Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm nhiều nhịp chịu tác dụng của tải trọng tĩnh (Luận văn thạc sĩ)

Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm nhiều nhịp chịu tác dụng của tải trọng tĩnh (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm nhiều nhịp chịu tác dụng của tải trọng tĩnh (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm nhiều nhịp chịu tác dụng của tải trọng tĩnh (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm nhiều nhịp chịu tác dụng của tải trọng tĩnh (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm nhiều nhịp chịu tác dụng của tải trọng tĩnh (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm nhiều nhịp chịu tác dụng của tải trọng tĩnh (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm nhiều nhịp chịu tác dụng của tải trọng tĩnh (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm nhiều nhịp chịu tác dụng của tải trọng tĩnh (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm nhiều nhịp chịu tác dụng của tải trọng tĩnh (Luận văn thạc sĩ)

n t h u h n không tìm d ng x p x c a hàm c n tìm trên toàn mi n V mà ch trong t ng mi n con (ph n t ) thu c mi nh V Do

t thích h p v i hàng lo t bài toán v t lý và k thu t trong

nh trên các mi n ph c t p g m nhi u vùng nh c tính hình h c, v t lý khác nhau, ch u nh u ki n biên khác nhau

nói trên ,

1

dx

y d

z

dx

y d Ez

2 2

12

h

y d Ebh dz

dx

y d Ebz M

(1.8)

d

(1.10)

q dx

y d

x

dx

y d

0

0

x

dx dy

0

0 2 2

x

dx

y d

z

xx xz

x C dx

y d Ez

y d Eh x

C

2 2 3

3

4

y d E

xz

3

3 2 0

8 dx

y d Eh

z xz

3

3 3

y d Ebh Q

3

3 2

12 dx

y d Eh

tb xz

Ta xét bài

nguyên lý Castiliano

(1847-Lagrange)

Thay

Gauss (1777-

,0,

0,

Z Y

X; ;

,0

W Z V

Y U

n trên các

y x

W Z V

Y U

phân

0

ZW YV

Tr.261]

l

dx qy dx

y

d

0

2 2

2

02

1

hay

l

dx qy dx

y d

0

2 2

2

02

y d EJ

i

quát và Qi

i i

i

Q q q

T q

1 2

1

i i n

i

q y y

T y

T

i i i i i i i

y m t

y m y m t y

-2 2

2 1 2

1 2 2

2 2

1 2

2

1 2 2

2 2

1 1

2 2 2

22

12

1

22

12

1

22

12

1

x

y y y EJ x

y EJ

x

y y y

EJ x

y EJ

x

y y y

EJ x

y EJ

i i i i

i i i

i

i i i

i i i

i

i i i i i i

i i i

i

x

EJ x

y y y y

y

EJ

x

y y y y y y

y y y

EJ

y

4 4 4

2 1 1

2

4

2 1 1

2 1 1

464

22

242

y EJ t

y

4 2

2

(1.39)

q dx

y d

EJ 4

4

(1.40)

có th phân tích bài toán theo 3 lo i mô hình sau:

- Mô hình chuy n v : Xem chuy n v ng c n tìm và hàm n i suy

bi u di n g ng phân b c a chuy n v trong ph n t

- Mô hình cân b ng: Hàm n i suy bi u di n g ng phân b c a ng

n t h u h n - mô hình chuy n v , thành ph n

m n g i là hàm n i suy (hay còn g i là hàm chuy n v ) Trình t

n t h u h n - mô hình chuy n v có n i dung sau:

2.1.1.1 R i r c hoá k t c u:

i ta r i r c hoá b ng cách ch n k t c u liên t c thành m t s h u h n các mi c càng nh càng t t

i h u h n Các mi n ho c k t c c g i là PTHH, chúng có th

có d ng hình h c khác nhau, tính ch t v t li c gi thi t không

c thì m chính xác c a k t c

Khi r i r c c n chú ý t i nh n v bi n thiên nhanh thì ch n các

chính xác Mi c phân chia ph i ch n sao cho t i biên các chuy n v

t Khi chia thành các ph n t c trong m i m t ph n t không

Ux(x, y, z) = 1+ 2.x + 3.y + 4.z + 5.xy + 6.yz + 7zx + 8.xyz

Uy(x, y, z) = 9+ 10.x + 11.y + 12.z + 13.xy + 14.yz + 15zx + 16.xyz

Uz(x, y, z) = 17+ 18.x + 19.y + 20.z + 21.xy + 22.yz + 23zx + 24.xyz

2 n c pháp ph n t h u h n

i ta s d ng nguyên lý công kh

ds.pdvu.gdv

S T V

T V

g.udv

S V

T V

T

(2.13)

nh lu n Hooke: D thay vào v ph i nh c:

S T V

T V

T

dsp.udv

gudv

- V i bài toán không gian:

z.y,xPz

,y,

x

- V i bài toán ph ng:

.y,xPy,

6 5 4 3 2

y

x

yx1000

000yx1u

u

(2.17)

.Pu

N u tính chuy n v c a các nút trong m t ph n t ta có:

.A

3 3

3 3

2 2

2 2

1 1

1 1

000yx1

yx1000

000yx1

yx1000

000yx1

nút c a ph n t :

e

1

e uA.P

e uA

t:

1 e

A.p

N

e

u.Nu

e

u.B

e

u.N

Th c hi n phép chuy n

T T e T

B.u

T T e T

N.u

S

T e V

T T e V

e T

T

e.B D B u dv u N g dv u N p ds

u ki n bên trong và c trên biên PTHH Trong công th ng

u không ph thu c vào phép tích phân nên có th u tích phân:

S

T T e V

T T e V

e T

T V

e

T

dspNdv

gNdv

uBD

Khi ghép n i ma tr c c, và chuy n v c n chuy n c i

e e

e u F

K

Ta có:

e e

1

e T T u T Fk

T

T là ma tr n chuy n tr c to :

zy

xTZ

YX

t:

T e 1

e '

e '

e T F

F

e '

e T u

ng c a ph n t trong h to t ng th :

' e '

e

'

e u F

'

1

6543

6543

' 2

ng v i các chuy n v :

654321

Ví d : k1thêm vào k11, k2thêm vào k22.

Mu n tìm chuy n v c a các nút ta c n gi i h K s u s F s

Sau khi xoá ta có h

4 3 4

3 44 43

34 33

F

Fu

ukk

kk

s s

a

k k k k k k

62 52 42 32 22 12

xoá dòng i = 2

' s ' s '

s

62 52 42 32 12

2

FuK

65431

kkkkk

c t ng quát, chi u dài ph n t l y b , g c t a

n m gi a ph n t y, n u bi c các b c t do t i các nút ph n t là

(2.38), N2, N3,N4: là các hàm d

3 1

1

2 3 2

1

3 3

1

2 3 4

xác (b ng hàm int(fx,a,b) có s n trong matlab) ho c tính b

phân s c a Gauss và k t qu c ng c a ph n t ch u u n ngang ph

là chuy n v t i nút c a các ph n t (hình 3.1).

;32:),3(

;21:),2(

;10:)

w n

G i ma tr n n là ma tr n chuy n v c n n , 2 là ma tr n có pt

pt

n hàng và 2 c t ch a các n s là góc xoay t i nút c a các ph n t (hình 3.5)

1110:),4(

;98:),3(

;76:),2(

;54:)

gx n

Sau khi bi t n s th c c a các thanh ta có th xây d c ng t ng th c a

i

dx

dy dx

dy

(a)

hay:

000

1

4 2

3 3

1

3 2

2 2

1

2 2

1 1

nut nut

nut nut

nut nut

dx

dy dx

dy

dx

dy dx

dy

dx

dy dx

1 1

là n s c a bài toán

Trong ví d 3.1 khi chia thanh ra thành 4 ph n t , ta có:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 16 0 0 96

-0 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0

16 - 0 0 0 0 16 8 0 0 0 0 0 0 96 0 0

8 - 0 1 - 0 0 8 16 0 0 0 0 0 0 96 0 0

0 0 1 0 0 0 0 16 8 0 0 0 0 96 - 96 0

0 0 0 1 - 0 0 0 8 16 0 0 0 0 96 - 96 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 16 8 0 0 0 96 - 96

0 0 0 0 1 - 0 0 0 0 8 16 0 0 0 96 - 96

0 8 0 0 1 0 0 0 0 0 0 16 8 0 0 96

-0 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 16 0 0 96

-96 - 0 0 0 0 0 0 96 96 0 0 0 0 1536 768 - 0

0 0 0 0 0 0 0 96 96 96 - 96 - 0 0 768 - 1536 768

-0 96 - 0 0 0 0 0 0 0 96 96 96 - 96 - 0 768 - 1536

K

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.2500 -

0.2500 -

0.2500 -

3 2

0.0088-

0.0124-

0.0088-

WW

W

ql x

0273.0

0

0273.0

0391.0

ql x

Mômen u n c a d m:

2

5 4 3 2 1

0

0.0937-

0.125

0.0937-

0

MMMMM

ql x M

là chuy n v t i nút c a các ph n t (hình 3.1).

03:),4(

;32:),3(

;21:),2(

;10:)

w n

G i ma tr n n là ma tr n chuy n v c n n , 2 là ma tr n có pt

pt

n hàng và 2 c t ch a các n s là góc xoay t i nút c a các ph n t (hình 3.5)

1110:),4(

;98:),3(

;76:),2(

;54:)

gx n

Sau khi bi t n s th c c a các thanh ta có th xây d c ng t ng th c a

i

dx

dy dx

dy

(a)

000

1

4 2

3 3

1

3 2

2 2

1

2 2

1 1

nut nut

nut nut

nut nut

dx

dy dx

dy

dx

dy dx

dy

dx

dy dx

1 1

là n s c a bài toán

Trong ví d 3.1 khi chia thanh ra thành 4 ph n t , ta có:

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0

0 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 0 0

0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0

0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0

0

0

16 - 0 0 0 0 16 8 0 0 0 0 0 0 96 0

0

8 - 0 1 - 0 0 8 16 0 0 0 0 0 0 96 0

0

0 0 1 0 0 0 0 16 8 0 0 0 0 96 - 96

0

0 0 0 1 - 0 0 0 8 16 0 0 0 0 96 - 96

0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 16 8 0 0 0 96

-96

0 0 0 0 1 - 0 0 0 0 8 16 0 0 0 96

-96

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 16 8 0 0 96

-0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 16 0

0 96

-96 - 0 0 0 0 96 96 96 - 96 - 0 0 0 0 1536 768

-0

0 0 0 0 0 0 0 96 96 96 - 96 - 0 0 768 - 1536

768

-0 0 0 0 0 0 0 0 0 96 96 96 - 96 - 0 768 -

1536

K

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.2500 -

0.2500 -

0.2500 -

3 2

0.00420.00500.0024

WW

W

ql x

5 4 3 2 1

0.0195-

0.0115-

0.00490.01390.0000

ql x

Mômen u n c a d m:

2

5 4 3 2 1

00.06450.06640.0059

0.1172-

MMMMM

ql x M

Ta th y k t qu trên:

- V mômen trùng kh p v i k t qu

V y n u npt ph n t r i r c thì t ng c ng có 4xnpt n m b o

liên t c gi a các chuy n v là chuy n v c a nút cu i ph n t th e b ng chuy n v

gi i ta ch c m b u ki n liên t c c a chuy n v th ng, u ki n liên

d m trong (ví d 3.5a) ta chia thành 4 ph n t (hình 3.5b)

y, t ng c ng s n là 10 n < 4x4=16 n G i ma tr n nw1 là ma tr n chuy n v c nw1(npt, 2) là ma tr n có npt hàng và 2 c t ch a các n

s là chuy n v t i nút c a các ph n t (hình 3.5c)

0 2 :)

2 0

0 1

1 0 1

(

1

; 8 7 :) ,

3

(

1

; 6 5 :) , 2

(

1

; 4 3 :) ,

8 7

6 5

4 3 1

dx

dy dx

dy

(a)

hay:

0 0 0

1 4 2

3 3

1 3 2

2 2

1 2 2

1 1

nut nut

nut nut

nut nut

dx

dy dx

dy

dx

dy dx

dy

dx

dy dx

11 4

nut

dx dy

(e)

- u ph i d m là kh p nên có mô men t ng không:

0 2 2 14 2 5

nut

dx

y d

1 1

là n s c a bài toán

Trong ví d 3.5 khi chia thanh ra thành 4 ph n t , ta có:

96

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0

0 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0

0

0 0 0 0 0 16 8 0 0 0 0 0 0 96

0

0 0 0 0 0 8 16 0 0 0 0 0 0 96

0

0 0 0 0 0 0 0 16 8 0 0 0 0 96

-0

0 0 0 0 0 0 0 8 16 0 0 0 0 96

-0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 8 0 0 0

96

0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 16 0 0 0

96

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 8 0

96

-0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 16 0

96

-0 0 0 0 0 96 96

96 - 96 - 0 0 0 0 1536

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 96 96 96 - 96 - 0

1536

K

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0.2500

3 2

0.0017 0.0000

0.0002 -

W W

W

ql x

5 4 3 2 1

0.0106 -

0.0012 0.0056

0.0012 -

0.0000

ql x

Mômen u n c a d m:

2

5 4 3 2 1

0.0000 0.0950

0.0600 -

0,0025 0.0050

M M M M M

ql x M

-15 -10 -5 0

5x 10

Hình 3.6

-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06

V y n u npt ph n t r i r c thì t ng c ng có 4xnpt m b o

liên t c gi a các chuy n v là chuy n v c a nút cu i ph n t th e b ng chuy n v

gi i ta ch c m b u ki n liên t c c a chuy n v th ng, u ki n liên

d m trong (ví d 3.7a) ta chia thành 4 ph n t (hình 3.7b)

y, t ng c ng s n là 10 n < 4x4=16 n G i ma tr n nw1 là ma tr n chuy n v c nw1(npt, 2) là ma tr n có npt hàng và 2 c t ch a các n

s là chuy n v t i nút c a các ph n t (hình 3.7c)

0 2 :)

2 0

0 1

1 0 1

(

1

; 8 7 :) ,

3

(

1

; 6 5 :) , 2

(

1

; 4 3 :) ,

8 7

6 5

4 3 1

dx

dy dx

dy

(a)

hay:

0 0 0

1 4 2

3 3

1 3 2

2 2

1 2 2

1 1

nut nut

nut nut

nut nut

dx

dy dx

dy

dx

dy dx

dy

dx

dy dx

nut

dx

y d

(e)

- u ph i d m là kh p nên có mô men t ng không:

0 2 2 14 2 5

nut

dx

y d

(f)

1 1

là n s c a bài toán

Trong ví d 3.5 khi chia thanh ra thành 4 ph n t , ta có:

96

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0

0 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0

0

0 0 0 0 0 16 8 0 0 0 0 0 0 96

0

0 0 0 0 0 8 16 0 0 0 0 0 0 96

0

0 0 0 0 0 0 0 16 8 0 0 0 0 96

-0

0 0 0 0 0 0 0 8 16 0 0 0 0 96

-0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 8 0 0 0

96

0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 16 0 0 0

96

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 8 0

96

-0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 16 0

96

-0 0 0 0 0 96 96

96 - 96 - 0 0 0 0 1536

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 96 96 96 - 96 - 0

1536

K

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0.2500

3 2

0.0001 -

0.0000 0.0008

W W

W

ql x

5 4 3 2 1

0.0001 -

0.0010

0.0037 -

0.0033 0.0033

ql x

Mômen u n c a d m:

2

5 4 3 2 1

0.0000

0.0083 -

0.0458 -

0.0510 0.0000

M M M M M

ql x M

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -10

-8 -6 -4 -2 0

Y: 6.51e-005

X: 1 Y: -0.0008247

X: 3 Y: -0.008333

X: 2 Y: 0.04583

B NG SO SÁNH MÔMEN U N T I CÁC TI T DI N D M

Các ti t di n c a

c t 1 và d m 2

L i gi i s theo PTHH

L i gi i chính xác Sai s %

Ta th y khi chia d m thành 4 ph n t , sai s r t l n so v i k t qu chính xác

t i các ti t di n gi a nh p 1 và g i trung gian, l t là 45,57% và 26,72%, sai s

nh nh t t i ti t di n gi a nh p 2 (0,83%) Mu chính xác ta c n r i r chóa d m thành nhi u ph n t ng h n trong ví d này ta r i r c hóa k t c u

X: 8 Y: -0.001627

Hình 3.9

0 5 10 15 20 25 30 35 -0.1

X: 24 Y: 0

X: 16 Y: 0.06242

c u ph n t th e 1 nên s b c t do c a thanh s nh npt Khi

gi i ta ch c m b u ki n liên t c c a chuy n v th ng, u ki n liên

d m trong (ví d 3.7a) ta chia thành 4 ph n t (hình 3.7b)

y, t ng c ng s n là 10 n < 4x4=16 n G i ma tr n nw1 là ma tr n chuy n v c nw1(npt, 2) là ma tr n có npt hàng và 2 c t ch a các n

s là chuy n v t i nút c a các ph n t (hình 3.7c)

0 2 :)

2 0

0 1

1 0 1

(

1

; 8 7 :) ,

3

(

1

; 6 5 :) , 2

(

1

; 4 3 :) ,

8 7

6 5

4 3 1

dx

dy dx

dy

(a)

hay:

0 0 0

1 4 2

3 3

1 3 2

2 2

1 2 2

1 1

nut nut

nut nut

nut nut

dx

dy dx

dy

dx

dy dx

dy

dx

dy dx

nut

dx

y d

(e)

- u ph i d m là kh p nên có mô men t ng không:

0 2 2 14 2 5

nut

dx

y d

1 1

là n s c a bài toán

Trong ví d 3.5 khi chia thanh ra thành 4 ph n t , ta có:

96

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0

0 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0

0

0 0 0 0 0 16 8 0 0 0 0 0 0 96

0

0 0 0 0 0 8 16 0 0 0 0 0 0 96

0

0 0 0 0 0 0 0 16 8 0 0 0 0 96

-0

0 0 0 0 0 0 0 8 16 0 0 0 0 96

-0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 8 0 0 0

96

0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 16 0 0 0

96

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 8 0

96

-0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 16 0

96

-0 0 0 0 0 96 96

96 - 96 - 0 0 0 0 1536

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 96 96 96 - 96 - 0

1536

K

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2500 1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 -1

X: 26 Y: 0.002901

X: 59 Y: -0.0008858

X: 41 Y: -0.4475

X: 39 Y: 0.5256

Hình 3.8

Nh n xét k t qu trên:

Ta th y ng h p d m có mômen t p trung k t qu h i t v k t quchính xác r t ch m, ph i chia d m t i 160 ph n t m i nh c k t qu chính xác

- ng h p d m hai nh p có mômen t p trung k t qu h i t v k t quchính xác r t ch m, ph i chia d m t i 160 ph n t m i nh c k t qu chính xác.

K T LU N

TÀI LI U THAM KH O

n t h u h n và ng d tính toán công trình thu l i, Nhà

xu t b n Nông nghi p, Hà N i,1983

công trình, Khoa h c và K thu t , H c vi n K th t Quân s , S 76 (III/1996),

Tr.1 4

su t - bi n d ng c a m ng có c t m Khoa h c và K thu t, Giao thông v n t i , 8/1998, Tr, 15 18

7 ng Huy Tú, Bài toán truy n sóng ch ng trong môi

t và ng d ng trong tính toán móc c c, Nhà xu t b n Xây d ng , s

1/1999, Tr 33 35

8 m t có c t m m trong n ng ô tô và sân bay, Khoa h c

và K thu t , H c vi n K thu t Quân S , S 74 (I/1996) , Tr 18 26

9 Nguy o, c gi i tích, Nhà xu t b ih c qu c gia Hà N i , Hà

N i, 2001

10 Ninh Quang H i, c lý thuy t, Nhà xu t b n Xây d ng , Hà N i, 1999.

11 Ngu ng k thu t, Nhà xu t b n Khoa h c và K thu t,

Hà N i, 1998

16 Hoàng Nam Nh t, Phân tích t i tr c ch u t i c a m t

ng c ng sân bay và ô tô , Khoa h c và K thu t , H c vi n k thu t Quân s ,

Khoa h c và k thu t , H c vi k thu t Quân s , S 86(I/1999), Tr 31 36

20 Nguy Nghiên c u tr ng thái ng su t - bi n d ng t m nhi u l p ch u t i tr ng có xét l c ma sát các m t ti p xúc, Lu n án ti n s

khoa h c, Hà N i, 2002

21 Nguy Nghiên c u ph n ng t m nhi u l p có xét l c

ma sát các m t ti p xúc, T p chí Khoa H c và Công ngh , Trung tâm khoa h c

t nhiên và công ngh qu c gia, T p XXXI- 2001-2 , Tr 48 56