Đề thi chọn HSG tỉnh toán 12 THPT năm 2017 – 2018 sở GD và đt hà tĩnh

4.0 điểm Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, AB= AC=a; tam giác SBD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD.. Gọi M là trung điểm của cạnh SC, mặt phẳng ABM chia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

(Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 (5.0 điểm)

a Cho hàm số 2 3

2

x y x

+

= + có đồ thị (C) và đường thẳng d: y= − +2x m Chứng minh rằng

d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực m Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của

tiếp tuyến của (C) tại A và B Tìm m để k1+ =k2 4

b Cho khai triển (1+x)n = +a0 a x1 +a x2 2+ + a x n n, n∈ℕ,n≥1 Hỏi có bao nhiêu giá trị 2017

n≤ sao cho tồn tại k thỏa mãn

1

7 15

k

k

a

a + =

Câu 2 (4.5 điểm)

a Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 1, 2 x12+x22 >1

2 log + (2x x 4m 2 )m log x mx 2m 0

−

b Giải hệ phương trình ( ) ( 2 )







Câu 3 (4.0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, AB= AC=a; tam giác SBD đều và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh SC, mặt )

phẳng (ABM chia khối chóp ) S ABCD thành hai khối đa diện

a Tính thể tích của khối đa diện không chứa điểm S

b Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM

Câu 4 (4.0 điểm)

a Giả sử hàm số y= f x( ) có đạo hàm là hàm số y= f x'( );

đồ thị của hàm số y= f x'( ) được cho như hình vẽ bên và

Hỏi trong các giá trị f(0); (1); (4)f f giá trị nào là giá trị nhỏ

nhất của hàm sốy= f x( ) trên đoạn [0; 4]?

b Cho hàm số f x( )= 2x3−9x2+12x+m Tìm tất cả các số thực m sao cho với mọi số

thực a b c, , ∈[1;3] thì f a( ); ( ); ( )f b f c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Câu 5 (2.5 điểm)

Một công ty sữa muốn thiết kế hộp đựng sữa với thể tích hộp là 1dm , hộp được thiết kế bởi 3

một trong hai mẫu sau với cùng một loại vật liệu: mẫu 1 là hình hộp chữ nhật; mẫu 2 là hình trụ Biết rằng chi phí làm mặt hình tròn cao hơn 1,2 lần chi phí làm mặt hình chữ nhật với cùng diện tích Hỏi thiết kế hộp theo mẫu nào sẽ tiết kiệm chi phí hơn? (xem diện tích các phần nối giữa các mặt là không đáng kể)

-HẾT -

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

x

y

2 4

O

Câu NỘI DUNG

1a

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và d:

2 3 2

2

x

x m

2

2 (6 ) 3 2 0(*)

x

≠ −



⇔



(6 m) 8(3 2 )m m 4m 12 0, m

không là nghiệm của (*) nên đường thẳng d luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân

biệt A, B với mọi m

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B lần lượt là

,

+ + , trong đó x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình (*)

Ta có

(x 2) (x 2)

2

m

1b Theo giả thiết 1

k n k n

− với k n, ∈ℕ,n≥1, k≤ −n 1

1 7

7 22 15 15

k

n k

+

−

1

3 2

7

k

7

k

n k∈ℕ n≥ ⇒ + ∈ℕ

7

k

, 2017 1 22 1 2017 1 91

n∈ℕ n≤ ⇒ ≤ m− ≤ ⇒ ≤ ≤m

Do đó có 91 giá trị của n thỏa mãn yêu cầu bài toán

2a

2 log + (2x − −x 4m + 2 ) logm + − x +mx− 2m = 0 (1)

Đk:





9 4 5+ = +2 5 và

−

− = − = + nên phương trình

log + (2x x 4m 2 ) logm + (x mx 2m ) 0

PT (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn (3)

( 1) 4(2 2 ) (3 1) 0

3

Lúc đó (2)⇔ =x 2 ;m x= − +m 1

Hai nghiệm thỏa mãn (3)

2 2 2

0

1 1

2

m

m

≠



− < <

1 2

0

5

m

m

<





>



Kết hợp điều kiện (4) và (5) ta có 1 0; 2 1

− < < < <

3 2

2 ( 1) ( 1) 2 (2)







ĐK: x≥0

Ta thấy x=0 không thỏa mãn hệ

f t = +t t + t∈ ℝ

ta có

2

1

t t

+

trên ℝ

PT (3) f y( ) f( 1 ) y 1

2x ( 1) (x 1) x 2 2x 2x x x x 2 (*)

Đặt t= x t( > 0)

2t +2t − − − = ⇔ −t t 2 0 (t 1)(2t +2t +4t +3t + + =3t 2) 0 ⇔ =t 1 Với t=1⇒x=1⇒y=1 Vậy hệ có nghiệm (1;1)

3a

Gọi O là giao điểm của AC và BD, từ giả thiết ta có

3 3 3

3

.

S ABCD

Gọi N là giao điểm của (ABM) và SD

Ta có N là trung điểm của SD

Sử dụng tỉ số thể tích ta có

.

.

1

4

S BMN

S BCD

.

.

1

2

S ABN

S ABD

O N M S

C

D

B

A

;

V = V = ⇒V = suy ra thể tích của khối đa diện không

chứa S bằng 5 . 5. 3 5 3

3b

Ta có MO/ /SA⇒SA/ /(MBD) do đó

( ; ) ( ; ( )) ( ;( )) ( ;( ))

d SA MB =d SA MBD =d A MBD =d C MBD

Xét hình chóp M.BCD có

.

Tam giác MBD là tam giác cân tại M có MO là đường cao Mặt khác trong tam

giác vuông SOC có

2 2

suy ra

2

MBD

3

2

20

C MBD MBD

d C MBD

4a

Từ đồ thị của hàm số y= f x'( ) ta có

BBT của hàm số y= f x( ) như hình bên

Dựa vào BBT ta thấy trên đoạn [0;4] giá

trị lớn nhất của hàm số f x( ) là f(2); giá

trị nhỏ nhất chỉ có thể là f(0)hoặc f(4)

Cũng từ BBT ta có f(1), (3)f < f(2)⇒ f(1)+ f(3)<2 (2)f

Mặt khác f(0)− f(4)=2 (2)f − f(1)− f(3)>0⇒ f(0)> f(4)

Vậy GTNN của hàm số y= f x( ) trên đoạn [0;4] là f(4)

f x = x − x + x+m liên tục trên [1;3] nên có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [1;3]

yêu cầu bài toán

[1;3] [1;3] [1;3]

min f x( ) min f x( ) max f x( )

và

[1;3]

min f x( ) > 0

( ) 2 9 12

g x = x − x + x m+

Ta có g x'( )=6x2−18x+ = ⇔ =12 0 x 1;x=2;

(1) 5 ; (2) 4 ; (3) 9

g = +m g = +m g = +m

Ta thấy m+ < + < +4 m 5 m 9⇒m+ ≤4 g x( )≤ +m 9

[1;3]

max f x( ) =max m+ 4 ;m+ 9 ;

[1;3]

min ( )

4 ; 9 khi ( 4)( 9) 0

f x



=



[1;3]

4

9

m

f x

m

> −



> ⇔ 

< −



Nếu

m< − ⇒ f x = + = − −m m f x = + = − −m m khi đó (1)⇔ − − > − − ⇔ < −2( m 9) m 4 m 14 (thỏa mãn)

Nếu

m> − ⇒ f x = + = +m m f x = + = +m m khi đó (1)⇔2(m+ > + ⇔ >4) m 9 m 1 (thỏa mãn)

x f’(x) ) f(x )

+

- 0

ĐS: m>1;m< −14

5 Gọi t là chi phí làm 2

1dm mặt hình chữ nhật suy ra chi phí làm 2

1dm mặt hình tròn

là 1,2t

- Nếu sản suất theo mẫu 1: Hình hộp chữ nhật

Gọi a b c dm, , ( ) kích thước của hình hộp chữ nhật Khi đó 3

1

V =abc= dm

Suy ra chi phí theo mẫu 1 là

2 3

1

T =S tp t= ab bc+ +ca t≥ abc t= t

Đẳng thức xảy ra khi a= = =b c 1dm

- Nếu sản suất theo mẫu 2: Hình trụ

Gọi r dm( ) là bán kính đáy và h dm( ) là chiều cao Khi đó

2

1

r

π

π

Suy ra chi phí theo mẫu 2 là

2

t

r

Đẳng thức xảy ra khi 3 2

3

,

2, 4

π π

2

1 min 3 2, 4 2, 4 2, 4

suy ra sản xuất hộp theo mẫu thứ 2 sẽ tiết kiệm chi phí hơn