Một số dạng toán liên quan đến các số chính phương (Luận văn thạc sĩ)

Một số dạng toán liên quan đến các số chính phương (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán liên quan đến các số chính phương (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán liên quan đến các số chính phương (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán liên quan đến các số chính phương (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán liên quan đến các số chính phương (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán liên quan đến các số chính phương (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán liên quan đến các số chính phương (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán liên quan đến các số chính phương (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán liên quan đến các số chính phương (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán liên quan đến các số chính phương (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán liên quan đến các số chính phương (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ NGỌC BẢO

MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN

CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ NGỌC BẢO

MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN

CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số 60 46 01 13

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015

MỤC LỤC

1.1 Đồng dư thức 5

1.1.1 Định nghĩa đồng dư thức 5

1.1.2 Các tính chất của đồng dư thức 5

1.2 Các lớp thặng dư 6

1.2.1 Hệ thống thặng dư 6

1.2.2 Tính chất 7

1.2.3 Hệ thặng dư thu gọn 7

1.3 Định lý Euler và định lý Fermat 7

1.3.1 Hàm số Euler ϕ(n) 7

1.3.2 Định lý Fermat 10

1.4 Thặng dư toàn phương 11

2 Các dạng toán về số chính phương 18 2.1 Định nghĩa số chính phương 18

2.2 Một số tính chất của số chính phương 18

2.2.1 Tổng các ước của một số tự nhiên 21

2.2.2 Một số bài toán chọn lọc về hàm d(n), σ(n) và ϕ(n) 23 2.3 Tổng các bình phương của các số nguyên 25

2.3.1 Tổng của hai bình phương 26

2.3.2 Tổng của ba bình phương 27

2.3.3 Tổng của bốn bình phương 28

2.3.4 Bài toán về tổng của năm bình phương 30

2.4 Một số biểu diễn khác qua tổng các bình phương 30

2.4.1 Tổng của ba bình phương có hai bình phương bằng nhau 30

2.4.2 Tổng của bốn bình phương có ba bình phương bằng nhau 33

2.5 Bài tập tương tự 36

3.1 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng các lập phương 38

3.1.1 Bài toán Waring 38

3.1.2 Số lũy thừa 39

3.1.3 Tính toán trên các số lũy thừa 44

3.1.4 Dạng tích các số lũy thừa 46

3.1.5 Dạng tổng các số lũy thừa 48

3.2 Ứng dụng các định lý Euler và Fecmat 51

3.3 Ứng dụng vào giải phương trình vô định 52

3.4 Một số bài toán áp dụng khác 54

3.4.1 Ứng dụng vào giải bài toán về số chính phương 54

3.4.2 Tìm dấu hiệu chia hết 55

3.4.3 Tìm chữ số tận cùng 60

3.4.4 Chứng minh sự chia hết 61

3.5 Bài tập tương tự 62

Trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, olympic Toán quốc tế thìcác bài toán liên quan đến số học, các dạng toán về đồng dư, về phươngtrình Diophant và các dạng toán về đa thức nguyên cũng hay được đề cập

và được xem như là những dạng toán thuộc loại khó của bậc trung học

cơ sở và trung học phổ thông Các bài toán dạng này thường ít được đềcập trong chương trình toán mà thường xuất hiện dưới dạng các bài toánchuyên đề áp dụng

Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinhgiỏi về chuyên đề số học, luận văn "Một số dạng toán liên quan đến các

số chính phương" nhằm cung cấp một số phương pháp có tính hệ thống

để tiếp cận các dạng toán chuyên đề số học và các vấn đề liên quan

2 Mục đích nghiên cứu:

Hệ thống hóa lý thuyết, ứng dụng các định lý Euler và Fermat, giảiphương trình vô định và cách biểu diễn các số nguyên thành tổng các bìnhphương đồng thời nắm được một số kỹ thuật tính toán liên quan.Cung cấpmột số phương pháp có tính hệ thống để tiếp cận các dạng toán chuyên

đề số học và các vấn đề liên quan Đó là các dạng toán chưa được học ởbậc đại học Các kiến thức về chuyên đề này góp phần vào việc bồi dưỡnghiệu quả học sinh giỏi toán bậc Trung học cơ sở và Trung học phổ thông

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

3.1 Đối tượng nghiên cứu:

Nghiên cứu ứng dụng các định lý Euler và Fermat, giải phương trình

vô định và cách biểu diễn các số nguyên thành tổng các bình phương.3.2 Phạm vi nghiên cứu:

Nghiên cứu các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, kỷ yếu hội thảo cácchuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia, thi Olympic; tủsách chuyên Toán

4 Phương pháp nghiên cứu:

Tham khảo các tài liệu bồi dưỡng cho giáo viên, bồi dưỡng học sinhgiỏi

Tham gia các buổi seminar: Các chuyên đề toán phổ thông, Các trường

hè bồi dưỡng nâng cao kiến thức chuyên môn để trao đổi các kết quả đangnghiên cứu

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:

Luận văn là một chuyên đề hướng tới bồi dưỡng học sinh giỏi bậc Trunghọc cơ sở, Trung học phổ thông Tạo được một đề tài phù hợp cho việcgiảng dạy, bồi dưỡng học sinh Trung học cơ sở, Trung học phổ thông

Đề tài đóng góp thiết thực cho việc học và dạy các chuyên đề toán trongtrường Trung học cơ sở, Trung học phổ thông, đem lại niềm đam mê sángtạo trong việc dạy và học toán

6 Cấu trúc của luận văn:

6 Cấu trúc của luận văn:

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia thành ba chương

đề cập đến các vấn đề sau đây:

Chương 1 Đồng dư và đồng dư bậc hai

Chương 2 Các dạng toán về số chính phương

Chương 3 Một số dạng toán liên quan đến tổng và tích các lũy thừa.Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học đầy nhiệt tình,nghiêm túc và trách nhiệm của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Nhân dịpnày tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắcđối với Giáo sư - Người thầy đã truyền đạt nhiều kiến thức quý báu cùngvới kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong suốt thời gian tác giả theo học

và nghiên cứu đề tài Đồng thời, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên;Phòng Đào tạo - Khoa Toán - Tin, các anh em, bạn bè lớp N - Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên khóa 2013-2015; Ban lãnh đạo phòngGiáo dục và Đào tạo thành phố Nam Định và gia đình đã tạo mọi điềukiện thuận lợi, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập, công tác vàthực hiện đề tài luận văn này

a Với mọi số nguyên ta có a ≡ a (mod m).

b Nếu a ≡ b (mod m) thì b ≡ a (mod m)

c Nếu a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) thì a ≡ c (mod m)

Tính chất 1.2 Nếu a ≡ b (mod m) và c là một số nguyên tùy ý thì

Tính chất 1.4

a Nếu a + c ≡ b (mod m) thì a ≡ b − c (mod m)

b Nếu a ≡ b (mod m) thì a + km ≡ a (mod m)

c Nếu a ≡ b (mod m) thì ak ≡ bk (mod m)

d Giả sử f (x) = anxn−1 + · · · + a1x + a0 là một đa thức với hệ sốnguyên

Nếu ta có α ≡ β (mod m) thì ta cũng có f (α) ≡ f (β) (mod m).Đặc biệt nếu ta có f (α) ≡ 0 (mod m) thì ta cũng có f (α + km) ≡ 0(mod m) (k ∈ Z)

Tính chất 1.5 Nếu ac ≡ bc (mod m) (c, m) = 1 thì a ≡ b (mod m).Tính chất 1.6 Nếu a ≡ b (mod m) thì ac ≡ bc (mod m)

Tính chất 1.7 Nếu a ≡ b (mod m) và d | (a, b, m) (d > 0) thì ta có

Vì mỗi số nguyên a có duy nhất q và r (0 6 r 6 m − 1) sao cho

a = qm + r, nên a chỉ thuộc và chỉ thuộc duy nhất một lớp thặng dư mod

m là Ar Hơn nữa tập hợp các lớp thặng dư mod m chính là tập hợp Zcác số nguyên Nghĩa là:

Trong mỗi lớp thặng dư mod m lấy một thặng dư đại diện Tập hợp mphần tử đó được gọi là một hệ thặng dư đầy đủ mod m Nói cách khác hệthặng dư đầy đủ mod m là tập hợp m số nguyên đôi một không đồng dư(mod m)

Đặc biệt hệ H = 0, 1, , m − 1 được gọi là hệ thặng dư đầy đủ mod

m không âm nhỏ nhất

1.2.2 Tính chất

a Mỗi hệ thặng dư đầy đủ mod m đều gồm m thặng dư

b Mọi hệ gồm m số nguyên đôi một không đồng dư với nhau theo mod mđều hợp thành một hệ thặng dư đầy đủ mod m

c Cho a là một số nguyên, nguyên tố với m và b là một số nguyên tùy ý.Khi ấy nếu x chạy qua một hệ thặng dư đày đủ mod m thì ax + b cũngchạy qua một hệ thặng dư đầy đủ mod m

1.2.3 Hệ thặng dư thu gọn

Cho số nguyên n 6= 0 Gọi là ϕ(n) là số các chữ số ≤ và số nguyên tốvới n Giả sử các số đó làa1,a2, , ak; a1 ∈ Zn1, a2 ∈ Zn2, , ak ∈ Znk.Lấy các phần tử r1, r2, , rk thuộc các lớp đó thì r1, r2, , rk gọi là

hệ thặng dư thu gọn (mod n)

Có tính chất:

(ri, n) = 1(i = 1k)mọi x với (x, n) = 1; Tồn tại ri : x ≡ ri (mod n)

1.3 Định lý Euler và định lý Fermat

Trong mục này ta trình bày hai định lý quan trọng của lý thuyết sốliên quan đến hai định lý đó là hàm số Euler ϕ(n) Bởi vậy trước hết tanhắc lại định nghĩa hàm số Euler và công thức tính nó

1.3.1 Hàm số Euler ϕ(n)

Định nghĩa 1.2 Cho số tự nhiên n ≥ 1 Ta ký hiệu ϕ(n) là số các số tựnhiên bé hơn n và nguyên tố với n Quy ước ϕ(1) = 1

Giả sử rx là số dư khi chia ax + y cho b Như vậy (ax + y, b) = (rx, b).

Dễ dàng thấy rằng vì (a, b) = 1 nên rx1 6= rx2 với x1 6= x2 Như vậy ta cóđẳng thức tập hợp

r0, r1, , rb−1 = 0, 1, , b − 1

Vậy số các x mà (ax + y, b) = 1 chính là số các x mà (rx, b) = 1 tứcchính là ϕ(b)

Vậy cả thẩy có ϕ(a)ϕ(b) số nguyên tố với a và nguyên tố với b Đóchính là các số nguyên tố với ab Nói cách khác ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)

Từ định lý này ta suy ra công thức tính ϕ(n) như sau



1 − 1

pk



Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full