Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng tĩnh phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)

Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng tĩnh phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng tĩnh phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng tĩnh phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng tĩnh phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng tĩnh phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng tĩnh phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng tĩnh phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng tĩnh phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)

u c a riêng tôi Các s li u, k t qu trong

lu n là trung th c ai công b trong b t k công trình nào khác

Tác gi lu n

Ph m Thanh Tùng

L I C

Tác gi lu xin trân tr ng bày t lòng bi t sâu s c nh t i v i TS

n và cho nhi u ch d n khoa h c có giá tr

ng viên, t o m u ki n thu n l tác gi trong su t quá trình h c t p, nghiên c u hoàn thành lu n

Tác gi xin chân thành c c, các chuyên gia trong và ngoài

i h c Dân l p H i phòng u ki , quan tâm góp ý cho b n

lu n c hoàn thi

Tác gi xin trân tr ng c , giáo viên c a Khoa xây d ng, Phòng

i h c và i h c- i h c Dân l p H i phòng ng nghi u ki n thu n l tác gi trong quá trình nghiên c u và hoàn thành lu n

Tác gi lu n

Ph m Thanh Tùng

trình

phápbài toán

d m (gi thi t Euler Bernoulli).

- Không xét l c nén gi a các th theo chi u cao c a d m

V i gi thi t th ba thì ch có ng su x và các ng su t ti xz zx tác d ng lên phân t d m (hình 1.3), ng su z b ng không Hai gi thi t th ba và th

i c a d m Gi thi t th nh t xem chi u dài tr c d m không

i khi b võng c a d m là nh so v i chi u cao d m, ymax / h 1/5 V i gi thi t th hai thì bi n d t do ng su t ti c xét

1/5 Chuy n v ngang u c m n m cao z so v i tr c d m b ng

dx dy

Bi n d ng và ng su

Hình 1.2 Phân t d mTTH

u

dx

y d

z

dx

y d Ez

2 2

12

h

y d Ebh dz

dx

y d Ebz

Bi u th c c a ng su t ti zx trong tích phân trên s trình bày sau

Nh các gi thi t nêu trên, thay cho tr ng thái ng su t trong d m, ta ch c n nghiên

dx

q(x)

dx

y d

b) Liên k t ngàm t i x=0:

Chuy n v b ng không, , góc xoay b ng không, 0

0

x dx dy

c) không có g i t a t i x=0:

Momen u n M 0, suy ra 0

0 2 2

x

dx

y d

; l c c t Q=0, suy ra

u ki n t

Bây gi tìm hi u s phân b ng su t ti zxtrên chi u dày h c a d c

z x

xz

dx

y d Ez x

z

xx xz

dx

y d Ez

3 2

2Hàm nh t u ki n ng su t ti p b ng không t i m t trên và m i

8 dx

y d Eh x

C

ng su t ti p phân b trên m t c t d m có d ng

2 2 3

3

4

8 dx z h

y d

8 dx

y d Eh

12 dx

y d

Ebh

Q

ng su t ti p trung bình trên chi u cao d m b ng: 3

3 2

12 dx

y d Eh

tb xz

bi n d ng c c ti u, nguyên lý Castiliano (1847-1884) Nguyên lý phát bi

Trong t t c các tr ng thái cân b ng l c có th thì tr ng thái cân b ng th c

có th nguyên là chuy n v 1.18) bi u th quan h gi a M

Thay d u c a (1.23) ta có

Khi y có giá tr nh t u mút d u ki n c bi u th c (1.24) c c ti

0,

Z Y

,0

W Z V

Y U

u y x

W Z V

Y U

0

ZW YV

l

dx qy dx

1

hay

l

dx qy dx

y d

1

(1.30)

dx

y d EJ

i

và Qi

,

i i

i

Q q q

T q

T dt

1 2

1

i

i n

y

i i

i

q y y

T y

T

i i i i i i i

y m t

y m y m t y

1 2 2

2

2 1 2

2

1 2 2

2

2 1 1

2

2 2

22

12

1

22

12

1

22

12

1

x

y y y EJ x

y EJ

x

y y y

EJ x

y EJ

x

y y y

EJ x

y EJ

i i i

i

i i i

i

i i i

i i i

i

i i i i i i

i i i

i

x

EJ x

y y y y

y

EJ

x

y y y y y y

y y y

EJ

y

4 4 4

2 1 1

2

4

2 1 1

2 1 1

464

22

242

(1.38)

q x

y EJ t

y

4 2

2

(1.39)

q dx

y d

-,

o

tr

2

Trong ch c tiên trình bàylý thuy t d m ng, lý thuy t

d m Euler - i thi u lý thuy t d m có xét bi n d t ngang

nghiên c u n i l c và chuy n v c a h d m ch u u n có xét bi n

2.1 Lý thuy t d m Euler Bernoulli

D m ch u u n là c u ki c ti t di n nh u l n so v i chi u dài c a nó, trên m t c t ngang d m t n t i hai thành ph n n i l c là mômen u n M và

l c c t Q T i tr ng tác d ng lên d m n m trong m t ph ng có ch ng trung bình

c a d m và th ng góc v i tr c d ng h p d m ch u u n thu n túy ph ng và u n ngang ph ng

2.1.1 D m ch u u n thu n túy ph ng

D m ch u u n thu n túy ph ng là d m mà trên m i m t c t ngang d m ch có

m t thành ph n n i l c là mômen u n n m trong m t ph ng quán tính chính trung tâm

ng su t trên m t c t ngang

Gi s d m có m t c t ngang hình ch nh t (bxh) ch u u n thu

3.1a Ta ti n hành thí nghi m sau:

c khi d m ch u l c ta v ch lên

m t ngoài d m nh ng th ng song

song và vuông góc v i tr c d m t o nên

nh ng ô vuông, hình 2.1a Sau khi d m

- M t c t ngang d u ph ng và vuông góc v i tr c d m, sau bi n d ng

v n ph ng và vuông góc v i tr c d m (gi thi t v m t c t ngang, gi thi t Bernoulli)

- Trong quá trình bi n d ng các th d c c a d m không ép lên nhau và không

y xa nhau (gi thi t v các th d c)

Ngoài ra khi tính toán d m ta còn d a vào các gi thi t sau:

c a d m thì sau khi b u n nó s cho hình d

ng trung hòa c a m t c t ngang

Xét bi n d ng c n d m dz

c c t ra kh i d m b ng hai m t c t 1-1

và 2-2 Sau bi n d ng hai m t c t này làm

v i nhau m t góc và th trung hòa có

2 c oy là tr i x ng c a m t c t ngang, tr c ox trùng v ng trung hòa c a m t c t ngang

khác theo gi thi t th hai thì trên các m t c a

phân t song song v i tr c Z không có ng su t

- Nh m n m trên tr c trung hòa y=0 có tr s Nh m xa tr c trung hòa nh t s có tr s ng su t l n nh t và bé nh t.

c khi d m ch u l c ta v ch lên m t ngoài d m nh ng

th ng song song và vuông góc v i

có bi n d ng góc Suy ra trên các m t phân t s có ng su t ti p

phân t có các ng su t sau:

c tcho th y r ng ng su t pháp r t bé

có th dùng công th c (2 tính ng su t mà sai s không l n l m

b ng su t ti p trên m t c t ngang d m ch u u n ngang ph ng (công th c Durapski):

Gi s có d m m t c t ngang là hình ch nh t h p (b<h) ch u u n ngang ph ng hình 2.7

Ta xét ng su t ti p t m b t k A(x,y) trên m t c t ngang 1- a

d m A ta k ng th ng song song v i tr c ox c t biên c a m t c t t i B

và C, c t tr c oy t c h t ta xét ng su t ti p t i B,C và D

(c)

: g a ph n di i v i tr c x Thay (d) vào (c) ta suy ra:

(2.12)

i là b r ng c a m t c t ngang m c n tính ng su t A Công th c (2.12) g i là công th c Durapski T công th u ki n cân

b ng c a ph n thanh trên ta suy ra là cùng chi u v i tr c z, cùng chi u v i

T (2.13) ta nh n th y r ng: Lu t phân b trên m t c t là parabol b c hai

i v i y V i y=0 (nh m n m trên tr c trung hòa ox) thì:

Ta xét i m b t k A(x,y) thu c long ta có: bc=d.

T (2.15) ta nh n th y r ng: Lu t phân b c a ph n lòng m t c t ch I là parabol b i v i y V i y=0 (nh m n m trên tr c trung hòa ox) thì:

2.2 Lý thuy t d m có xét bi n d t ngang

g i là lý thuy t d m Timoshenko Khi xây d ng lý thuy t này v n s d ng gi thi t

ti t di n ph ng c a lý thuy t d ng, tuy nhiên do có bi n d t, tr c

Các tác gi [28,trg 5] cho r ng khi (2.21) suy ra

v lý thuy t d m không xét bi n d t: Góc xoay c võng

là do mômen gây ra Theo tác gi , l p lu i vì khi th a mãn

2.22) thì t 2.21) suy ra l c c t Q =0, d n v ng h p

n không h i t v lý thuy t d ng và khi áp d ng vào bài toán t m, nó

i t v lý thuy t t ng (lý thuy t t m Kierchhoff, [28, trg

thêm các nút xét l c c t Q trong các ph n t d m ho c ph n t t m [25,26, 28] ho c dùng ph n t có hàm d c b c th p (b c nh t) [ 31,trg 126] V tìm

ph n t có hàm d ng không b hi ng bi n d t b khóa,shear locking, v n

c ti p t c nghiên c u,[32].Tình hình chung hi n nay v lý thuy t xét bi n

Góc xoay do momen u n sinh ra b ng hi u gi võng

v i góc xoay do l c c t gây ra

GF

Q dx

dy dx

dy

(2.24)Momen u n s b ng

y d EJ dx

d EJ

Bi n d ng u n

dx

dQ GF dx

Min qydx

dx Q dx M Z

u d n v lý thuy t d m Euler- Bernoulli Cho nên có th nói lý thuy t xét bi n d ng

Cu i cùng c ng khi xét tính liên t c v góc xoay gi n d m

không ph i liên t c c a góc xoay

y d EJ EJ

i i i

2

2.1)

Hình 2

2.7a)

n i các ph n t này l i v c l i gi i c a m t k t c u công trình hoàn

th phân tích bài toán theo 3 lo i mô hình sau:

- Mô hình chuy n v : Xem chuy n v ng c n tìm và hàm n i suy bi u

di n g ng phân b c a chuy n v trong ph n t

- Mô hình cân b ng: Hàm n i suy bi u di n g ng phân b c a ng su t hay n i l c trong ph n t

- Mô hình h n h ng chuy n v và ng su t là 2 y u t c l p riêng bi t Các hàm n i suy bi u di n g ng phân b c a c chuy n v l n

ng su t trong ph n t

n t h u h n theo mô hình chuy n v

n t h u h n - mô hình chuy n v , thành ph n chuy n v

ng c n tìm Chuy n v c l y x p x trong d ng m

gi n g i là hàm n i suy (hay còn g i là hàm chuy n v ) Trình t phân tích bài toán theo n t h u h n - mô hình chuy n v có n i dung sau:

Khi r i r c hoá k t c u liên t c gi thi t n i v i nhau t i m t

lcàng nh thì m chính xác c a k t c

Khi r i r c c n chú ý t i nh n v bi n thiên nhanh thì ch n các

Ux(x, y, z) = 1+ 2.x + 3.y + 4.z + 5.xy + 6.yz + 7zx + 8.xyz

Uy(x, y, z) = 9+ 10.x + 11.y + 12.z + 13.xy + 14.yz + 15zx + 16.xyz

Uz(x, y, z) = 17+ 18.x + 19.y + 20.z + 21.xy + 22.yz + 23zx + 24.xyz

Theo nguyên lý công kh d ta có công th c:

ds.pdvu.gdv

S T V

T V

T

(3.12)

Ph ng trình trên bi u th i u ki n cân b ng c a h h i tuy n tính N uchuy n trí c a c hai v theo thông th ng ta có:

g.udv

S V

T V

T

(3.13)

nh lu n Hooke: D thay vào v ph i nh c:

S T V

T V

T

dsp.udv

gudv

Trong ph ng trình trên còn thi i u ki n liên t c, i u ki n n a vào

b ng m t ng chuy n v x p x (hàm chuy n v ) tho mãn c i u ki n t ng thích

Ta ch n m t hàm chuy n v phù h p v i lo i và b c c a m t ph n t m u(PTHH):

- V i bài toán không gian:

z.y,xPz

,y,

x

- V i bài toán ph ng:

.y,xPy,

y

x

yx1000

000yx1u

u

(3.17)

.Pu

N u tính chuy n v c a các nút trong m t ph n t ta có:

.A

e

u - n v c a các nút c a ph n t

3 3

3 3

2 2

2 2

1 1

1 1

000yx1

yx1000

000yx1

yx1000

000yx1

e uA

t:

1 e

A.p

N

N ho c B u e ng th i

e

u.Nu

N u cho các nút m t chuy n v kh n d ng kh

e

u.B

e

u.N

Th c hi n phép chuy

T T e T

B.u

T T e

T

N.u

S

T e V

T T e V

e T

T

Ta dùng chuy n v c ch n (H m CV) không nh ng tho mãn

u ki n bên trong và c trên biên PTHH Trong công th ng u e không

ph thu c vào phép tích phân nên có th u tích phân:

S

T T e V

T T e V

e T

T V

e T

dspNdv

gNdv

uBD

N u ký hi u:

K

S T V

ph n t t k t c u bao g m nhi u ph n t t o nên D

trình cân b ng c a m t ph n t , th c hi n ghép n t o nên ph ng trình cân b ng

c a h k t c u, t xác c chuy n v c a các nút, tr c khi ghép n i khi

c n chuy n h tr c to (t h to c c b sang h to t ng th )

3.1.1.4 Chuy n h tr c to

thu n ti n cho vi c nh p s li u t i tr ng và xem n i l c, trên m i m t ph n

t có m t h to riêng g i là h to c c b Trong khi to c a các nút vàchuy n v c tính theo h to chung, g i là h to t ng th

Hình 3.3

Khi ghép n i ma tr c c, và chuy n v c n chuy n c ng này t h to c c b v t ng th , t a h to c c b :

e e

K

Ta có:

e e

xTZ

YX

t:

T e 1

e '

e '

F

e '

u - vect chuy n v nút trong h to t ng th

Khi xác c các chuy n v nút c a h trong to t ng th thì chuy n v

c a các nút c a ph ng trình trong h to c c b là:

' e 1

Ph ng trình cân b ng c a ph n t trong h to t ng th :

' e '

c ng và vect t i tr ng c a h , các b c th c hi n nh sau:

' 1

6543

6543

' 2

Do h có 6 chuy n v nên ma tr n c ng c a h k s có kích th c 6*6 t ng

ng v i các chuy n v :

s

Các giá tr c x nh b ng cách c ng d n t K 1' và K Duy t t ng giá tr'2

c a K chuy n vào1' K s theo ch s , ti p t c v i K '2 nh ng c ng thêm

c c a toàn h

T s chuy n v c a h ta có vect l c t ng ng

4321

T các vect l c c a m i ph n t c x nh, ta duy t t ng giá tr c a F 1'

a vào v trí c a F s sao cho có cùng ch s Ti p t c làm nh v y v i F '2 nh ng

ph i c ng thêm vào Cu i cùng ta có h ph ng trình c a h k t c u:

s s

Hình 3.5.

Ví d : k1thêm vào k11, k2thêm vào k22

3.1.1.6 X u ki n biên

Mu n tìm chuy n v c a các nút ta c n gi i h ph ng trình: K s u s F s tuy nhiên ma tr c ng c a h c thành l p khi ch a t n các liên k t c a k t c u

v ng, do det K s = 0 hay nói cách khác h suy bi n gi i h ph ng trình này c a c i u ki n biên vào là chuy n v b ch n (chuy n v = 0) t icác chuy n v này s có ph n l c

Sau khi xoá ta có h ph ng trình:

4 3

4 3

uk

Gi s cho tr c m t s chuy n v u i a ikhi cách kh ui c th c hi n

nh sau: thay ui vào các dòng t i v trí i chuy n tích các kiiui sang bên ph i và xoádòng i ta có h ph ng trình m i

Ví d cho u2= a2

s s

K

a

k k k k k k

62 52 42 32 22 12

xoá dòng i = 2

' s ' s '

s

62 52 42 32 12

2

FuK

65431

kkkkk

1

Gi i h này tìm c các u 's

Ph n l c t i các chuy n v cho tr c x nh nh sau:

Thay các chuy n v t c vào dòng i, ta có:

c t ng quát, chi u dài ph n t l y b , g c t

n m gi a ph n t y, n u bi c các b c t do t i các nút ph n t là

thì chuy n v t m b t k trong ph n t t i tsau:

(3.38), N2, N3,N4: là các hàm d

3 1

u ki n d ng c c vi t l

i i

i 1 1

(b ng hàm int(fx,a,b) có s n trong matlab) ho c tính b

c a toàn thanh N u thanh ch có m t ph n t thì ma tr n c a ph n t

ma tr c ng c a thanh Trong ph n t n u b c t do nào không có thì trong ma

3.1.3 Cách xây d ng ma tr c ng t ng th c a k t c u

D ng d n t i m c 3.1.1.5, ta ghép n c ma tr n các ph n t [Ke] vào vào ma tr c ng c a toàn k t c u [K]

3.2 Gi i bài toán d m n bi n d t ngang b

ph n t h u h n

,EJ=const

m b o liên t c gi a các chuy n v là chuy n v c a nút cu i ph n

t th e b ng chuy n v c u ph nt th e 1 nên s n c a thanh s nh

6x Khi gi i ta ch c m b u ki n liên t c c a chuy n v còn u ki n

trong (ví d 3.2.1, hình 3.9a) ta chia thành 4 ph n t (hình 3.9b)

Khi chia d m thành 4 ph n t thì s nút d m s là 5, th t t trái sang ph i là [1, 2, 3, 4, 5] (hình 3.19b), s n chuy n v nw1=3, th t t trái sang ph i là [1, 2, 3] (hình 3.9c), n chuy n v t i u d m b ng không, n góc xoay nwx1=8, th

t t trái sang ph i là [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11] (hình 3.9d), n l c c t nq1=8, th t ttrái sang ph i là [12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19] (hình 3.9e)

y, t ng c ng s n là 19 n <4x6=24 n G i ma tr n nw1 là ma tr n chuy n v c nw1(npt, 2) là ma tr n có npthàng và 2 c t ch a các n s là chuy n v t i u nút c a các ph n t (hình 3.9c)

Các ph n d m:

0 3 :)

3 2

2 1

1 0 1

nw

G i ma tr n nwx1 là ma tr n chuy n v góc xoay c nwx1(npt, 2) là

ma tr n có npt hàng và 2 c t ch a các n s là góc xoay t i nút c a các ph n t (hình 3.9d)

11 10 :) , 4

(

1

; 9 8 :) ,

3

(

1

; 7 6 :) , 2

(

1

; 5 4

:) ,

9 8

7 6

5 4 1

nwx

G i ma tr n nq1 là ma tr n l c c t c nq1(npt, 2) là ma tr n có npthàng và 2 c t ch a các n s là l c c t t i u nút c a các ph n t (hình 3.9e)

19 18 :)

17 16

15 14

13 12 1

u ki n liên t c v góc xoay gi a các ph n t c vi

0

1

1 1

i i

nut

i i

GF

Q dx

dy GF

Q dx

dy

(a)

i v i d m, ta có:

0 0 0

1

14 14

2

13 13

3

1

13 13

2

12 12

2

1

12 12

2

11 11

1

nut nut

nut nut

nut nut

GF

Q dx

dy GF

Q dx

dy

GF

Q dx

dy GF

Q dx

dy

GF

Q dx

dy GF

Q dx

2 4

nut

dx

dQ GF dx

y d

2 5

nut

dx

dQ GF dx

y d

(g)

k(k=1 5) n s c a bài toán (có k n s ng s n

thêm k dòng và k c c c a ma tr c ng làK n k,n k

Ch ng h n trong ví d này, ta có n=19, k=5 và t ng s n c a bài toán là n+k=19+5=24

F

0

so hang k0

n

2 1

1 1

là n s c a bài toán

Trong ví d 3.2.1 khi chia thanh ra thành 4 ph n t , ta có:

- Ma tr c ng ph n t [K e (6x6) h=l/1000

0.0000 0.0000

0.0000 - 0.0000 0

0

0.0000 0.0000

0.0000 0.0000

0

-0

0.0000 - 0.0000 16.0000

8.0000 96.0000

96.0000

-0.0000 0.0000

8.0000 16.0000

-96.0000 - 96.0000

0 0

96.0000 - 96.0000 - 768.0000 768.0000

-0 0

96.0000 96.0000

768.0000 -

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2500 0.2500 0.2500

0.0088 0.0124 0.0088

W W

W

l xq W

;

3

15 14 13 12 11

0.0391 -

0.0273 -

0.0000 0.0273 0.0391

ql x

ql x

0.1250 -

0.0000 0.1250 0.3750

14

13

12

11

Mômen u n c a d m:

Pl x M

0.0000 0.0938 0.1250 0.0937 0.0000

M M M M M

15 14 13 12 11

võng và bi moomen u n c a d m

Nh n xét k t qu trên:

Khi h=l/1000 (không k n ng c a bi n d t) chia d m thành 4

ph n t ta nh c k t qu moomen hoàn toàn trùng kh p và l c c t g n trùng v i

X: 2 Y: -0.01237

X: 3 Y: -0.008789

-0.14 -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0

X: 1 Y: -0.09375

X: 3 Y: -0.09375

X: 2 Y: -0.125