5 điểm a Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB, AC.. a Chứng minh đường trung trực của DE luôn đi qua một điểm cố định.. Tìm quỹ tích trung điểm M của DE..
Trang 1KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TP QUY NHƠN NĂM HỌC 2008 – 2009
MÔN: TOÁN LỚP 9 - Ngày: 15/01/2009 – Thời gian: 150 phút
ĐỀ:
Câu 1.(4 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
xy yz zx 1
b) Chứng minh: A = (12009+22009+⋯+20092009)⋮(1 2+ +⋯+2009)
Câu 2 (4 điểm)
a) Tìm x, y, x ∈ P sao cho: xy – 1 = z
b) Tìm số nguyên dương a để 1 + a + a2 + a3 + a4 là số chính phương
Câu 3 (4 điểm)
a) Tìm đa thức bậc ba f(x) sao cho f(x) – f(x – 1) = x2
b) Từ kết quả trên hãy tính biểu thức:
P = 12 + 22 + …+ n2
Câu 4 (5 điểm)
a) Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB, AC
Đường thẳng d quay quanh A cắt hai nửa đường tròn tại D, E
a) Chứng minh đường trung trực của DE luôn đi qua một điểm cố định
Tìm quỹ tích trung điểm M của DE
c) Tìm vị trí của đường thẳng d để BD + CE đạt giá trị lớn nhất
Câu 5 (3 điểm)
Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AB Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC,
AE
Tính góc AQP
Trang 2GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TP QUY NHƠN
NĂM HỌC 2008 – 2009 MÔN: TOÁN LỚP 9 - Ngày: 15/01/2009 – Thời gian: 150 phút Câu 1 (4 đ)
a) Giải hệ phương trình:
xy yz zx 1
Trước hết, ta chứng minh: x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + xz (1)
Biến đổi tương đương:
(1) ⇔ 2(x2 + y2 + z2) ≥ 2(xy + yz + xz)
⇔ (x – y)2 + (y – z)2 + (x – z)2 ≥ 0 : bất đẳng thức đúng Vậy bđt (1) đúng
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
Do đó từ hệ phương trình, ta có x = y = z
3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm:
b) Chứng minh:
A = (12009+22009+⋯+20092009)⋮(1 2+ +⋯+2009)
Ta chứng minh mệnh đề tổng quát:
2 +
Biến đổi:
2B = [(12k+1 + n2k+1)] + [22k+1 +(n – 1)2k+1 ] + …+[(n – 1)2k+1 + 22k+1] + [n2k+1 + 12k+1]
Mặt khác, 2B có thể viết theo cách khác:
2B = [12k+1 + (n – 1)2k+1] + [22k+1 + (n – 2)2k+1] + … + [(n – 1)2k+1 + 12k+1] + 2n2k+1
nên 2B ⋮ n
Vì (n, n + 1) = 1 nên 2B ⋮ n(n + 1)
2
+ Thay n = 2009 và k = 1004, ta có mệnh đề A
Vậy A = (12009+22009+⋯+20092009)⋮(1 2+ +⋯+2009)
Câu 2 (4đ)
a) Tìm x, y, z ∈ P sao cho x y + 1 = z
Nếu z = 2 thì x = 1∉P: loại
+) Xét y = 2, ta có z = 22 + 1 = 5 ∈ P
Ta có: xy + 1 = 22k+1 + 1 = 2.4k + 1 ≡ -1 + 1 ≡ 0 (mod 3) ⇒ z ⋮ 3 ⇒ z = 3 (z ∈ P)
Trang 3Khi đó: 2y = 3 – 1 = 2 ⇒ y = 1 ∉P: loại
Vậy x = 2, y = 2, z = 5
b) Tìm a ∈ N: 1 + a + a 2 + a 3 + a 4 = n 2 (n ∈ N) (1)
(1) ⇔ 4 + 4a + 4a2 + 4a3 + 4a4 = 4n2 = (2n)2
Ta có: (2a + a)2 < 4 + 4a + 4a2 + 4a3 + 4a4 = 4n2 = (2n)2 < (2a2 + a + 2)2 ( a > 0)
Suy ra 4 + 4a + 4a2 + 4a3 + 4a4 = (2n)2 = (2a2 + a + 1)2
⇔ 4 + 4a + 4a2 + 4a3 + 4a4 = 4a4 + 4a3 + 5a2 + 2a + 1
⇔ a2 – 2a – 3 = 0 ⇔ (a + 1)(a – 3) = 0 ⇔ a = 3: chọn, a = - 1 < 0: loại
Vậy a =3
Câu 3 (4đ)
a) Tìm đa thức bậc ba f(x) sao cho f(x) – f(x – 1) = x 2 (1)
Đa thức bậc ba có dạng tổng quát:
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
Thay vào điều kiện (1):
ax3 + bx2 + cx + d – [a(x – 1)3 + b(x – 1)2 + c(x – 1) + d] =
= ax3 + bx2 + cx + d – (ax3 – 3ax2 + 3ax – a + bx2 – 2bx + b + cx – c + d) =
= 3ax2 - (3a – 2b)x + (a - b + c) = x2
Đồng nhất các hạng tử cùng bậc ở hai vế, ta có hệ điều kiện:
1 a 3 3a 1
1
2
c 6
=
=
− + =
=
Vậy đa thức bậc ba cần tìm là:
b) Tính tổng 1 2 + 2 2 + … + n 2
Lần lượt thay x = 1; 2; …; n vào đẳng thức (1), ta có:
f(1) – f(0) + f(2) – f(1) + …+ f(n) – f(n – 1) = 12 + 22 + …+ n2
⇔ f(n) – f(1) = 12 + 22 + …+ n2
6
Câu 4 (5đ)
a) Chứng minh trung trực của DE
đi qua một điểm cố định
Gọi I là trung điểm của BC
Ta có IM là đường trung bình
của hình thang BCED nên
MI // BD // CE
Do đó MI là đường trung trực của DE
Vậy trung trực của DE luôn đi qua
điểm cố định I là trung điểm của BC
b) Quỹ tích của M
A
D
B
H
M 0
M 1
I
M
E
C K
d
Trang 4+) Phần thuận:
Ta có AMI = 90 0
, AI cố định, nên M thuộc đường tròn có đường kính là AI
Giới hạn:
Khi d trùng với AB thì D ≡ B, E ≡ H
(H là hình chiếu của C trên AB),
Khi d trùng với AC thì E ≡ C, D ≡ K
(K là hình chiếu của B trên AC),
Do đó khi đường thẳng d quay quanh điểm A
và cắt hai nửa đường tròn đường kính AB, AC
của đường tròn đường kính AI,
nằm bên ngoài tam giác ABC
+) Phần đảo:
Đường thẳng AM cắt hai nửa đường tròn đường kính AB, AC tại D, E
⊥ DE và M là trung điểm của DE
giác ABC
c) Vị trí của đường thẳng d để BD + CE đạt giá trị lớn nhất
Ta có BD + CE = 2MI ≤ 2AI
Vậy BD + CE đạt giá trị lớn nhất là 2AI khi và chỉ khi đường thẳng d ⊥ AI tại A
Câu 5 (3đ)
Trên cạnh AC lấy điểm I sao cho AI = AB,
ta có ∆ABI đều
Khi đó AI = CE (= AB) suy ra AE = CI
Gọi K là trung điểm của IC
Vì P là trung điểm của BC nên PK
là đường trung bình của ∆BCI
Ta có: PK = BI/2 (1)
Vì QA = QE = AE/2, IK = CK = CI/2, AE = CI
nên suy ra QK = AI
Mà AI = BI suy ra BI = QK (2), từ (1), (2)
suy ra PK = QK/2
Lại có K I1=ɵ1= 600 (so le trong) nên suy ra
tam giác PQK là nửa tam giác đều,
Vậy AQP 180 Q= 0−2= 1500
A Q E
I K C
B
P
60 0
60 0
600
A
D
B
H
M0
M1
I
M
E
C K
d