Phương pháp phần tử hữu hạn tính khung có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)

Phương pháp phần tử hữu hạn tính khung có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn tính khung có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn tính khung có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn tính khung có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn tính khung có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn tính khung có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn tính khung có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn tính khung có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn tính khung có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)

L I C

Tác gi lu xin trân tr ng bày t lòng bi t sâu s c nh t i v i

TS Tr ng Quang và cho nhi u ch d n khoa h c có

tác gi trong su t quá trình h c t p, nghiên c u hoàn thành lu n

Tác gi xin chân thành c c, các chuyên gia trong

và ngoài i h c Dân l p H i phòng u ki , quan tâm góp ý cho b n lu n c hoàn thi

Tác gi xin trân tr ng c , giáo viên c a Khoa xây d ng, Phòng i h c và i h c- i h c Dân l p H i phòng, và

ng nghi u ki n thu n l tác gi trong quá trình nghiên c u và hoàn thành lu n

Tác gi lu n

M C L C

L i

L I C iii

M C L C iv

1

C K T C GI I 3

3

3

4

4

4

5

5

N T H U H N 6

n t h u h n 6

2.1.1 N n t h a h n theo mô hình chuy n v 7

2.1.1.1 R i r c hoá mi n kh o sát 7

2.1.1.2 Ch n hàm x p x 8

2.1.1.3 Xây d ng trong t ng ph n t , thi t l p ma tr n c ng i tr ng nút F c a ph n t th e 9e 2.1.1.5: S u ki n biên c a bài toán 21

2.1.1.6 Gi i h ng 28

nh n i l c 28

2.1.2 Cách xây d ng ma tr c ng c a ph n t ch u u n 28

2.1.3 Cách xây d ng ma tr c ng t ng th c a k t c u 31

LÝ THUY T D N BI N D T

NGANG 36

3.1 Lý thuy t d m Euler Bernoulli 36

3.1.1 D m ch u u n thu n túy ph ng 36

2.1.1 D m ch u u n ngang ph ng 40

3.2 Lý thuy t d m có xét bi n d t ngang 48

3.3 Gi n bi n d t ngang b ph n t h u h n 53

3.3.1 Bài toán khung 53

3.4 Các ví d tính toán khung 55

86

86

86

Danh m c tài li u tham kh o 87

theoba mô hình g m:Mô hình chuy n v , xem chuy n v là

ng c n tìm và hàm n i suy bi u di n g ng phân b c a chuy n

v trong ph n t ; Mô hình cân b ng,hàm n i suy bi u di n g ng phân

b c a ng su t hay n i l c trong ph n t và mô hình h n h p, c i

ng chuy n v và ng su t là hai y u t c l p riêng bi t Các hàm n i suy

bi u di n g ng phân b c a c chuy n v l n ng su t trong ph n t

i

các

1.2.5

N T H U H N

t h u h ph c v cho vi c xây d nh n i l c và chuy n v cho các d m liên t c ch u t i tr p trung

suy có th phân tích bài toán theo 3 lo i mô hình sau:

- Mô hình chuy n v : Xem chuy n v ng c n tìm và hàm n i suy

bi u di n g ng phân b c a chuy n v trong ph n t

- Mô hình cân b ng: Hàm n i suy bi u di n g ng phân b c a

ng su t hay n i l c trong ph n t

- Mô hình h n h ng chuy n v và ng su t là 2 y u t

c l p riêng bi t Các hàm n i suy bi u di n g ng phân b c a cchuy n v l n ng su t trong ph n t

Hi n nay, khi áp d ng n t h u h gi i các bài toán

ng s d n t h u h n theo mô hình chuy n v

n t h u h n theo mô hình chuy n v

n t h u h n - mô hình chuy n v , thành ph n chuy n v ng c n tìm Chuy n v c l y x p x trong d ng

m n g i là hàm n i suy (hay còn g i là hàm chuy n v ) Trình t

coi là liên k t v i nhau t i các nút n m t nh hay biên c a ph n t S nút

c a ph n t không l y tu ti n mà ph thu c vào hàm chuy n v nh ch n.Các ph n t ng có d ng hình h n (hình 2.1)

Hình 2.1 D ng hình h n c a ph n t

2.1.1.2 Ch n hàm x p x

ng c n tìm trong m i mi u này cho phép ta kh

vi c tìm nghi m v n ph c t p trong toàn mi n V b ng vi c tìm nghi m t i các nút c a ph n t , còn nghi m trong các ph n t c tìm b ng vi c d a vào hàm

- Có kh chính xác b b c c c x p x(v lý thuy c b c vô cùng s cho nghi m chính xác) Tuy nhiên, khi

T p h p các hàm x p x s xây d ng nên m ng chuy n v nh

m t tr ng thái chuy n v duy nh t bên trong ph n t theo các thành ph n chuy n

v nút T ng chuy n v s nh m t tr ng thái bi n d ng, tr ng thái ng

su t duy nh t bên trong ph n t theo các giá tr c a các thành ph n chuy n vnút c a ph n t

t c là b ng s thành ph n chuy n v nút c a ph n t Yêu c u này cho kh

n c c a hàm x p x theo giá tr ng c n tìm, t c là theo giá trcác thành ph n chuy n v t m nút c a ph n t

2.1.1.3 Xây d ng trong t ng ph n t , thi t l p ma

tr c ng i tr ng nút F c a ph n t th e.e

thi t

T e

1

e

2 e

e e e

e 1

m T e e

y'x'

(9,10,11)4

4 T

c 11

4 T e e

e 1

1 2 3

y'x'

(9,10,11)4

0

* * *

Trong th c t khi phân tích k t c ng g u ki n biên sau:

- Biên làm m t ho c nhi u thành ph n chuy n v b ng 0

- Biên làm m t ho c nhi u thành ph n chuy n v có m t giá tr nh

Khi biên có thành ph n chuy n v ng 0

Thành ph n chuy n v t i m t nút c a ph n t b ng v i các thành ph n chuy n v này là các liên k t v t, ta x lí b ng cách:

- n v cho toàn b h , nh ng thành ph n chuy n t i nút

ng 0 thì ghi mã c a chuy n v mã toàn th c a chuy n v nút theo th t n v nút c a toàn h ch bao g m các chuy n v nút còn l i

11 12 1

3 3

Khi biên có thành ph n chuy n v c m t giá tr

Khi thành ph n chuy n v t i m c m t giá tr xác

nh, thí d m = a (hay liên k ng v i các thành ph n chuy n v nút

m ch u chuy n v ng b c có giá tr b ng a) Lúc này ta có th gi i quy t bài toán này theo 2 cách:

3 A

1 1

c t ng quát, chi u dài ph n t l y b , g c

t n m gi a ph n t y, n u bi c các b c t do t i các nút

ph n t là thì chuy n v t m b t k trong ph n t t i t x

n

(2.31), N2, ,N4: là các hàm d

3 1

n v nút c a ph n t Tính tích phân các h s trong ta có th tính b

xác (b ng hàm int(fx,a,b) có s n trong matlab) ho c tính b

phân s c a Gauss và k t qu c ng c a ph n t ch u u n ngang ph

sau:

ng v i b c t

2.1.3 Cách xây d ng ma tr c ng t ng th c a k t c u

trình bày cách xây d ng ma tr c ng t ng th c a k t c u trong

n t h u h n, lu c trình bày thông qua ví d gi i bài toán d m ch u u i tác d ng c a t i tr th sau (còn các bài toán khác thì cách xây d ng ma tr c ng t ng th ):

Ví d 2.5: Tính toán k t c u d m

c ng

nh chuy n v t i gi a d m

Hình 2.7 Hình ví d 2.5

P

Hình 2.8 R i r c hóa thanh thành các ph n tChia thanh ra thành npt ph n t Các nút c a ph n t ph i trùng v i v trí

t l c t p trung, chi u dài các ph n t có th khác nhau M i ph n t có 4b c

t y n u npt ph n t r i r c thì t ng c ng có 4npt b c t

vì c m b o liên t c gi a các chuy n v là chuy n v c a nút cu i ph n t

th e b ng chuy n v c u ph n t th e 1 nên s b c t do c a thanh

s nh n Khi gi i ta ch cpt m b u ki n liên t c c a chuy n v

5 7 9 11Sau khi bi t n s th c c a các thanh ta có th xây d c ng t ng th

c a thanh (có r t nhi u cách ghép n i ph n t l p trình c a m i nên tác gi không trình bày chi ti t cách ghép n i các ph n

3 4 3

F

0

so hang k0

;

1

n 1

5 5 5 3

D m ch u u n thu n túy ph ng là d m mà trên m i m t c t ngang d m

ch có m t thành ph n n i l c là mômen u n n m trong m t ph ng quán tính chính trung tâm

ng su t trên m t c t ngang

Gi s d m có m t c t ngang hình ch nh t (bxh) ch u u n thu n túy 3.1a Ta ti n hành thí nghi m sau:

- M t c t ngang d u ph ng và vuông góc v i tr c d m, sau bi n

d ng v n ph ng và vuông góc v i tr c d m (gi thi t v m t c t ngang, gi thi t Bernoulli)

- Trong quá trình bi n d ng các th d c c a d m không ép lên nhau và

y xa nhau (gi thi t v các th d c)

Ngoài ra khi tính toán d m ta còn d a vào các gi thi t sau:

- V t li u có tính ch t liên t ng nh ng

- Bi n d ng c a v t th do ngo i l c gây ra là nh so v c c a chúng

T hình 2.1c, ta nh n th y r ng: khi d m b u n thì các th trên co l i, các th i giãn ra Do v y khi chuy n t th co sang th giãn s có th không

co, không giãn Th này g i là th trung hòa T p h p các th trung hòa g i là

l p trung hòa, giao c a l p trung hòa v i m t c t ngang g ng trung hòa

N u ta xét m t m t c t ngang nào a d m thì sau khi b u n nó s cho hình

ng trung hòa c a m t c t ngang là m ng cong Vì chuy n v

Theo tính ch t c a th trung hòa ta có:

Hình 3.3 Hai m t c t sau khi u n

v ng trung hòa c a m t c t ngang

khác theo gi thi t th hai thì trên các m t c a

phân t song song v i tr c Z không có ng su t

(3.9)

c ng c a d m khi u n Thay (3.9) vào (3.4) ta có:

(3.10)

T công th c (3.10) ta có các nh n xét:

- Lu t phân b c a trên m t c t ngang d m là b c nh i v i y

n ng th ng song song v i tr c trung hòa x) s có tr s b ng nhau và

nó t l v i kho ng cách t i tr c trung hòa

- Nh m n m trên tr c trung hòa y=0 có tr s Nh m

xa tr c trung hòa nh t s có tr s ng su t l n nh t và bé nh t

2.1.1 D m ch u u n ngang ph ng

D m ch u u n ngang ph ng là d m mà các m t c t ngang c a nó có các thành ph n n i l c là l c c t Qyvà mômen u n Mxn m trong m t ph ng quán tính chính trung tâm c a d m

ng t m t c t ngang d m sau bi n d ng b u t i

m A b t k c a d m ta tách ra m t phân t b ng các m t song song v i các

m t t thì sau khi bi n d ng các góc vuông c a phân t không còn vuông

n có bi n d ng góc Suy ra trên các m t phân t s có ng

su t ti p

c a phân t có các ng su t sau:

c tcho th y r ng ng su t pháp r t

Trong m c nh gi thi t Bernoulli v m t c t ngang ph

i công th c tính ng su t pháp trên m t c t ngang d m là:

(3.11)

ng h p d m b u n ngang ph ng thì sau bi n d ng m t c t ngang d m b là không còn ph ng n y m i l p lu

i công th c (3 tính ng su t pháp không phù h p n a Tuy

ch u u n ngang ph ng ta v n có th dùng công th c (3.11) tính ng su t

mà sai s không l n l m

b ng su t ti p trên m t c t ngang d m ch u u n ngang ph ng (công

th c Durapski):

Gi s có d m m t c t ngang là hình ch nh t h p (b<h) ch u u n ngang

ph ng hình 3.7

Ta xét ng su t ti p t m b t k A(x,y) trên m t c t ngang

1-c a d m A ta k ng th ng song song v i tr c ox c t biên c a m t

Ta có:

(d): g a ph n di i v i tr c x Thay (d) vào (c) ta suy ra:

(3.12)

i là b r ng c a m t c m c n tính ng su t

A Công th c (3.12) g i là công th c Durapski T công th u

ki n cân b ng c a ph n thanh trên ta suy ra là cùng chi u v i tr c z,

T (2.13) ta nh n th y r ng: Lu t phân b trên m t c t là parabol b c

i v i y V i y=0 (nh m n m trên tr c trung hòa ox) thì:

(3.14)

ng th i thành ph n song song oy c a chúng là b ng nhau,

3.2 Lý thuy t d m có xét bi n d t ngang

c g i là lý thuy t d m Timoshenko Khi xây d ng lý thuy t này v n s d ng

gi thi t ti t di n ph ng c a lý thuy t d ng, tuy nhiên do có bi n

Các tác gi [28, trg 5] cho r t (3.21) suy ra

v lý thuy t d m không xét bi n d t: Góc xoay c ng võng là do mômen gây ra Theo tác gi , l p lu i vì khi

d n v ng h p u n thu n túy c a d t xét bi n

d t dùng y và làm n không h i t v lý thuy t d ng và khi áp d ng vào bài toán t i t v lý thuy t t m thông

ng (lý thuy t t m Kierchhoff, [28, trg 71],[25, tr ng

kh c ph c thi u sót v a nêu là b sung thêm các nút xét l c c t Q trong các ph n t d m ho c ph n t t m [25,26, 28] ho c dùng ph n t có hàm d c b c th p (b c nh t) [ 31,trg 126] V tìm ph n t có hàm d ng không b hi ng bi n d t b khóa,shear locking, v

c ti p t c nghiên c u,[32].Tình hình chung hi n nay v lý thuy t xét bi n

Góc xoay do momen u n sinh ra b ng hi u gi

võng v i góc xoay do l c c t gây ra

GF

Q dx

dy dx

dy

(3.24)Momen u n s b ng

y d EJ dx

D a trên lý thuy t này ta s xây d u

b u q)

Min qydx

dx Q dx

2.29) sau khi l y tích phân t ng ph n có d ng

B ng và là nh và b t k nên t (3.31) ta có

Sau khi l y tích phân t ng ph n

B i vì bi n phân là nh và b t k nên t (2.13) ta có

i v u ki n (2.36), n n v y t i x=0 ho c x=l có bi n phân.

N

ho c u d n v lý thuy t d m Euler- Bernoulli Cho nên có th nói

lý thuy t xét bi n d t nêu trên (xem

à lý thuy v d m

Cu i cùng c ng khi xét tính liên t c v góc xoay gi n

th c (3.24), không ph i liên t c c a góc xoay

ròn =4/3 Tuy nhiên khi

y d EJ EJ

i i i

2

3.12khung Trên hình (3.12

, và

u ki n ràng bu c Ví d d m trong (ví d 3.4.1, hình 3.13) ta chia thành 4

ph n t (hình 3.14)

Khi chia c t thành 4 ph n t thì s nút c t s là 5, th t t i lên trên

là [1, 2, 3, 4, 5] (hình 3.14b1), s n chuy n v nw1=4, th t t trái sang ph i

là [1, 2, 3, 4] (hình 3.14c1), n chuy n v t i chân c t b ng không, n góc xoay nwx1=8, th t t trái sang ph i là [5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12] (hình 3.14d1), n l c c t nq1=8, th t t trái sang ph i là [13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20] (hình 3.14e1)

Khi chia d m thành 4 ph n t thì s nút d m s là 5, th t t trái sang

ph i là [1, 2, 3, 4, 5] (hình 3.14b2), s n chuy n v nw2=3, th t t trái sang

ph i là [21, 22, 23] (hình 3.14c2), n chuy n v t u d m b ng không, n góc xoay nwx2=8, th t t trái sang ph i là [24, 25, 26, 27, 28, 29,

30, 31] (hình 3.14d2), n l c c t nq2=8, th t t trái sang ph i là [32, 33, 34,

35, 36, 37, 38, 39] (hình 3.14e2)

y, t ng c ng s n là 39 n <2x6x6=72 n G i ma tr n nw1 là ma

tr n chuy n v c nw1(npt, 2) là ma tr n có npt hàng và 2 c t ch a các n s là chuy n v t i u nút c a các ph n t (hình 3.14c1)

Các ph n t c t:

4 3 :)

3 2

2 1

1 0 1

nw

G i ma tr n nwx1 là ma tr n chuy n v góc xoay c nwx1(npt, 2) là ma tr n có npt hàng và 2 c t ch a các n s là góc xoay t i nút c a các

ph n t (hình 3.14)

12 11 :) , 4

(

1

; 10 9 :) , 3

(

1

; 8 7 :) , 2

(

1

; 6 5 :) ,

10 9

8 7

6 5 1

nwx

G i ma tr n nq1 là ma tr n l c c t c nq1(npt, 2) là ma tr n có

pt

n hàng và 2 c t ch a các n s là l c c t t i u nút c a các ph n t (hình 3.14)

20 19

18 17

16 15

14 13 1

nwx

Các ph n t d m:

0 23 :) ,

4

(

2

; 23 22 :)

2

(

2

; 21 0 :)

23 22

22 21

21 0 2

nw

G i ma tr n nwx2 là ma tr n chuy n v góc xoay c nwx2(npt, 2) là ma tr n có npt hàng và 2 c t ch a các n s là góc xoay t i nút c a các

ph n t (hình 3.14)

31 30 :) , 4 ( 2

; 29 28 :) , 3 ( 2

; 27 26 :) , 2 ( 2

; 25 24 :) , 1 ( 2

nwx nwx nwx nwx

31 30

29 28

27 26

25 24 2

nwx

G i ma tr n nq2 là ma tr n l c c t c nq2(npt, 2) là ma tr n có

pt

n hàng và 2 c t ch a các n s là l c c t t i u nút c a các ph n t (hình 3.14)

39 38 :) , 4 ( 2

; 37 36 :) , 3 ( 2

; 35 34 :) , 2 ( 2

; 33 32 :) , 1 ( 2

nq nq nq nq

39 38

37 36

35 34

33 32 2

nq

Sau khi bi t n s th c c a d mvà c t ta có th xây d c ng t ng th

c a khung (có r t nhi u cách ghép n i ph n t l p trình c a m i nên tác gi không trình bày chi ti t cách ghép n i các ph n

t l c ma tr c ng c a toàn d m và có th

a tác gi )

N u bài toán có nw1, nw2, n s chuy n v th ng c a d m và c t và nwx1, nwx2 n s góc xoay c a d m và c t, nq1, nq2 n s l c c t c a c t và d m thì

ma tr c ng t ng th c a d m và c t c (nxn), K n,n v in=(nw1+nwx1+nq1+nw2+nwx2+nq2) ví d 3.4.1, n=39 Bây gi xét

i i

nut

i i

GF

Q dx

dy GF

Q dx

dy

(a)

i v i c t trái, ta có:

0 0 0

1

14 14

2

13 13

3

1

13 13

2

12 12

2

1

12 12

2

11 11

1

nut nut

nut nut

nut nut

GF

Q dx

dy GF

Q dx

dy

GF

Q dx

dy GF

Q dx

dy

GF

Q dx

dy GF

Q dx

dy

(b)

i v i d m ngang, ta có:

0 0 0

1

23 24

2

23 23

6

1

23 23

2

22 22

5

1

22 22

2

21 21

4

nut nut

nut nut

nut nut

GF

Q dx

dy GF

Q dx

dy

GF

Q dx

dy GF

Q dx

dy

GF

Q dx

dy GF

Q dx

2 7

nut GF

Q dx

y d

2

2

14 14

2 8

nut

Q dx

y d GF

Q dx

y d

n

F

so hang nF

F

0

so hang k0

n

2 1

1 1

là n s c a bài toán

Trong ví d 3.4.1 khi chia thanh ra thành 4 ph n t , ta có:

0.0000 0.0000

0.0000 - 0.0000 0

0

0.0000 0.0000

0.0000 0.0000

0

-0

0.0000 - 0.0000 16.0000

8.0000 96.0000

96.0000

-0.0000 0.0000

8.0000 16.0000

-96.0000 - 96.0000

0 0

96.0000 - 96.0000 - 768.0000 768.0000

-0 0

96.0000 96.0000

768.0000 -

0.0021 -

0.0024 -

0.0000 0.0051 0.0082 0.0062

;

3

25 24 23 22 21 15 14 13 12 11

0.0000 0.0052 0.0042

0.0031 -

0.0167 -

0.0167 -

0.0197 -

0.0028 -

0.0183 0.0279

ql x

ql x

0.4420 -

0.4420 -

0.1920 -

0.0580 0.3080

Mômen u n c a d m:

Pl x M

0.0335 0.0084

0.0167 -

0.0419 -

0.0670 -

0.0670 -

0.0435 0.0915 0.0770 0.0000

M M M M M M M M M M

25 24 23 22 21 15 14 13 12 11

X: 2 Y: -0.008185

X: 3 Y: -0.005127

X: 2 Y: -0.09152

X: 3 Y: -0.04353

X: 4 Y: 0.06696

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -0.04

-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08

X: 0 Y: 0.06696

X: 1 Y: 0.04185

X: 2 Y: 0.01674

X: 3 Y: -0.008371

X: 4 Y: -0.03348