Bước chuyển từ bài toán tìm x sang bài toán giải phương trình (Luận văn thạc sĩ)

Bước chuyển từ bài toán tìm x sang bài toán giải phương trình (Luận văn thạc sĩ)Bước chuyển từ bài toán tìm x sang bài toán giải phương trình (Luận văn thạc sĩ)Bước chuyển từ bài toán tìm x sang bài toán giải phương trình (Luận văn thạc sĩ)Bước chuyển từ bài toán tìm x sang bài toán giải phương trình (Luận văn thạc sĩ)Bước chuyển từ bài toán tìm x sang bài toán giải phương trình (Luận văn thạc sĩ)Bước chuyển từ bài toán tìm x sang bài toán giải phương trình (Luận văn thạc sĩ)Bước chuyển từ bài toán tìm x sang bài toán giải phương trình (Luận văn thạc sĩ)Bước chuyển từ bài toán tìm x sang bài toán giải phương trình (Luận văn thạc sĩ)Bước chuyển từ bài toán tìm x sang bài toán giải phương trình (Luận văn thạc sĩ)Bước chuyển từ bài toán tìm x sang bài toán giải phương trình (Luận văn thạc sĩ)Bước chuyển từ bài toán tìm x sang bài toán giải phương trình (Luận văn thạc sĩ)

Trang 1

Đặng Thúy An

BƯỚC CHUYỂN TỪ BÀI TOÁN TÌM x

SANG BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2017

Trang 2

Đặng Thúy An

BƯỚC CHUYỂN TỪ BÀI TOÁN TÌM x

Chuyên ngành : Giáo dục học (Giáo dục tiểu học)

Mã số : 60 14 01 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2017

Trang 3

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được xuất phát từ yêu cầu trong công việc để hình thành hướng nghiên cứu

Các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực, có nguồn gốc

rõ ràng, được thu thập trong quá trình nghiên cứu và không trùng lặp với các đề tài khác

Người viết

Đặng Thúy An

Trang 4

Trong thời gian làm luận văn, em đã nhận được nhiều sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến và chỉ bảo nhiệt tình của thầy cô, gia đình và bạn bè

Em xin gửi lòng biết ơn sâu sắc và chân thành đến TS Vũ Như Thư Hương, Giảng viên Khoa Toán – Tin, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình làm luận văn này

Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh nói chung, các thầy cô trong Khoa Giáo dục Tiểu học nói riêng đã dạy dỗ cho em kiến thức, giúp em có được cơ sở lý thuyết vững vàng và tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập

Em cũng xin cảm ơn các Thầy, Cô thuộc phòng Sau Đại học, Trường Đại học

Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho em trong quá trình học tập, nghiên cứu tại trường

Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và Ban Giám hiệu trường Tiểu học Thủ Khoa Huân – TP Mỹ Tho – Tiền Giang đã luôn tạo điều kiện cho quá trình khảo sát, quan tâm, giúp đỡ, động viên em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Đặng Thúy An

Trang 5

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các từ viết tắt

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 BƯỚC CHUYỂN TỪ BÀI TOÁN TÌM x SANG BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 7

1.1 Bài toán tìm x 7

1.1.1 Giai đoạn ngầm ẩn của x ở bậc Tiểu học 8

1.1.2 Giai đoạn tường minh của x ở bậc Tiểu học 11

1.1.3 Bài toán tìm x ở bậc THCS 17

1.2 Bài toán giải phương trình (ở THCS) 21

1.3 Những yếu tố cấu thành bước chuyển 26

Tiểu kết chương 1 27

Chương 2 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 28

2.1 Mục đích và đối tượng của thực nghiệm 28

2.2 Nội dung của thực nghiệm 28

3.2.1 Bài toán 1: (Kiểu nhiệm vụ T_thành phần tổng) 28

2.2.2 Bài toán 2: (Kiểu nhiệm vụ T_số bị trừ) 30

2.2.3 Bài toán 3: (Kiểu nhiệm vụ T_số trừ) 32

2.2.4 Bài toán 4: (Kiểu nhiệm vụ T_thành phần tích) 34

2.2.5 Bài toán 5: (Kiểu nhiệm vụ T_số bị chia) 36

2.2.6 Bài toán 6: (Kiểu nhiệm vụ T_số chia) 37

2.3 Tiến hành thực nghiệm 39

2.3.1 Diễn tiến thực nghiệm bài toán 1 39

Trang 6

Tiểu kết chương 2 58 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 PHỤ LỤC

BIÊN BẢN 1 P1BIÊN BẢN 2 P4BIÊN BẢN 3 P7BIÊN BẢN 4 P10BIÊN BẢN 5 P13BIÊN BẢN 6 P15

Trang 8

Bảng 1.1 Giai đoạn ngầm ẩn của bài toán tìm x 11

Bảng 1.2 Các kiểu nhiệm vụ tường minh liên quan đến bài toán tìm x ở tiểu học 17

Bảng 1.3 Những yếu tố cấu thành bước chuyển từ bài toán tìm x sang bài toán giải phương trình 26

Bảng 2.1 Hệ thống câu hỏi của GV, câu trả lời dự kiến của học sinh ở bài toán 1 29

Bảng 2.7 Hoạt động thực nghiệm bài toán 1 39

Trang 9

MỞ ĐẦU

1 Ghi nhận ban đầu và lí do chọn đề tài

Toán học có vai trò quan trọng và là cơ sở của nhiều ngành khoa học Trong

mạch kiến thức Số học thì bài toán tìm x là một chủ đề tương đối khó và đặc biệt luôn

có mặt trong các đề kiểm tra cuối học kỳ ở bậc tiểu học Trong chương trình và sách

giáo khoa, chúng tôi nhận thấy bài toán tìm x xuất hiện ngay từ lớp 1 dưới dạng ngầm

ẩn là điền số thích hợp vào ô trống hay điền số thích hợp vào dấu ba chấm

Trang 11

Lớp 4:

(SGK Toán 4, tr.168)

Lớp 5:

(SGK Toán 5, tr 32)

Như vậy học sinh đã gặp gỡ kí hiệu x thay thế cho một giá trị cần tìm ngay từ

lớp 2 Câu hỏi mà chúng tôi đặt ra là:

- Học sinh hiểu thế nào về ký hiệu x?

- Liệu học sinh có gặp khó khăn gì khi sử dụng kí hiệu này không?

Lên bậc trung học cơ sở (THCS), học sinh còn gặp lại bài toán tìm x trong một dạng thức khác là bài toán giải phương trình có ẩn số x Câu hỏi đặt ra tiếp theo là: Việc học và giải quyết bài toán tìm x ở bậc tiểu học có tạo thuận lợi hay gây khó

khăn gì cho học sinh khi học và giải quyết bài toán giải phương trình ở cấp THCS? Nghiên cứu chương trình và SGK, chúng tôi cũng nhận thấy học sinh được

hướng dẫn giải bài toán tìm x là tìm thành phần chưa biết trong một phép tính (cộng,

trừ, nhân, chia) bằng cách học thuộc quy tắc Nhưng thực tế giảng dạy cho thấy có

trường hợp học sinh không nhớ được cách làm khi giải bài toán tìm x Nghiên cứu của tác giả Vũ Thị Thu Trang trong luận văn Những khó khăn của học sinh tiểu học khi

học dạng bài tìm x, cho thấy có một số giáo viên đã đưa ra biện pháp hỗ trợ học sinh

trong việc giải bài toán tìm x như:

- Biện pháp 1: Giải bài tìm x bằng cách quan sát dấu

- Biện pháp 2: Giải bài tìm x bằng cách chuyển vế đổi dấu kết hợp học thuộc

qui tắc

Trang 12

- Biện pháp 3: Xét dấu trong trái, ngoài cùng

- Biện pháp 4: Giải bài tìm x theo qui tắc Xuôi – Ngược

- Biện pháp 5: Lấy ví dụ với những con số nhỏ để suy luận làm bài

Câu hỏi mới của chúng tôi là: Có nên cung cấp các quy tắc (biện pháp 2) cho học

sinh ở bậc tiểu học, vận dụng các biện pháp 1, 3, 4 để hỗ trợ học sinh giải bài toán tìm

x hay không? Các quy tắc đó có thể ảnh hưởng gì lên mục đích dạy học chủ đề bài toán tìm x ở bậc tiểu học?

Vì những lí do trên, tôi chọn nghiên cứu đề tài “Bước chuyển từ bài toán tìm x

sang bài toán giải phương trình”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục đích của nghiên cứu của luận văn này là tìm kiếm các yếu tố cho phép

chuyển từ bài toán tìm x sang bài toán giải phương trình có ẩn x và sự có mặt của các

yếu tố đó trong thể chế dạy học ở bậc tiểu học

- Để thực hiện các mục tiêu nghiên cứu đã đề ra, chúng tôi chọn nghiên cứu về mặt lí luận, cụ thể:

o Nghiên cứu bài toán tìm x ở Tiểu học (chương trình và sách giáo khoa)

o Nghiên cứu bài toán giải phương trình ở THCS (chương trình và sách giáo khoa)

o Nghiên cứu về các yếu tố cho phép thực hiện bước chuyển từ bài toán

tìm x ở bậc Tiểu học sang bài toán giải phương trình ở bậc THCS

3 Tổng quan (Lịch sử nghiên cứu)

Trong luận văn cao học có tựa đề “Tiếp cận khái niệm phương trình và phép

biến đổi phương trình bậc nhất một ẩn ở trường phổ thông”, tác giả Lê Thanh Hải

(2009) đã:

- Giải thích được vì sao cùng là tiếp cận phương trình nhưng lại có thể đưa vào chương trình dạy học ở phổ thông với nhiều cấp độ, tiến triển liên tục trong suốt các năm học của học sinh từ khi bắt đầu học toán cho đến những năm cuối của phổ thông;

- Giải thích được một số lựa chọn của chương trình và SGK (từ lớp 1 đến lớp 8) trong việc xây dựng quá trình tiếp cận phương trình ở phổ thông;

Trang 13

- Cho rằng một số cách tiếp cận tổ chức toán học liên quan đến phương trình là phù hợp với những tiến triển tất yếu của tri thức mặc dù có những ứng xử rất khác nhau ở cả GV lẫn học sinh

- Chỉ ra một giai đoạn tiếp cận phương trình rất quan trọng, đó là từ cách tiếp cận

“phô bày” tiến triển đến cách tiếp cận “hình thức”

Còn trong đề tài mang tên “Những khó khăn của học sinh Tiểu học khi học

dạng bài tìm x và một số biện pháp hỗ trợ”, tác giả Vũ Thị Thu Trang (2016) đã đưa ra

các biện pháp hỗ trợ của giáo viên tiểu học nhưng chưa giải quyết được hết những khó

khăn mà phương pháp học thuộc quy tắc cũng như dạng bài toán tìm x mang lại Mỗi

biện pháp hỗ trợ có thể tốt ở trường hợp này nhưng lại chưa tốt ở trường hợp khác, có thể áp dụng được cho số tự nhiên nhưng lại không thể áp dụng cho phân số và số thập phân…

4 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

Trong phạm vi luận văn này, do muốn nghiên cứu về bước chuyển nên chúng tôi giới hạn phạm vi nghiên cứu như sau :

- Bài toán tìm x từ lớp 1 đến lớp 7

- Bài toán giải phương trình ở lớp 8 vì đây là thời điểm bài toán này xuất hiện lần

đầu một cách chính thức

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu sau:

- Nghiên cứu tài liệu (chương trình, sách giáo khoa, các công trình nghiên cứu khoa học)

Các phương pháp nghiên cứu lí luận:

- Tổng quan về các vấn đề có liên quan đến đề tài: bài toán tìm x ở Tiểu học

- Sử dụng phối hợp các phương pháp: phân tích, tổng hợp, phân loại, hệ thống hóa, khái quát hóa các tài liệu có liên quan để xây dựng cơ sở lý thuyết và nội dung của đề tài

Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn:

- Điều tra các hoạt động dạy học bài toán tìm x ở các trường tiểu học, bài toán

giải phương trình ở THCS

Trang 14

Các phương pháp toán học:

- Áp dụng phương pháp thống kê toán học để phân tích, xử lý các số liệu

- Phương pháp tổng hợp và khái quát hóa

6 Cấu trúc luận văn

Dự kiến luận văn gồm 2 chương (không kể phần Mở đầu và Kết luận) :

Chương 1 BƯỚC CHUYỂN TỪ BÀI TOÁN TÌM x SANG BÀI TOÁN GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH

1.1 Bài toán tìm x ở bậc Tiểu học

1.2 Bài toán giải phương trình ở THCS

1.3 Những yếu tố cấu thành bước chuyển

Kết luận

Chương 2 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

Trang 15

Chương 1 BƯỚC CHUYỂN TỪ BÀI TOÁN TÌM x

Trong chương này, chúng tôi sẽ xem xét sự tồn tại của bài toán tìm x ở bậc tiểu học, bài toán giải phương trình ở bậc trung học cơ sở và cố gắng tìm kiếm các yếu tố cho phép chuyển từ bài toán tìm x sang bài toán giải phương trình Bên cạnh đó,

chúng tôi cũng sẽ trình bày quan điểm của chúng tôi và các tham chiếu về ba khái

niệm chính được đề cập đến trong phạm vi luận văn này, đó là: bài toán tìm x, bài toán

giải phương trình và bước chuyển

Vì đối tượng nghiên cứu ở chương này là các bài toán nên chúng gắn liền với các kiểu nhiệm vụ Tuy nhiên trong phạm vi luân văn này, chúng tôi chỉ quan tâm tới khối

Kỹ thuật tức sẽ chỉ ra kỹ thuật  giải quyết kiểu nhiệm vụ T tương ứng chứ không phân tích đầy đủ tổ chức toán học theo thuyết nhân học trong Didactic Toán (bao gồm Kiểu nhiệm vụ T, Kỹ thuật , Công nghệ , Lý thuyết )

1.1 Bài toán tìm x

Bài toán tìm x được nghiên cứu trong phạm vi luận văn này liên quan đến bậc

tiểu học và được hiểu là bài toán trong đó cần tìm giá trị cho x, mà:

- x là thành phần chưa biết của một trong 4 phép toán cộng, trừ, nhân, chia (số

hạng, số bị trừ, số trừ, thừa số, số bị chia, số chia)

- Khi thay giá trị này cho x thì được một đẳng thức số đúng

Như vậy các bài toán cần tìm kết quả tổng/hiệu/tích/thương của hai số không

thuộc phạm vi được các bài toán tìm x được xem xét ở đây

Chúng tôi cũng nói rõ thêm rằng thuật ngữ bài toán tìm x không có mặt trong

chương trình và sách giáo khoa ở bậc tiểu học Thuật ngữ này được chúng tôi chọn sử dụng để chỉ lớp các bài toán như mô tả ở trên Trong mỗi trường hợp cụ thể của thành

phần x cần tìm, bài toán sẽ có tên tương ứng như trong sách giáo khoa bậc tiểu học mà

chúng tôi sẽ trình bày cụ thể sau đó

Trang 16

1.1.1 Giai đoạn ngầm ẩn của x ở bậc Tiểu học

Ở lớp 1, học sinh mới bắt đầu làm quen với hệ thống số có một chữ số Phép toán đầu tiên được học là phép cộng trên các số (khác 0) trong phạm vi 3, tức là có tổng nhỏ hơn hoặc bằng 3 Sau đó phạm vi được nới rộng lên đến 100 Trước khi phép toán trừ được giới thiệu, chúng tôi tìm thấy kiểu nhiệm vụ sau:

Kiểu nhiệm vụ T _ngầm ẩn : Tìm số để điền vào ô vuông/dấu ba chấm ở vị trí thành phần của một tổng (hiệu)

Kỹ thuật: Dùng phép đếm trong phạm vi được chỉ định, tức là:

- đếm tới: Đọc lần lượt từng giá trị từ 1, 2, 3… cho số hạng ở ô vuông cho đến khi đạt được tổng (hiệu) đã cho để tìm ra số thích hợp

Trang 17

(SGK Toán 1 SGV, tr.62)

Nên lời giải có thể minh họa cho bài toán “ + 1 = 3” là như sau:

1 cộng 1 bằng 2; kết quả là 2, chưa phù hợp nên đếm tiếp

2 cộng 1 bằng 3; kết quả là 3, phù hợp nên dừng đếm và ghi 2 vào ô trống

thích hợp là 2 và ghi 2 vào ô trống

Một bài toán tương tự nhưng thay vì tìm số để điền vào ô vuông thì phải điền vào chỗ

có dấu ba chấm (xuất hiện lần đầu tiên trong bài Phép cộng trong phạm vi 5) mà chúng

tôi sẽ không nêu lời giải:

Cũng ở lớp 1, khi phép trừ được giới thiệu xong (trong các phạm vi 3, 4, 5), sách giáo khoa đưa vào bài toán tìm số điền vào ô vuông ở bài Luyện tập chung, có đồng thời cả hai phép toán cộng và phép toán trừ:

Ví dụ 2:

- Sách giáo viên Toán 1 ưu tiên kỹ thuật bảng:

(SGV Toán 1, tr.84)

Trang 18

- Cũng với bài toán “3 +  = 5”, theo kỹ thuật đếm tới, học sinh cần đếm từ 1 như sau:

3 cộng 1 bằng 4; kết quả là 4, chưa phù hợp nên đếm tiếp

3 cộng 2 bằng 5; kết quả là 5, phù hợp nên dừng đếm và ghi 2 vào ô trống

Xét bài toán ứng với phép trừ “4 -  = 1”, hai lời giải ứng với hai kỹ thuật đã nêu là như sau:

4 trừ 1 bằng 3; kết quả là 3, chưa phù hợp nên đếm tiếp

4 trừ 2 bằng 2; kết quả là 2, chưa phù hợp nên đếm tiếp

4 trừ 3 bằng 1; kết quả là 1, phù hợp nên dừng đếm và ghi 3 vào ô trống

- Theo kỹ thuật bảng, học sinh nhớ (dò) bảng trừ trong phạm vi 5 và tìm được số thích hợp là 3 và ghi 3 vào ô trống

Sang đầu lớp 2, “bài toán tìm x” ngầm ẩn xuất hiện trong ví dụ sau đây

Ví dụ 3: SGK cho bài toán được trình bày hình thức đặt phép tính phép cộng hai

số có hai chữ số (thành 3 dòng) nhưng số cần tìm là số ở hàng đơn vị:

(SGK Toán 2, tr.6)

Như vậy, bài toán này có thể quy về bài toán tìm số điền vào ô trống sao cho: 2 +

 = 7, tức là học sinh cần tìm một số để 2 cộng với số đó thì được 7

- Theo kỹ thuật đếm tới, học sinh đọc nhẩm trong đầu từ 1, 2, 3… đến 5 để xem tổng của 2 với số đang đọc có phải là 7 chưa và cuối cùng tìm được số 5 là phù hợp

- Theo kỹ thuật bảng, thì học sinh thuộc bảng cộng 7 nên chọn ngay số 5 là số phù hợp

Mặc dù học sinh đã học phép cộng và phép trừ trong phạm vi 10, nhưng phép trừ được xây dựng cùng một cách với phép cộng, tức là xây dựng thành bảng trừ, do đó kỹ thuật tìm thành phần chưa biết của tổng (hiệu) bằng cách làm toán trừ (cộng/trừ) chưa thể xuất hiện ở đây

Trang 19

Bảng 1.1 Giai đoạn ngầm ẩn của bài toán tìm x

Hình thức biểu thị cho x - Ô vuông

- Dấu ba chấm

Kỹ thuật - đếm tới

- dùng bảng cộng/bảng trừ Phép toán Cộng hoặc Trừ

Phạm vi của x Có 1 chữ số

1.1.2 Giai đoạn tường minh của x ở bậc Tiểu học

Ở lớp 2, bài toán tìm x với ký hiệu x chính thức xuất hiện một cách tường minh

lần đầu tiên trong bài Tìm một số hạng trong một tổng:

Có thể thấy mẫu chính là 1 ví dụ minh họa cho kiểu nhiệm vụ trên

Ở bài toán này, cần tìm x, đó là số cộng với 3 thì được 9

Trang 20

Theo kỹ thuật thành phần tổng nêu trên, học sinh lấy tổng, là số 9, trừ đi số hạng kia,

là số 3 thì được số 6 là giá trị cần tìm cho x

Đến đây, kỹ thuật tìm thành phần chưa biết của tổng bằng cách làm toán trừ đã chính thức xuất hiện Điều này cho thấy mối liên hệ giữa “phép cộng - phép trừ” như hai phép toán ngược nhau

Tiếp đến kiểu nhiệm vụ thứ hai xuất hiện trong bài Tìm số bị trừ:

Kiểu nhiệm vụ T _số bị trừ : Tìm x là số bị trừ trong một hiệu (của hai số)

Kỹ thuật số bị trừ: Lấy hiệu cộng với số trừ

Với kiểu nhiệm vụ tìm số bị trừ x sao cho: x – 4 = 6, học sinh cần tìm số x để x

trừ đi 4 thì được 6

- Theo kỹ thuật số bị trừ nêu trên, học sinh lấy hiệu là 6 cộng với số trừ là 4 thì

được số 10 là giá trị cần tìm cho x

Như vậy, kỹ thuật tìm thành phần chưa biết của hiệu bằng cách làm toán cộng đã được sách giáo khoa giới thiệu Cũng vậy, lần này mối liên hệ giữa “phép trừ -phép cộng” như hai phép toán ngược nhau được tiếp tục củng cố

Tiếp đến kiểu nhiệm vụ tường minh thứ ba xuất hiện trong bài Tìm số trừ:

Trang 21

Kiểu nhiệm vụ T _số trừ : Tìm x là số trừ trong một hiệu (của hai số)

Kỹ thuật số trừ: Lấy số bị trừ trừ đi hiệu (được giới thiệu tường minh)

Kiểu nhiệm vụ tìm số trừ được sách giáo khoa giới thiệu qua ví dụ tìm x để “10 –

x = 6”

Nghĩa là cần tìm số x để 10 trừ x thì được 6

Dùng kỹ thuật số trừ, học sinh lấy số bị trừ là 10 trừ đi hiệu, là số 6, thì được số 4

là giá trị cần tìm cho x

Nếu trong kiểu nhiệm vụ T_ số bị trừ, phép toán cần thực hiện là phép toán ngược

của phép trừ hai số (phép cộng) thì ở kiểu nhiệm vụ T _số trừ này, phép toán cần thực

hiện vẫn là phép trừ

Kiểu nhiệm vụ tường minh thứ tư xuất hiện trong bài Tìm một thừa số của phép

nhân:

Trang 22

Kiểu nhiệm vụ T _thành phần tích : Tìm x là thừa số (chưa biết) trong một tích

Kỹ thuật thành phần tích: Lấy tích chia cho thừa số kia (thừa số đã biết)

Ví dụ minh họa cho kiểu nhiệm vụ trên là tìm x để “x × 2 = 8” tức là tìm số x để

x nhân với 2 thì được 8

Theo kỹ thuật thành phần tích được sách giáo khoa cung cấp, học sinh lấy tích là 8

chia cho thừa số kia (đã biết), là 2 thì được số 4 là giá trị cần tìm cho x

Kiểu nhiệm vụ thứ tư này cho thấy mối liên hệ giữa “phép nhân-phép chia” như hai phép toán ngược của nhau

Kiểu nhiệm vụ thứ năm xuất hiện trong bài Tìm số bị chia:

Trang 23

Kiểu nhiệm vụ T _số bị chia : Tìm x là số bị chia trong một thương

Kỹ thuật số bị chia: Lấy thương nhân với số chia

Theo ví dụ minh họa cho kiểu nhiệm vụ này, cần tìm x sao cho “x: 2 = 5”, tức tìm

số x biết x chia cho 2 thì được 5

Sử dụng kỹ thuật số bị chia là lấy thương tức số 5 đem nhân với số chia, là 2, thì

được số 10 là giá trị cần tìm cho x

Ở đây, ta thấy mối liên hệ giữa “phép chia-phép nhân” như hai phép toán ngược nhau

Ở lớp 3, bài toán tìm x cũng xuất hiện dưới dạng tìm một thành phần chưa biết

của phép tính, với kiểu nhiệm vụ thứ sáu xuất hiện trong bài Tìm số chia và thay vì

dùng phép toán ngược của phép chia là phép nhân thì lần này việc tìm số chia đòi hỏi thực hiện cũng phép toán chia

Kiểu nhiệm vụ T _số chia : Tìm x là số chia trong một thương

Kỹ thuật số chia: Lấy số bị chia, đem chia cho thương

Kiểu nhiệm vụ này được giới thiệu trong bài toán tìm x để 30 : x = 5, nói cách khác là tìm số x để 30 chia cho x thì được 5

Theo kỹ thuật số chia nêu trên, cần lấy số bị chia là số 30 đem chia cho thương, là

số 5 thì được thương là số 6 Đó là giá trị cần tìm cho x

Đến đây, kỹ thuật tìm thành phần chưa biết của thương bằng cách làm toán chia

Trang 24

đã chính thức xuất hiện

Sang lớp 4, không có kiểu nhiệm vụ nào mới ngoài 6 kiểu nhiệm vụ trên, kỹ

thuật cũng không thay đổi Điểm mới nằm ở chỗ phạm vi số được mở rộng sang tập số hữu tỉ không âm, tức là các phân số

Ví dụ:

Cũng nhƣ lớp 4, ở lớp 5, 6 kiểu nhiệm vụ cũ vẫn không đổi ngoại trừ phạm vi

số đã chuyển sang các số thập phân và một số bài toán không cho sẵn tổng/hiệu/tích/thương

Ví dụ:

Đối với các bài tập này, kỹ thuật có thêm 1 bước là tìm tổng/hiệu/tích/thương của

các số đã biết rồi mới tiến hành kỹ thuật tương ứng để tìm x

Đặc biệt, trong SGK Toán 5, trang 159 có 2 bài toán tìm x, không yêu cầu thực hiện phép tính mà yêu cầu dự đoán kết quả tìm x

Trang 25

Tiểu kết:

- Chúng tôi tìm được 6 kiểu nhiệm vụ liệt kê dưới bảng sau:

Bảng 2.2 Các kiểu nhiệm vụ tường minh liên quan đến bài toán tìm x ở tiểu học

Kiểu nhiệm vụ Kỹ thuật Phép toán chính Phép toán

- Phạm vi số tiến triển từ số tự nhiên sang phân số rồi đến số thập phân

- Kỹ thuật được bổ sung bởi các tính chất của phần tử trung hòa (số 0) và phần tử đơn vị (số 1) trong một số bài toán đặc biệt

• Tính chất của số 0: mọi số cộng với 0 (hoặc trừ đi 0) đều bằng chính số đó

• Tính chất của số 1: mọi số nhân với 1 (hoặc chia cho 1) đều bằng chính số đó

số tự nhiên hay số nguyên

Ví dụ:

(SGK Toán 6, Tập 1, tr.17)

Trang 26

(SGK Toán 6, tập 1, tr.87)

Về kỹ thuật:

Bên cạnh các kỹ thuật tìm thành phần chưa biết của phép toán như thành phần tổng,

số bị trừ, số trừ, thành phần tích, số bị chia, số chia, xuất hiện các kỹ thuật mới để giải quyết kiểu nhiệm vụ này là :

- trung hòa: dựa trên tính chất phần tử trung hòa để chỉ ra giá trị của một thành phần chưa biết trong phép nhân có tích bằng 0, chính là phần tử trung hòa 0

- đơn vị: dựa trên tính chất phần tử đơn vị để tìm một thành phần của phép nhân khi thành phần kia và tích số bằng nhau chính là phần tử đơn vị 1

- chuyển vế: sử dụng quy tắc chuyển vế để sắp xếp các số hạng không chứa x về vế phải và giữ các số hạng có chứa x ở vế trái rồi thực hiện phép toán để tìm x

(Toán 6, Tập 1, tr.86)

Ví dụ minh họa cho kỹ thuật trung hòa và đơn vị :

Xét bài toán:

(SGK Toán 6, Tập 1, tr.17)

- Ở câu hỏi a), sử dụng kỹ thuật trung hòa: theo tính chất của phần tử trung hòa,

số 0 nhân với mọi số đều bằng 0 Mà (x – 34) nhân với 15 bằng 0 nên (x – 34) là số 0

Từ đó dẫn đến bài toán quen thuộc là tìm x thỏa: x – 34 = 0 Sau đó, bài toán này được

giải theo kỹ thuật cũ số bị trừ hoặc kỹ thuật chuyển vế

- Ở câu hỏi b), sử dụng kỹ thuật đơn vị : theo tính chất của phần tử đơn vị, số 1

nhân với mọi số đều bằng chính nó Do 18 nhân với (x – 16) bằng chính nó, là số 18 nên số (x – 16) chính là phần tử đơn vị, hay x – 16 = 1 Bài toán này có thể giải quyết

bằng kỹ thuật số bị trừ hoặckỹ thuật chuyển vế.

Nếu so với bài toán tìm x ở tiểu học, ở đây vế trái của bài toán tìm x xuất hiện

Trang 27

hai phép toán Ngoài cách giải trên, còn có thể quy về hai bài toán tìm thành phần chưa biết của phép toán, chẳng hạn xét câu a của ví dụ trên:

o Bài toán thứ nhất ứng với kiểu nhiệm vụ T _thành phần tích, thành phần chưa biết

lúc này là một biểu thức chứa x, đó là (x – 34) và tìm (x – 34) bằng kỹ thuật thành phần

tích tức là lấy 0 chia cho 15, hay x – 34 = 0/15, thu được bài toán thứ hai là x – 34 = 0

o Bài toán thứ hai ứng với kiểu nhiệm vụ T _số bị trừ, thành phần chưa biết lúc

này là x Để tìm x, sử dụng kỹ thuật số bị trừ tức là lấy hiệu số cộng với số trừ: x = 0 +

Trang 28

Điều này hoàn toàn khác với các bài toán tìm x ở bậc tiểu học vì ở tiểu học, luôn tìm được duy nhất một số x để trả lời cho bài toán tìm x

Lớp 7

Ở lớp 7, trong bài Cộng, trừ số hữu tỉ, sách giáo khoa giới thiệu quy tắc “chuyển

vế” dành cho đẳng thức, như sau :

Đặc biệt, ở lớp 7 bài toán tìm x được mở rộng thành bài toán tìm hai số x và y

Ví dụ:

(Toán 7, Tập 1, tr30)

Kỹ thuật mới thay thế:

- Từ một đẳng thức chứa x và y, tìm x theo y (hoặc tìm y theo x)

- Thay thế x (hoặc y) vừa tìm được vào đẳng thức còn lại thì được bài toán tìm y (bài toán tìm x)

- Dùng các kỹ thuật đã biết dành cho bài toán tìm x để tìm y

- Lấy giá trị của y thay vào đẳng thức thứ nhất để tìm x

Trang 29

Ta được: (y - 7): 2 = y: (-5) còn lại thì được bài toán tìm y

(y – 7).(-5) = y.2

-5y + 35 = 2y 7y = 35

“nghiệm” của đa thức (một biến)

Như vậy, “x” được hiểu ngầm/được gọi là “biến x” Ngoài ra, tính đa nghiệm của

một đa thức cũng được giới thiệu:

1.2 Bài toán giải phương trình (ở THCS)

Về bài toán giải phương trình, chúng tôi dựa trên cơ sở kết quả nghiên cứu trong luận văn cao học của tác giả Lê Thanh Hải (2009) để chỉ ra khái niệm này cần được hiểu như thế nào (dưới góc độ của người nghiên cứu) Còn thực tế về cách định nghĩa khái niệm này trong chương trình và sách giáo khoa thì chúng tôi sẽ trình bày ở dưới

Trang 30

Từ việc tham khảo các công trình nghiên cứu của Aude Sainfort1 (1988), Joelle Vlassis và Isabelle Demonty2, Từ điển toán học thông dụng3, tác giả Lê Thanh Hải đã chỉ ra các phương pháp tiếp cận khái niệm phương trình bậc nhất một ẩn, tóm tắt trong bảng sau:

Như vậy, “khái niệm phương trình được định nghĩa thông qua mệnh đề chứa

biến hoặc hàm số”

Chúng tôi cũng tham khảo trực tiếp luận văn của tác giả Aude Sainfort (1988) và tham chiếu các định nghĩa khái niệm mà tác giả này trích từ SALOMON Mme A.4(1921) như sau:

1 Tác giả của luận văn có tựa đề "Mémoire sur une inconnue"

2

Các tác giả của luận văn có tựa đề "La résolution des equations du premier degr à a une inconnue" và

"Apprendre à résoudre des équations"

3 Do tác giả Ngô Thúc Lanh chủ biên

4

Tác giả của tài liệu "Leçons d'Algèbre à l'usage de l'enseignement secondaire des jeunes filles et des aspirantes au baccalauréat et au brevet supérieur" Douzième édition Paris, Librairie Vuibert, 1921

Trang 31

Khái niệm phương trình:

Theo định nghĩa này, phương trình được xây dựng dựa trên khái niệm đẳng thức

số mà chúng tôi lược dịch lại hai phần đóng khung ở trên, như sau:

Đẳng thức của các biểu thức chứa chữ là một đẳng thức đúng với mọi giá trị số của chữ biểu thị trong đẳng thức đó

Trang 32

(Toán 8, tr.5)

Sau đó, sách giáo khoa mới đưa ra định nghĩa chính thức cho khái niệm phương

trình một ẩn:

Để mở rộng vấn đề về ký hiệu dành cho ẩn số, sách giáo khoa có trình bày hai ví

dụ về hai phương trình, lần lượt có ẩn số là x và t

Như vậy, có thể nói rằng ký hiệu x được chọn như một trong các yếu tố cấu thành nên bước chuyển từ bài toán tìm x sang bài toán giải phương trình

Khái niệm nghiệm của phương trình một ẩn chưa được định nghĩa tường minh

mà chỉ được giới thiệu thông qua một ví dụ cụ thể:

Khái niệm tập nghiệm của phương trình cũng được giới thiệu để dẫn đến khái niệm giải phương trình:

Trang 33

Kỹ thuật giải phương trình

Sách giáo khoa lớp 8 giới thiệu hai quy tắc biến đổi phương trình là quy tắc

chuyển vế và quy tắc nhân với một số:

[…]

Có thể nói kể từ lớp 8, các kỹ thuật đếm tới , bảng , thành phần tổng, số bị trừ, số trừ, thành

Trang 34

phần tích, số bị chia, số chia hoàn toàn bị “khai tử”, riêng chuyển vế được giữ lại và quy tắc nhân

được hình thành và thống trị từ đây

1.3 Những yếu tố cấu thành bước chuyển

Khái niệm bước chuyển được chúng tôi sử dụng trong phạm vi luận văn này cần được

hiểu như những yếu tố cho phép người dạy lẫn người học đi từ tri thức cũ sang tri thức mới được (hai tri thức này ít nhiều phải có mối liên quan), nghĩa là cho phép họ tiếp cận với tri thức mới (ở đây là bài toán giải phương trình) mà không quá đột ngột đồng

thời vẫn sử dụng được các khái niệm, kỹ thuật, … đã có trong tri thức cũ (là bài toán

tìm x)

- Đại lượng chưa biết, thường được ký hiệu bởi ô vuông, dấu ba chấm, x,

- Biểu thức chứa đại lượng chưa biết, là x (biểu thức đại số)

Bảng 2.3 Những yếu tố cấu thành bước chuyển từ bài toán tìm x sang bài toán giải phương trình

Bài toán tìm x Yếu tố của bước chuyển Bài toán

giải phương trình

- Số cần tìm

- được ký hiệu bởi ô

vuông, dấu ba chấm, x, y

Đại lượng chưa biết - Ẩn số

- được ký hiệu bởi x, y, z,

t,

- Sự bằng nhau của hai số Đẳng thức (hình thức, tạm

thời chưa phải là đẳng thức đúng)

Hệ thống biểu đạt: x, y, z, t

dấu “=”giữa hai biểu thức

Việc tìm x Tìm đại lượng chưa biết Giải phương trình, tìm

nghiệm của phương trình

Trang 35

Tiểu kết chương 1

Trở lại với câu hỏi đã được chúng tôi đặt ra từ đầu:

bài toán tìm x hay không? Các quy tắc đó có thể ảnh hưởng gì lên mục đích dạy học chủ đề bài toán tìm x ở bậc tiểu học?

Kết quả nghiên cứu ở chương này cho thấy thể chế dạy học tiểu học liên quan

đến đối tượng bài toán tìm x gắn liền với 6 kiểu nhiệm vụ T_thành phần tổng, T_ số bị trừ, T_ số trừ, T_ thành phần tích, T_ số bị chia, T _số chia được giải quyết dựa trên nguyên tắc tìm thành

phần chưa biết của phép tính, có mục đích sư phạm là cho học sinh thấy được mối quan hệ giữa các cặp phép toán ngược nhau là “phép cộng – phép trừ”, “phép nhân – phép chia” Thể chế hoàn toàn chưa có dụng ý đưa vào bậc tiểu học các quy tắc biến đổi phương trình như ở cấp trung học cơ sở (cụ thể là từ lớp 8), đó là kỹ thuật chuyển

vế đổi dấu và sử dụng kỹ thuật này để giải phương trình

Vậy nên, câu trả lời mà chúng tôi muốn đưa ra là: “hoàn toàn không nên cung

cấp các quy tắc cho học sinh ở bậc tiểu học để hỗ trợ giải bài toán tìm x” vì nếu

cung cấp các quy tắc, việc học tập đối tượng bài toán tìm x sẽ bị sai lạc mục đích sư

phạm mà chương trình đề ra

Bên cạnh đó, vấn đề làm học sinh hiểu nghĩa của bài toán tìm x hoàn toàn chưa được thể chế dạy học chú trọng Tức là chưa có bài toán tìm x nào được gắn với việc

giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống, cũng như chưa tạo ra mối liên hệ giữa

bài toán tìm x và bài toán có lời văn Chúng tôi tự hỏi phải chăng điều này khiến học

sinh thấy việc học và giải quyết bài toán tìm x ở bậc tiểu học không có nhiều lợi ích và

bản thân học sinh cũng ít có gắn kết được tri thức đã học với tri thức mới khi giải bài toán bằng cách lập phương trình ở lớp 8?

Với mục đích đem lại nghĩa cho bài toán tìm x, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu một

thực nghiệm ở chương tiếp theo, nhằm tạo cơ hội cho bước chuyển từ giải bài toán có

lời văn bằng cách thiết lập bài toán tìm x sang giải bài toán bằng cách lập phương

trình

5 Đây là các quy tắc được nói đến trong 5 biện pháp mà tác giả Vũ Thị Thu Trang (2016) đã thu thập từ thực tế dạy học hiện nay nơi một số giáo viên

Trang 36

Chương 2 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

2.1 Mục đích và đối tượng của thực nghiệm

 Mục đích của thực nghiệm là xây dựng tình huống qua bài toán có lời văn với nội

dung gắn liền với thực tế và giáo viên dẫn dắt để học sinh giải quyết bằng mô hình

bài toán tìm x Tức là hình thành kỹ thuật mới, tương ứng với kỹ thuật giải quyết

kiểu nhiệm vụ của bài toán tìm x

Để đạt được điều này, một kỹ năng quan trọng cần hình thành nơi học sinh là:

biểu diễn được đại lượng (số) chưa biết theo đại lượng đã biết (số) Kỹ năng này

cũng chính là yếu tố quyết định trong giải bài toán bằng cách lập phương trình ở trung học cơ sở, cụ thể là từ lớp 8

 Đối tượng thực nghiệm: học sinh lớp 3, đã học xong các kiểu nhiệm vụ: T_ thành phần tổng, T_ số bị trừ, T_ số trừ, T_ thành phần tích, T_ số bị chia, T _số chia

2.2 Nội dung của thực nghiệm

Chúng tôi thiết kế 6 bài toán thực nghiệm tương ứng với 6 kiểu nhiệm vụ nói trên

Với mỗi bài toán, chúng tôi cũng trình bày song song hai cách giải quyết:

- Lời giải số học: lời giải cho bài toán có lời văn theo cách thông thường

- Lời giải đại số: kịch bản để dẫn dắt học sinh đi đến thiết lập được bài toán

tìm x

3.2.1 Bài toán 1: (Kiểu nhiệm vụ T_ thành phần tổng )

Năm nay An 5 tuổi Hỏi sau mấy năm thì An được 12 tuổi?

 Lời giải theo Toán có lời văn:

Số năm cần có để An được 12 tuổi là: 12 – 5 = 7 (năm)

Trả lời: Sau 7 năm thì An được 12 tuổi

 Xây dựng hệ thống câu hỏi để dẫn dắt học sinh tìm lời giải bằng mô hình

bài toán tìm x

Trang 37

Bảng 2.1 Hệ thống câu hỏi của GV, câu trả lời dự kiến của học sinh ở bài toán 1

Hệ thống câu hỏi của GV Các câu trả lời dự kiến của học

sinh

- Năm nay bạn An mấy tuổi?

GV vẽ 1 đoạn thẳng nằm ngang dài 5 ô trên

bảng

Năm nay An 5 tuổi

Gv kéo dài đoạn thẳng vừa vẽ thêm 1 ô, sang

phải

- Sau 1 năm nữa thì bạn An mấy tuổi? An được 6 tuổi

Em làm phép toán gì? Toán cộng

Làm như thế nào? Lấy 5 cộng thêm 1 thì được 6

Tương tự, sau 2 năm nữa thì An mấy tuổi?

Em làm như thế nào?

Gv tiếp tục kéo dài đoạn thẳng thêm 1 ô

An được 7 tuổi, lấy 5 cộng thêm 2 thì được 7

Bây giờ cô có câu hỏi khó hơn cho các em

Sau x năm nữa thì An bao nhiêu tuổi?

Gv kéo dài đoạn thẳng sang phải nhiều ô và

viết x cho đoạn mới vẽ thêm

Sau khi học sinh trả lời, đó giáo viên vẽ nối

hai đoạn và ghi 5+x như sau

5 + x

Trang 38

Giả sử là sau x năm, bạn An được 12 tuổi

GV vẽ minh họa đoạn thẳng tổng hợp phải

dài 12 (không phải 12 ô)

Vậy hai số 5 + x và số 12 thế nào với nhau ? Bằng nhau

Ta có thể đặt dấu gì giữa hai số này ?

Tức là ta có bài toán mới: Tìm x để 5 + x = 12

Các em đã biết cách giải bài toán này chưa ?

Sau đó GV cho học sinh giải bài toán quen

thuộc để tìm x và viết câu trả lời cuối cùng

2.2.2 Bài toán 2: (Kiểu nhiệm vụ T_ số bị trừ )

Mẹ Lan có một số quyển tập Mẹ cho Lan 5 quyển Số quyển tập mẹ còn lại gấp ba lần

số quyển tập mà Lan được mẹ cho Hỏi ban đầu mẹ Lan có tất cả bao nhiêu quyển tập?

Số quyển tập mẹ Lan còn lại là:

5 × 3 = 15 (quyển)

Số quyển tập ban đầu mẹ Lan có là:

15 + 5 = 20 (quyển)

Trang 39

 Xây dựng hệ thống câu hỏi để dẫn dắt lời giải theo mô hình bài toán tìm x:

Hệ thống câu hỏi của GV Các câu trả lời dự kiến của học sinh

Giả sử mẹ Lan có 17 quyển tập, sau khi

cho Lan 5 quyển, mẹ còn bao nhiêu?

Em đã làm phép toán gì?

Lấy bao nhiêu trừ bao nhiêu?

17 - 5 = 12

Giả sử mẹ Lan có 33 quyển tập, sau khi

33 - 5 = 26

Giả sử mẹ Lan có x quyển tập, sau khi

Theo đề bài, số quyển tập mẹ còn lại gấp

ba lần số tập của Lan, tức là bao nhiêu?

Em làm phép tính gì?

x - 5 =

3 × 5

Ta biết rằng mẹ Lan còn lại quyển

tập Ta lại cũng biết mẹ Lan còn 3 × 5

quyển tập Vậy ta có thể nói gì về hai số

x – 5 và 3 × 5?

Hai “số” này bằng nhau

GV yêu cầu học sinh ghi ký hiệu dấu

Trang 40

2.2.3 Bài toán 3: (Kiểu nhiệm vụ T_ số trừ )

Buổi sáng cửa hàng có 358 kg gạo Đến chiều, cửa hàng còn lại 269 kg gạo Hỏi trong ngày cửa hàng đó đã bán được bao nhiêu ki-lô-gam gạo?

Số ki-lô-gam gạo mà cửa hàng đã bán được là:

358 – 239 = 119 (kg)

 Xây dựng hệ thống câu hỏi để dẫn dắt lời giải theo mô hình bài toán tìm x

Hệ thống câu hỏi của GV Các câu trả lời dự kiến của học sinh

Buổi sáng cửa hàng gạo có bao nhiêu

ki-lô-gam gạo?

Cửa hàng đó có 358 kg gạo

Nếu cửa hàng bán đi 1kg gạo thì họ còn

lại bao nhiêu kg gạo?

Các em đã thực hiện phép toán gì?

Cửa hàng đó còn lại 357 kg gạo

Phép trừ

358 – 1 = 357

Nếu cửa hàng bán đi 2kg gạo thì họ còn

lại bao nhiêu kg gạo? Em viết phép tính

ra cho cô

Nếu cửa hàng bán đi x kg gạo thì họ còn

358 – 2 = 356

Định dạng
Số trang	87
Dung lượng	3,39 MB