Bài toán giải chập trong thống kê phi tham số tt

Luận án sẽ chứng minh tính giải được của một số bài toán mở, dạng bài toán biên chophương trình sóng phi tuyến liên kết với phương trình tích phân phi tuyến, có nguồn gốc từcác mô hình t

Luận án sẽ chứng minh tính giải được của một số bài toán mở, dạng bài toán biên chophương trình sóng phi tuyến liên kết với phương trình tích phân phi tuyến, có nguồn gốc từcác mô hình toán học của các bài toán trong khoa học kỹ thuật Hơn nữa, về mặt toán họcthuần tuý, luận án sẽ cung cấp thêm một số công cụ mang tính chất kỹ thuật đã được vậndụng khi chứng minh các kết quả Ngoài phần mở đầu, cấu trúc luận án gồm có ba chương(1, 2, 3), kết luận, phụ lục, danh mục công trình của tác giả và tài liệu tham khảo Sau đây làphần giới thiệu về tổng quan của luận án.

Trong luận án, chúng tôi xét bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến một chiềuchứa các số hạng phi địa phương (nonlocal) sau đây

P(x, t) =P˜0(x, t) +

Zt

0 G(x, t, s, u(x, s), P(x, s))ds, 0<x<1, 0<t<T, (3)trong đóG, ˜P0là các hàm số cho trước Trong (1), chúng tôi sử dụng các kí hiệu:

các kết quả được trình bày trong ba chương Cụ thể như sau.

Trong chương 1, luận án khảo sát hai bài toán biên Bài toán thứ nhất là bài toán

Robin-Dirichlet cho một phương trình sóng phi tuyến một chiều chứa số hạng phi địa phương dạngtích phân theo biến thời gian

trong đó µ, f , g, ˜u0, ˜u1là các hàm cho trước vàh0 0 là một hằng số

Một trường hợp riêng của bài toán thứ nhất ta có được bài toán thứ hai là bài toán Dirichlet cho phương trình sóng với nguồn phi tuyến chứa số hạng phi địa phương dạng tíchphân theo biến thời gian8

trong đó λ6=0 là một hằng số và ˜u0, ˜u1, f , g, µ là các hàm cho trước.

Bài toán biên chứa số hạng nonlocal gần đây được nhiều nhà toán toán học quan tâmnghiên cứu, chẳng hạn như Cavalcanti [Electron J Diff Eqns.,44 (2002)], Messaoudi [App.

Math Comput., 188 (2007)], Li [Applicable Analysis, 93(6) (2014)], và đạt nhiều kết quả

phong phú về thể loại này Các kết quả thu được về bài toán thứ nhất bao gồm sự tồn tại

và duy nhất nghiệm yếu địa phương được xây dựng bằng thuật giải xấp xỉ tuyến tính và mộtđánh giá khai triển tiệm cận đến cấpN+1 theo tham số bé ε, tuy nhiên sự khác biệt của khai

triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán thứ nhất so với các kết quả trước kia là việc thựchiện khai triển Taylor không chỉ số hạng nguồn mà còn khai triển cho cả tích phân phi tuyếnchứa trong nó; theo hiểu biết của chúng tôi thì kỹ thuật này chưa được sử dụng trước kia Đốivới bài toán thứ hai, bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin chúng tôi chứng minh được sự tồn tạicủa dãy lặp phi tuyến hội tụ bậc N về nghiệm yếu duy nhất của bài toán tương ứng Thuậtgiải lặp cấp cao đã được một số các giả sử dụng thành công cho một số mô hình (xem các tàiliệu tham khảo [63], [64], [79], [80] trong luận án); tuy nhiên số lượng bài báo công bố sử dụngphương pháp này chưa nhiều Kết quả thu được về bài toán thứ hai xem như là sự mở rộngnghiên cứu về phương pháp lặp cấp cao cho bài toán biên phi tuyến Các kết quả của chươngnày đã được công bố trong [N2] và [N3]

Trong chương 2, luận án khảo sát bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến một chiều

kiểu Kirchhoff-Carrier chứa các số hạng phi địa phương dạng tích phân theo biến không gian8

trong đó µ, σ, f , g, ˜u0, ˜u1là các hàm cho trước vàh0 0 là một hằng số

Gần đây, việc mở rộng các kết quả về phương trình kiểu Kirchhoff – Carrier được nhiềutác giả quan tâm nghiên cứu Một số ví dụ chúng tôi có thể liệt kê ra đây như: Ha [Numerical.Func Anal Optim., 31(8) (2010)], Zhang [Quarterly of Applied Mathematics, 70(2) (2012)],

Lee [Boundary Value Problems, (2) (2016)], và các tài liệu tham khảo trong đó Bài toánđược khảo sát trong chương này là một bài toán rất tổng quát chứa rất nhiều mô hình các bàitoán khác Một số trường hợp riêng của nó với điều kiện biên khác nhau đã được nhiều tácgiả nghiên cứu, chẳng hạn, xem một số tài liệu tham khảo [4], [6], [9], [10], [19], [36], [39], [54],[74], (trong luận án) Một kết quả về sự tồn tại và duy nghiệm yếu địa phương của bài toánđược chứng minh bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính, kết hợp với phương pháp Galerkin vàcác định lý nhúng compact; hơn nữa, một đánh giá tiệm cận đến cấpN+1 theo tham số bé ε

cũng được thiết lập Ngoài ra, xét hai trường hợp riêng của bài toán trong chương này chúngtôi cũng thu được các kết quả tương tự và đã công bố trong [N5] và gửi công bố [N6] Các kếtquả thu được của bài toán ở đây có thể như là sự mở rộng tương đối các kết quả trong các bàibáo kể trên

Trong chương 3, luận án khảo sát bài toán Robin cho phương trình sóng phi tuyến với nguồn

chứa các giá trị chưa biết8

tions,44(5) (2008)], Long [J Math Anal Appl., 385(2) (2012)], Đôi khi số hạng nonlocal là

các giá trị biên chưa biết xuất hiện trong số hạng nguồn phi tuyến như Pellicer [Comm Pure.Appl Math., 7(3) (2008)] Tuy nhiên, bài toán biên với biên nhiều điểm xuất hiện trong số

hạng nguồn phi tuyến có mặt trong phương trình thì theo hiểu biết của chúng tôi chưa đượckhảo sát nhiều Do đó, bài toán được khảo sát trong chương này có thể xem như là một sự

mở rộng các nghiên cứu về bài toán biên nhiều điểm Các kết quả đạt được trong chương này

là sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương và một khai triển tiệm cận của nghiệm theomột tham số bé Các kết quả này đã được công bố trong [N4]

Toàn bộ các kết quả thu được của luận án đã được công bố trong bài báo [N1]-[N5] và đãgửi công bố trong [N6] Ngoài ra, một phần trong số các kết quả này đã được báo cáo tại Đại

hội Toán học toàn quốc lần thứ 8 và một số hội nghị, hội thảo do các trường đại học tổ chức.

trong đó µ, f , g, ˜u0, ˜u1là các hàm cho trước vàh0 0 là một hằng số

Trước hết, ta có nhận xét rằng bài toán (1.1) được xem xét như là trường hợp riêng củabài toán (1) - (3) với

f u](x, t) = f x, t, u(x, t), ut(x, t), ux(x, t),

Z t

0g(x, t, s, u(x, s), ut(x, s), ux(x, s))ds Chúng tôi thành lập các giả thiết sau:

Định lý 1.1.1 Giả sử các giả thiết(H1) (H4) được thỏa Khi đó tồn tại các hằng số M, T >0

sao cho, với u0 u˜0, tồn tại một dãy qui nạpfumg W1(M, T)được xác định bởi (1.4) - (1.5).

Trong chứng minh Định lý 1.1.1, chúng tôi đã sử dụng bổ đề sau

lý sau đây.

Định lý 1.1.3 Giả sử các giả thiết(H1) (H4)được thỏa Khi đó

(i)Bài toán (1.1) có duy nhất một nghiệm yếu u2W1(M, T)

(ii)Dãy qui nạpfumgđược xác định bởi (1.4)-(1.5) hội tụ về nghiệm u của bài toán (1.1) mạnh trong không gian Banach

trong đó hằng số kT2 [0, 1)và CTlà các hằng số chỉ phụ thuộc vào T, h0, f , g, µ, ˜u0, ˜u1

1.2 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu

Trong mục này, chúng ta sẽ xét một dạng xấp xỉ nghiệm yếu bởi một đa thức theo tham

số bé ε, được gọi là khai triển tiệm cận của nghiệm.

Xét bài toán nhiễu theo tham số bé ε, vớijεj 1 như sau:

số bé ε Điều này cần các giả thiết tăng cường sau đây

trong đó Fk, 1 k N, được xác định bởi công thức

Định lý 1.2.1 Giả sử(H1),(H2(N)),(H3(N))và(H4)được thỏa Khi đó, tồn tại các hằng số M>0

và T>0 để mà với mọi ε2 [ 1, 1], bài toán(Pε)có duy nhất nghiệm u ε 2W1(M, T)thỏa mãn một khai triển tiệm cận đến cấp N+1 được cho như sau

uk k, khi đó ta có

f h] =f u0] +

N

∑k=1

Fk k,

với Fk, 1 k N, là các hàm được xác định bởi công thức (1.8).

Khi đó tồn tại một hằng số C sao cho

kEεkL∞(0,T;L 2 ) C jεjN+1,

với C là hằng số chỉ phụ thuộc vào N, T, f , f1, g, g1, uk, 1 k N

1.3 Thuật giải lặp cấp N cho bài toán Robin-Dirichlet với nguồn chứa số hạng phi địa

phương dạng tích phân theo biến thời gian

Trong mục này chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban đầu cho phương trình sóng vớinguồn phi tuyến chứa số hạng phi địa phương như sau8

1.3.1 Sự tồn tại một dãy lặp phi tuyến

Trong mục này, chúng tôi chỉ ra sự tồn tại một dãy lặp phi tuyến bậc cao liên kết với bàitoán (1.13)

Trước hết, chúng tôi thành lập các giả thiết như sau:

4g2C0([0, 1] ∆ R), 0 i N,(ii) D1Di

4g2C0([0, 1] ∆ R), 1 i N 1;

(A4) µ2C2([0, 1] R+)và tồn tại hằng số µ0>0 sao cho

µ(x, t) µ0 với mọi(x, t) 2 [0, 1] R+.Trong phần này, chúng tôi sử dụng lại các tậpW(M, T), W1(M, T)và không gian Banach

W1(T)lần lượt được xác định bởi (1.3) và (1.6)

Nghiệm yếu của bài toán (1.13) là một hàm u 2 L∞(0, T; V\H2), với ut 2 L∞(0, T; V),

utt2L∞(0, T; L2)và thỏa mãn bài toán biến phân

(

hu00(t), wi +A(t; u(t), w) +λhu0(t), wi = hF(t), wi,8w2V,

u(0) =u˜0, u0(0) =u˜1,

trong đóF(x, t) = f(x, t, u) +

Zt

0g(x, t, s, u(x, s))ds và A(t; u, v)là họ các dạng song tuyến tínhđược xác định như ở (1.2)

Tiếp theo, ta thiết lập dãy qui nạpfumgliên kết với bài toán (1.13) như sau

1 i!Di

3f(x, t, um 1)(um um 1)i

+

N 1

∑i=0

1 i!

Zt

0 Di

4g(x, t, s, um 1(x, s)) (um(x, s) um 1(x, s))ids

Sự tồn tại của dãy lặpfumgnhư trên được cho bởi định lý sau đây

Định lý 1.3.1 Giả sử các giả thiết(H1) (H4)được thỏa Khi đó, tồn tại một hằng số M>0 phụ

thuộc ˜u0, ˜u1, µ và một hằng số T>0 phụ thuộc ˜u0, ˜u1, µ, f , g sao cho với u0 0, tồn tại dãy qui nạp

fumg W1(M, T)được xác định như (1.14) - (1.15).

1.3.2 Sự hội tụ của dãy lặp

Trong phần này, chúng tôi chứng minh rằng dãy qui nạp được xây dựng trong mục 1.3.1hội tụ về nghiệm yếu duy nhất của bài toán (1.13) trong một không gian hàm thích hợp Điềunày cho bởi định lý sau

Định lý 1.3.2 Giả sử các giả thiết(H1) (H4)được thỏa Khi đó, tồn tại các hằng số M>0 và

T >0 sao cho bài toán (1.13) có duy nhất nghiệm yếu u2W1(M, T)và dãy qui nạpfumgđược xác định bởi (1.14)-(1.15) hội tụ mạnh trong W1(T)về nghiệm u và có đánh giá tốc độ hội tụ như sau

nghiệm theo tham số bé λ đến cấp N+12 Các kết quả này đã được công bố trong [N1]

3 Bên cạnh các kết quả thu được về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, vấn đề về xấp xỉnghiệm cũng được đề cập bởi phương pháp khai triển tiệm cận nghiệm theo một tham số bé

và được trình bày trong mục 1.2 Tuy nhiên sự khác biệt của khai triển tiệm cận của nghiệmyếu của bài toán (1.1) so với các kết quả trước kia là việc thực hiện khai triển Taylor khôngchỉ số hạng nguồn mà còn khai triển cho cả tích phân phi tuyến chứa trong nó Theo hiểu biếtcủa chúng tôi thì kỹ thuật này chưa được sử dụng trước đó Kết quả này đã được công bố

tụ trong không gian hàm thích hợp về nghiệm yếu duy nhất của bài toán tương ứng Ngoài

ra, trong mục 2.2, một đánh giá khai triển tiệm cận đến cấpN+1 theo một tham số bé cũngđược thiết lập

2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu

Chúng ta xét bài toán Robin-Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến chứa các số hạngphi địa phương như sau

trong đó µ, σ, f , g, ˜u0, ˜u1là các hàm cho trước vàh0 0 là một hằng số

Trước hết, ta có nhận xét rằng bài toán (2.1) được xem xét như là trường hợp riêng củabài toán (1) - (3) với

Tiếp theo, ta thành lập các giả thiết sau:

(H1) (u˜0, ˜u1) 2 V\H2 V thỏa mãn điều kiệnu˜0x(0) h0u˜0(0) =0;

Chúng tôi sẽ thiết lập một dãy qui nạp tuyến tính liên kết với bài toán (2.1) Sự tồn tạicủa dãy qui nạp này được chứng minh bằng phương pháp Galerkin, kết hợp với một số đánhgiá tiên nghiệm và lý luận về tính compact Ngoài ra, dãy qui nạp nói trên hội tụ mạnh trongcác không gian hàm thích hợp về nghiệm yếu duy nhất của bài toán (2.1)

Bây giờ, chúng ta thiết lập dãy qui nạpfumg được xác định như sau: Chọn số hạng đầu

Khi đó, sự tồn tại của dãy qui nạp xác định như trên được cho bởi định lý sau đây

Định lý 2.1.1 Giả sử các giả thiết(H1) (H5)đúng Khi đó, tồn tại các hằng số M, T>0 sao cho

tồn tại dãy qui nạp tuyến tínhfumgđược xác định bởi (2.2) - (2.3).

Trong phần chứng minh của Định lý 2.1.1, chúng tôi đã sử dụng bổ đề sau đây

trong đó ˜KM(µ), ¯HM(σ)là các hằng số và Am(t; u, v)được xác định như trong (2.4).

Nhờ vào kết quả của Định lý 2.1.1 và các định lý nhúng compact, ta có thể chứng minhđược sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (2.1) Kết quả này được cho bởi định lýsau đây

Định lý 2.1.3 Giả sử các giả thiết(H1) (H5)đúng Khi đó

(i)Bài toán (2.1) có duy nhất nghiệm yếu u2W1(M, T)

(ii)Dãy qui nạpfumgđược xác định bởi (2.2) - (2.3) hội tụ mạnh về nghiệm u của bài toán (2.1) trong không gian W1(T)

Ngoài ra, ta có đánh giá

trong đó hằng số kT2 [0, 1)và CTlà các hằng số chỉ phụ thuộc T, h0, f , g, µ, σ, ˜u0, ˜u1

2.2 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu

Trong mục này, giả sử giả thiết(H1)đúng Xét bài toán nhiễu tham số bé ε, với0 ε 1như sau

Tiếp theo, chúng tôi sẽ thiết lập khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán(Pε)theo

tham số bé ε.Điều này cần đến các giả thiết sau

∑i=1

1 j!Djµ[u0]<k[j, N, σ, u0,~], 1 k N, (2.10)

Định lý 2.2.1 Giả sử các giả thiết(H1), (H8)và(H9)đúng Khi đó, tồn tại các hằng số M>0 và

T >0 sao cho bài toán(Pε)có duy nhất nghiệm yếu u ε 2W1(M, T)thỏa mãn một đánh giá khai triển tiệm cận đến cấp N+1 như sau

Trong chứng minh Định lý 2.2.1, chúng tôi đã sử dụng các bổ đề sau

Bổ đề 2.2.2 Cho πk[N, f , g], ρk[N, µ, σ], 1 k N, là các hàm được xác định bởi các công thức

Bổ đề 2.2.3 Giả sử các giả thiết(H1), (H8)và(H9)đúng Khi đó tồn tại một hằng số C sao cho

ổn định nghiệm, tính tắt dần của nghiệm, Các tính chất này của nghiệm có được khi trongphương trình hoặc trên biên xuất hiện những số hạng cụ thể đặc thù Tuy nhiên các bài toánđược khảo sát trong chương này là dạng bài toán khá tổng quát nên hầu hết các tính chất trênđều không có mà chúng tôi chỉ khảo sát được sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu địa phương củabài toán tương ứng và thiết lập được một đánh giá khai triển tiệm của nghiệm yếu

2 Ngoài các kết quả thu được về bài toán (2.1), hai trường hợp riêng sau đây của bài toán(2.1) cũng đã được chúng tôi khảo sát

Trường hợp f x, t, u, ux, ut,

Z1

0 g(x, t, y, u(y, t), ux(y, t), ut(y, t))dy =f(x, t)và với các điềukiện biên Robin - Dirichlet, ta có bài toán8

trong đó µ, f , g, ˜u0, ˜u1là các hàm cho trước vàh0 0 là một hằng số cho trước

Trường hợp µ=1 và với các điều kiện biên Robin, ta có bài toán

tiệm cận của nghiệm yếu theo tham số bé ε đến cấp N+1 cũng được thiết lập Các kết quảđược trình bày trong chương này đã được công bố trong [N4]

3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu

Trong mục này, chúng ta xét bài toán Robin cho phương trình sóng phi tuyến với nguồnchứa các giá trị chưa biết như sau8

Nghiệm yếu của bài toán giá trị biên và ban đầu (3.1) là một hàmu thuộc không gian hàm

L∞(0, T; H2) sao chout2L∞(0, T; H1), utt2L∞(0, T; L2), đồng thời u thỏa mãn phương trìnhbiến phân sau đây

hutt(t), wi +b(u(t), w) =D

f , t, u(t), u(η1, t), , u(ηq, t), ut(t) , wE

,với mọiw2H1, hầu hết t2 (0, T), cùng với các điều kiện đầu

Chúng tôi thiết lập các giả thiết sau

Ngoài ra, ta cũng sử dụng không gian Banach ˜W1(T) = fv2L∞(0, T; H1): v02L∞(0, T; L2)g

đối với chuẩn tương ứng

Định lý 3.1.1 Giả sử các giả thiết(H1),(H2)được thỏa mãn Tồn tại các hằng số M, T>0 sao

cho với số hạng đầu u0 u˜0, tồn tại dãy qui nạpfumg W˜1(M, T).

Chúng tôi sử dụng kết quả của Định lý 3.1.1 và các định lý nhúng compact để chứng minhđược kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (3.1) Kết quả này được chobởi định lý sau đây

Định lý 3.1.2 Giả sử các giả thiết(H1),(H2)được thỏa Khi đó

(i)Bài toán (3.1) có duy nhất nghiệm yếu u2W˜1(M, T)

(ii)Dãy qui nạpfumgđược xác định bởi (3.2) - (3.3) hội tụ mạnh về nghiệm u của bài toán (3.1) trong không gian ˜W1(T)

Và ta có đánh giá

trong đó kT2 [0, 1)và CTlà các hằng số chỉ phụ thuộc T, h0, h1, f , ˜u0, ˜u1

3.2 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu

Trong mục này, giả sử giả thiết(H1) Chúng tôi sẽ thiết lập một khai triển tiệm cận củanghiệm yếu của bài toán nhiễu(Pε)theo tham số bé ε đến cấp N+1

Trước hết, xét bài toán nhiễu theo tham số bé ε,jεj 1 sau đây

Tiếp theo, để thiết lập được một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán (Pε)

theo tham số bé ε, ta cần giả sử rằng