Nguyên lý điểm trùng đối với các ánh xạ trong không gian sắp thứ tự riêng phần (Luận văn thạc sĩ)

Nguyên lý điểm trùng đối với các ánh xạ trong không gian sắp thứ tự riêng phần (Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý điểm trùng đối với các ánh xạ trong không gian sắp thứ tự riêng phần (Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý điểm trùng đối với các ánh xạ trong không gian sắp thứ tự riêng phần (Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý điểm trùng đối với các ánh xạ trong không gian sắp thứ tự riêng phần (Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý điểm trùng đối với các ánh xạ trong không gian sắp thứ tự riêng phần (Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý điểm trùng đối với các ánh xạ trong không gian sắp thứ tự riêng phần (Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý điểm trùng đối với các ánh xạ trong không gian sắp thứ tự riêng phần (Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý điểm trùng đối với các ánh xạ trong không gian sắp thứ tự riêng phần (Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý điểm trùng đối với các ánh xạ trong không gian sắp thứ tự riêng phần (Luận văn thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN THÁI S N

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan: Luận văn thạc sĩ Toán học với đề t i “Nguy n lý điểm trùng đối với các ánh xạ trong không gian sắp thứ tự riêng phần” l do cá nhân tôi thực hiện v ho n th nh dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Ngu ễn Thái Sơn, hoàn toàn không sao chép của bất cứ ai Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu từ các bài báo, tạp chí được liệt

kê trong danh mục tài liệu tham khảo

Tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm về luận văn của mình

TP Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2017

Học viên cao học

Trần Xuân Trung

ng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân th nh đến quý thầ cô hoa Toán – Tin trường ại học Sư phạm Th nh phố H Chí Minh đã tận t nh dạ d

và giúp tôi có thêm nhiều kiến thức cần thiết để thực hiện luận văn n

Chân thành cám ơn quý thầ cô Phòng Sau đại học đã tạo nhiều điều iện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn

Sau cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân th nh v sâu sắc nhất đến gia

đ nh v bạn bè – những người đã luôn luôn ở b n động vi n v giúp đỡ tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn!

TP Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2017

Học viên cao học

Trần Xuân Trung

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Ký hiệu

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Quan hệ thứ tự 4

1.2 Các hái niệm trong tập sắp thứ tự ri ng phần 5

1.3 Ngu n lý tối đại Hausdorff 6

1.4 iểm trùng điểm bất động 6

1.4.1 ịnh nghĩa điểm trùng 6

1.4.2 ịnh nghĩa điểm bất động 6

1.5 ộ đo Lebesgue tr n 7

1.5.1 ịnh nghĩa 7

1.5.2 H m đo được theo Lebesgue 7

1.6 Không gian mêtric 7

1.6.1 ịnh nghĩa hông gian mêtric 7

1.6.2 Li n tục Lipschitz 8

1.6.3 Sự hội tụ 8

1.6.4 Ánh xạ li n tục 8

1.6.5 Ánh xạ mở ánh xạ đóng 8

1.6.6 ịnh lý Weierstrass 8

1.6.7 Ti u chuẩn compact trong n 9

1.6.8 Ti u chuẩn compact trong C a b 9  ,

1.6.9 ịnh lý Ascoli – Arzela 9

1.6.10 Không gian compact 9

1.6.11 Ánh xạ compact 10

1.6.12 ịnh lý điểm bất động Schauder 10

1.7 Không gian Banach 10

1.7.1 Chuẩn 10

1.7.2 Không gian định chuẩn 10

1.7.3 Không gian Banach 11

1.7.4 Các không gian Banach quen thuộc 11

1.8 Nón v thứ tự sinh bởi nón 12

1.8.1 ịnh nghĩa nón 12

1.8.2 Nón sinh 12

1.8.3 Nón chuẩn 12

1.8.4 Nón chính quy 13

1.8.5 Nón minihedral 13

1.8.6 Nón l i (đóng) 13

1.8.7 Nón l i nhọn 13

Chương 2 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI CỦA ĐIỂM TRÙNG VÀ TIÊU CHUẨN CỦA TÍNH SẮP THỨ TỰ TỐT VÀ TÍNH LIÊN TỤC THỨ TỰ 14

2.1 Các định lý về sự t n tại của điểm trùng 14

2.1.1 Các hái niệm cơ bản 14

2.1.2 ịnh nghĩa 1 16

2.1.3 Mệnh đề 1 16

2.1.4 ịnh lý 1 18

2.1.5 Hệ quả 1 23

2.1.6 ịnh lý 2 24

2.1.7 ịnh lý 3 27

2.1.8 Hệ quả 2 30

2.1.9 Hệ quả 3 32

2.2 iều kiện của tính sắp thứ tự tốt và liên tục thứ tự trong không gian Banach sắp thứ tự riêng phần 32

2.2.1 Mệnh đề 2 33

2.2.2 Mệnh đề 3 34

2.2.3 Mệnh đề 4 34

2.2.4 Bổ đề 1 35

2.2.5 Mệnh đề 5 35

2.2.6 Mệnh đề 6 37

2.2.7 Mệnh đề 7 37

2.2.8 ịnh lý 4 38

2.2.9 Mệnh đề 8 41

2.2.10 Bổ đề 2 42

Chương 3 LIÊN HỆ VỚI CÁC KẾT QUẢ TRƯỚC 44

3.1 Sắp thứ tự riêng phần định nghĩa theo m tric 44

3.2 iểm trùng trong hông gian m tric 47

3.2.1 Bổ đề 4 48

3.2.2 Bổ đề 5 51

3.2.3 ịnh lý 5 52

KẾT LUẬN 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

KÝ HIỆU

: quan hệ thứ tự

X,  : tập sắp thứ tự

a b : b là trội của a

inf Q : inf của Q

sup P : sup của P

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Cho các tập X Y khác r ng và các ánh xạ , :,   X Y, điểm xX thỏa đẳng thức    x  x được gọi l điểm trùng của ánh xạ  và  Vậ có ha không điều iện đủ cho sự t n tại điềm trùng của hai ánh xạ?

Trong trường hợp hi X và Y l hông gian m tric các ết quả ho n thiện

về sự t n tại của điểm trùng được tr nh b trong [2 – 4] Các ết quả n dựa

tr n hái niệm ánh xạ phủ (xem [11,12]) đã có đầ đủ các công cụ để xử lý các

phương tr nh toán tử Vậ sự t n tại điểm trùng trong trường hợp hi X và Y là

các hông gian sắp thứ tự ri ng phần thì sao? Khái niệm phủ liệu có thể điều chỉnh v dùng cho các ánh xạ trong hông gian sắp thứ tự ri ng phần không? Từ

đó ta sẽ t m được các định lý về sự t n tại của điểm trùng đối với các ánh xạ bảo

to n thứ tự v ánh xạ phủ sắp thứ tự Trong các trường hợp đặc biệt của các định

lý này ta có thể t m hiểu mối li n hệ với các định lý inh điển của G Birkhoff,

A Tarski, B Knaster, L V Kantorovich về điểm bất động của ánh xạ bảo to n thứ tự (xem [9, trang 25 – 26], [13, trang 601])

T i liệu tham hảo chính ([1]) iểm tra các định lý đã biết về điểm trùng của ánh xạ phủ v ánh xạ Lipschitz trong hông gian m tric (bao g m các định

lý điểm bất động inh điển cho ánh xạ co) Từ đó ết luận chúng có phải ha không là hệ quả của những định lý m ta t m hiểu trong t i liệu tham hảo chính ([1]) Việc phát triển các ết quả n cho các ánh xạ đa trị cũng đã được tiến hành v sẽ được trình bày trong dịp hác Các ết quả tương ứng đã được giới thiệu trong [4,5]

Với mong muốn trả lời các câu hỏi trên, từ đó tiếp tục tìm hiểu và nghiên

cứu sâu hơn về điểm trùng của ánh xạ tôi đã chọn đề tài “Nguyên lý điểm trùng

đối với các ánh xạ trong không gian sắp thứ tự riêng phần”

Chúng tôi trình bày luận văn n dựa trên các kết quả của bài báo

“Coincidence points principle for covering mappings in partially ordered

spaces” của tác giả A V Arutyunov, E S Zhukovskiy và S E Zhukovskiy,

xuất bản năm 2015 tr n tạp chí toán học Topology and its Applications số 179

2 Mục đích

Tìm hiểu và nghiên cứu về sự t n tại điểm trùng của các ánh xạ phủ trong không gian sắp thứ tự riêng phần dựa trên khái niệm phủ được điều chỉnh cho phù hợp

3 Đối tượng và nội dung nghiên cứu

iểm trùng và ánh xạ phủ sắp thứ tự trong không gian sắp thứ tự riêng phần

4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn

ưa ra hái niệm phủ (chính qu ) đối với ánh xạ trong không gian sắp thứ

tự riêng phần Trình bày các định lý về điều kiện đủ cho sự t n tại điểm trùng và điểm trùng tối tiểu của ánh xạ bảo toàn thứ tự và ánh xạ phủ sắp thứ tự Từ các kết quả n hái quát hóa các định lý điểm bất động inh điển đối với ánh xạ bảo toàn thứ tự ng thời cho thấy các định lý đã biết về điểm trùng của ánh xạ phủ và ánh xạ Lipschitz trong không gian mêtric là hệ quả của các kết quả đã trình bày

5 Cấu trúc luận văn

Luận văn được chia l m ba chương với nội dung cụ thể như sau:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trình bày một số kiến thức cần thiết liên

quan đến các chương sau của luận văn

Chương 2: Các định lý về sự tồn tại điểm trùng – tiêu chuẩn của tính sắp thứ tự tốt và tính liên tục thứ tự: Trình bày các khái niệm và các kết quả quan

trọng để xác định sự t n tại điểm trùng của các ánh xạ trong không gian sắp thứ

tự, cùng với các tiêu chuẩn của tính sắp thứ tự tốt và tính liên tục thứ tự trong không gian Banach sắp thứ tự riêng phần

Chương 3: Liên hệ với các kết quả trước: Trình bày mối quan hệ giữa

ánh xạ phủ của hông gian m tric v ánh xạ phủ sắp thứ tự của tập sắp thứ

tự ri ng phần Ngo i ra ta su ra các định lý điểm trùng đối với hông gian mêtric được phát biểu trong [2,3] l các hệ quả của định lý 1 v định lý 3 trong chương 2

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương n sẽ tr nh b các iến thức cần thiết có li n quan đến các chương sau Ở đâ các định nghĩa định lý hệ quả v các mệnh đề bổ đề chỉ phát biểu chứ hông chứng minh

Những iến thức được tr nh b trong chương 1 chúng tôi đã tham hảo v trích dẫn từ các giáo tr nh đã học trong 4 năm đại học v 2 năm cao học tại trường ại học Sư phạm Th nh phố H Chí Minh cùng t i liệu tham hảo chính ([1])

1.1 Quan hệ thứ tự

Quan hệ hai ngôi tr n tập hợp X được gọi l quan hệ thứ tự nếu các điều

iện sau thỏa mãn:

y x ngược lại th ta nói x và y hông so sánh được với nhau

Cho X, . Nếu hai phần tử tù ý của X đều so sánh được với nhau th ta

gọi X,  l tập sắp thứ tự to n phần

Ta cũng nói rằng l thứ tự to n phần ha thứ tự tu ến tính tr n X

Trái lại th ta nói X,  l tập sắp thứ tự ri ng phần l thứ tự ri ng

phần tr n X

1.2 Các khái niệm trong tập sắp thứ tự riêng phần

Cho X,  l tập sắp thứ tự ri ng phần Nhắc lại tập con S  X được gọi

là xích nếu hai phần tử bất của S l so sánh được Phần tử qX được gọi l

cận dưới của tập Q X nếu q x, x Q. Cận dưới qX của Q được gọi l

inf của Q ý hiệu inf Q nếu q, q với cận dưới q bất của Q Tập Q X

được gọi l bị chặn dưới nếu t n tại cận dưới q X của Q m Q được gọi l

phần tử tối tiểu trong tập Q nếu hông có qQ q: m. m Q được gọi l phần

tử nhỏ nhất trong Q nếu m q, q Q Phần tử nhỏ nhất l phần tử tối tiểu, điều ngược lại hông đúng

Ta nói rằng tập con A X là sắp thứ tự tốt trong X nếu với xích S  A

bất luôn t n tại inf S và inf S A Nếu X sắp thứ tự tốt đối với X th ta gọi tắt

là X,  sắp thứ tự tốt Hiển nhi n X,  sắp thứ tự tốt hi v chỉ hi mọi xích

S X đều có inf S

Ta nói rằng tập con AX là – sắp thứ tự tốt đối với X nếu với dã

hông tăng  x n  A bất luôn t n tại inf x n và inf x n A Nếu X – sắp

thứ tự tốt đối với X th ta gọi tắt l X,  – sắp thứ tự tốt Hiển nhi n X, 

 – sắp thứ tự tốt hi v chỉ hi mọi dã  x n X đều có inf x n

Các định nghĩa n đưa đến nếu X,  sắp thứ tự tốt thì nó  – sắp thứ tự tốt iều ngược lại hông đúng Ví dụ sau cho thấ điều đó

Ví dụ 1:

Cho X l hệ tất cả tập con đo được Lebesque của sắp thứ tự theo quan hệ

bao h m Ta biết rằng với bất ỳ xích SX nếu inf S t n tại th inf

A S





V giao đếm được của các tập đo được Lebesque l đo được X,  – sắp thứ

tự tốt Ta chứng minh X, không sắp thứ tự tốt Chọn tùy ý tập hông đo đượcB Cho X l hệ tất cả tập đo được A sao cho B A Hiển nhi n

X   do X Theo ngu n lý tối đại Hausdorff t n tại xích tối đại S X.

Ta chứng minh rằng xích này không có infSX Xét ngược lại giả sử t n tại

inf AX của S Khi đó A l đo được v

A a đo được và BA\ a ,A\ a   A, A S iều n ngược lại với

tính tối đại của S trong X. Do đó xích S không có inf trong X Cho nên X,

không sắp thứ tự tốt

Tương tự với các định nghĩa đã cho như tr n ta đưa ra hái niệm dã hông giảm cận tr n cận tr n đúng tập bị chặn tr n phần tử tối đại v phần tử lớn nhất Các dã hông tăng v hông giảm được gọi l đơn điệu Một tậpF được gọi l bị chặn nếu nó bị chặn tr n v chặn dưới Một ví dụ của tập bị chặn

l đoạn [a b] – tập  x X a: x b, trong đó a b, X cho trước

1.3 Nguyên lý tối đại Hausdorff

M i tập sắp thứ tự ri ng phần đều có một xích tối đại ( hông l tập con thực sự của xích nào)

1.5 Độ đo Lebesgue trên

1.5.1 Định nghĩa

T n tại một   đại số F các tập con của m m i AF gọi l một tập

đo được theo Lebesgue (ha  L  đo được) v một độ đo  xác định tr n F

(gọi l độ đo Lebesgue tr n ) thỏa mãn các tính chất sau:

1) Các hoảng (hiểu theo nghĩa rộng) tập mở tập đóng l  L  đo

được Nếu I l hoảng với đầu mút , ( a b     a b ) thì  I  b a

2) Tập hữu hạn hoặc đếm được l  L  đo được v có độ đo Lebesgue bằng 0

3) Tập A là  L  đo được hi v chỉ hi với mọi  0 t n tại tập

5) ộ đo Lebesgue l đủ   hữu hạn

1.5.2 Hàm đo được theo Lebesgue

H m đo được đối với   đại số các tập  L  đo được gọi l h m đo được theo Lebesgue ha  L  đo được

1.6 Không gian mêtric

1.6.1 Định nghĩa không gian mêtric

Cho tập X   Một ánh xạ :d X  X được gọi l m tric tr n X nếu

các điều iện sau được thỏa mãn x y z, , X :

1) d x y , 0

d x y   x y

2) d x y , d y x ,

3) d x y , d x z   , d z y,

Nếu d là mêtric trên X th cặp X d gọi l một hông gian m tric , 

Nếu d là mêtric trên X th nó cũng thỏa mãn tính chất sau

Cho không gian mêtric X d,  Ta nói dã phần tử  x n X hội tụ (hội tụ

theo mêtric d) về phần tử xX nếu lim  n,  0

 

1.6.4 Ánh xạ liên tục

Cho các không gian mêtric X d,  , Y p và ánh xạ ,  f X: Y

Ta nói ánh xạ f li n tục tại điểm x0X nếu

Cho các không gian mêtric X Y và ánh xạ , f X: Y

Ánh xạ f gọi l ánh xạ mở (đóng) nếu với mọi tập mở (đóng) A X thì ảnh f A l tập mở (đóng)  

1.6.6 Định lý Weierstrass

Trong không gian mêtric X các mệnh đề sau l tương đương:

1) Tập A X là compact

2) Từ m i dã  x n  A có thể lấ ra một dã con hội tụ về phần tử

thuộc A

1.6.7 Tiêu chuẩn compact trong n

Trong không gian n (với m tric thông thường) một tập A là compact

1.6.10 Không gian compact

Cho X d là không gian mêtric , 

Tập A X được gọi l tập compact nếu với mọi dã  x n n trong A đều

có một dã con  x n k k hội tụ lim

k

n k

  và xA

Tập A được gọi l compact tương đối nếu A l tập compact

Nếu A X l tập compact ta nói X d là không gian compact , 

Nhận xét:

 Tập con của một tập compact được gọi l tập compact tương đối

 Tập con A của hông gian m tric X là compact tương đối hi v chỉ

hi m i dã bất ỳ  x n n trong A đều có một dã con  x n k k hội tụ lim

k

n k

  và xA

1.6.11 Ánh xạ compact

Cho X là không gian tôpô và F X: X l ánh xạ li n tục Ánh xạ F được

gọi l compact nếu 1   

Giả sử X l hông gian vectơ tr n trường số K ( K  hay K ) Ánh

xạ :p X  được gọi l một chuẩn tr n X nếu thỏa mãn các điều iện

Số p x được gọi l chuẩn của phần tử x  

Thông thường ta dùng í hiệu x thay cho p x  

1.7.2 Không gian định chuẩn

Không gian vectơ X cùng với chuẩn trong nó được gọi l một hông

gian định chuẩn í hiệu X, 

Các hái niệm hội tụ tập mở đóng compact dã Cauch trong X, 

được hiểu l các hái niệm tương ứng đối với m tric sinh bởi chuẩn

1.7.3 Không gian Banach

Không gian định chuẩn X,  được gọi l hông gian Banach nếu X với

mêtric cảm sinh bởi l hông gian đầ đủ

1.7.4 Các không gian Banach quen thuộc

 Không gian các h m li n tục C a b , x a b: ,  x là hàm liên tuï c

với chuẩn max:

Tính chất 3) của định nghĩa nón còn được gọi l tính l i của nón

Nếu K l nón th thứ tự trong X sinh bởi K được định bởi:

Cho X là không gian Banach có thứ tự xác định bởi nón K

Nón K gọi l nón chuẩn nếu  N 0 : 0  x y x N y

1.8.4 Nón chính quy

Cho X l hông gian Banach có thứ tự xác định bởi nón K Khi đó, K gọi

l nón chính qu nếu mọi dã tăng v bị chặn tr n thì hội tụ

1.8.5 Nón minihedral

Nón K trên không gian Banach X gọi l minihedral nếu mọi , x yX đều

t n tại sup x y ; minihedral mạnh nếu mọi tập bị chặn tr n đều t n tại phần tử ,tối đại

Chương 2 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI CỦA ĐIỂM TRÙNG

VÀ TIÊU CHUẨN CỦA TÍNH SẮP THỨ TỰ TỐT VÀ

TÍNH LIÊN TỤC THỨ TỰ

Trong chương n chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và các kết quả quan trọng để xác định sự t n tại điểm trùng của các ánh xạ trong không gian sắp thứ tự, cùng với các tiêu chuẩn của tính sắp thứ tự tốt và tính liên tục thứ tự trong không gian Banach sắp thứ tự riêng phần

Những kiến thức tr nh b trong chương 2 chúng tôi đã tham hảo và trích dẫn từ tài liệu tham khảo chính ([1]) và các tài liệu tham khảo [9], [10], [13]

2.1 Các định lý về sự tồn tại của điểm trùng

2.1.1 Các khái niệm cơ bản

Cho X,  , Y,  l các tập sắp thứ tự ri ng phần Ánh xạ : X Y

được gọi l bảo to n thứ tự nếu x x1, 2X x, 1 x2 x1  x2

Ta nói ánh xạ : X Y li n tục thứ tự nếu với bất ỳ xích S X ta luôn

có inf S trong X , inf S trong Y và

 

Ta nói  là – li n tục thứ tự nếu với bất ỳ dã hông tăng S X ta

luôn có inf S trong X, inf S trong Y và thỏa (1)

Hiển nhi n nếu ánh xạ : X Y li n tục thứ tự thì nó  – li n tục thứ tự Hơn nữa ánh xạ   – li n tục thứ tự th bảo to n thứ tự (xem [9, trang 25]) Thật vậ giả sử   – li n tục thứ tự Khi đó x x1, 2X x: 1 x2, ta có

1 inf 1, 2

x  x x Do đó  x1 inf   x1 , x2  Vậy  x1  x2

Ví dụ sau đâ chứng minh rằng ánh xạ  – li n tục thứ tự thì không nhất thiết phải li n tục thứ tự

ặt X  S  B Y,  S   b b, , b  trong đó ,b b l hai điểm hác nhau

của B Tập X và Y sắp thứ tự theo quan hệ bao h m Xét ánh xạ : X Y có

inf  A n inf  A n Nếu inf  A n B thì N A: n   B, n N

Trong trường hợp n inf   A n  b  B inf A n  Từ đó  

– li n tục thứ tự Tuy nhiên

infS    B b  b,b inf  S 

Do đó  không li n tục thứ tự

Ta nói ánh xạ  : X Y đóng sắp thứ tự đối với tập W Y nếu đẳng thức

(1) thỏa với bất ỳ xích S X sao cho inf S t n tại  S W,  bảo to n

thứ tự tr n S , inf S t n tại inf S W

Ta nói  là  – đóng sắp thứ tự đối với tập W Y nếu đẳng thức (1) thỏa

với bất ỳ dã hông tăng S X sao cho inf S t n tại  S W,  bảo to n

thứ tự tr n S , inf S t n tại inf S W

Hiển nhi n ánh xạ li n tục ( – li n tục) sắp thứ tự th đóng (– đóng) sắp

thứ tự đối với Y , chiều ngược lại hông đúng Hơn nữa ánh xạ đóng sắp thứ tự

thì – đóng sắp thứ tự Ví dụ 2 chứng minh chiều ngược lại hông đúng Trong

ví dụ n ánh xạ   – đóng sắp thứ tự đối với Y v hông đóng sắp thứ tự đối với Y Ta cũng cần lưu ý tính đóng (– đóng) th được bảo to n hi đưa về W, nghĩa l nếu ánh xạ : X Y đóng (– đóng) sắp thứ tự đối với tập W Y và

W W thì  đóng ( – đóng) đối với tập W

2.1.2 Định nghĩa 1

Với x X tù ý ý hiệu OX,  x O X  x  u X u: x

Ta nói ánh xạ  :X Y phủ sắp thứ tự tập W Y (hay  đang phủ sắp

thứ tự W ) nếu O Y x  W O X x , x X,hay nói cách khác:

Nếu  phủ sắp thứ tự Y thì ta nói  đang phủ sắp thứ tự

Trong chương 3 ta sẽ thấ hái niệm phủ này giống như hái niệm phủ đối với ánh xạ trong không gian mêtric

Việc giới hạn l n W hông ảnh hưởng đến tính chất phủ nghĩa l nếu ánh

Ta sẽ chứng minh ánh xạ phủ sắp thứ tự th hông cần bảo to n thứ tự

S  y Y x  X x y S lần lượt l xích trong X và Y Ngoài ra,

 x y,  X Y l cận dưới của xích S hi v chỉ hi x và y lần lượt l cận dưới

của các xích S X,S Y

Tiếp theo là phần chính của luận văn

Cho X,  , Y,  l các tập sắp thứ tự ri ng phần Cho trước các ánh xạ

c) Với bất ỳ xích SS S=  , ,O X  x0 ,W luôn t n tại cận dưới

uX của S sao cho  u  u

Khi đó điểm trùng của các ánh xạ  và  t n tại trong O X  x0 , hay:

ịnh nghĩa quan hệ trên U như sau: u1, u2U, giả sử u1 u2 nếu

1 2

u u hay u1 u2và  u1  u2 Ta chứng minh là quan hệ thứ tự ri ng phần

Từ định nghĩa quan hệ trên U ta có u u, u U có tính phản xạ

Tương tự cũng từ định nghĩa quan hệ trên U ta có nếu u1 u2 và u2 u1

thì u1u2 có tính phản đối xứng

Tiếp theo ta chỉ cần iểm tra tính bắc cầu l đủ Cho u u u1, 2, 3U, u1 u2

và u2 u3 Nếu u1u2 hay u2 u3thì u1 u3 Giả sử u1 u2 u3 Ta có

1 2 3,

u u u  u1  u2 và  u2  u3 Do u2U nên  u2  u2

Do đó  u1  u3 hay nói cách khác u1 u3 Vậ có tính bắc cầu

Quan hệ l quan hệ thứ tự ri ng phần Theo ngu n lý tối đại Hausdorff,

t n tại xích cực đại (đối với ) S U chứa x1 ịnh nghĩa của cho ta

Cho xS tùy ý, do   x và       x , ta có  x, nghĩa

là  l cận dưới của S Tính tối đại của xích S đối với dẫn tới S Do đó

  Bởi v chiều ngược lại   thỏa n n ta được   Do đó

     

      Ngoài ra ta cũng đ ng thời chứng minh được  l cận

dưới của S đối với

Bâ giờ ta chứng minh điểm trùng  của các ánh xạ  và  là phần tử tối tiểu trong tập tất cả điểm trùng của O X  x0

Giả sử ngược lại: ta có  O X   x0 :    và   Do đó ,

   và do  bảo to n thứ tự ta được        Do đó

  Tính tối đại của S đối với v bất đẳng thức   x, x S dẫn đến

hã iểm tra (c) Từ giả thiết của định lý Knaster – Tars i ta có với xích SS

tù ý luôn t n tại cận dưới uinf S Vì  bảo to n thứ tự  u l cận dưới của

 S

 Hơn nữa quan hệ bao h m S  x : X x  x  cho ta  u l cận

dưới của S Cho nên  u u

Chú ý nga cả nếu X,   Y, và  x  x định lý 1 cũng không l hệ quả của định lý Knaster – Tars i Xét ví dụ sau đâ

Cho trước h m g:  0,1  Giả thiết h m g ,t bị chặn dưới v bảo

to n thứ tự với bất ỳ t 0,1 , hàm g , liên tục đều đối với mọi   0

ứng với m i 0 Lưu ý ta hông giả thiết g ,t li n tục

Cho :I X  l phiếm h m bảo to n thứ tự tù ý Xét phương tr nh:

    , , 0,1 

x t g I x t  t

Ở đâ hàm x li n tục chưa biết Viết lại phương tr nh n dưới dạng:

Khi đó x0  x0 ịnh lý Kanaster – Tarski không thể áp dụng cho

phương tr nh (6) do xích bị chặn dưới trong X có thể không có inf Tuy nhiên

định lý 1 có thể áp dụng cho phương tr nh (6) do điều kiện (c) thỏa

Thật vậy, cho SS  , ,O X  x0 ,W Khi đó x x0, x S,

nếu xS và  x S x: x thì x t g I x t  , ,  t  0,1 (8)

Lấy xích S  X tùy ý thỏa các điều kiện tr n ầu tiên, ta chứng minh

rằng inf S t n tại và inf SS Giả sử ngược lại:

ặt 0I x 0 Do I bảo toàn thứ tự, ta có   0,  I S  Tính bị chặn của g , ,t  t  0,1 dẫn tới t n tại infg , :t  I S   Kí hiệu inf là

Cho zX là cận dưới khác của S Khi đó z t   x t ,   x S, t  0,1

Từ (8) và (9) suy ra

 

g I x t z t    x S t

         

Vì thế z0 z hay z0 infS Mâu thuẫn nên có inf S

ặt z0 inf S Ta chứng minh z0  z0 Do  bảo toàn thứ tự,  z0 là cận dưới của xích  S Bất đẳng thức (7) kéo theo x  x , x S Do đó

 

z  z Vì vậy điều kiện (c) thỏa

Chú ý ta không thể dùng định lý điểm bất động Schauder để chứng minh tính giải được của phương tr nh (6) do  không cần liên tục

Xét hàm I X:  , ví dụ: I x  pmaxx t t ,  0,1  hay

     ,

I x  p x  hoặc tổng của các hàm này Ở đâ  l điểm bất động trên

 0,1 , p l đa thức với bậc lẻ và hệ số hông âm nghĩa l

ặt S x n: 0,1, 2,  Khi đó O X  x0  X, a là cận dưới duy nhất của S,

 S  X ,

  (x n k ) y n1 y n1 x n ,n k, Do đó SS Tuy nhiên

 x

 và  x hông so sánh được Vì thế (c) không thỏa

Ta sẽ chỉ ra định lý Birkhoff – Tarski (xem [13, trang 601]) cũng là hệ quả của định lý 1 Cho a b, X,X, là tập sắp thứ tự riêng phần, a b

2.1.5 Hệ quả 1

Giả sử  b  b và thỏa các điều kiện sau:

1) Hạn chế của  l n đoạn  a b bảo toàn thứ tự ,

Chú ý rằng định lý 1 đảm bảo sự t n tại của phần tử tối tiểu nhưng hông phải là nghiệm nhỏ nhất của phương tr nh  x  x Nói chung các điều kiện của định lý 1 chưa đủ cho sự t n tại của nghiệm nhỏ nhất

Ví dụ sau cho thấ điều đó

   là các ánh xạ đ ng nhất Hiển nhiên  và  thỏa tất cả các điều

kiện của định lý 1 Mọi xX đều l điểm trùng của  và  nên tập các điểm

trùng bằng X Mặt khác X không có phần tử nhỏ nhất ng thời các phần tử tối

tiểu l các điểm của quả cầu đơn vị xét trong hệ trục tọa độ hông dương

Chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu thêm một số điều kiện định lý 1 có thể đảm bảo sự t n tại của điểm trùng nhỏ nhất

Cho x x1, 2X tùy ý Kí hiệu X x x1, 2 là tập tất cả các cận dưới của tập

x x1, 2 Kí hiệu Y tương tự đối với Y