Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (Luận án tiến sĩ)

Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (Luận án tiến sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (Luận án tiến sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (Luận án tiến sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (Luận án tiến sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (Luận án tiến sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (Luận án tiến sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (Luận án tiến sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (Luận án tiến sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (Luận án tiến sĩ)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (Luận án tiến sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

—————————

TRẦN VĂN SỰ

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ DƯỚI NGÔN NGỮ CỦA

ĐẠO HÀM TIẾP LIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2018

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

1 PGS.TS Đỗ Văn Lưu

2 TS Nguyễn Công Điều

Hà Nội - 2018

iiLỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả viếtchung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của các đồng tác giả đưavào luận án Các kết quả được nêu trong luận án là trung thực và chưatừng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Tôi xin chịu trách nhiệm với những lời cam đoan của mình

Tác giả

Trần Văn Sự

iiiLỜI CẢM ƠNBản luận án này được hoàn thành tại Viện Công nghệ thông tin, Họcviện Khoa học và Công nghệ thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệViệt Nam dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Đỗ Văn Lưu và TS.Nguyễn Công Điều Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâusắc nhất tới các thầy.

Trong quá trình học tập, nghiên cứu thông qua các bài giảng và Seminartại Bộ môn Toán của trường Đại học Thăng Long Hà Nội và Viện Côngnghệ Thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam;tác giả thường xuyên nhận được sự quan tâm giúp đỡ và đóng góp những

ý kiến quý báu của GS.TSKH Lê Dũng Mưu, GS.TS Trần Vũ Thiệu, GS

TS Nguyễn Bường, GS TS Đặng Quang Á, TS Nguyễn Minh Tuấn, v.v.Tác giả xin chân thành cảm ơn

Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại họcQuảng Nam, Khoa Toán - Đại học Quảng Nam; Phòng Đào tạo Viện Côngnghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam;Các thầy, cô giáo Viện Công nghệ Thông tin, Học viện Khoa học và Côngnghệ thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo điềukiện, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Xin được cảm ơn anh chị em cùng nhóm nghiên cứu, bạn bè và đồngnghiệp gần xa đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong suốt quátrình học tập, nghiên cứu và làm luận án

Bản luận án này không thể hoàn thành nếu không có sự thông cảm,chia sẽ và giúp đỡ của những người thân trong gia đình tác giả Tác giảthành kính dâng tặng món quà này lên các bậc sinh thành và gia đìnhthân yêu bé nhỏ của mình với tấm lòng trân trọng và biết ơn sâu sắc

Tác giả

Trần Văn Sự

Mục lục

1.1 Một số khái niệm liên quan đến nội dung luận án 9

1.1.1 Tập tiếp tuyến 9

1.1.2 Đạo hàm tiếp liên 13

1.1.3 Các hàm ổn định 14

1.1.4 Trên đạo hàm tiếp liên 19

1.2 Bài toán cân bằng vectơ và các trường hợp riêng 23

1.2.1 Bài toán cân bằng vectơ 23

1.2.2 Bài toán tối ưu vectơ 27

1.2.3 Bất đẳng thức biến phân vectơ 29

1.3 Kết luận chương 1 31

2 Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên 32 2.1 Điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1) 32

2.2 Điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1) 44

iv

v2.3 Áp dụng cho bất đẳng thức biến phân vectơ (CVVI1) và bài

toán tối ưu vectơ (CVOP1) 472.4 Kết luận chương 2 54

3.1 Sự tồn tại và mối liên hệ giữa trên đạo hàm tiếp liên với

đạo hàm tiếp liên 553.2 Điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của (VEP) 603.2.1 Trường hợp không gian Banach 613.2.2 Trường hợp hữu hạn chiều 723.3 Điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của (CVEP) 793.4 Kết luận chương 3 89

4.1 Sự tồn tại và mối liên hệ giữa trên đạo hàm tiếp liên cấp

hai với đạo hàm tiếp liên cấp hai 904.2 Điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho các loại nghiệm hữu hiệu

của (CVEP) 954.3 Điều kiện cần và đủ tối ưu cấp hai cho các loại nghiệm hữu

hiệu của (CVEP) 1044.4 Kết luận chương 4 114

Một số ký hiệu và viết tắt

IM in(A|Q) tập các điểm cực tiểu lý tưởng của tập A theo nón Q

IM ax(A|Q) tập các điểm cực đại lý tưởng của tập A theo nón Q

f+ : X ⇒ Y ánh xạ đa trị f + Q từ X vào Y

DcF (x, y) đạo hàm tiếp liên của F tại (x, y)

D2cF (x, y, w) đạo hàm tiếp liên cấp hai của F tại (x, y) theo hướng w

DF (x, y) trên đạo hàm tiếp liên của F tại (x, y)

D2F (x, y, w) trên đạo hàm tiếp liên cấp hai của F tại (x, y) theo hướng w

DF (x, y) dưới đạo hàm tiếp liên của F tại (x, y)

D2F (x, y, w) dưới đạo hàm tiếp liên cấp hai của F tại (x, y) theo hướng w

Dcf (x) đạo hàm tiếp liên của f tại x

vi

D2cf (x, w) đạo hàm tiếp liên cấp hai của f tại x theo hướng w

D2f (x, w) trên đạo hàm tiếp liên cấp hai của f tại x theo hướng w

D2f (x, w) dưới đạo hàm tiếp liên cấp hai của f tại x theo hướng w

ITs(M, x) nón tiếp tuyến phần trong theo dãy của M tại x

T2(M, x, u) tập tiếp liên cấp hai của M tại x theo hướng u

A2(M, x, u) tập kề cấp hai của M tại x theo hướng u

IT2(M, x, u) tập tiếp tuyến phần trong cấp hai của M tại x theo hướng u

int(Q+) phần trong của Q+ tương ứng với tôpô mạnh β(Y∗, Y )

Mở đầu

Bài toán cân bằng vectơ (vector equilibrium problem) có vai trò quantrọng trong giải tích phi tuyến và được quan tâm nghiên cứu nhiều trongthời gian gần đây bao gồm các nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm, cấu trúctập nghiệm, độ nhạy nghiệm, điều kiện tối ưu và thuật toán tìm nghiệm

do phạm vi áp dụng rộng rãi của nó, chẳng hạn, xem Anh [1], [2]; Ansari[3], [4], [5], [6]; Bianchi [11], [12]; Feng-Qiu [18]; Khanh-Tung [45], [46];Luu [56], [57], [59], [62], [63]; Su [72], [73]; Tan [75], [76], [77], [78],v.v Bài toán cân bằng vectơ là một sự mở rộng từ bài toán cân bằng vô hướngđược giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1994 bởi Blum và Oettli [10], và nóbao hàm được nhiều bài toán khác nhau như trường hợp đặc biệt, chẳnghạn bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ, bài toán tối ưu vectơ, bàitoán cân bằng Nash vectơ, bài toán bù vectơ, v.v Về điều kiện tối ưucho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ hiện nay là mộtchủ đề quan trọng cần được quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn, Luu [54],[59], [60] dẫn các điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai kiểu Fritz John vàKarush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toáncân bằng vectơ không trơn có ràng buộc tập, đẳng thức và bất đẳng thức

và một số áp dụng cho bài toán tối ưu vectơ và bất đẳng thức biến phânvectơ; Feng và Qiu [18] nghiên cứu điều kiện tối ưu của bài toán cân bằngvectơ có ràng buộc trong không gian Banach; Gong [26], [27] thu được điềukiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục

và siêu hữu hiệu của các bài toán cân bằng vectơ khả vi và lồi tổng quátcùng với một số áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ vàbài toán tối ưu vectơ; Long-Huang và Peng [49] dẫn điều kiện tối ưu chonghiệm hữu hiệu Henig và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ lồisuy rộng và áp dụng; Jiménez và Novo [40] thiết lập điều kiện tối ưu cấp

1

2hai cho bài toán tối ưu vectơ đa mục tiêu với các hàm khả vi hai lần, v.v Luận án của chúng tôi làm theo hướng điều kiện tối ưu cấp một và cấp haicho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữđạo hàm tiếp liên và qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổnđịnh cho điều kiện cấp một và với lớp hàm tùy ý cho điều kiện cấp hai.Khái niệm đạo hàm tiếp liên của một ánh xạ đa trị được đưa ra lần đầutiên vào năm 1981 bởi Aubin [7], thực ra nó là một sự mở rộng từ kháiniệm khả vi Fréchet rất tự nhiên với các hàm đa trị và có vai trò quantrọng trong giải tích và giải tích ứng dụng Ví dụ như một số điều kiện cần

và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu mạnh, nghiệm hữu hiệu yếu và nghiệmhữu hiệu địa phương của các bài toán tối ưu vectơ đa trị với dữ liệu lồitổng quát có thể mô tả dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên, chẳng hạn Aubin

và Ekeland [8], Corley [13] và Luc [51] Bên cạnh đó, một số điều kiện tối

ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu và cực tiểu chặt địa phương cấp một của cácbài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc có thể được dẫn thông qua kháiniệm đạo hàm tiếp liên với lớp các hàm ổn định, xem Jiménez và Novo[37] Chú ý rằng để dẫn các điều kiện cần và đủ tối ưu cho các bài toáncân bằng vectơ, các song hàm được xét nhất thiết phải có đồ thị lồi Đểvượt qua sự bất tiện này, Jahn và Rauh [35] đưa ra khái niệm trên đạohàm tiếp liên của ánh xạ đa trị vào năm 1997 và áp dụng chúng để dẫn cácđiều kiện tối ưu trong tối ưu đa trị, Chen và Jahn [14] đưa ra khái niệmtrên đạo hàm tiếp liên tổng quát của một ánh xạ đa trị vào năm 1998 và

áp dụng kết quả cho các bài toán cân bằng vectơ đa trị

Đối với hàm đơn trị, chúng ta không chuyển trực tiếp từ kết quả đatrị sang đơn trị mà thiết lập các kết quả mới sâu sắc hơn Để nghiên cứucác điều kiện tối ưu với dữ liệu không trơn cho lớp các bài toán tối ưuđơn trị, dựa vào định nghĩa của Aubin [7], Jiménez và Novo [37] đã chứngminh các quy tắc tính đạo hàm tiếp liên với lớp hàm vững, ổn định, khả viHadamard, khả vi Fréchet và thiết lập các điều kiện tối ưu cho bài toán tối

ưu vectơ không ràng buộc và các điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toántối ưu vectơ có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức dưới ngôn ngữ đạohàm tiếp liên với lớp hàm ổn định trong không gian hữu hạn chiều Một sốvấn đề còn tồn đọng trong các kết quả của Jiménez và Novo [37] là chưa

3đưa ra được điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John và Karush-Kuhn-Tuckercho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràngbuộc tập, đẳng thức và bất đẳng thức Ngoài ra, một số áp dụng kết quảthu được cho bài toán tối ưu vectơ, bất đẳng thức biến phân vectơ, bàitoán sản xuất-vận tải và bài toán cân bằng Nash-Cournot cổ điển cũngchưa thực hiện trong [37] Luận án của chúng tôi đã góp phần giải quyếtcác vấn đề mở vừa được đề cập ở trên (xem Định lí 2.1-2.10, Ví dụ 2.2-2.3).Khi nghiên cứu điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngônngữ đạo hàm tiếp liên ta chú ý rằng đạo hàm tiếp liên là một ánh xạ đatrị Hơn nữa, nói chung đạo hàm tiếp liên là một ánh xạ có giá trị khônglồi và ánh xạ giá trị này chỉ lồi trong một số trường hợp đặc biệt Do đó,chúng ta có thể sử dụng công cụ trên và dưới đạo hàm tiếp liên và tậptiếp liên cấp một và cấp hai để nghiên cứu điều kiện tối ưu cho bài toáncân bằng vectơ Đầu tiên, Rodríguez-Marín và Sama [70] nghiên cứu sựtồn tại, tính duy nhất và các tính chất của trên và dưới đạo hàm tiếp liên,các mối liên hệ giữa trên và dưới đạo hàm tiếp liên và đạo hàm tiếp liênvới lớp hàm ổn định trong trường hợp không gian ảnh hữu hạn chiều Sau

đó, Rodríguez-Marín và Sama [71] nghiên cứu sự tồn tại trên đạo hàmtiếp liên của một ánh xạ đa trị trên quan điểm biến phân và thu được cáckết quả tồn tại chúng qua một họ các hệ thống biến phân liên kết và mởrộng được các kết quả tồn tại đó (xem [70]), v.v Một số vấn đề còn tồnđọng trong các kết quả của Rodríguez-Marín và Sama [70], [71] là chưanghiên cứu sự tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên cho lớp hàm đơn trịtùy ý với không gian ảnh là Banach Về điều kiện tối ưu, Jiménez - Novo

và Sama [38] chỉ dẫn các điều kiện cần và đủ tối ưu cho cực tiểu chặt địaphương cấp một trong tối ưu đa mục tiêu qua ngôn ngữ trên và dưới đạohàm tiếp liên với hàm mục tiêu ổn định Trường hợp về điều kiện cần và

đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục vàsiêu hữu hiệu của các bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ trên và dướiđạo hàm tiếp liên với các hàm ổn định là không được nghiên cứu trongJiménez - Novo và Sama [38] và cũng chưa từng được nghiên cứu bởi cáctác giả khác Luận án của chúng tôi đã nghiên cứu các kết quả tồn tạitrên và dưới đạo hàm tiếp liên với các hàm đơn trị tùy ý trong không gianBanach (xem Mệnh đề 3.1, 3.2, 3.5), mối liên hệ của nó với đạo hàm tiếp

4liên (xem Mệnh đề 3.3) và dẫn các điều kiện cần và đủ tối ưu cho các loạinghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ chỉ có ràng buộc tập (xemĐịnh lí 3.1, 3.2) và có đầy đủ ràng buộc (xem Định lí 3.5, 3.6) qua ngônngữ trên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm vững trong không gian Banach,

và cuối cùng chúng tôi cung cấp một điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữuhiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc với hàm mục tiêu

ổn định làm cơ sở cho việc mở rộng kết quả sang nghiên cứu điều kiện tối

ưu cấp hai (xem Định lí 3.4)

Trong một thập niên gần đây, điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán cânbằng vectơ và các trường hợp riêng của nó đã được nhiều tác giả quan tâmnghiên cứu, chẳng hạn [17], [30], [31], [32], [33], [34], [40], [42], [43], [44],[47], [48], [52], [54], [58], [60], [65], [67] và [74] Trong các công trình đượcliệt kê ở trên, có nhiều bài báo sử dụng khái niệm đạo hàm và trên đạo hàmtiếp liên cấp hai để nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp hai, chẳng hạn, Durea[17] sử dụng đạo hàm tiếp liên cấp hai để thiết lập các điều kiện tối ưu chobài toán tối ưu đa trị, Jahn - Khan và Zeilinger [34] đã đề xuất các kháiniệm trên đạo hàm tiếp liên cấp hai và cấp hai tổng quát và nhận đượccác điều kiện tối ưu cấp hai dạng cơ bản (primal form), Khan và Tammer[44] đã thiết lập các điều kiện tối ưu cấp hai dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếpliên cấp hai tiệm cận, Li - Zhu và Teo [47] nghiên cứu sự tồn tại trên đạohàm tiếp liên cấp hai hiệu chỉnh tổng quát và nhận được các điều kiện tối

ưu cho bài toán tối ưu vectơ đa trị chỉ có ràng buộc tập, v.v Ta nhậnthấy rằng kết quả tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên cấp hai với cáchàm đơn trị tùy ý trong không gian Banach là chưa được nghiên cứu, cáckết quả về điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu qua ngôn ngữ trênđạo hàm tiếp liên cấp hai hiệu chỉnh chỉ được thực hiện cho trường hợpbài toán có ràng buộc tập Luận án của chúng tôi đã nghiên cứu kết quảtồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên cấp hai tổng quát với lớp hàm đơntrị tùy ý trong không gian Banach (xem Mệnh đề 4.1-4.4 ) và xây dựngcác điều kiện đủ, cần và đủ tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của bàitoán cân bằng vectơ có ràng buộc qua ngôn ngữ đó (xem Định lí 4.1-4.4).Bởi vì các tập tiếp liên cấp hai không lồi thậm chí tập đã cho là lồi vàcũng không là một nón mà nói chung chỉ là một tập đóng Do đó, chúng ta

5không thể áp dụng kết quả nghiên cứu điều kiện tối ưu qua ngôn ngữ trênđạo hàm tiếp liên để nghiên cứu các điều kiện tối ưu cấp hai qua ngôn ngữtrên đạo hàm tiếp liên cấp hai Vì vậy, trong luận án chúng tôi nghiên cứucác điều kiện cần và đủ tối ưu cấp hai mang tính kế thừa từ các điều kiệncần và đủ tối ưu cấp một qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên cấp hai,thiết lập các điều kiện đủ tối ưu cấp hai qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếpliên để kiểm tra một điểm chấp nhận được cho trước là một nghiệm hữuhiệu cho bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc Kết quả nghiên cứu này là

cơ sở để thiết lập điều kiện tối ưu cấp hai và cấp cao cho các loại nghiệmhữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ tổng quát dưới ngôn ngữ đạo hàmtiếp liên trong không gian Banach trong tương lai

Một trong những ưu điểm nổi bật khi nghiên cứu điều kiện tối ưu chobài toán cân bằng vectơ so với các bài toán khác là có thể áp dụng kết quảnày cho từng dạng đặc biệt của nó như bất đẳng thức biến phân vectơ,bài toán tối ưu vectơ và nhiều bài toán khác Bên cạnh đó, yếu tố vi phânquyết định đến kết quả nhận được, xem [53], [55], [57], [59], [63], [64], v.v Việc sử dụng lớp hàm ổn định và lớp hàm vững để nghiên cứu các tínhchất của đạo hàm, trên và dưới đạo hàm tiếp liên nhằm làm giàu thêmcác tính chất của nó là cần thiết, và hơn nữa, từ đó ta sẽ dẫn được cácđiều kiện tối ưu cho các bài toán cân bằng vectơ Một chú ý khác cũngcần được quan tâm ở đây là lớp hàm vững rộng hơn lớp hàm Lipschitz địaphương và lớp hàm khả vi Hadamard Do đó, ta có thể áp dụng kết quảthu được khi nghiên cứu điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ vớihàm ổn định cho hàm Lipschitz địa phương và hàm khả vi Hadamard.Một trong những phương pháp quen thuộc trong quá trình nghiên cứuđiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ đạo hàm vàtrên đạo hàm tiếp liên là nghiên cứu ở dạng cơ bản (primal form) và sau

đó sử dụng định lí tách (mạnh) trong giải tích lồi của Rockafellar [69] đểđưa về dạng đối ngẫu (dual form) Các điều kiện tối ưu kiểu Kuhn-Tuckerhay Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu thường được quan tâmtrước tiên và từ các kết quả đó có thể áp dụng cho các loại nghiệm khácnhư các nghiệm hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu chobài toán cân bằng vectơ Các kết quả thu được cũng có thể áp dụng trực

Luận án đầy đủ ở file: Luận án full