ, khi dạy về tỉ lệ, tỉ số, tỉ số phần trăm có thể liên kết với các kiến thức trong khoa học như tỉ lệ các chất trong không khí hoặc kết hợp với các kiến thức xã hội trong môn lịch sử và địa lí như tỉ lệ gia tăng dân

số, tỉ lệ tương quan giữa các lực lượng trong một trận đánh lịch sử Ngược lại, khi học các môn kĩ thuật hay mĩ thuật học sinh cần vận dụng những kiến thức về hình học hay cách đo lường trong toán học để thiết kế và trang trí một chiếc xe, máy bay, ngôi nhà, Ngoài ra, ta cũng có thể thực hiện dạy học tích hợp bằng cách gắn toán học với các khoa học khác và với thực tiễn, bởi vì, toán học là công cụ của nhiều khoa học:

“Toán học là một trong những khoa học cổ nhất của loài người Nhưng chưa bao giờ toán học phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng sâu sắc như ngày nay Ở thời đại chúng ta những phát minh mới mẻ của toán học xuất hiện hàng ngày, rất nhiều ngành mới ra đời, nhiều quan niệm cũ

bị đảo lộn Ngày nay toán học không chỉ áp dụng trong thiên văn, vật lý, cơ học mà còn xâm nhập vào hoá học, sinh học và nhiều ngành khoa học xã hội nữa.” (Đoàn Phan Tân, 1999, tr.1)

Chính vì thế mà khi bàn về mục tiêu phát triển năng lực cho học sinh, chương trình giáo dục phổ thông tổng thể đã xác định năng lực toán học bao gồm: năng lực tính toán, năng lực tư duy toán học, năng lực giải quyết các vấn đề toán học, năng lực

mô hình hoá toán học, năng lực giao tiếp toán học (nói, viết và biểu diễn toán học), năng lực sử dụng các công cụ, phương tiện học toán (đặc biệt là công cụ công nghệ

mô tả và nghiên cứu thế giới hiện thực, là công cụ thực hành ứng dụng trong học tập các môn học khác

Như vậy, dạy toán là phải dạy cho học sinh vận dụng được toán học vào thực tiễn (bao gồm cả các khoa học khác) Kiến thức toán học dạy ở Tiểu học là kiến thức nền tảng, cần thiết cho mọi lĩnh vực hoạt động của con người Dạy học toán theo quan điểm tích hợp sẽ rèn cho HS biết cách sử dụng kiến thức toán học trong nhà trường vào việc giải quyết những vấn đề thường gặp trong cuộc sống

1.1.4 Biểu diễn trực quan trong dạy học toán

Quan điểm dạy học tích hợp cho thấy tầm quan trọng của việc khai thác ngôn ngữ hình học vào việc giải quyết các vấn đề của Số học Đối với HS tiểu học thì “ngôn ngữ hình học” được hiểu là các mô hình, các phương tiện biểu diễn trực quan

1.1.4.1 Một số loại biểu diễn trực quan

Giao tiếp toán học không phải chỉ được thực hiện bởi một ngôn ngữ duy nhất là từ ngữ Các tư tưởng toán học được trao đổi nhờ những phương tiện khác nhau: cụ thể (ví

dụ như các hình khối lập phương, que tính, …), nửa cụ thể (chẳng hạn đường thẳng chia độ, hình vẽ), ký hiệu (sử dụng các chữ, các ký hiệu toán học), và tất nhiên là cả lời nói Những cách thức biểu diễn này cho phép khai thác nhiều kiểu tư duy, thiết lập mối liên hệ giữa các ý tưởng Giáo viên có thể sử dụng các phương tiện này để biểu diễn các khái niệm toán học cho HS, và đến lượt mình thì HS lại sử dụng chúng để giải các bài toán hay để diễn đạt các ý tưởng của bản thân (tham khảo Ministère

l’Éducation de l’Ontario, 2008, tr.9)

Tác giả Vũ Thị Bình cho rằng: “Biểu diễn toán học bao gồm các biểu diễn trên

các đối tượng thực (các đối tượng, quan hệ trong cuộc sống tự nhiên – xã hội), các biểu diễn trực quan (sử dụng các sơ đồ, biểu đồ, bảng, các hình ảnh cụ thể, ) và các biểu diễn ngôn ngữ (các thuật ngữ, công thức, kí hiệu toán học ).” (Vũ Thị Bình,

2016, tr.29) Vậy theo tác giả này biểu diễn trực quan là các sơ đồ, biểu, bảng, các

hình ảnh cụ thể, Với cách hiểu trên thì đồ dùng trực quan trong dạy học toán ở tiểu

học rất phong phú và đa dạng, ví dụ như: những vật thực có trong tự nhiên xung quanh (như sách, vở, bút chì, thước kẻ, bông hoa, quả cam, ), các bộ que tính, bàn tính, bảng tính, sơ đồ, biểu đồ, hình vẽ

1.1.4.2 Vai trò của biểu diễn trực quan trong dạy học toán

Như chúng ta đã biết, các tri thức toán học có tính trừu tượng và khái quát cao Trong khi đó, tư duy của học sinh tiểu học còn mang tính cụ thể, hình tượng, dựa vào những đặc điểm trực quan của đối tượng và hiện tượng cụ thể Mặc khác vốn sống của các em còn rất ít, trí nhớ của các em là trí nhớ trực quan – hình tượng phát triển chiếm

ưu thế hơn trí nhớ từ ngữ - logic Vì vậy biểu diễn trực quan trong dạy học toán có vai trò không thể thiếu trong quá trình nhận thức toán học và đặc biệt là đối với học sinh tiểu học

Các phương tiện trực quan đóng một vai trò vô cùng quan trọng trong dạy và học toán nói chung và đặc biệt là trong dạy, học toán phân số ở lớp 4 (tham khảo Phạm Đình Thực, 2003, tr.41).Trích dẫn trên của Vũ Thị Bình cũng cho thấy tác giả này có cùng ý kiến: biểu diễn trực quan và biểu diễn ngôn ngữ là một phần không thể thiếu trong biểu diễn toán học

Đối với việc dạy học phân số thì biểu diễn trực quan cũng có vai trò quan trọng Phân số là một khái niệm hoàn toàn mới và trừu tượng đối với học sinh tiểu học Để giúp học sinh tiếp cận tri thức toán học này thì không thể thiếu sự hỗ trợ đắc lực của phương tiện trực quan Dựa vào những vật thật như quả cam, băng giấy, học sinh có thể tự thao tác, tìm hiểu và hình dung được khái niệm phân số, các qui tắc tính toán một cách cụ thể nhất Như vậy, phương tiện trực quan đã bổ sung vốn hiểu biết cho học sinh, cung cấp chỗ dựa cho hoạt động tư duy, giúp học sinh dễ chú ý, để từ đó có thể nắm các tri thức trừu tượng một cách vững chắc, tự giác và phát triển được năng lực tư duy trừu tượng, giúp phát triển trí tưởng tượng

1.2 Kết luận chương 1

Nghiên cứu trên đã giúp chúng tôi trả lời được những câu hỏi đặt ra: thế nào là dạy học tích hợp? vì sao phải dạy học tích hợp? các phương thức dạy học tích hợp Vận dụng các phương thích tích hợp mà các nhà nghiên cứu lý luận đưa ra, chúng tôi lựa chọn những hướng tích hợp sau để nghiên cứu vấn đề dạy học phân số ở tiểu học:

- Tích hợp trong nội bộ môn toán bằng cách sử dụng ngôn ngữ, kiến thức hình học vào việc tạo tình huống cho HS nghiên cứu các phép toán phân số Ở đây các biểu diễn

- Tích hợp theo hướng gắn toán học với thực tiễn, với các môn học khác, với những hoạt động trên các biểu diễn trực quan, qua đó hình thành biểu tượng về những kiến thức trừu tượng liên quan đến phân số

Chương 2 NGHĨA CỦA KHÁI NIỆM VÀ CÁC PHÉP TOÁN PHÂN SỐ

CÁC MÔ HÌNH BIỂU DIỄN PHÂN SỐ

Trong phần này, bằng cách tham khảo một số công trình về dạy học phân số, trước hết chúng tôi sẽ chỉ ra nghĩa của khái niệm phân số và các phép toán phân số

2.1 Các cách tiếp cận phân số và nghĩa tương ứng của nó

Trong lý thuyết toán học hiện đại, phân số được định nghĩa như là lớp tương đương của tập hợp tích Descartes Z×N* (N* là tập các số nguyên dương) với quan hệ tương đương R định nghĩa như sau: (a, b) R (c, d)  ad = bc Các phân số thuộc cùng một lớp tương đương được gọi là phân số bằng nhau, và biểu diễn cho một số hữu tỉ Cách tiếp cận này không phù hợp với HS tiểu học nên chúng tôi không đi sâu xem xét Cùng với cách tiếp cận này, nghiên cứu của tác giả Dương Hữu Tòng (2014) còn chỉ ra thêm 5 cách tiếp cận nữa, và tương ứng với mỗi cách tiếp cận đó là một nghĩa của khái niệm phân số Dưới đây chúng tôi trình bày lại một cách ngắn gọn năm cách tiếp cận đó

2.1.1 Cách tiếp cận dựa trên số phần của tổng thể

Cách tiếp cận này có liên quan đến bài toán “tìm ra một số phần của một đối tượng được chia thành các phần bằng nhau” Với cách tiếp cận này phân số có nghĩa là

“biểu thị a phần được lấy ra từ b phần bằng nhau”

2.1.2 Cách tiếp cận độ đo

Cách tiếp cận này xuất phát từ tình huống“thực hiện phép đo cho một đại lượng”

không bằng một số nguyên lần đơn vị đo thì người ta nghĩ đến một loại số khác là phân số Từ đây, ta có thể hiểu nghĩa phân số là “biểu diễn kết quả của số đo”

Ví dụ: 1m = 10 dm Ta nói 1dm bằng một phần mười mét và viết là

2.1.3 Cách tiếp cận dựa trên phép chia

Cách tiếp cận này xuất hiện ngầm ẩn từ thời cổ đại trong tình huống “có a đối tượng chia đều cho b người nhận” Cụ thể hơn là việc đi tìm nghiệm cho phương trình

với a, b là các số nguyên, b khác 0

Với cách tiếp cận này, phân số có nghĩa “biểu diễn kết quả của phép chia a cho

b” và “biểu diễn nghiệm của phương trình ”

Ví dụ: Có 3 quả cam chia đều cho 4 bạn Hỏi mỗi bạn được bao nhiêu phần của

quả cam? (Tham khảo Ministère l’Éducation de Ontario)

Để chia đều 3 quả cam cho 4 bạn thì mỗi quả cam chúng ta sẽ chia làm 4 phần bằng nhau Lần lượt chia mỗi phần bằng nhau cho từng bạn vậy mỗi bạn nhận được quả cam Vậy

2.1.4 Cách tiếp cận dựa trên tỉ số

Cách tiếp cận này có thể được phát biểu như sau: a là số phần tử của tập hợp A, b

là số phần tử của tập hợp B Khi đó tỉ số số phần tử của tập A so với tập hợp B được

viết là Lúc này phân số được hiểu là tỉ số số phần tử của tập hợp A so với tập hợp

B Do đó, phân số có nghĩa “biểu diễn quan hệ so sánh giữa hai đại lượng”

Ví dụ: Trong hộp có 20 viên bi gồm bi đỏ, bi xanh và bi vàng Tìm tỉ số của số bi

đỏ và bi xanh có trong hộp

Để tìm được tỉ số của số bi đỏ và bi xanh, HS sẽ sắp xếp số bi theo màu và đếm được 5 bi đỏ, 8 bi xanh có trong hộp Vậy tỉ số của số bi đỏ và bi xanh trong hộp là

(Tham khảo Ministère l’Éducation del’Ontario)

2.1.5 Cách tiếp cận dựa trên tia số

Tia số là một biểu diễn trực quan cho phân số Ưu điểm thứ nhất của cách biểu diễn này là nó có thể sinh ra một kĩ thuật để so sánh hai phân số Phân số nào càng gần gốc tọa độ O thì càng nhỏ và ngược lại Ưu điểm thứ hai là nó mang lại một ý nghĩa quan trọng về khái niệm phân số bằng nhau: các phân số bằng nhau đều có chung một điểm biểu diễn Hơn nữa, nó còn cho phép tách khái niệm phân số khỏi đơn vị cụ thể

để chuyển sang đơn vị trừu tượng (mọi đơn vị bây giờ đều được biểu diễn bởi đoạn

thẳng đơn vị) Tiếc rằng dạy học khái niệm phân số và so sánh phân số không phải là

mục đích nghiên cứu của luận văn, nên chúng tôi sẽ bỏ qua cách biểu diễn này – tuy rất hữu ích nhưng lại không thuận tiện cho việc nghiên cứu các phép toán

2.2 Một số mô hình trực quan có thể dùng để biểu diễn phân số

Với các nghĩa của khái niệm phân số nêu trên, một số tác giả đưa ra ba mô hình dưới đây để biểu diễn phân số

2.2.1 Mô hình diện tích

Mô hình diện tích thuận tiện cho trường hợp biểu diễn nghĩa “phân số là số phần trên tổng thể” Ở bậc tiểu học, khi học về phân số người ta khai thác diện tích của hình tròn, hình vuông, hình chữ nhật như một phương tiện trực quan để biểu diễn phân số

Ví dụ: Chúng ta có thể dùng mô

hình diện tích của các hình khác nhau

để biểu diễn phân số như hai hình

bên:

2.2.2 Mô hình độ dài

Giống như mô hình diện tích, đoạn thẳng thuận tiện cho trường hợp biểu diễn nghĩa “phân số là số phần - tổng thể” Ngoài ra, nó còn cho phép gắn với nghĩa “phân

số là số đo đại lượng”, đặc biệt là chiều dài

Chẳng hạn, có một sợi dây dài 1m Bạn An cắt ra sợi dây để làm lồng đèn Như vậy, đoạn dây cắt ra có độ dài là m Chúng ta có thể dùng mô hình độ dài biểu diễn phân số như sau:

Một sợi dây dài 1m Cắt ra hai phần ba

2.2.3 Mô hình tập hợp

Ngoài hai mô hình đã được nói ở trên, khi biểu diễn nghĩa phân số chúng ta còn dùng mô hình tập hợp Hiển nhiên, mô hình này thuận tiện khi ta cần nói đến các nghĩa phân số biểu thị kết quả của phép chia và là tỷ số giữa hai tập hợp

Chẳng hạn, ta có thể nói đến bài toán sau: Chia hai cái bánh pizza cho ba người

Hỏi mỗi người được bao nhiêu? (Tham khảo Ministère l’Éducation del’Ontario)

Đầu tiên, chúng ta cắt mỗi cái bánh thành 3 phần bằng nhau Sau đó, lần lượt chia cái bánh cho mỗi người Như vậy, mỗi người nhận được cái bánh

Hay, một rổ đựng 12 quả táo, trong đó có táo đỏ Chúng ta có thể dùng mô hình tập hợp biểu diễn táo đỏ như sau:

(Tham khảo Ministère l’Éducation del’Ontario)

2.3 Nghĩa của các phép toán phân số và những biểu diễn có thể kết hợp với chúng

2.3.1 Nghĩa của phép cộng và phép trừ phân số

Từ nghĩa phân số biểu thị số phần bằng nhau được lấy ra từ toàn thể (mẫu số là số phần bằng nhau của cái toàn thể, tử số biểu thị số phần lấy ra trong số phần đó) nên cộng hoặc trừ 2 phân số, cần phải làm cho mẫu số của chúng bằng nhau (quy đồng mẫu số) Như vậy phép cộng chính là gộp hay đếm thêm số phần bằng nhau của cái tổng thể; còn phép trừ chính là bớt đi số phần bằng nhau của cái tổng thể Tất nhiên,

đó là trường hợp cộng, trừ các phân số nhỏ hơn 1 Sau đó, quy tắc cộng, trừ hai phân

số loại này sẽ được mở rộng cho trường hợp phân số bất kỳ

Chính vì thế khi đưa vào các phép toán cộng, trừ phân số người ta thường sử dụng

mô hình biểu diễn diện tích hoặc độ dài Với việc sử dụng hai hình thức biểu diễn đó ta

sẽ dễ dàng đếm thêm hay bớt đi số phần bằng nhau của cái tổng thể

Chẳng hạn kết quả của phép cộng biểu diễn trên mô hình diện tích và độ dài

sẽ rất dễ nhìn thấy như sau:

Trong trường hợp cộng, trừ phân số không cùng mẫu số, mô hình biểu diễn bằng tập hợp vừa củng cố được nghĩa “phân số là tỷ số” lại thuận tiện cho việc lý do phải quy đồng mẫu số Chẳng hạn:

Còn mô hình tia số sẽ không thực sự thuận tiện cho việc biểu diễn ý nghĩa của các phép toán cộng, trừ phân số cũng như quy tắc thực hiện các phép toán đó, vì ở đây không dễ mà đếm thêm hay bớt đi số phần bằng nhau của cái tổng thể

2.3.2 Nghĩa của phép nhân phân số

Trong phép nhân hai số tự nhiên,abđược hiểu là phép cộng lặp lại Cách hiểu này vẫn được mở rộng cho trường hợp nhân số tự nhiên với phân số

Ví dụ: được hiểu là 8 lần

Do đó:

Vì lúc này phép nhân được hiểu theo nghĩa cộng lặp lại nên mô hình diện tích hay đoạn thẳng vẫn có thể dùng để biểu diễn kết quả, chẳng hạn ta có thể minh họa trên hình vẽ như sau:

Nghĩa cộng lặp lại này không thể mở rộng cho phép nhân hai phân số: có nghĩa là của

Thực ra, về mặt toán học mà nói thì nghĩa này dễ được khái quát hơn từ phép nhân phân số với số tự nhiên, chẳng hạn: chính là của 6 Với cách hiểu này, ta thấy

là mô hình tập hợp thuận tiện cho việc biểu diễn phép nhân phân số với số tự nhiên và

phân số với phân số

2.3.3 Nghĩa của phép chia phân số

Trước hết ta hãy trở lại với phép chia hai số tự nhiên Như ví dụ dưới đây chỉ ra, phép toán này có hai nghĩa: nghĩa “phân chia” và nghĩa “nhóm”

Hai nghĩa này cũng được mở rộng với trường hợp chia phân số Chẳng hạn:

- Còn lại cái bánh Người ta muốn chia đều cho 4 người Hỏi mỗi người được bao nhiêu bánh? (nghĩa “phân chia”)

- Có 2 que cam thảo giống nhau Người ta muốn chia cho mỗi em que Hỏi có bao nhiêu em được chia cam thảo (nghĩa “nhóm”)

(Tham khảo Ministère l’Éducation de l’Ontario, 2008, tr.78-79)

Như hai ví dụ trên chỉ ra, các mô hình diện tích, đoạn thẳng đều thuận lợi cho việc biểu diễn những nghĩa này

2.4 Kết luận chương 2

Phân số là khái niệm rất mới mẻ và trừu tượng Do đó, khi học về phân số HS luôn

cần có điểm tựa nhận thức là hình ảnh trực quan như đoạn thẳng, hình chữ nhật, hình vuông, hình tròn, Việc phân số gắn liền với hình ảnh cụ thể, có sự chuyển đổi thông qua cắt-ghép-quan sát và so sánh màu sắc hoặc số lượng “phần bằng nhau” giúp các

em hiểu sâu ý nghĩa, có biểu tượng rõ ràng, cụ thể về phân số, cũng như các tính chất, quy tắc so sánh, quy tắc thực hiện 4 phép tính cộng, trừ, nhân, chia

Cách tiếp cận thông qua ngôn ngữ hình ảnh và khai thác các yếu tố hình học có nhiều ưu điểm: Một là có tính trực quan, hai là dễ biểu diễn, ba là khai thác được mối liên hệ giữa số học và hình học Các bài toán hình học ở tiểu học giúp các em phát triển tư duy về hình dạng không gian Từ tri giác như là một cái "toàn thể" (lớp 1, 2) đến việc nhận diện hình học qua việc phân tích đặc điểm các hình bằng con đường trực giác (lớp 3, 4, 5) Đây cũng là một điểm mạnh của học sinh lớp 4 khi học về phân số vì các em đã có sự chuẩn bị về các yếu tố hình học khá đủ Cách tiếp cận này giúp HS có

thể dễ dàng hơn trong việc phát hiện các mối liên hệ toán học, qua đó góp phần tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh

Trong phần 2.3 chúng tôi đã chỉ ra nghĩa của các phép toán và những mô hình trực quan có thể dùng để hình thành nghĩa đó cho HS Tuy ít được nhắc đến, mô hình độ dài không bị loại trừ trong dạy học các phép toán phân số, vì như chúng tôi đã trình

bày trong phần 2.2, một mặt nó gắn với nghĩa “số phần bằng nhau lấy ra từ toàn thể”

của phân số, mặt khác nó lại cho phép đặt trong cách tiếp cận độ đo Chính vì thế, ngoài cách tiếp cận thông qua ngôn ngữ hình ảnh thì việc liên kết các yếu tố đại lượng

và đo đại lượng trong dạy học phân số không thể không nhắc đến Nhất là khi trong chương trình toán ở Tiểu học, vấn đề đo các đại lượng luôn gắn liền với quá trình xây dựng các tập hợp số Hai chủ đề đại lượng và số (số tự nhiên, phân số, số thập phân) thường đi kèm nhau, không tách rời trong việc trình bày các loại số và các phép toán trên chúng Việc nghiên cứu các đại lượng không xếp thành từng chương riêng mà sắp xen kẽ với các vòng số và được mở rộng cùng với sự mở rộng các vòng số

Kết quả phân tích của chương 2 sẽ là cơ sở để chúng tôi tiến hành nghiên cứu các chương tiếp theo

Chương 3 PHÂN SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN PHÂN SỐ TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 4 HIỆN HÀNH:

MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ THEO QUAN ĐIỂM SO SÁNH

3.1 Chủ đề phân số trong chương trình toán tiểu học

Trong chương trình toán tiểu học nội dung số học được giảng dạy bao gồm hai phần chính: Các số tự nhiên (từ lớp 1 đến học kì I của lớp 4); các phân số và số thập phân (học kì II của lớp 4 và lớp 5) Ở lớp 1 về cơ bản HS sẽ được học: Các số từ 1 đến

100, biết các phép cộng, trừ từ 1 đến 100, biết thế nào là hình vuông - tròn - tam giác Đồng thời biết giải các bài toán có lời văn, biết thế nào là nhỏ hơn, lớn hơn, bằng nhau, nhiều hơn, ít hơn Ngoài ra còn HS còn được biết thế nào là xăng-ti-mét, cách đo

độ dài, biết thế nào là điểm, đoạn thẳng và biết xem giờ, thời gian

Chủ đề phân số là một trong những nội dung chủ yếu của chương trình toán lớp 4

và là cơ sở vững chắc để dạy học về phân số thập phân và hỗn số ở lớp 5 Chúng ta có thể hình dung được toàn bộ nội dung phân số trong chương trình toán tiểu học thông qua sơ đồ nghiên cứu của hai tác giả Vũ Thị Sơn và Nguyễn Văn Khôi

Sơ đồ 3.1 Cấu trúc lo-gic bài học liên quan phần phân số lớp 4

(trích theo Vũ Thị Sơn, Nguyễn Văn Khôi, tr.1) Đây là “bức tranh toàn cảnh” về kiến thức liên quan đến phân số Dựa vào sơ đồ, chúng ta nhận thấy chủ đề phân số trong chương trình toán tiểu học được chia thành các phần có mối quan hệ chặt chẽ từ lớp 2 đến lớp 5 Ngay từ các lớp 2, 3 phân số đã được giới thiệu một cách ngầm ẩn Ở đây, thuật ngữ “phân số” chưa được đưa vào, mà thông qua hình vẽ trực quan, SGK cho học sinh làm quen với các khái niệm “một phần hai (một nửa)”, “một phần ba”, “một phần tư”, “một phần năm”, và cách ghi ; ; ;

(phân số đơn vị), ví dụ như: Chia hình vuông thành 2 phần bằng nhau Lấy một

phần, được một phần hai hình vuông Một phần hai viết là Một phần hai còn gọi là một nửa

SGK Toán 3 lại tiếp tục cho HS làm quen với các phân số đơn vị với n < 10 theo cách làm tương tự Hiển nhiên, các phép toán về phân số cho đến lúc này chưa được xem xét trong chương trình Toán 2, 3

Đến lớp 4, phân số được chính thức đưa vào giảng dạy một cách tương đối đầy đủ Các kiến thức về phân số gồm có: khái niệm, tính chất cơ bản, so sánh, các phép tính

liên quan, Như vậy,“Dạy học phân số trong Toán 4 là sự tiếp nối mạch kiến thức về

phân số ở lớp 2 và lớp 3, đồng thời làm cơ sở vững chắc để dạy học về phân số thập phân, hỗn số ở lớp 5”(Dương Hữu Tòng, 2014, tr.76)

3.2 Phân số trong sách giáo khoa Toán 4

3.2.1 Khái niệm phân số trong sách giáo khoa Toán 4

Vì khái niệm phân số không phải là đối tượng nghiên cứu của luận văn nên chúng tôi sẽ chỉ trình bày tóm lược những mô hình biểu diễn trực quan được sử dụng và những nghĩa được hình thành về khái niệm này trong SGK Toán 4 hiện hành Trong phần còn lại của luận văn chúng tôi sẽ ký hiệu cuốn sách này là SGK4

SGK4 trình bày khái niệm phân số chủ yếu theo bốn nghĩa: phân số biểu diễn số phần bằng nhau lấy ra trong tổng số phần bằng nhau từ tổng thể; thương của phép chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác 0; số đo đại lượng và tỷ số số phần tử của hai tập hợp Đây là điểm thuận lợi để HS mở rộng hiểu biết về khái niệm phân số, có

cơ hội trải nghiệm đa dạng và đầy đủ hơn khi biểu diễn phân số; vận dụng giải quyết nhiều hơn các bài toán trong thực tế

Bốn nghĩa này đều được hình thành dựa vào hình ảnh trực quan

Đầu tiên, qua hình ảnh của hình tròn, hình vuông, hình chữ nhật, các tác giả sử dụng mô hình diện tích để giúp học sinh bước đầu hình dung được phân số một cách

cụ thể Đây cũng là một hình thức tích hợp trong dạy học phân số thông qua việc khai thác biểu diễn hình học Chẳng hạn, SGK4 trình bày khái niệm phân số như sau:

Chia hình tròn thành 6 phần bằng nhau, tô màu vào 5 phần Ta nói: Đã tô màu vào năm phần sáu hình tròn

Ta viết: , đọc là năm phần sáu

Ta gọi là phân số

Phân số có tử số là 5, mẫu số là 6

Mẫu số là số tự nhiên viết dưới dấu gạch ngang Mẫu số cho biết hình tròn được chia thành 6 phần bằng nhau Tử số là số tự nhiên viết trên gạch ngang Tử số cho biết 5 phần bằng nhau đã được tô màu (SGK4, 2005, tr.106)

Sau đó, SGK4 còn tiếp cận phân số như là kết quả của phép chia hai số tự nhiên

mà số chia khác 0 thông qua bài “PHÂN SỐ VÀ PHÉP CHIA SỐ TỰ NHIÊN” SGK4

sử dụng tình huống và biểu diễn trực quan như sau:

Chia đều 5 quả cam cho 4 người Tìm phần cam của mỗi người

Ta có thể làm như sau: Chia mỗi quả cam thành 4 phần bằng nhau Lần lượt đưa cho mỗi người

1 phần, tức là của từng quả cam Sau 5 lần chia như thế, mỗi người được 5 phần hay quả cam (SGK4, 2005, tr.109)

Ngoài ra SGK4 còn đề xuất thêm cách tiếp cận tỉ số qua bài “Giới thiệu tỉ số”:

Một đội xe có 5 xe tải và 7 xe khách

Ta nói: Tỉ số của số xe tải và số xe khách là hay

Tỉ số của số xe khách và số xe tải là hay (SGK4, 2005, tr.146)

Giống như cách tiếp cận dựa trên phép chia, cách tiếp cận tỉ số cho phép giới thiệu

cả hai loại phân số: phân số thực sự và phân số không thực sự

Cuối cùng, thông qua các bài tập cụ thể về chia, về cách ghi các số đo đại lượng dưới dạng phân số mà HS được tiếp xúc với nghĩa thứ tư của phân số Những dạng bài tập này thể hiện được phương thức tích hợp trong nội bộ môn học cụ thể là gắn phân

số với đo đại lượng

3.2.2 Các phép toán phân số trong SGK4

3.2.2.1 Phép cộng phân số

Tiến trình trình bày phép cộng trong SGK4 gồm hai bước: cộng hai phân số cùng mẫu số, cộng hai phân số không cùng mẫu số Để đưa vào phép cộng, SGK4 đã rất chú trọng việc khai thác các biểu diễn trực quan

Ví dụ: Có một băng giấy, bạn Nam tô màu băng giấy, sau đó bạn Nam tô màu tiếp băng giấy Hỏi bạn Nam đã tô màu bao nhiêu phần của băng giấy?

Nhưng đến phép cộng hai phân số khác mẫu số các tác giả không sử dụng hình ảnh trực quan mà đưa ngay bài toán để tạo tình huống đưa đến phép cộng phân số khác mẫu số

Ví dụ: Có một băng giấy màu, bạn Hà lấy băng giấy, bạn An lấy băng giấy Hỏi cả hai bạn

đã lấy bao nhiêu phần của băng giấy màu?

Ta phải thực hiện phép tính:

Ta cần đưa phép cộng này về phép cộng hai phân số cùng mẫu số:

Quy đồng mẫu số hai phân số:

Cộng hai phân số: (SGK4, 2005, tr.127)

Ở đây SGK đã áp đặt ngay là phải đưa về phép cộng hai phân số cùng mẫu số và trình bày tiếp cách quy đồng mẫu số mà HS đã được học trước đó Tiếp theo, SGK trình bày kỹ thuật cộng hai phân số bằng cách thay thế chúng bởi hai phân số tương đương cùng mẫu số Việc phải thực hiện phép cộng thì có thể hiểu được với HS qua câu hỏi quen thuộc “cả hai bạn đã lấy bao nhiêu …?” Nhưng vì sao phải quy đồng mẫu số để cộng? Về logic, ta biết rõ lý do là để đưa về quy tắc đã biết (cộng hai phân

số có cùng mẫu số) Nhưng với HS lớp 4 thì đó là một cách giải thích trừu tượng Chúng tôi cho rằng việc khai thác biểu diễn trực quan ở đây là cần thiết Nhưng SGK

đã bỏ qua việc này Kỹ thuật (được phát biểu thành quy tắc) mà SGK muốn HS sử dụng vì thế chưa được giải thích rõ ràng

3.2.2.2 Phép trừ phân số

Đối với phép trừ phân số, SGK chọn tiến trình và cách thức trình bày như với phép cộng Trước hết, SGK4 cũng đưa ra bài toán để tạo tình huống hình thành phép trừ và quy tắc trừ hai phân số có cùng mẫu số

Ví dụ: Từ băng giấy màu, lấy băng giấy để cắt chữ Hỏi còn lại bao nhiêu phần của băng giấy? (SGK4, 2005, tr.129)

Ta thực hiện phép tính:

Ta có:

Như vậy, SGK cũng dùng hình ảnh trực quan để giúp HS hiểu rõ ý nghĩa của phép tính trừ phân số là “lấy đi số phần xác định của một phần đã có từ cái toàn thể”.Quan sát hình ảnh của băng giấy HS dễ dàng tính được số phần băng giấy còn lại là Từ đó,

HS rút ra được qui tắc trừ hai phân số cùng mẫu số: Muốn trừ hai phân số cùng mẫu

số, ta trừ tử số của phân số thứ nhất cho tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu

Cũng giống như phép cộng, cách trình bày này có thể khiến HS không nhận ra lý

do phải quy đồng mẫu số trong quy tắc trừ hai phân số không cùng mẫu số

“Muốn trừ hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số hai phân số, rồi trừ hai phân số đó.” (SGK4, 2005, tr.130)

3.2.2.3 Phép nhân phân số

 Nhân phân số với số tự nhiên

Khi giới thiệu về phép nhân phân số với số tự nhiên SGK4 chỉ đưa ra bài tập mẫu, sau đó yêu cầu HS tính theo mẫu Cụ thể như sau:

Mẫu:

Ta có thể viết gọn như sau: (SGK4, 2005, tr.133)

 Nhân số tự nhiên với phân số

Cũng với hình thức tương tự như thế, khi thực hiện nhân số tự nhiên với phân số,

HS tiếp tục được yêu cầu tính theo mẫu như sau:

Mẫu:

Ta có thể viết gọn như sau: (SGK4, 2005, tr.133)

Ta thấy là với hai cách trình bày trên SGK4 chỉ đưa ra cách làm mẫu để từ đó hình thành quy tắc thực hiện các phép toán Ở đây SGK4 không hề giải thích mà chỉ áp đặt cho HS vận dụng quy tắc tính một cách máy móc Nghĩa của phép toán chưa được làm

rõ qua hai tình huống này

 Nhân phân số với phân số

SGK4 dùng bài toán “Tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài m và chiều

rộng m” (SGK4, 2005, tr.132) để tạo tình huống dẫn đến phép nhân phân số Như

vậy, các tác giả dùng toán có lời văn kết hợp với tính diện tích trong hình học để tạo tình huống hình thành phép nhân phân số

Để tính diện tích của hình chữ nhật trên ta phải thực hiện phép nhân:

Ta tính diện tích này dựa vào hình vẽ bên

Công thức tính diện tích hình chữ nhật với số đo nguyên dương được mở rộng một cách tự nhiên cho các kích thước phân số Tiếp theo SGK sử dụng hình ảnh trực quan

để giải bài toán, từ đó đưa vào quy tắc nhân phân số

Hình vuông có diện tích bằng 1m 2 và gồm 15

ô, mỗi ô có diện tích bằng m 2 Hình chữ nhật (phần tô màu) chiếm 8 ô Do

đó diện tích hình chữ nhật bằng m 2

Ta thực hiện phép nhân như sau:

Với cách trình bày này HS có thể hiểu được vì sao phải thực hiện phép nhân phân

số theo qui tắc “Muốn nhân hai phân số, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với

mẫu số”, nhưng nghĩa của phép nhân phân số chưa được thể hiện tường minh ở đây

3.2.2.4 Phép chia phân số

 Chia số tự nhiên cho phân số

SGK4 chỉ đưa ra bài toán mẫu, sau đó yêu cầu HS thực hiện theo mẫu một cách áp đặt

Mẫu:

Ta có thể viết gọn như sau: (SGK4, 2005, tr.137)

 Chia phân số cho số tự nhiên

Cũng với cách trình bày tính theo mẫu như trên, SGK4 đưa ra bài mẫu để HS tính theo mẫu thực hiện phép chia phân số cho số tự nhiên

Mẫu:

Ta có thể viết gọn như sau: (SGK4, 2005, tr.137)

Với việc đưa ra lời giải mẫu mà không hề kèm theo bất cứ một giải thích nào, HS không thể hiểu được bản chất của các quy tắc Nói cách khác, HS không hiểu được ý nghĩa của phép chia mà chỉ được yêu cầu thực hiện tính theo mẫu như SGK4 đã trình bày Đây có lẽ là nguồn gốc của nhiều sai lầm mà chúng tôi gặp ở HS trong thực tế: các em nhầm lẫn giữa hai quy tắc khi thực hiện chia số tự nhiên cho phân số và chia phân số cho số tự nhiên

 Chia phân số cho phân số

SGK4 trình bày như sau:

a) Hình chữ nhật ABCD có diện tích m 2 , chiều rộng là m Tính chiều dài của hình đó

Để tính chiều dài hình chữ nhật ta làm phép chia:

b) Để thực hiện phép chia hai phân số, ta làm như sau: Lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược

Phân số gọi là phân số đảo ngược của phân số

Ở đây, SGK4 cũng dùng một bài toán quen thuộc để tạo tình huống dẫn đến phép chia hai phân số Với cách trình bày này, SGK4 đã tích hợp được dạy học phân số với

đo đại lượng (đơn vị diện tích) Tuy nhiên, SGK4 lại không sử dụng hình ảnh trực

quan mà áp đặt qui tắc thực hiện phép chia phân số “Lấy phân số thứ nhất nhân với

phân số thứ hai đảo ngược” Cũng giống hai trường hợp trên, với cách trình bày này

thì HS không hiểu được ý nghĩa của phép tính chia phân số và câu hỏi sau không được trả lời: Vì sao khi thực hiện phép chia chúng ta lại phải thực hiện phép nhân phân số thứ nhất cho phân số thứ hai đảo ngược? Phân số đảo ngược có ý nghĩa gì?

3.2.2.5 Về hệ thống bài tập

Nhìn chung hệ thống bài tập trong SGK4 cũng tương đối nhiều (có tất cả 94 bài

tập) và chủ yếu lặp đi lặp lại với các dạng bài tập về tính toán, tìm x và các bài toán có

lời văn Hầu hết các bài tập này HS chỉ cần áp dụng qui tắc để tính Chúng tôi nêu cụ thể dưới đây các dạng bài tập được đưa vào

Dạng 1: Tính tổng, hiệu, tích, thương hai phân số

Với dạng toán này có tất cả 51 bài tập trên tổng số 94 bài tập

thức

Dạng bài tập này chỉ có 5 bài tập trên tổng số 94 bài tập của SGK4 Ở đây mục đích SGK4 chỉ nhằm giới thiệu cách vận dụng các tính chất của các phép toán để tính giá trị một biểu thức nên số lượng bài tập được trình bày là không đáng kể

Ví dụ:

Tính bằng cách thuận tiện nhất: a) b) (SGK4, 2005, tr.132)

Tính bằng hai cách: a) b) (SGK4, 2005, tr.134)

Dạng toán này chỉ có 1 bài duy nhất được trình bày trong SGK4

Ví dụ:

Với dạng toán trên SGK4 đã giới thiệu mối quan hệ giữa phép cộng và phép nhân

số Trong trường hợp này phép nhân phân số được hiểu theo nghĩa là cộng lặp lại

Có 5 bài tập về dạng toán tìm x được trình bày trong SGK4 Dạng toán này cũng không phải là trọng tâm trong hệ thống bài tập về các phép toán phân số

Tìm x: a) b) (SGK4, 2005, tr.136)

Để giải những bài toán này, HS phải vận dụng các quy tắc tính đã được học:

- quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số ;

- quy tắc so sánh hai phân số ;

- quy tắc tìm một thành phần của phép toán khi biết thành phần kia và kết quả

phép toán (chẳng hạn như tìm một thừa số khi biết thừa số kia và tích, tìm số chia khi

biết số bị chia và thương, …)

Chúng tôi nhóm vào dạng này tất cả những bài toán đố được SGK4 trình bày liên

quan đến các tình huống thực tế Trong toàn chương “Phân số”có 23 bài toán thuộc

dạng này (trên tổng số 29 bài toán đố) Chẳng hạn một số bài toán sau:

1) Một xe ô tô giờ đầu chạy được quãng đường, giờ thứ hai chạy được quãng đường Hỏi sau hai

giờ ô tô đó chạy được bao nhiêu phần của quãng đường? (SGK4, 2005, tr.127)

2) Tại Hội khỏe Phù Đổng toàn quốc lần thứ VI năm 2004, số huy chương vàng của đoàn học sinh

Đồng Tháp bằng tổng số huy chương của đoàn đã giành được, còn lại là huy chương bạc và huy

chương đồng Hỏi số huy chương bạc và huy chương đồng của đoàn Đồng Tháp bằng bao nhiêu phần

tổng số huy chương mà đoàn đã giành được? (SGK4, 2005, tr.129)

3) Trong công viên có diện tích trồng hoa và cây xanh, trong đó diện tích của công viên đã trồng

hoa Hỏi diện tích để trồng cây xanh là bao nhiêu phần diện tích của công viên? (SGK4, 2005, tr.130) 4) Người ta cho một vòi nước chảy vào bể chưa có nước Lần thứ nhất chảy vào bể, lần thứ hai chảy

vào thêm bể Hỏi còn mấy phần của bể chưa có nước? (SGK4, 2005, tr.139)

5) May một chiếc túi hết m vải Hỏi may 3 chiếc túi như thế hết mấy mét vải? (SGK4, 2005, tr.134) 6) Trong một giờ học tự chọn, lớp 4A có số học sinh học Tiếng Anh và số học sinh học Tin học

Hỏi số học sinh học Tin học và Tiếng Anh bằng bao nhiêu phần tổng số học sinh cả lớp? (SGK4,

2005, tr.132)