Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn chịu tải trọng tĩnh tập trung (Luận văn thạc sĩ)

Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn chịu tải trọng tĩnh tập trung (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn chịu tải trọng tĩnh tập trung (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn chịu tải trọng tĩnh tập trung (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn chịu tải trọng tĩnh tập trung (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn chịu tải trọng tĩnh tập trung (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn chịu tải trọng tĩnh tập trung (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn chịu tải trọng tĩnh tập trung (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn chịu tải trọng tĩnh tập trung (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn chịu tải trọng tĩnh tập trung (Luận văn thạc sĩ)

cho nhi u ch d n khoa h c có giá tr ng viên, t o

m u ki n thu n l tác gi trong su t quá trình h c t p, nghiên

c u hoàn thành lu n

Tác gi xin chân thành c c, các chuyên gia trong

và ngoài i h c Dân l p H i phòng u ki , quan tâm góp ý cho b n lu n c hoàn thi

Tác gi xin trân tr ng c , giáo viên c a Khoa xây d ng, Phòng i h c và i h c - i h c Dân l p H i phòng,

ng nghi u ki n thu n l tác gi trong quá trình nghiên c u và hoàn thành lu n

Tác gi lu n

Nguy n Thanh Ân

M C L C

L 2

L I C 3

M C L C 4

1

NG VÀ GI I BÀI TOÁN C K T C U 3

c 3

ng phân t 3

ng 7

1.3 Nguyên lý công o 10

2 Bài 10

15

15

15

16

16

16

2.1.Lý thuy t d m Euler Bernoulli [ ] 16

2.1.1 D m ch u u n thu n túy ph ng 17

2.1.2 D m ch u u n ngang ph ng 20

27

n t h u h n 27

3.1.1 N n t h a h n theo mô hình chuy n v 28

3.1.1.1 R i r c hoá k t c u: 28

3.1.1.2 Hàm chuy n v : 29

n c n t h u h n 31

3.1.1.4 Chuy n h tr c to 35

3.1.1.6 X u ki n biên 39

3.1.1.7 Tìm ph n l c t i các g i 40

ng h p bi c m t s chuy n v 41

3.1.2 Cách xây d ng ma tr c ng c a ph n t ch u u n 42

3.1.3 Cách xây d ng ma tr c ng t ng th c a k t c u 44

3.2 Gi i bài toán d m b n t h u h n 44

3.2.1 44

64

64

64

Danh m c tài li u tham kh o 65

I Ti ng Vi t

II Ti ng Pháp

III Ti ng Anh

phápp

Trong nói trên

u ki n cân b ng l c c a phân t c tách ra kh i k t c u Trong s c b n

v t li u khi nghiên c u d m ch u u n ngang s d ng các gi thi t sau:

-Tr c d m không b bi n d ng nên không có ng su t

-M t c t th ng góc v i tr c d m sau khi bi n d ng v n ph ng và th ng góc v i tr c d m (gi thi t Euler Bernoulli)

-Không xét l c nén gi a các th theo chi u cao c a d m

V i gi thi t th ba thì ch có ng su x và các ng su t ti xz,

zx tác d ng lên phân t d m (hình 1.3), ng su z b ng không Hai githi t th ba và th nh t d n tr c d m ch có chuy n v th ng y(x) và

là nh so v i chi u cao d m, ymax / h 1/5 V i gi thi t th hai thì bi n d ng

thi t này ch l h/l 1/5 Chuy n vngang u c m n m cao z so v i tr c d m b ng

Bi u th c c a ng su t ti zx trong tích phân trên s trình bày sau

Nh các gi thi t nêu trên, thay cho tr ng thái ng su t trong d m, ta ch c n nghiên c cân b ng c a các n i l c M và Q tác d ng lên tr c

d m

Xét phân t dx c a tr c d m ch u tác d ng c a các l c M,Q và ngo i l c phân

b q, hình 1.3 Chi a M, Q và q trên hình v ng v i chi u

Chuy n v b ng không, , momen u n , suy ra

ng su t ti p trung bình trên chi u cao d m b ng:

là th a s n c a bài toán Theo phép tính bi n phân t phi m hàm (1.17) ta nh

1.25 ng c a d m ch u u n Nguyên lý công bù c c i d ng bi u th c (1.24 c s d ng r ng rãi

ta

các

nguyên nhân bên ngoài

p

D m ch u u n thu n túy ph ng là d m mà trên m i m t c t ngang d m

ch có m t thành ph n n i l c là mômen u n n m trong m t ph ng quán tính chính trung tâm

-M t c t ngang d u ph ng và vuông góc v i tr c d m, sau bi n d ng

v n ph ng và vuông góc v i tr c d m (gi thi t v m t c t ngang, gi thi t Bernoulli)

-Trong quá trình bi n d ng các th d c c a d m không ép lên nhau và không

y xa nhau (gi thi t v các th d c)

Ngoài ra khi tính toán d m ta còn d a vào các gi thi t sau:

ng trung hòa c a m t c t ngang là m ng cong Vì chuy n v

trung hòa có bán kính cong là (hình

2.3) Theo tính ch t c a th trung hòa ta

có: Hình 2.3 Hai m t c t sau khi

u n

trên các m t c a phân t không có ng su t ti p

M t khác theo gi thi t th hai thì trên các m t

c a phân t song song v i tr c Z không có ng

c

(2.7)

c quán tính chính trung tâm Vì y là tr i x ng nên suy ra oxy là tr c quán tính chính trung tâm c a m t c t ngang Thay

ng th ng song song v i tr c trung hòa x) s có tr s b ng nhau và nó

t l v i kho ng cách t i tr c trung hòa

-Nh m n m trên tr c trung hòa y=0 có tr s Nh m xa

tr c trung hòa nh t s có tr s ng su t l n nh t và bé nh t

2.1.2.D m ch u u n ngang ph ng

D m ch u u n ngang ph ng là d m mà các m t c t ngang c a nó có các thành ph n n i l c là l c c t Qyvà mômen u n Mxn m trong m t ph ng quán tính chính trung tâm c a d m

ng su t trên m t c t ngang

m A b t k c a d m ta tách ra m t phân t b ng các m t song song v i các

m t t thì sau khi bi n d ng các góc vuông c a phân t không còn vuông

n có bi n d ng góc Suy ra trên các m t phân t s có ng

a ng su t pháp :

Trong m c nh gi thi t Bernoulli v m t c t ngang ph

i công th c tính ng su t pháp trên m t c t ngang d m là:

(2.11)

ng h p d m b u n ngang ph ng thì sau bi n d ng m t c t

i công th tính ng su t pháp không phù h p n a Tuy

Ta xét ng su t ti p t m b t k A(x,y) trên m t c t ngang 1-1 nào

a d m A ta k ng th ng song song v i tr c ox c t biên c a

m t c t t i B và C, c t tr c oy t c h t ta xét ng su t ti p t i B,C và D

i x ng và gi thi t hình ch nh t h p nên

(c)

: g a ph n di i v i tr c x Thay (d) vào (c) ta suy ra:

i là b r ng c a m t c m c n tính ng su t A Công th c (2.12) g i là công th c Durapski T công th u

ki n cân b ng c a ph n thanh trên ta suy ra là cùng chi u v i tr c z,

T (2.13) ta nh n th y r ng: Lu t phân b trên m t c t là parabol

b i v i y V i y=0 (nh m n m trên tr c trung hòa ox) thì:

(2.14)

d.Lu t phân b ng su t ti p i v i m t c t hình ch I:

n i suy có th phân tích bài toán theo 3 lo i mô hình sau:

- Mô hình chuy n v : Xem chuy n v ng c n tìm và hàm n i suy bi u di n g ng phân b c a chuy n v trong ph n t

- Mô hình cân b ng: Hàm n i suy bi u di n g ng phân b c a

ng su t hay n i l c trong ph n t

- Mô hình h n h ng chuy n v và ng su t là 2 y u t

c l p riêng bi t Các hàm n i suy bi u di n g ng phân b c a cchuy n v l n ng su t trong ph n t

Hi n nay, khi áp d ph n t h u h gi i các bài toán

v n t h u h n theo mô hình chuy n v

n t h u h n - mô hình chuy n v , thành ph n chuy n v ng c n tìm Chuy n v c l y x p x trong

d ng m n g i là hàm n i suy (hay còn g i là hàm chuy n v ) Trình t phân tích bài toán theo p n t h u h n - mô hình chuy n v có n i dung sau:

3.1.1.1 R i r c hoá k t c u:

i ta r i r c hoá b ng cách ch n k t c u liên t c thành m t s h u h n các mi c càng nh càng t t

có th gi m s n c a bài toán mà v n

m b chính xác Mi c phân chia ph i ch n sao cho t i biên các

m i m t ph n t không chênh l ch quá l n làm gi chính xác c a bài

Ví d trong bài toán ph ng c a ng su t hay bi n d i v i lo i ph n ttuy n tính, hàm chuy n v c b c nh t và s thành ph n b ng s nút quy

nh c i v i PTHH b c hai, hàm chuy n v c b c hai,

s thành ph n ch a trong m i hàm b ng m i nút c a ph n t t shàm chuy n v c dùng trong lý thuy i

Ph ng trình trên bi u th i u ki n cân b ng c a h h i tuy n tính

N u chuy n trí c a c hai v theo thông th ng ta có:

(3.13)

nh lu n Hooke: thay vào v ph i nh n c:

(3.14)

Trong ph ng trình trên còn thi u i u ki n liên t c, i u ki n này

c a vào b ng m t ng chuy n v x p x (hàm chuy n v ) tho mãncác i u ki n t ng thích

(3.16)Trong :

(3.20)Trong công th c trên giá tr c a nh N u bi c

(3.21)

n v t i m m b t k nh theo chu n v c a các nút c a ph n t :

(3.25)(3.26)

- ma tr n hàm d ng

- ma tr n bi i c a hàm d ng

y bi n d ng có th bi m l

Ta dùng chuy n v c ch n (H m CV) không nh ng tho

u ki n bên trong và c trên biên PTHH Trong công th i

ng không ph thu c vào phép tích phân nên có th u tích phân:

3.1.1.4 Chuy n h tr c to

thu n ti n cho vi c nh p s li u t i tr ng và xem n i l c, trên m i

m t ph n t có m t h to riêng g i là h to c c b Trong khi to

c a các nút và chuy n v c tính theo h to chung, g i là h to

t ng th

Khi ghép n i ma tr c c, và chuy n v c n chuy n c

ng này t h to c c b v t ng th , t a h to c c

b :

- vect chuy n v nút trong h to t ng th

Khi xác nh c các chuy n v nút c a h trong to t ng th thìchuy n v c a các nút c a ph ng trình trong h to c c b là:

a s nút và chuy n v

T các vect l c c a m i ph n t c xác nh, ta duy t t ng giá

tr c a a vào v trí c a sao cho có cùng ch s Ti p t c làm nh

thêm vào ma tr n c ng c a h t i v trí trên ng chéo chính v i s ch

t ng ng

Ví d : k1thêm vào k11, k2thêm vào k22

3.1.1.6 X u ki n biên

Mu n tìm chuy n v c a các nút ta c n gi i h ph ng trình:

tuy nhiên ma tr n c ng c a h c thành l p khi ch a tính

n các liên k t c a k t c u v i ng, do det = 0 hay nói cáchkhác h suy bi n gi i h ph ng trình này c n a các i u ki n biên vào

là chuy n v b ch n (chuy n v = 0) t i các chuy n v này s có ph n l c

Ví d : u1 = u2 = u5= u6 = 0

Cách a các i u ki n biên vào nh sau: v i m t chuy n v nào ui

= 0 ta xoá c t i và dòng i c a ma tr n và Làm nh v y v i t t c cácchuy n v ta nh n c m t h ph ng trình m i không suy bi n và gi i c

Sau khi xoá ta có h ph ng trình:

(3.35)

Gi i ph ng trình tìm u3, u4

3.1.1.7 Tìm ph n l c t i các g i

Ph n l c t i các g i xu t hi n khi chuy n v t i b ch n (ui= 0) N u

ta b ph n ch n và thay vào b ng ph n l c (theo ph ng c a chuy n

v ) theo mô hình sau:

Trong Q1, Q2là ph n l c, tìm ph i l c Q1 t ng ng v i ui= 0 ta

l y dòng c a h ph ng trình

Ví d u5khi ta có:

Q5= u3k53+ u4k54- F5 (3.36)Trong u3và u4 tìm c t vi c gi i h t ng t nh

v y i v i Q1, Q2, Q6 Chi u d ng c a l c Qi là chi u trùng v i chi u

d ng c a h to t ng th

3.1.1.8 ng h p bi c m t s chuy n v

Gi s cho tr c m t s chuy n v khi cách kh ui c

th c hi n nh sau: thay ui vào các dòng t i v trí i chuy n tích các kiiui sang bên ph i và xoá dòng i ta có h ph ng trình m i

Ví d cho u2= a2

xoá dòng i = 2

Gi i h này tìm c các

Ph n l c t i các chuy n v cho tr c xác nh nh sau:

Thay các chuy n v tìm c vào dòng i, ta có:

Công th c trên là tính toán cho ph n t có chi u dài b ng 2, n u ph n t

có chi u dài là thì bi n d ng u n và mô men

(3.40b)

(3.41b)Xét ph n t có các t i tr ng t p trung tác d ng t i

n v nút c a ph n t

Tính tích phân các h s trong ta có th tính b

chính xác (b ng hàm int(fx,a,b) có s n trong matlab) ho c tính b

pháp tích phân s c a Gauss và k t qu c ng c a ph n t ch u u n ngang ph

(3.46)

Bi c ma tr c ng ph n t thì ta d dàng xây d c ma tr n

c ng c a toàn thanh N u thanh ch có m t ph n t thì ma tr n c a ph n t

c ng c a thanh Trong ph n t n u b c t do nào không có thì trong ma tr c ng c a ph n t

Khi chia d m thành 4 ph n t thì s nút d m s là 5, th t t trái sang

ph i là [1, 2, 3, 4, 5] (hình 3.1b), s n chuy n v nw=3, th t t trái sang

ph i là [2, 3, 4] (hình 3.1c), n chuy n v t i u d m b ng không,

n góc xoay ngx=8, th t t trái sang ph i là [4, 5, 6, 7, 8] (hình 3.1d)

y, t ng c ng s n là 11 n < 4x4=16 n G i ma tr n là ma

tr n chuy n v c là ma tr n có hàng và 2 c t ch a các n s là chuy n v t i nút c a các ph n t (hình 3.1)

c a m i nên tác gi không trình bày chi ti t cách ghép n i các ph n t

l c ma tr c ng c a toàn d m và có th xem trong

; (d)

N u có hai ph n t thì có m u ki n v góc xoay, có ph n t thì

có u ki n liên t c v góc xoay gi a các ph n t y cu i cùng ta s thi t l

m b o liên t c gi a các chuy n v là chuy n v c a nút

Khi chia d m thành 4 ph n t thì s nút d m s là 5, th t t trái sang

ph i là [1, 2, 3, 4, 5] (hình 3.3b), s n chuy n v nw=3, th t t trái sang

ph i là [2, 3, 4] (hình 3.3c), n chuy n v t u d m b ng không,

n góc xoay ngx=8, th t t trái sang ph i là [4, 5, 6, 7, 8] (hình 3.3d)

y, t ng c ng s n là 11 n < 4x4=16 n G i ma tr n là ma

tr n chuy n v c là ma tr n có hàng và 2 c t ch a các n s là chuy n v t i nút c a các ph n t (hình 3.1)

G i ma tr n ngx là ma tr n chuy n v c ngx(npt,2) là ma tr n

có hàng và 2 c t ch a các n s là góc xoay t i nút c a các ph n t (hình 3.5)

Sau khi bi t n s th c c a các thanh ta có th xây d c ng t ng

th c a thanh (có r t nhi u cách ghép n i ph n t

l p trình c a m i nên tác gi không trình bày chi ti t cách ghép n i các

ph n t l c ma tr c ng c a toàn d m và có th xem trong code

a tác gi )

N u bài toán có nw n s chuy n v và n s góc xoay thì ma tr

c ng c a d m c (nxn), v i n=(nw+ngx) ví d3.2, Bây gi u ki n liên t c v góc xoay gi a các ph n t

u ki n liên t c v góc xoay gi a các ph n t c vi

-, hình 3.5a

Hình 3.5 D u ngàm

R i r c hóa k t c u d m ra thành ph n t Các nút c a ph n t ph i trùng v i v t l c t p trung, hay v i ti t di n, chi u dài các

ph n t có th khác nhau M i ph n t có 4 n v y n u ph n t

r i r c thì t ng c ng có 4 n m b o liên t c gi a các

chuy n v là chuy n v c a nút cu i ph n t th e b ng chuy n v c u

ph nt th nên s b c t do c a thanh s nh 4 Khi gi i ta ch

c m b u ki n liên t c c a chuy n v u ki n liên t c v góc

l p trình c a m i nên tác gi không trình bày chi ti t cách ghép n i các

ph n t l c ma tr c ng c a toàn d m và có th xem trong code

; là n s c a bài toán

Trong ví d 3.1 khi chia thanh ra thành 4 ph n t , ta có:

Theo ngôn ng l p trình Matlab ta có th vi t:

K t qu chuy n v , góc xoay t i các nút:

3 4

3 2

0.00260.00520.0026W

W

W

Pl x

4

,

l p trình c a m i nên tác gi không trình bày chi ti t cách ghép n i các

ph n t l c ma tr c ng c a toàn d m và có th xem trong code

; (c)

N u có hai ph n t thì có m u ki n v góc xoay, có ph n t thì

có u ki n liên t c v góc xoay gi a các ph n t y cu i cùng ta s thi t l

- c nút :

Theo ngôn ng l p trình Matlab ta có th vi t:

Bi mômen u n và l c c t

Hình 3.8b

[18] Stephen P.Timoshenko-Jame M.Gere (1961), Theory of elastic stability,

McGraw-Hill Book Company, Inc, New york Toronto London, 541 Tr

[19] William T.Thomson (1998), Theory of Vibration with Applications (Tái

[20] Klaus Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part one,

Prentice Hall International, Inc, 484 trang

[21] Klaus Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part two,

Prentice Hall International, Inc, 553 trang

[22] Ray W.Clough, Joseph Penzien(1993), Dynamics of Structures

-Hill Book Company, Inc, 738 trang

[23] O.C Zienkiewicz-R.L Taylor (1991), The finite element method (four

edition) Volume 2, McGraw-Hill Book Company, Inc, 807 trang

[24] G.Korn-T.Korn (1961), Mathematical Handbook for sientists and

Engineers,

McGraw Moscow, 1964)

[25] Stephen P.Timoshenko-J Goodier (1970), Theory of elasticity,

McGraw-Nauka-Moscow, 1979), 560 trang

[26] D.R.J Owen, E.Hinton (1986), Finite Elements in Plasticity: Theory and

Practice, Pineridge Press Lt

[27] Lars Olovsson, Kjell Simonsson, Mattias Unosson (2006), Shear locking

reduction in eight-node tri-linear solid finite elements,

-484

[28] C.A.Brebbia, J.C.F.Telles, L.C.Wrobel(1984), Boundary Element

Techniques Theory and Applications in Engineering Nxb Springer

[29] Chopra Anil K (1995) Dynamics of structures Prentice Hall, Englewood

Cliffs, New Jersey 07632

[30] Wilson Edward L Professor Emeritus of structural Engineering

University of California at Berkeley (2002) Three Dimensional Static and Dynamic Analysis of structures, Inc Berkeley, California, USA Third edition,

Reprint January

[31] Wilson, E L., R L Taylor, W P Doherty and J Ghaboussi (1971)

Proceedings, ORN Symposium on