Nghiên cứu dao động tự do của dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)

Nghiên cứu dao động tự do của dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Nghiên cứu dao động tự do của dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Nghiên cứu dao động tự do của dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Nghiên cứu dao động tự do của dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Nghiên cứu dao động tự do của dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Nghiên cứu dao động tự do của dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Nghiên cứu dao động tự do của dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Nghiên cứu dao động tự do của dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Nghiên cứu dao động tự do của dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Nghiên cứu dao động tự do của dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Nghiên cứu dao động tự do của dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)

L I C

Tác gi lu xin trân tr ng bày t lòng bi t sâu s c nh t i v i GS.TS Tr n H u Ngh và cho nhi u ch d n khoa h c có

tác gi trong su t quá trình h c t p, nghiên c u hoàn thành lu n

Tác gi xin chân thành c c, các chuyên gia trong

góp ý cho b n lu n c hoàn thi

Tác gi xin trân tr ng c , giáo viên c a Khoa xây d ng, Phòng i h c và i h c- i h c Dân l p H i phòng, và

ng nghi u ki n thu n l tác gi trong quá trình nghiên c u và hoàn thành lu n

Tác gi lu n

Tr n M nh S n

M C L C

L i

L I C iii

M C L C iv

M U 1

NG L C H C CÔNG TRÌNH 2

1.1 Khái ni m 2

n c ng l c h c 3

1.2.1 L c c n 3

ng c a h ng tuy n tính 4

ng tu n hoàn - u hòa 5

ng tu n hoàn 5

1.3 u hòa 6

xây d ng 6

ng h c 6

ng 7

ng d ng nguyên lý công o 8

i 2) 8

ng d ng nguyên lý Hamilton 9

ng c a h h u h n b c t do 10

ng t do 10

1.5.1.1 Các t n s riêng và các d ng riêng 10

1.5.1.2 Gi i bài toán riêng (eigen problem) 12

1.5.1.3 Tính ch t tr c giao c a các d ng chính - D ng chu n 13

ng b c c a h h u h n b c t do 14

n theo các d ng riêng 14

1.5.2.2 Trình t tính toán h ng b c 16

ng c a h chiu t i tr u hòa 17

ng l c h c công trình 18

18

- Galoockin 19

Lagrange - Ritz 19

kh ng 20

20

ng l c h c công trình 21

21

n t h u h n 21

c ti p 21

1.7 M t s nh n xét 22

N T H U H N 24

n t h u h n 24

2.1.1 N n t h a h n theo mô hình chuy n v 25

2.1.1.1 R i r c hoá mi n kh o sát 25

2.1.1.2 Ch n hàm x p x 26

2.1.1.3 Xây d ng trong t ng ph n t , thi t l p ma tr n c ng K e i tr ng nút F c a ph n t th e 27e 2.1.1.4 Ghép n i các ph n t xây d ng c a toàn h 30 2.1.1.5: S u ki n biên c a bài toán 39

2.1.1.6 Gi i h ng 45

nh n i l c 45

2.1.2 Cách xây d ng ma tr c ng c a ph n t ch u u n 46

2.1.3 Cách xây d ng ma tr c ng t ng th c a k t c u 49

TÍNH TOÁ NG C A THANH L I GI I BÁN

GI I TÍCH VÀ L I GI I S 53

ng t do c a thanh 53

ng t do c a thanh - l i gi i bán gi i tích 57

u kh p 60

u ngàm - u kh p 64

u ngàm 67

ng t do c a thanh - l i gi i s n t h u h n 68

K t lu n và ki n ngh 80

Danh m c tài li u tham kh o 81

PHÂN TÍCH NG L C H C CÔNG TRÌNH 1.1 Khái ni m

u tiên v ng trong c k t c u xu t hi n

Qúa trình phát tri n c a lý thuy ng công trình liên quan m t thi n quá trình phát tri n c a lý thuy ng nói chung và g n li n v i yêu c u phát tri n c a n n kinh t qu c dân c bi t là trong m y ch

g phát tri n nh y v t c a các ngành giao thông v n t i, xây d

v c nghiên c u lý lu n và th c nghi m c ng l c h c công trình

u tiên v ng l c h c công trình là nghiên c u cách

k t c u d m; ti i k t c u h thanh ph c

c nghiên c u d ng c a t m và v n nhi u Trong th c t ng ph i gi i quy t các bài toán v ng công trình khi

c u xu t s c Bên c nh vi c nghiên c xu t ra lý lu n tính toán, các tác gi

u tìm bi n pháp làm gi m ng c a t i tr ng tác d ng lên công trình.

Hi n nay, m t trong nh ng m c quan tâm nhi u, khi nghiên

áp d ng có hi u qu c bi i v i nh ng lo ng ch u các ngo i l c có tính ch t ng u nhiên [3] Bên c vi c xu t hi n các công c tính toán m i

T i tr i theo th i gian nên tr ng thái ng su t - bi n d ng c a

c n luôn luôn có m t và tham gia vào quá trình chuy ng c a h L c c n

xu t hi n do nhi u nguyên nhân khác nhau và ng c n quá

v l c c n, phù h p v u ki n th c t nh nh

ng s d ng mô hình v t

bi u th trong vi c làm t n th t tr ng bi n d ng trong quá trình dao

ng Nó không ph thu c vào t bi n d ng mà ph thu c vào giá tr bi n

tr ng ngoài là quan h phi tuy n

Công th c c a l c c n: Pc= i

[L i (hay l c ph c h i) xu t hi n khi tách h kh i v trí cân b ng và có

v v trí cân b ng và ph thu c vào chuy n

ngu ng, t n s ng (t n s ng riêng, d ng riêng),

Các t i tr ng không tu n hoàn có th là các t i tr ng xung ng n h n ho c

có th là các t i tr ng t ng quát dài h n, các d n hoá có th dùng c

M t t i tr ng tu n hoàn th hi n s bi n thiên theo th i gian gi ng nhau liên ti i v i m t s ng l n chu k T i tr ng tu n nh t có

là m t chu i các thành ph n T i tr ng tu n hoàn gây ra dao

ng tu n hoàn trong k t c u

1.3.1 ng tu n hoàn:

L c l p l i sau nh ng kho ng th i gian nh nh N u dao

c bi u di n b i hàm s c a th i gian y(t) thì b t k ng tu n hoàn

i th a mãn: y(t) = y(t+ ) Th i gian l p l ng c g i là chu

D nh ng nguyên t c cân b ng c c có b sung thêm

i v i các l c t ng quát vi t cho h n b c t do:

Qk - l c t ng quát c a các l

luc so theo i

k

i i k

i i k

i i k

q

z Z q

y Y q

x X Q

1

J*k - l c t ng quát c a các l c quán tính c a các kh ng, ng v i các chuy n v t ng quát qk

k

i i k

i i k

i i luong khoi so theo

k

q

z z q

y y q

x x m J

1

*

di n thông qua các to t ng quát qk

2 ) ( ) (

2

z z i

dz m v

2

1

dP dP

P

Ho c:

U =

GFEF

EJ2

di n thông qua các to suy r m n i b t c

Lagrange là d ng và s ng c a chúng không ph thu c vào s v t th thu c

Q q

U q

T q

T dt

d

)(

a h + Qi là các l c suy r ng v i các l c không có th

k thu c áp d ng v i t t c h tuy n tính và phi tuy n

1.4.5 ng d ng nguyên lý Hamilton:

c a các l t s có chuy ng (trong t t c các chuy ng có th và

u ki n u c a kho ng th i gian) sao cho bi

th c c a các l c không b o toàn trong kho ng th i gian

ng không]

N i dung nguyên lý có th c bi u th : 2( ) 0

1

dt R U T

T ng Lagrange s xây d ng nguyên lý bi n

ph c t p, g ng v i n t n s i khác nhau Nói chung, t s gi a các

u ki u sao cho m i kh ng ch ng v i m t t n s i nào

riêng (hay d ng chính)

S d ng chính b ng s b c t do c a h Trong các d ng chính, quan h các chuy n v c a các kh ng là h ng s i v i th i gian N u cho

2 22

2 2

21 21

1 12

2 1

11 11

nn n n

n n

n n

n n

n n

m m

u m

m m

u m

m m

u m

v i 12

i i

Vì (1.5) là h i s tuy n tính thu n nh t có det các h s b ng

0 nên các thành ph n c nh sai khác m t h ng s nhân,

ch ng h n có th ch n Ali tu ý

ki

ki

A

A

và d th y: li 1

Ma tr n vuông bi u th t t c các d ng riêng có th c a h c

g i là ma tr n các d ng riêng (hay ma tr n d ng chính):

nm n

n

n n

2 1 2 22 21 1 12 11 (1.6) M i m t c a (1.6) cho ta m t d ng riêng c a h : ni i ni i li i

1

2 2

1.5.1.2 Gi i bài toán riêng (eigen problem):

riêng t ng quát:

[K - M]A = 0 (1.7) Các t n s (vòng) riêng c ng ( ng v i các t n s fi) là các nghi m

[K - M] = 0 (1.8)

t (1.8) tr thành:

[K - M] = 0 (1.9) Khi phân tích d ng ng, ta có bài toán riêng t ng quát:

,

1 2, n - các tr riêng

2

2

)

1

i

2 2

)det(

)(

) ( ) ( ) ( )

( )

p

M K

p

1.5.1.3 Tính ch t tr c giao c a các d ng chính - D ng chu n:

Tính ch t tr c giao c a các d ng chính th hi n ch : công c a ngo i l c (hay

n i l c) c a m t d ng chính này trên chuy n v (hay bi n d ng) c a m t d ng chính khác b ng 0

1

0

ho c có th bi u th i d ng công c a các n i l c:

0GF

EF

Q Q ds

N N ds

M

t quan trong trong vi c gi i quy ng

- D ng chu n: là d n ng riêng tho mãn bi u th c: i T M j 1

Vi ng riêng v d ng chu n g i là chu n hoá các d ng

Gi s l c Pk(t) v i m t giá tr m c giá tr 0) tác d ng lên kh i

d ng các thành ph n Pki(t)

t P

1 1

)()

n k

ki k

H

1 2 1

)

()

v y, h ch u t i tr có th v i m t b c t do

N u có m t s ng b t k các l t không ph i lên các kh i

ng thì c n ph i thay th chúng b ng các t i tr

Hình 1.2

Các l c Pi*(t) tác d ng t i các kh ng sao cho: chuy n v a các kh i

ng do chúng gây ra gi n v do các l

Các t i tr ng thay th d

n

i kPi i n

k n k

1

*

* 2 2

* 1

G i Pkh là ma tr n bao g m các t i tr ng khai tri n theo các d ng chính

nn n

n

n n

n kh

P P

P

P P

P

P P

P P

P P P

2 1

2 22

21

1 12

11 2

t Z t

t i i i

nh chuy n v c a h t k t qu nh c ma tr n t i tr ng khai tri n

d t f

0

)(sin)

K

0

)(sin)

()

P(t) v d ng g u hoà ho c phân tích theo chu i Furie r i l y

m t vài s h u Do v y, vi c nghiên c ng v i l c kích thích có

d ng Psinrt hay Pcosrt là m ng l c h c công trình

ng b c c a h i d ng t ng quát bao g m hai ph n: dao

2 1sinrt thì chuy n v c a h :

Y = GP

- ma tr n gi i th c Green: G = chD chT

D= diag (Si) v i Si =

2 2

1

r

i

Khi t n s r c a l c kích thích b ng m t trong các tr s c a t n s ng riêng 1 u x y ra hi ng c ng (r = i)

ng Khi h ng t do không k n l c c quy lu t b o toàn

ng, có th thi t l c m i quan h : Umax = Kmax

a h t i th m t b t k :

2 2

) (

2 ) (

22

i i z

z

y m dz

y m v

m dz

v m

Th a h (khi ch xét t i ng c a mô men u n):

U=

J2

2

E

dz M

2J

) , (

2 )

, (

2 ) (

2 2 ) , ( 2

2

J

z t k i z

t k z

z t k

y m dz y

m

dz z

y E

KL L

T

T

2

Hamilton ho c nguyên lý chuy n v kh

chính th j:

2 ) , ( 2 (z) 2

2

J

z

y E

z

t z j

ng s t, các hàm i(z) c n ph i ch n sao cho tho

toán

toàn ph n c a h

[N c phát bi t c các tr ng thái kh ng thái cân b i tác d ng c a các l c có th s ng

v i tr nâng toàn ph n c a h s có giá tr d ng:

Th ng bi n d c bi u di i d ng công ngo i l c và công n i l c

c a h khi chuy n t tr ng thái bi n d ng v tr ng thái không bi n d ng

U=

1 0

) , ) ( )

, ( ) , (

2 2 ) , ( 2 0

(z)

2

J

t zi t i t

z t z t

z

l

y P dz

y q dz z

y E

Có th chia các kh ng phân b thành nhi u kho ng, t p tr ng các kh i

trên m i kho ng v tr ng tâm c a nó ho c phân b các kh i

c xây d ng trên gi thi

c là h i s tuy n tính v i các n s là giá tr nghi m

()

()

Y

M

c ti p không nh ng cho phép gi i các bài toán

ng tuy n tính mà còn cho phép gi ng phi tuy n ph c

c tuyxem r ng: s i c a gia t c chuy ng trong m c th i gian t t

n (t+ t) là tuy n tính

c chia th i gian n l c quán tính và

chia trong kho ng th ng)

t t Y t

Y t

t Y t t

thi t r ng: m c th i gian t, gia t c chuy ng

b ng h ng s c tính b ng giá tr trung bình hai giá tr u và cu i

c a kho ng t:

2

)()

()

1.7 M t s nh n xét:

ng l c h c công trình nghiên c u ph n ng c a h k t c u khi ch u t i tr ng (mà t i tr ng h c bi t) Có nhi u

xu t phát t ng.Xu t phát t u ki n d ng c a phi m hàm

c a th n c a h : = 0, n u l y bi n phân c a phi m hàm theo

chuy n v thì ta nh ng, n u l y bi n phân c a

+ Vi nh các t n s ng riêng và các d ng riêng c a

c i s tuy n tính) là m t nhiêm v quan tr ng c ng

Bài toán riêng: [K - M ] A = 0 (v i = 2) ng v i vi c tìm tr

b c n,v i n là b c t do c a h ), có nhi u thu gi c t p

i v i h có nhi u b c t do

suy tuy h u h c chuy n

suy (hàm d ng)

suy có th phân tích bài toán theo 3 lo i mô hình sau:

- Mô hình chuy n v : Xem chuy n v ng c n tìm và hàm n i suy

bi u di n g ng phân b c a chuy n v trong ph n t

- Mô hình cân b ng: Hàm n i suy bi u di n g ng phân b c a

ng su t hay n i l c trong ph n t

- Mô hình h n h p: ng chuy n v và ng su t là 2 y u t

c l p riêng bi t Các hàm n i suy bi u di n g ng phân b c a cchuy n v l n ng su t trong ph n t

Hi n nay, khi áp d n t h u h gi i các bài toán

ng s d n t h u h n theo mô hình chuy n v

n t h u h n theo mô hình chuy n v

n t h u h n - mô hình chuy n v , thành ph n chuy n v ng c n tìm Chuy n v c l y x p x trong d ng

m n g i là hàm n i suy (hay còn g i là hàm chuy n v ) Trình t

c a ph n t không l y tu ti n mà ph thu c vào hàm chuy n v nh ch n

Các ph n t ng có d ng hình h n (hình 2.1)

Hình 2.1 D ng hình h n c a ph n t

2.1.1.2 Ch n hàm x p x

ng c n tìm trong m i mi u này cho phép ta kh

vi c tìm nghi m v n ph c t p trong toàn mi n V b ng vi c tìm nghi m t i các nút c a ph n t , còn nghi m trong các ph n t c tìm b ng vi c d a vào hàm

T p h p các hàm x p x s xây d ng nên m ng chuy n v nh

m t tr ng thái chuy n v duy nh t bên trong ph n t theo các thành ph n chuy n

v nút T ng chuy n v s nh m t tr ng thái bi n d ng, tr ng thái ng

su t duy nh t bên trong ph n t theo các giá tr c a các thành ph n chuy n vnút c a ph n t

t c là b ng s thành ph n chuy n v nút c a ph n t Yêu c u này cho kh

n c c a hàm x p x theo giá tr ng c n tìm, t c là theo giá trcác thành ph n chuy n v t m nút c a ph n t

2.1.1.3 Xây d ng trong t ng ph n t , thi t l p ma

T T

e

e 1

e 2 e

e

e m

e 2

n

'

'0

e 1

m T e e

(9,10,11)4

11 12 13 14 15 16 1

1 1

e c 9

c e c 10

c 11

4 T e e

e c 9

c e c 10

c 11

Trong th c t khi phân tích k t c ng g u ki n biên sau:

- Biên làm m t ho c nhi u thành ph n chuy n v b ng 0

- Biên làm m t ho c nhi u thành ph n chuy n v có m t giá tr nh

Khi biên có thành ph n chuy n v ng 0

Thành ph n chuy n v t i m t nút c a ph n t b ng v i các thành ph n chuy n v này là các liên k t v t, ta x lí b ng cách:

- n v cho toàn b h , nh ng thành ph n chuy n t i nút

ng 0 thì ghi mã c a chuy n v mã toàn th c a chuy n v nút theo th t n v nút c a toàn h ch bao g m các chuy n v nút còn l i

Khi biên có thành ph n chuy n v c m t giá tr

Khi thành ph n chuy n v t i m c m t giá tr xác

nh, thí d m = a (hay liên k ng v i các thành ph n chuy n v nút

m ch u chuy n v ng b c có giá tr b ng a) Lúc này ta có th gi i quy t bài toán này theo 2 cách:

D (0,0,0) (0,6,0)

(1,2,3) (4,5)

y' x'

Cách 2: Theo cách th huy n v t ng th cho k t c u thì nh ng thành ph n nào chuy n v b ng không ho c có chuy n v ng b c

(2.30)chuy n v ta th y có b n thông s c nh thu n ti n ta thay b n thông s a ,a ,a ,a0 1 2 3 b ng các chuy n v và góc xoay

3 1

x

K : ma tr c ng c a ph n t ; F i tr ng tác d ng nút;

Tính tích phân các h s trong K ta có th tính b

xác (b ng hàm int(fx,a,b) có s n trong matlab) ho c tính b

phân s c a Gauss và k t qu c ng c a ph n t ch u u n ngang ph

c ng c a toàn thanh.N u thanh ch có m t ph n t thì ma tr n c a ph n t

c ng c a thanh Trong ph n t n u b c t do nào không có thì trong ma tr c ng c a ph n t

ng v i b c t

2.1.3 Cách xây d ng ma tr c ng t ng th c a k t c u

trình bày cách xây d ng ma tr c ng t ng th c a k t c u trong

n t h u h n, lu c trình bày thông qua ví d gi i bài toán d m ch u u i tác d ng c a t i tr th sau (còn các bài toán khác thì cách xây d ng ma tr c ng t ng th ):

Ví d 2.5: Tính toán k t c u d m

c ng

nh chuy n v t i gi a d m

Hình 2.7 Hình ví d 2.5

Hình 2.8 R i r c hóa thanh thành các ph n tChia thanh ra thành ph n t Các nút c a ph n t ph i trùng v i v trí

t l c t p trung, chi u dài các ph n t có th khác nhau M i ph n t có 4b c

th e b ng chuy n v c u ph n t th e 1 nên s b c t do c a thanh

s nh Khi gi i ta ch c m b u ki n liên t c c a chuy n v

4 6 8 10n

5 7 9 11Sau khi bi t n s th c c a các thanh ta có th xây d c ng t ng th

n

F

so hang nF

F

0

so hang k0

;

1

n 1

)

quán tính

quán tính xoay này

( t x W W

),

( t x M M

2 2

t

W m

02

2

m

f x

4

t

W m x

W

(3.5)

0 ) cos(

)

4

t y

m dx

y d

sau

0 )

4

y m dx

y d

Hai hàm y y (x)

-Bernoulli,

x x

x x

M Z

4

4

,0

,

x x

x x y

, Bài toán d

)(

( )

( )

,

1

2 2

2

2

x y k EJ x

y EJ

m EJ x

y m t

t x

1 1

2

min )

( )

(

(d)

0 ) 0 , , ) ( ( )

0 , , (

dx

x dy subs x

subs

0 ) , , ) ( (

2

l x dx

x y d subs

.

1 1 g 2 g 3 g g

Z

i

i l

i m i

Z s dx x y s f dx dx

x y d s M F

0 1 )

( )

(

( ) (j)

=12626x10-3/l3ejy0 (.25628 x10 75 l 20 k 110-.21081 x10 91 -.18661 x10 70 l 24 k 112+.38162 x1044l36k 118-.41532x1087k 1 l8+.17564x1090k 1 l4+.36456x1064l28k 114-.12506

x10 55 l 32 k 116+

.13382x10 84 l 12 k 1 -.10616x10 80 l 16 k 1 )=0(k)

1 1:

ml

EJ m

EJ k

4 12

ml

EJ m

EJ k

4 13

ml

EJ m

EJ k

1

i(i=1:9), bj(j=0:9), là

) ( )

( )

( )

, (

) ( )

( )

( )

, (

2 2 1 2

2 2

2 2

2

2

2

1 2 1 1

2 1

2 2

1

2

1

x y EJk x

y EJ

m EJ x

y m t

t x y

m

f

x y EJk x

y EJ

m EJ x

y m t

t x

2 2

1 2

1 1

,

2 2 2 2

2 1 2 1

x y x y

x

x

,

2 2

1 1

EJ M

EJ M

0

2 1 1

1 0

2 1 2

2 0 2 1

x l

x x

l

0 2 1 2 1

x

dx

y d

1

0 2 1 1

1)