Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)

Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Côngnghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học 1: PGS TS Đỗ Văn Lưu

Người hướng dẫn khoa học 2: TS Nguyễn Công Điều

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

Mở đầu

Bài toán cân bằng vectơ có vai trò quan trọng trong giải tích phi tuyến

và được quan tâm nghiên cứu nhiều trong thời gian gần đây do phạm vi

áp dụng rộng rãi của nó, chẳng hạn, xem Anh (2012, 2015), Ansari (2000,2001a, 2001b, 2002), Bianchi (1996, 1997), Feng-Qiu (2014), Khanh (2013,2015), Luu (2014a, 2014b, 2014c, 2015, 2016), Su (2017, 2018), Tan (2011,

2012, 2018a, 2018b), v.v Bài toán cân bằng vectơ là một sự mở rộng từbài toán cân bằng vô hướng được đưa ra lần đầu tiên bởi Blum và Oettli(1994) và điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của nó là một chủ

đề quan trọng cần được quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn, xem Luu (2010,

2016, 2017), Gong (2008, 2010), Long-Huang-Peng (2011), Sama (2003, 2009), Li-Zhu-Teo (2012), v.v Luận án của chúng tôi làmtheo hướng điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai cho bài toán cân bằngvectơ dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên và qua trên đạo hàm tiếp liên vớihàm ổn định cho điều kiện cấp một và hàm tùy ý cho điều kiện cấp hai.Đạo hàm tiếp liên có vai trò quan trọng trong giải tích và giải tích ứngdụng, và nó được sử dụng trong việc thiết lập điều kiện tối ưu Aubin(1981) là người đầu tiên đưa ra khái niệm đạo hàm tiếp liên của ánh xạ

Jiménez-Novo-đa trị và áp dụng chúng để thiết lập điều kiện tối ưu trong tối ưu vectơbởi Aubin-Ekeland (1984), Corley (1988) và Luc (1991); Jahn-Rauh (1997)đưa ra khái niệm trên đạo hàm tiếp liên của ánh xạ đa trị và dẫn các điềukiện tối ưu tương ứng; Chen- Jahn (1998) đề xuất khái niệm trên đạo hàmtiếp liên tổng quát cho ánh xạ đa trị và áp dụng kết quả cho bài toán cânbằng vectơ đa trị Đối với hàm đơn trị, chúng ta không chuyển trực tiếp

từ kết quả đa trị sang đơn trị mà thiết lập các kết quả mới sâu sắc hơn.Dựa vào định nghĩa của Aubin (1981), Jiménez-Novo (2008) đã chứngminh các quy tắc tính đạo hàm tiếp liên với hàm vững, ổn định, khả vi

1

Hadamard, khả vi Fréchet và áp dụng chúng để thiết lập điều kiện tối ưucho bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc Tác giả cũng dẫn điều kiệncần và đủ tối ưu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức

và bất đẳng thức dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với hàm ổn định Một

số vấn đề còn tồn đọng trong các kết quả của Jiménez-Novo (2008) là chưađưa ra được điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John và Karush-Kuhn-Tuckercho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràngbuộc tập, đẳng thức và bất đẳng thức dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên và

sự áp dụng Luận án của chúng tôi đã góp phần giải quyết các vấn đề còntồn tại vừa được đề cập ở trên

Rodríguez-Marín và Sama (2007a, 2007b) nghiên cứu sự tồn tại, tínhduy nhất và các tính chất của trên và dưới đạo hàm tiếp liên, các mối liên

hệ giữa trên và dưới đạo hàm tiếp liên và đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổnđịnh và ánh xạ đa trị trong trường hợp không gian ảnh hữu hạn chiều Một

số vấn đề còn tồn đọng trong các kết quả của Rodríguez-Marín và Sama(2007a, 2007b) là chưa xem xét sự tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liêncho lớp hàm đơn trị tùy ý với không gian ảnh là Banach Về điều kiện tối

ưu, Jiménez-Novo và Sama (2009) chỉ dẫn các điều kiện cần và đủ tối ưucho cực tiểu chặt địa phương cấp một trong tối ưu đa mục tiêu qua ngônngữ trên và dưới đạo hàm tiếp liên với hàm mục tiêu ổn định Trường hợpđiều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữuhiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của các bài toán cân bằng vectơ qua ngônngữ trên và dưới đạo hàm tiếp liên với các hàm ổn định là không đượcnghiên cứu trong Jiménez-Novo và Sama (2009) và cũng chưa từng đượcnghiên cứu bởi các tác giả khác Luận án của chúng tôi đã nghiên cứu cáckết quả tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên với các hàm đơn trị tùy ýtrong không gian Banach, mối liên hệ của nó với đạo hàm tiếp liên và dẫncác điều kiện cần và đủ tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toáncân bằng vectơ không ràng buộc và có ràng buộc qua ngôn ngữ trên đạohàm tiếp liên với lớp hàm vững trong không gian Banach, và cuối cùngchúng tôi cung cấp một điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu củabài toán cân bằng vectơ không ràng buộc với hàm mục tiêu ổn định làm

cơ sở cho việc mở rộng kết quả sang nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp hai.Trong một thập niên gần đây, điều kiện tối ưu cấp hai qua ngôn ngữ đạo

hàm và trên đạo hàm tiếp liên cho các bài toán cân bằng vectơ và các trườnghợp đặc biệt của nó được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, chẳng hạnnhư Jahn-Khan-Zeilinger (2005), Durea (2008), Li-Zhu-Teo (2012), Khan-Tammer (2013), v.v Ta nhận thấy rằng kết quả tồn tại trên và dưới đạohàm tiếp liên cấp hai với các hàm đơn trị tùy ý trong không gian Banach

là chưa được nghiên cứu, các kết quả về điều kiện đủ tối ưu cho nghiệmhữu hiệu yếu qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên cấp hai hiệu chỉnh chỉđược thực hiện cho trường hợp bài toán có ràng buộc tập Luận án củachúng tôi đã nghiên cứu kết quả tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên cấphai tổng quát với lớp hàm đơn trị tùy ý trong không gian Banach và xâydựng các điều kiện đủ, cần và đủ tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu củabài toán cân bằng vectơ có ràng buộc qua ngôn ngữ đó

Mục đích chính của luận án nhằm nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp một

và cấp hai cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ quangôn ngữ đạo hàm và trên đạo hàm tiếp liên, và cụ thể như sau:

1) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương củabài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập, đẳng thức và bất đẳng thứcdưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định trong không gianhữu hạn chiều

2) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp một cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữuhiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằngvectơ qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên trong không gian Banach vớihàm vững, hàm khả vi Hadamard và khả vi Fréchet

3) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữuhiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằngvectơ qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên trong không gian Banach.4) Áp dụng một số kết quả đạt được vào bất đẳng thức biến phân vectơ

và bài toán tối ưu vectơ

Bên cạnh phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo,nội dung của luận án gồm bốn chương và các kết quả chính của luận ánnằm ở trong Chương 2,3,4

Chương 1 giới thiệu một vài khái niệm từ các loại nghiệm hữu hiệu của(CVEP), nón tiếp liên, tập tiếp liên, đạo hàm tiếp liên, trên và dưới đạohàm tiếp liên cấp một và cấp hai Trình bày khái niệm về hàm ổn định,

hàm vững, hàm khả vi Hadamard, hàm khả vi Fréchet và một số công thứcliên quan đến đạo hàm tiếp liên được cung cấp Cuối cùng trình bày kháiniệm về điểm cực tiểu lý tưởng và Pareto của một tập theo nón

Chương 2 nghiên cứu điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John và Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán cân bằngvectơ có ràng buộc dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn địnhtrong không gian hữu hạn chiều và trình bày một số ứng dụng đối với bấtđẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ Trong chương này,chúng tôi có đề xuất hai điều kiện chính quy (CQ1) và (CQ2) cho mụcđích nghiên cứu điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker và Karush-Kuhn-Tucker mạnh và cung cấp nhiều ví dụ minh họa trong đó có ví dụthực tế về bài toán sản xuất - vận tải và bài toán cân bằng Nash-Cournot.Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại trên đạo hàm tiếp liên và điều kiệncần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàncục và siêu hữu hiệu của các bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ trênđạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định trong các trường hợp không gianđầu - cuối đều là Banach và không gian đầu Banach và không gian cuốihữu hạn chiều Phần cuối cùng của chương này nghiên cứu bài toán cânbằng vectơ có ràng buộc dựa trên việc đề xuất điều kiện chính quy kiểuKurcyusz-Robinson-Zowe (KRZ)

Karush-Chương 4 nghiên cứu sự tồn tại trên đạo hàm tiếp liên cấp hai và điềukiện đủ tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữuhiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộcqua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm tùy ý trong không gianBanach Phần cuối cùng của chương này chúng tôi giới thiệu Giả thiết 4.1làm cơ sở để nghiên cứu điều kiện cần và đủ tối ưu cấp hai qua ngôn ngữtrên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm tùy ý trong không gian Banach

Các kết quả của luận án được báo cáo tại:

• Hội thảo toàn Quốc lần thứ IV về "Ứng dụng Toán học", Trường Đạihọc Kinh tế Quốc dân, Hà Nội 23-25/12/2015;

• Hội nghị về Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 14, Ba Vì, Hà Nội21-23/04/2016;

• Seminar Tối ưu, Khoa Toán tin, Trường Đại học Thăng Long, Hà Nội

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 1 của luận án giới thiệu những kiến thức cơ bản nhất phục vụcho việc trình bày các kết quả nghiên cứu đạt được trong các chương saucủa luận án và cụ thể như sau:

Mục 1.1 đề cập đến một số khái niệm như: Tập tiếp tuyến, đạo hàmtiếp liên, các hàm ổn định, trên và dưới đạo hàm tiếp liên

• Trong mục 1.1.1 trình bày định nghĩa nón tiếp liên, nón kề, nón tiếptuyến phần trong, nón tiếp tuyến phần trong theo dãy, nón pháp tuyến,tập tiếp liên cấp hai, tập kề cấp hai, tập tiếp tuyến phần trong cấp hai vàmột số tính chất của chúng

• Trong mục 1.1.2 trình bày định nghĩa đạo hàm tiếp liên cấp một vàcấp hai

• Trong mục 1.1.3 trình bày định nghĩa đạo hàm Hadamard, hàm ổnđịnh, hàm vững và một số tính chất liên quan

• Trong mục 1.1.4 trình bày định nghĩa điểm cực tiểu (cực đại) lý tưởng

và Pareto của một tập theo nón và các tính chất của nó; trình bày địnhnghĩa trên đạo hàm tiếp liên cấp một và cấp hai cùng với một số kết quảtồn tại của chúng

Mục 1.2 đề cập đến bài toán cân bằng vectơ tổng quát và các trườnghợp riêng của nó

• Trong mục 1.2.1 trình bày bài toán cân bằng vectơ (VEP), (VEP1),(CVEP) và (CVEP1) và xây dựng khái niệm nghiệm hữu hiệu yếu (địaphương), hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu cho (CVEP)

•• Định nghĩa các loại nghiệm hữu hiệu cho (CVEP)

5

Cho X, Y, Z và W là các không gian Banach thực với C là một tậpcon không rỗng trong X; Q và S lần lượt là các nón lồi trong Y và Z;

F : X × X → Y là một song hàm vectơ; g : X → Z và h : X → W là cácràng buộc, và K = {x ∈ C : g(x) ∈ −S, h(x) = 0} tập chấp nhận đượccủa bài toán cân bằng vectơ

Bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc ký hiệu (CVEP) và được phátbiểu như sau: tìm vectơ x ∈ K sao cho

F (x, y) 6∈ −intQ (∀ y ∈ K) (1.1)

Vectơ x được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (CVEP) Nếu tồntại một lân cận U của x sao cho (1.1) thỏa mãn với mọi y ∈ K ∩ U thì xđược gọi là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán (CVEP) Nếubài toán (CVEP) chỉ có ràng buộc tập, ta ký hiệu (VEP) và được gọi làbài toán cân bằng vectơ không ràng buộc Nếu X = Rn, Y = Rm, Z = Rr,

W = Rl và các nón Q = Rm+, S = Rr+, bài toán (CVEP) được gọi là bàitoán (CVEP1) và bài toán (VEP) được gọi là bài toán (VEP1)

Gọi Y∗ là không gian đối ngẫu tôpô của không gian Banach Y Ký hiệu

Q+ là nón đối ngẫu của nón Q ⊂ Y, nghĩa là

và với mọi lân cận lồi U của gốc 0 với U ⊂ VB, ta có B + U là một tập lồi

và 0 6∈ cl(B + U ) Do đó, cone(B + U ) là một nón lồi nhọn và chứa Q \ {0}trong phần trong của nó

Dựa theo cách mô tả trên, Gong (2008, 2010) đã xây dựng các địnhnghĩa nghiệm hữu hiệu toàn cục, hữu hiệu Henig và siêu hữu hiệu cho(CVEP) như sau

Định nghĩa 1.1 Vectơ x ∈ K được gọi là nghiệm hữu hiệu toàn cục của(CVEP) nếu tồn tại nón lồi nhọn H ⊂ Y với Q \ {0} ⊂ intH thỏa mãn

F (x, K) ∩ (−H) \ {0}
= ∅

Định nghĩa 1.2 Vectơ x ∈ K được gọi là nghiệm hữu hiệu Henig của(CVEP) nếu tồn tại lân cận lồi cân đối U của 0 với U ⊂ VB thỏa mãn

cone F (x, K)
∩ − int cone(U + B)
= ∅

Định nghĩa 1.3 Vectơ x ∈ K được gọi là nghiệm siêu hữu hiệu của(CVEP) nếu với mỗi lân cận V của 0, tồn tại lân cận U của 0 thỏa mãn

cone F (x, K)
∩ U − Q
⊂ V

Gọi L(X, Y ) là không gian tất cả các ánh xạ tuyến tính bị chặn từ Xvào Y Ta viết hh, xi giá trị của h ∈ L(X, Y ) tại x ∈ X Khi đó, bài toánbất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc ký hiệu (CVVI) và được xácđịnh bởi F (x, y) = hT x, y − xi , ở đây T là một ánh xạ từ X vào L(X, Y ).Trong trường hợp này các khái niệm nghiệm của (CVEP) cũng là các kháiniệm nghiệm của (CVVI), tương tứng

Tương tự cho bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc (CVOP) thỏa mãn

F (x, y) = f (y) − f (x) với f là một ánh xạ từ X vào Y

• Trong mục 1.2.2 trình bày bài toán tối ưu vectơ bao gồm nghiệm hữuhiệu yếu địa phương và cực tiểu chặt địa phương cấp m (m ∈ N) và cácđiều kiện tối ưu dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên của chúng

• Trong mục 1.2.3 trình bày bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ vàmột số vấn đề liên quan

Chương 2

Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên

Chương này nghiên cứu điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John và Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán (CVEP1)

Karush-và một số áp dụng Karush-vào bất đẳng thức biến phân vectơ (CVVI1), bài toántối ưu vectơ (CVOP1), bài toán sản xuất-vận tải và bài toán cân bằngNash-Cournot Nội dung của chương này dựa vào các công trình [1] và [5]trong phần Danh mục các công trình đã công bố

2.1 Điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John cho nghiệm

hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1)

Xét bài toán (CVEP1) được định nghĩa như trong Chương 1 Ký hiệu

và (y, z) ∈ Dc(Fx, g)(x)v, tồn tại (λ, µ) ∈ Rm × Rr, λ ≥ 0, µ ≥ 0 với(λ, µ) 6= (0, 0) sao cho

hλ, yi + hµ, zi ≥ 0,

µigi(x) = 0 (∀ i ∈ I)

Định lí 2.2 Cho x là một nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1).Giả sử rằng Giả thiết 2.1 được thỏa mãn và các hàm Fx, g vững tại x ∈ K.Thêm nữa, với mọi v ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x) tồn tại z ∈ Dcg(x)v sao cho

zi < 0 (∀ i ∈ I(x)) Khi đó,

(i) Với mọi v ∈ IT (C, x), tồn tại λk ≥ 0 (∀ k ∈ J), µi ≥ 0 (∀ i ∈ I), và

γj ∈ R (∀ j ∈ L), không đồng thời bằng 0, thỏa mãn

Nhận xét 2.1 Định lí 2.2 được áp dụng để thiết lập điều kiện tối ưu cầncho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của mô hình bài toán sản xuất vậntải (Ví dụ 2.2 trang 41, 42) và mô hình bài toán cân bằng Nash-Cournot(Ví dụ 2.3 trang 43, 44)

Nhận xét 2.2 Định lí 2.1 và Định lí 2.2 đã giải quyết được trường hợp bàitoán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc tập, trong khi tác giả Jiménez-Novo(2008) chưa giải quyết được Tác giả chỉ nghiên cứu điều kiện cần tối ưucho bài toán (CVEP1) có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức Ngoài ra,nếu C = Rn thì Định lí 2.1 trùng với kết quả của Jiménez-Novo (2008).Trường hợp C = Rn, Định lí 2.2 dẫn tới hệ quả trực tiếp sau

Hệ quả 2.1 Cho C = Rn và x là một nghiệm hữu hiệu yếu địa phươngcủa (CVEP1) Giả sử rằng Giả thiết 2.1 được thỏa mãn và các hàm Fx, gvững tại x ∈ K Thêm nữa, với bất kỳ v ∈ Ker∇h(x) tồn tại z ∈ Dcg(x)vsao cho zi < 0 (∀ i ∈ I(x)) Khi đó,

(i) Với mọi v ∈ Rn, tồn tại λk ≥ 0 (∀ k ∈ J), µi ≥ 0 (∀ i ∈ I), và

γj ∈ R (∀ j ∈ L), không đồng thời bằng 0, thỏa mãn

Trường hợp các hàm Fk,x (k ∈ J ) và gi (i ∈ I) khả vi Hadamard tại x,

ta cũng có một hệ quả trực tiếp khác từ Định lí 2.2 như sau

Hệ quả 2.2 Cho x là một nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1).Giả sử rằng Giả thiết 2.1 được thỏa mãn và các hàm Fx, g khả vi Hadamard

và vững tại x ∈ K Thêm nữa, với bất kỳ v ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x),

dgi(x; v) < 0 (∀ i ∈ I(x)) Khi đó,

(i) Với mọi v ∈ IT (C, x), tồn tại λk ≥ 0 (∀ k ∈ J), µi ≥ 0 (∀ i ∈ I), và

γj ∈ R (∀ j ∈ L), không đồng thời bằng 0, thỏa mãn

2.2 Điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker cho

nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1)

Để dẫn điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker cho các nghiệmhữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1), chúng tôi đưa vào các điều kiệnchính quy sau:

(CQ1) Tồn tại s ∈ J, v0 ∈ IT (C, x) thỏa mãn

(i) yk < 0 (∀yk ∈ DcFk,x(x)v0, ∀ k ∈ J, k 6= s);

zi < 0 (∀zi ∈ Dcgi(x)v0, ∀i ∈ I(x));

(ii) h∇hj(x), v0i = 0 (∀ j ∈ L)

(CQ2) Tồn tại s ∈ J, v0 ∈ IT (C, x) sao cho với mọi λk ≥ 0 (∀ k ∈ J, k 6= s);

µi ≥ 0 (∀ i ∈ I(x)), không đồng thời bằng 0, và γj ∈ R (∀ j ∈ L), ta có