Nghiên cứu dao động tự do của thanh lời giải bán giải tích (Luận văn thạc sĩ)

Nghiên cứu dao động tự do của thanh lời giải bán giải tích (Luận văn thạc sĩ)Nghiên cứu dao động tự do của thanh lời giải bán giải tích (Luận văn thạc sĩ)Nghiên cứu dao động tự do của thanh lời giải bán giải tích (Luận văn thạc sĩ)Nghiên cứu dao động tự do của thanh lời giải bán giải tích (Luận văn thạc sĩ)Nghiên cứu dao động tự do của thanh lời giải bán giải tích (Luận văn thạc sĩ)Nghiên cứu dao động tự do của thanh lời giải bán giải tích (Luận văn thạc sĩ)Nghiên cứu dao động tự do của thanh lời giải bán giải tích (Luận văn thạc sĩ)Nghiên cứu dao động tự do của thanh lời giải bán giải tích (Luận văn thạc sĩ)Nghiên cứu dao động tự do của thanh lời giải bán giải tích (Luận văn thạc sĩ)Nghiên cứu dao động tự do của thanh lời giải bán giải tích (Luận văn thạc sĩ)

PHÂN TÍCH NG L C H C CÔNG TRÌNH 1.1 Khái ni m

[19, tr.l] V y t i tr ng là b t c t i tr l ng ho c v trí

truy n gia t c nên phát sinh l t t i các kh ng L c quán tính

trình [10, tr.7] Ph n ng c a k t c i v i t i tr ng su t

võng xu t hi ng (bi n thiên theo th i gian) Nói chung,

ph n ng c a k t c i v i t i tr c bi u di n thông qua chuy n v

T i tr i theo th i gian nên tr ng thái ng su t - bi n d ng c a h

1.2.1 L c c n:

c n luôn luôn có m t và tham gia vào quá trình chuy ng c a h L c c n xu t

hi n do nhi u nguyên nhân khác nhau và ng c n quá trình dao

[L i (hay l c ph c h i) xu t hi n khi tách h kh i v trí cân b ng và có

ng c a l c c n nên khi c ng, các n i l c, chuy n v ng c a hkhông ph i b ng mà có tr s l n h u h n.

ng c a h ng tuy n tính bao g m: kh i ng c a h , tính ch i c a h c m m), ngu n

Các t i tr ng không tu n hoàn có th là các t i tr ng xung ng n h n ho c

có th là các t i tr ng t ng quát dài h n, các d n hoá có th c

M t t i tr ng tu n hoàn th hi n s bi n thiên theo th i gian gi ng nhau liên ti i v i m t s ng l n chu k T i tr ng tu n nh t có

tu n hoàn trong k t c u

1.3.1 ng tu n hoàn:

L c l p l i sau nh ng kho ng th i gian nh nh N u

*

n k k

Q

Qk - l c t ng quát c a các l

luc so theo i

k

i i k

i i k

i i k

q

z Z q

y Y q

x X Q

1

J*k - l c t ng quát c a các l c quán tính c a các kh ng v i các chuy n v t ng quát qk

k

i i k

i i k

i i luong khoi so theo

k

q

z z q

y y q

x x m J

1

*

thông qua các to t ng quát qk

2 ) ( ) (

2

z z i

dz m v

2

1

dP dP

EJ2

1.4.3 ng d ng nguyên lý công o:

i thi u cách gi i quy n cho h m t s b c t do S c n thi t ph i xem xét các

di n thông qua các to suy r m n i b t c

Lagrange là d ng và s ng c a chúng không ph thu c vào s v t th thu

t các ph n l c liên k t

Gi s h có n b c t do và các to suy r ng c a h là q1, q2, , qn

ng Lagran c vi

i i i i

Q q

U q

T q

T dt

d

)(

a h

c áp d ng r ng rãi trong nhi c khoa h c và k thu t,

c áp d ng v i t t c h tuy n tính và phi tuy n

1.4.5 ng d ng nguyên lý Hamilton:

các l t s có chuy ng (trong t t c các chuy ng có th và cùng

u ki n u c a kho ng th i gian) sao cho bi

c c a các l c không b o toàn trong kho ng th ng không]

N i dung nguyên lý có th c bi u th : 2( ) 0

1

dt R U T

t t

2 1 T n s ng riêng th p nh t 1 g i là t n s n c vi i d ng gi 0

2 1 1 2 22 2 2 21 21 1 12 2 1 11 11 nn n n n n n n n n n n m m u m m m u m m m u m v i 12 i i u Thay các i c h i s tuy n tính thu n nh xác nh các thành ph n c i i M A K 2 = 0 (1.5) Vì (1.5) là h i s tuy n tính thu n nh t có det các h s b ng 0 nên các thành ph n c nh sai khác m t h ng s nhân, ch ng h n có th ch n Ali tu ý li ki ki A A và d th y: li 1 Ma tr n vuông bi u th t t c các d ng riêng có th c a h c g i là ma tr n các d ng riêng (hay ma tr n d ng chính): nm n n n n

2 1 2 22 21 1 12 11 (1.6) M i m t c a (1.6) cho ta m t d ng riêng c a h : ni i ni i li i

1

2 2

1.5.1.2 Gi i bài toán riêng (eigen problem):

)(

)det(

)(

) ( ) ( ) ( )

( )

M K

p

M K

p

1.5.1.3 Tính ch t tr c giao c a các d ng chính - D ng chu n:

Tính ch t tr c giao c a các d ng chính th hi n ch : công c a ngo i l c (hay

n i l c) c a m t d ng chính này trên chuy n v (hay bi n d ng) c a m t d ng chính khác b ng 0

1

0

ho c có th bi u th i d ng công c a các n i l c:

0GF

EF

Q Q ds

N N ds

M

ng t do c a hê h u han bâc t do

- D ng chu n: là d ng riêng tho mãn bi u th c: i T M j 1

Vi d ng riêng v d ng chu n g i là chu n hoá các d ng dao

là bài toán ph c t p và hay g p trong th c t Có nhi

Gi s l c Pk(t) v i m t giá tr m c giá tr 0) tác d ng lên kh i

P

1 1

)()

n k

ki k

H

1 2 1

)

()

Hình 1.1Các l c này s gây ra các chuy n v t l v i các chuy n v d ng chính th i Vì

v y, h ch u t i tr có th v i m t b c t do

N u có m t s ng b t k các l t không ph i lên các kh ng thì c n ph i thay th chúng b ng các t i tr 2

*

* 2 2

* 1

G i Pkh là ma tr n bao g m các t i tr ng khai tri n theo các d ng chính

nn n

n

n n

n kh

P P

P

P P

P

P P

P P

P P P

2 1

2 22

21

1 12

11

2 1

,,

t Z t

t i i i

nh t n s ng riêng và các d ng riêng.

+ Khai tri n t i tr ng theo các d ng riêng theo (1.14), ho nh các

t t ng quát ng vái các d ng riêng theo (1.15)

nh chuy n v c a h t k t qu nh c ma tr n t i tr ng khai tri n

ho c ma tr n các t t ng quát

- h s ng h c theo th i gian c a d ngchính th i; Kai(t) =

t

i i

d t f

0

)(sin)

K

0

)(sin)

()

1.5 ng c a h chiu t i tr u hòa

v d ng g u hoà ho c phân tích theo chu i Furie r i l y m t vài

s h u Do v y, vi c nghiên c ng v i l c kích thích có d ng Psinrt hay Pcosrt là m n t ng l c h c công trình

ng b c c a h i d ng t ng quát bao g m hai ph n: dao

2 1

sinrt thì chuy n v c a h :

ng, có th thi t l c m i quan h : Umax = Kmax.

a h t i th m t b t k :

2 2

) (

2 ) (

22

i i z

z

y m dz

y m v

m dz

v m

Th a h (khi ch xét t i ng c a mô men u n):

U=

J2

2

E

dz M

2J

c:

) , (

2 )

, (

2 ) (

2

2 ) , ( 2

2

J

z t k i z

t k z

z t k

y m dz y

m

dz z

y E

KL L

2

J

z

y E

z

t z j

ng s t, các hàm i(z) c n ph i ch n sao cho tho

nâng toàn ph n c a h s có giá tr d ng: U 0

Th n d c bi u di n i d ng công ngo i l c và công n i l c c a

h khi chuy n t tr ng thái bi n d ng v tr ng thái không bi n d ng

U=

1

0

) , ) ( )

, ( ) , (

2

2 ) , ( 2

z t z t

z

l

y P dz

y q dz z

y E

Có th chia các kh ng phân b thành nhi u kho ng, t p tr ng các kh

phân b trên m i kho ng v tr ng tâm c a nó ho c phân b các kh ng theo

c là h i s tuy n tính v i các n s là giá tr nghi m c a

m chia và các giá tr nghi m t i m m chia lân

()

()

Y

M

c ti p không nh ng cho phép gi i các bài toán

ng tuy n tính mà còn cho phép gi ng phi tuy n ph c

c chia th i gian n l c quán tính và l c c n,

ng th c gi i nhi u l i v m chia trong

t t Y t

Y t

t Y t t

2

pháp này gi thi t r ng: m c th i gian t, gia t c chuy ng

b ng h ng s c tính b ng giá tr trung bình hai giá tr u và cu i

c a kho ng t:

2

)()

()

ng v nh các tr riêng và vecto riêng

c i s tuy n tính) là m t nhiêm v quan tr ng c a ng

Bài toán riêng: [K - M ] A = 0 (v i = 2 ng v i vi c tìm tr

b c n,v i n là b c t do c a h ), có nhi u thu gi c t p Vi c

i v i h có nhi u b c t do

C TR GAUSS

2.1 Nguyên lý c c tr Gauss

c nhà toán h c K.F Gauss phát bicho h ch

m

F y

F y m m

Theo nguyên lý c c tr Gauss, chuy ng th c cùa h ch m s x y ra ng v i

xu d ng nguyên lý

2.2.1 Bài toán d m ch u u n thu n tuý:

Xét m t d m ch u u n thu n tuý có chi c ng m t c t là EJx Githi t v t li u làm vi c trong gi i h i và tuân theo hai gi thi t sau: + Gi thi t

v m t c t ngang (gi thi t Becnuli): m t c t ngang d c và sau khi bi n d ng

2

J

E

M dz

y d E

0

2 2 0 2 2

dz M M E

0

2 0

dz M E

0

2 2

l x

0

2 2

2

2J

+ Khi trên d p trung P t i v

0

2 2

+ Khi trên d m có mômen t p trung M t i v

0

2 2

(p(z2) là góc xoay t i ti t di n có mômen t p trung V i gi thi t chuy n v

bé, ta có: (

Bài toán d m ph ng:

D m có các thành ph n n i l c là Mx, Qy, Nz Chuy n v ng h p u n

c ng m t c t là EJX Chuy n v trong ng h p c t là s

c ng m t c t là GF Chuy n v ng h p kéo (ho c nén) là s d n dài (ho c

co ng c ng m t c t là EF K n tính ch c l p tác d ng c ng

1 0

2 0 x

)(

F

1)(

1)(

EJ

1

z z y

y x

E Q

Q GF M

M

2 1

0

2 2

2 x

)(F

1)(

1)

(J

qt

dz y F

0

) , (

2

thu n ti n trong công th c, ta có th vi t l ng b c do l c quán tính gây

Zqt =

l

t z

F

0

) , (

2 v i Fqt= m(z)

2 ) , ( 2

t

y z t

Bài toán d m ch u u n thu n túy:

Xét d m ch u t i tr ng, d m có kh ng phân b m(z) Khi b qua ng

l

t Z

y F z

1

(2.14)hay:

3 ) , ( 3 x 2

) , ( 2

l

t z

y F z

y E

GF z

y

2.4 S d ng ph ng pháp nguyên lý c c tr Gauss thi t l p ph ng trình vi phân dao ng cho thanh th ng:

Xét thanh th ng có kh i l ng phân b m(z), c ng m t c t là EJx và có liên

k t b t k H so sánh c ch n là m t thanh không có liên k t, có kh i l ng và

c ng m t c t nh thanh ang xét Theo (2.13) ta có:

l

t z qt t

z

z

y EJ

Z

0

) , ( 2

) , (

0

) , ( 2

) , (

2

l

t z qt t

z

Z

y EJ

Z

2 2

2

qt t

z

z

y EJ

z

0

2 ) , ( 2 ) ( 2

) , ( 2 2

2

t

y m

z

y EJ

Z

t z z

t z

(2.16) chính là ph ng trình vi phân c a dao ng riêng khi không k l c c n

* Khi thanh ch u l c phân b q(z,t)

min2

2

0

) , ( ) , ( ) , ( 2

) , (

2

dx y

q y

F z

y EJ

Z

l

t z t z t

z qt t

z x

Hay

02

22

02

2

) , ( 2

) , ( 2 2

2

0

) , ( ) , ( ) , (

2

2 ) , ( 2

t z qt

t z x

l

t z t z t

z qt t

z x

q F

z

y EJ

z

dx y

q y

F z

y EJ

z

) , ( 2

) , ( 2 ) ( 2

) , ( 2 2

2

t z t

z z

t z

t

y m

t

y EJ

(2.17) chính là ph ng trình vi phân c a dao ng c ng b c khi không k l c c n

* K t lu n:

Nh v y t ph ng pháp s d ng nguyên lí c c tr Gauss, ta có th thi t l p

c ph ng trình vi phân c a h dao ng gi ng nh vi c áp d ng các ph ng pháp khác

2.5 Các b c th c hi n khi tìm t n s dao d ng riêng và d ng dao ng riêng

b ng ph ng pháp nguyên lí c c tr Gauss.

Trong quá trình tính toán, ta không xét n giai o n chuy n ti p sau khi b l c kích thích và b qua chuy n v xoay c a các kh i l ng trong quá trình chúng dao ng

B c 1: Ch n h so sánh:

H "So sánh" là h hoàn toàn không có liên k t nh ng có cùng c ng m t c t

và cùng t i tr ng v i h ang xét (h ang xét hay còn g i là h cho)

B c 2: Gi thi t ng võng c a d m c n tìm v i bi u th c ng võng ph i tho mãn i u ki n biên

3 3

2 2 1

(sin)(

n

n

a y

D ng chu i l ng giác n:

1

sin)1sin(

t z

n a

y

D ng s ph c:

1

)1sin(

n

t i

a y

i v i bài toán c c tr có các i u ki n ràng bu c, ta s d ng ph ng pháp phân tLangrange a bài toán c c tr không ràng bu c

G i k là nhân t Langrange a bài toán c c tr có i u ki n ràng bu c ( ó là

i u ki n có nghi m, t c là có dao ng) v bài toán c c tr không ràng bu c Sau khi

v c ti u hoá l ng c ng b c theo các thành ph n c b n, nh n c bi u th c k

có ch a t n s dao ng riêng

B c 6: Cho k = 0, nh n c các giá tr t n s dao d ng riêng ng v i các giá

tr , ta có các d ng dao ng riêng

( t x W W

2 2

t

W m

m

f

02

2

m f x

4

t

W m x

)

4

t y

m dx

y d

0 )

4

4

y m dx

y d

Hai hàm

(3.14)

1

1 2

3 3 4

4

, 0

,

x x

x x y

m dx

Q d GF dx

y d

)

(

Các thanh

( )

( )

,

1

2 2

2

2

x y k EJ x

y EJ

m EJ x

y m t

t x

2 2

2

min )

( )

(

(d)

0 ) 0 , , ) ( ( )

0 , , (

dx

x dy subs x

subs

0 ) , , ) ( (

2

l x dx

x y d subs

(h)

min 1

Z Z

,,, 2 31

i

l

i l

i m i

Z s dx x y s f dx dx

x y d s M F

2

0 1 )

( )

(

(i 1 : 13) (j)

=12626x10-3/l3EJy0 (.25628 x10 75 l 20 k 110-.21081 x10 91 -.18661 x10 70 l 24 k 112+.38162 x10 44 l 36 k 118-.41532x10 87 k 1 l 8 +.17564x10 90 k 1 l 4 +.36456x10 64 l 28 k 114-.12506 x10 55 l 32 k 116+

1 3 , 5160

ml

EJ m

EJ k

4 12

2 22 , 0344

ml

EJ m

EJ k

4 13

3 61 , 6968

ml

EJ m

EJ k

1 0

1và Py2.1x, M2x

(a)

i(i=1:9), bj(j=0:9), là

h là

) ( )

( )

( )

, (

) ( )

( )

( )

, (

2 2 1 2

2 2

2 2

2

2

2

1 2 1 1

2 1

2 2

1

2

1

x y EJk x

y EJ

m EJ x

y m t

t x y

m

f

x y EJk x

y EJ

m EJ x

y m t

t x

2 2

x y x y

1 2

1 1

,

2 2 2 2

2 1 2 1

x y x y

x

x

,

2 2

1 1

EJ M

EJ M

x

x

(d)

min 2

2 0

2 1 1

1 0

2 1 2

2 0 2 1

x l

x x

l

0 2 1 2 1

x

dx

y d

1 0

2 1 1

2 y x l y x

1

0 2 1 1

dx

dy dx

dy

20

l x

dx

y d

(k)

min 1

Z Z

i (i=1:9), bj

6 : 1

; 0 ) (

) 9 : 0 (

; 0 ) 1 ( )

( )

(

) 9 : 1 (

; 0 ) 1 ( )

( )

(

2 2

0 2 2

2

0

2

1 1

0 1 1

1

0

1

k g

i Z

b dx y b f dx b

M

u

i Z

a dx y a f dx a

l m x

l m x

6(k1)=0 theo

4 11

1 9 , 8695

ml

EJ m

EJ k

4 12

2 39 , 4782

ml

EJ m

EJ k

4 13

3 88 , 8300

ml

EJ m

EJ k

1(x) và y2

1) và P(y2) 1x, M2x

trong

Thanh ngàm

-3.4b)

) 0

(

;

2 9

9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 0 9

0

2

9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 9

1

1

l x x

b x b x b x b x b x b x b x b x b b

x

b

y

x a x a x a x a x a x a x a x a x a

i(i=1:9), bj(j=0:9), là

) ( )

( )

( )

, (

) ( )

( )

( )

, (

2 2 1 2

2 2

2 2

2 2 2

1 2 1 1

2 1

2 2

1 2 1

x y EJk x

y EJ

m EJ x

y m t

t x y m

f

x y EJk x

y EJ

m EJ x

y m t

t x y m

2 2

1 2

1 1

,

2 2 2 2

2 1 2 1

x y x y

x

x

,

2 2

1 1

EJ M

EJ M

x

x

(d)

min 2

2 0

2 1 1

1 0

2 1 2

2 0 2 1

x l

x x

l

0 1

2 1 1

2 y x l y x

1

0 2 1 1

1

dx

dy dx

dy

2 0

2 2

4 y x l

g

2 2 2 2 5

l x

dx

y d

0 1

6 y 1 y

min 1

Z Z

; 0 ) (

) 9 : 1 (

; 0 ) 1 ( )

( )

(

) 9 : 1 (

; 0 ) 1 ( )

( )

(

2 2

0 2 2

2

0

2

1 1

0 1 1

1

0

1

k g

i Z

b dx y b f dx b

M

u

i Z

a dx y a f dx a

l m x

l m x

m k

1 15 , 418

ml

EJ m

EJ k

4 12

ml

EJ m

EJ k

4 13

3 104 , 266

ml

EJ m

EJ k

1 22 , 373

ml

EJ m

EJ k

4 12

2 61 , 672

ml

EJ m

EJ k

4 13

3 120 , 941

ml

EJ m

EJ k

g kloxo

R = kloxoy

Min Rydx

ydx F dx M

Z

l l

m l

x x

i, bi và i loxo Cho kloxo i

2 1 2

dx

y d dx

y d

x x

2 2 1 2

2 2

1 2 1 1

2 1

x

min 2

2 0

2 2

1 1

1 0

1 2

1 2

2 0 2 1

1

0

1

2 2

0

2 2

1 1

0

1 1

2 2

0 2 1

1

0

1

dx y f EJk dx

y f EJk dx

M dx M

dx y f f dx y f f dx

M dx M

Z

l

loxo l

loxo x

l x x

l

x

l

loxo m

l

loxo m

x l

x x

5

0 2 1 1 4 2 2 2 2 3

0 2 2 2 2

0 1

1

1

l x x

l x

x l

x l

x x

l

x

y g dx

dy dx

dy

g

y y

g dx

y d g

dx

y d g

y y

1

a3, , a9, b0, b1, b2, , b9, và 1, 2, 6

1 15 , 418

ml

EJ m

EJ k

4 12

ml

EJ m

EJ k

4 13

3 104 , 253

ml

EJ m

EJ k

Xây

min 2

2 0

2 2

1 1

1 0

1 2

1 2

2 0 2 1

1

0

1

2 2

0

2 2

1 1

0

1 1

2 2

0 2 1

1

0

1

dx y f EJk dx

y f EJk dx

M dx M

dx y f f dx y f f dx M

dx M

Z

l

loxo l

loxo x

l x x

l

x

l

loxo m

l

loxo m

x l

x x

1 5

0 2 1 1 4

2 2 2 2 3

0 2 1 2 2

0 1 1 1

l x x

l x x

l x

l x x

l x

Q g dx

dy dx

dy g

y y

g

dx

y d EJ g dx

y d EJ g y y

4 11

1 22 , 373

ml

EJ m

EJ k

4 12

2 61 , 672

ml

EJ m

EJ k

4 13

3 120 , 942

ml

EJ m

EJ k

Hình 3.11

p:),(),(x t W l t

Trong (3.18) momen Mp

)

0 2

2

m

M M

Thay M tính theo (3.3) và Mp tính theo (3.17) vào (3.19) ta có

0 ) , ( )

, ( )

, (

2 2 2

2 4

4

t

t x W m x

t x W P x

t x W

x x

px

M Z

00)(

ngàm-9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2

( )

( )

,

1

2 2

2

2

x y k EJ x

y EJ

m EJ x

y m t

t x W

m

EJ

m k

2 2

xp

dx

y d M

M Z

0

2

min )

0 ) 0 , , ) ( ( )

0 , , (

dx

x dy subs x

subs

0 ) , , ) ( (

2

l x dx

x y d subs

(h)

min1

Z Z

i

1 )

( )

x y d s M

F

i l

i m l

i

(i 1:23) (j)

3

2 2

h/l=1/1000: P=0.P e , k1 = 3.5160/l2; 22.0344/l2; 61.6968/l2; 121.1579/l2; 201.31424/l2

EJ

4649,61

ml

EJ

4980,120

ml

EJ

4854,200

ml EJ

0 = 0,2*P e

4168

ml

EJ

4339,61

ml

EJ

469,120

ml

EJ

457,200

ml EJ

0 = 0,5*P e

4534

ml

EJ

4872,60

ml

EJ

425,120

ml

EJ

4138,200

ml EJ

0 = 0,6*P e

4276

ml

EJ

4718,60

ml

EJ

409,120

ml

EJ

402,200

ml EJ

0 = 0,8*P e

4623

ml

EJ

4402,60

ml

EJ

481,119

ml

EJ

473,199

ml EJ

EJ

469,119

ml

EJ

489,199

ml EJ

i, bi

d c tr i v i bài toán dao

DANH M C TÀI LI U THAM KH O

[23] Stephen P.Timoshenko-Jame M.Gere (1961), Theory of elastic stability,

McGraw-Hill Book Company, Inc, New york Toronto London, 541 Tr

[24] William T.Thomson (1998), Theory of Vibration with Applications

[25] Klaus Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part one, Prentice

Hall International, Inc, 484 trang

[26] Klaus Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part two, Prentice

Hall International, Inc, 553 trang

[27] Ray W.Clough, Joseph Penzien(1993), Dynamics of Structures

2), McGraw-Hill Book Company, Inc, 738 trang

[28] O.C Zienkiewicz-R.L Taylor (1991), The finite element method (four edition)

Volume 2, McGraw-Hill Book Company, Inc, 807 trang

[29] G.Korn-T.Korn (1961), Mathematical Handbook for sientists and Engineers,

McGraw-Nauka-Moscow, 1964)

[30] Stephen P.Timoshenko-J Goodier (1970), Theory of elasticity, McGraw-Hill,

-Moscow, 1979), 560 trang

[31] D.R.J Owen, E.Hinton (1986), Finite Elements in Plasticity: Theory and

Practice, Pineridge Press Lt

[32] Lars Olovsson, Kjell Simonsson, Mattias Unosson (2006), Shear locking reduction in eight-node tri-linear solid finite elements,

[35] Wilson Edward L Professor Emeritus of structural Engineering University of

California at Berkeley (2002) Three Dimensional Static and Dynamic Analysis of structures, Inc Berkeley, California, USA Third edition, Reprint January.