hai cho bài toán tối ưu vectơ đa mục tiêu với các hàm khả vi hai lần, v.v...Luận án của chúng tôi làm theo hướng điều kiện tối ưu cấp một và cấp haicho các loại nghiệm hữu hiệu của bài t
Trang 1VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
—————————
TRẦN VĂN SỰ
ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ DƯỚI NGÔN NGỮ CỦA
ĐẠO HÀM TIẾP LIÊN
LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2018
Trang 2HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
1 PGS.TS Đỗ Văn Lưu
2 TS Nguyễn Công Điều
Hà Nội - 2018
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả viếtchung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của các đồng tác giả đưavào luận án Các kết quả được nêu trong luận án là trung thực và chưatừng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác
Tôi xin chịu trách nhiệm với những lời cam đoan của mình
Tác giả
Trần Văn Sự
Trang 4LỜI CẢM ƠN
Bản luận án này được hoàn thành tại Viện Công nghệ thông tin, Họcviện Khoa học và Công nghệ thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệViệt Nam dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Đỗ Văn Lưu và TS.Nguyễn Công Điều Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâusắc nhất tới các thầy
Trong quá trình học tập, nghiên cứu thông qua các bài giảng và Seminartại Bộ môn Toán của trường Đại học Thăng Long Hà Nội và Viện Côngnghệ Thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam;tác giả thường xuyên nhận được sự quan tâm giúp đỡ và đóng góp những
ý kiến quý báu của GS.TSKH Lê Dũng Mưu, GS.TS Trần Vũ Thiệu, GS
TS Nguyễn Bường, GS TS Đặng Quang Á, TS Nguyễn Minh Tuấn, v.v.Tác giả xin chân thành cảm ơn
Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại họcQuảng Nam, Khoa Toán - Đại học Quảng Nam; Phòng Đào tạo Viện Côngnghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam;Các thầy, cô giáo Viện Công nghệ Thông tin, Học viện Khoa học và Côngnghệ thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo điềukiện, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu
Xin được cảm ơn anh chị em cùng nhóm nghiên cứu, bạn bè và đồngnghiệp gần xa đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong suốt quátrình học tập, nghiên cứu và làm luận án
Bản luận án này không thể hoàn thành nếu không có sự thông cảm,chia sẽ và giúp đỡ của những người thân trong gia đình tác giả Tác giảthành kính dâng tặng món quà này lên các bậc sinh thành và gia đìnhthân yêu bé nhỏ của mình với tấm lòng trân trọng và biết ơn sâu sắc
Tác giả
Trần Văn Sự
Trang 5Mục lục
1.1 Một số khái niệm liên quan đến nội dung luận án 9
1.1.1 Tập tiếp tuyến 9
1.1.2 Đạo hàm tiếp liên 13
1.1.3 Các hàm ổn định 14
1.1.4 Trên đạo hàm tiếp liên 19
1.2 Bài toán cân bằng vectơ và các trường hợp riêng 23
1.2.1 Bài toán cân bằng vectơ 23
1.2.2 Bài toán tối ưu vectơ 27
1.2.3 Bất đẳng thức biến phân vectơ 29
1.3 Kết luận chương 1 31
2 Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên 32 2.1 Điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1) 32
2.2 Điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1) 44
iv
Trang 62.3 Áp dụng cho bất đẳng thức biến phân vectơ (CVVI1) và bài
toán tối ưu vectơ (CVOP1) 472.4 Kết luận chương 2 54
3 Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ
3.1 Sự tồn tại và mối liên hệ giữa trên đạo hàm tiếp liên với
đạo hàm tiếp liên 553.2 Điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của (VEP) 603.2.1 Trường hợp không gian Banach 613.2.2 Trường hợp hữu hạn chiều 723.3 Điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của (CVEP) 793.4 Kết luận chương 3 89
4 Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán cân bằng vectơ quangôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên 904.1 Sự tồn tại và mối liên hệ giữa trên đạo hàm tiếp liên cấp
hai với đạo hàm tiếp liên cấp hai 904.2 Điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho các loại nghiệm hữu hiệu
của (CVEP) 954.3 Điều kiện cần và đủ tối ưu cấp hai cho các loại nghiệm hữu
hiệu của (CVEP) 1044.4 Kết luận chương 4 114
Danh mục các công trình đã công bố 117
Trang 7Một số ký hiệu và viết tắt
(LBD) tính chất đạo hàm bị chặn dưới
(KRZ) điều kiện chính quy kiểu Kurcyusz-Robinson-Zowe
(CQ1) điều kiện chính quy thứ nhất
(CQ2) điều kiện chính quy thứ hai
IM in(A|Q) tập các điểm cực tiểu lý tưởng của tập A theo nón Q
M in(A|Q) tập các điểm cực tiểu Pareto của tập A theo nón Q
IM ax(A|Q) tập các điểm cực đại lý tưởng của tập A theo nón Q
M ax(A|Q) tập các điểm cực đại Pareto của tập A theo nón Q
f+ : X ⇒ Y ánh xạ đa trị f + Q từ X vào Y
F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y
domF miền hữu hiệu của F
graphF đồ thị của F
epiF trên đồ thị của F
hypF dưới đồ thị của F
DcF (x, y) đạo hàm tiếp liên của F tại (x, y)
D2cF (x, y, w) đạo hàm tiếp liên cấp hai của F tại (x, y) theo hướng w
DF (x, y) trên đạo hàm tiếp liên của F tại (x, y)
D2F (x, y, w) trên đạo hàm tiếp liên cấp hai của F tại (x, y) theo hướng w
DF (x, y) dưới đạo hàm tiếp liên của F tại (x, y)
D2F (x, y, w) dưới đạo hàm tiếp liên cấp hai của F tại (x, y) theo hướng w
Dcf (x) đạo hàm tiếp liên của f tại x
vi
Trang 8D2cf (x, w) đạo hàm tiếp liên cấp hai của f tại x theo hướng w
Df (x) trên đạo hàm tiếp liên của f tại x
D2f (x, w) trên đạo hàm tiếp liên cấp hai của f tại x theo hướng w
Df (x) dưới đạo hàm tiếp liên của f tại x
D2f (x, w) dưới đạo hàm tiếp liên cấp hai của f tại x theo hướng w
df (x, v) đạo hàm Hadamard của f tại x theo hướng v
df (x, v) dưới đạo hàm Hadamard của f tại x theo hướng v
df (x, v) trên đạo hàm Hadamard của f tại x theo hướng v
∇f (x) đạo hàm Fréchet của f tại x
T (M, x) nón tiếp liên của M tại x
A(M, x) nón kề hay nón các hướng chấp nhận được của M tại x
IT (M, x) nón tiếp tuyến phần trong của M tại x
ITs(M, x) nón tiếp tuyến phần trong theo dãy của M tại x
N (M, x) nón pháp tuyến của M tại x
T2(M, x, u) tập tiếp liên cấp hai của M tại x theo hướng u
A2(M, x, u) tập kề cấp hai của M tại x theo hướng u
IT2(M, x, u) tập tiếp tuyến phần trong cấp hai của M tại x theo hướng u
Q+ nón đối ngẫu của Q
int(Q+) phần trong của Q+ tương ứng với tôpô mạnh β(Y∗, Y )
Q] tựa phần trong của Q+
cone A bao nón của tập A
(V EP ) bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc
(CV EP ) bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc
(V OP ) bài toán tối ưu vectơ không ràng buộc
(CV OP ) bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc
(V V I) bất đẳng thức biến phân vectơ không ràng buộc
(CV V I) bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc
Trang 9Mở đầu
Bài toán cân bằng vectơ (vector equilibrium problem) có vai trò quantrọng trong giải tích phi tuyến và được quan tâm nghiên cứu nhiều trongthời gian gần đây bao gồm các nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm, cấu trúctập nghiệm, độ nhạy nghiệm, điều kiện tối ưu và thuật toán tìm nghiệm
do phạm vi áp dụng rộng rãi của nó, chẳng hạn, xem Anh [1], [2]; Ansari[3], [4], [5], [6]; Bianchi [11], [12]; Feng-Qiu [18]; Khanh-Tung [45], [46];Luu [56], [57], [59], [62], [63]; Su [72], [73]; Tan [75], [76], [77], [78],v.v Bài toán cân bằng vectơ là một sự mở rộng từ bài toán cân bằng vô hướngđược giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1994 bởi Blum và Oettli [10], và nóbao hàm được nhiều bài toán khác nhau như trường hợp đặc biệt, chẳnghạn bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ, bài toán tối ưu vectơ, bàitoán cân bằng Nash vectơ, bài toán bù vectơ, v.v Về điều kiện tối ưucho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ hiện nay là mộtchủ đề quan trọng cần được quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn, Luu [54],[59], [60] dẫn các điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai kiểu Fritz John vàKarush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toáncân bằng vectơ không trơn có ràng buộc tập, đẳng thức và bất đẳng thức
và một số áp dụng cho bài toán tối ưu vectơ và bất đẳng thức biến phânvectơ; Feng và Qiu [18] nghiên cứu điều kiện tối ưu của bài toán cân bằngvectơ có ràng buộc trong không gian Banach; Gong [26], [27] thu được điềukiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục
và siêu hữu hiệu của các bài toán cân bằng vectơ khả vi và lồi tổng quátcùng với một số áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ vàbài toán tối ưu vectơ; Long-Huang và Peng [49] dẫn điều kiện tối ưu chonghiệm hữu hiệu Henig và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ lồisuy rộng và áp dụng; Jiménez và Novo [40] thiết lập điều kiện tối ưu cấp
1
Trang 10hai cho bài toán tối ưu vectơ đa mục tiêu với các hàm khả vi hai lần, v.v Luận án của chúng tôi làm theo hướng điều kiện tối ưu cấp một và cấp haicho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữđạo hàm tiếp liên và qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổnđịnh cho điều kiện cấp một và với lớp hàm tùy ý cho điều kiện cấp hai.Khái niệm đạo hàm tiếp liên của một ánh xạ đa trị được đưa ra lần đầutiên vào năm 1981 bởi Aubin [7], thực ra nó là một sự mở rộng từ kháiniệm khả vi Fréchet rất tự nhiên với các hàm đa trị và có vai trò quantrọng trong giải tích và giải tích ứng dụng Ví dụ như một số điều kiện cần
và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu mạnh, nghiệm hữu hiệu yếu và nghiệmhữu hiệu địa phương của các bài toán tối ưu vectơ đa trị với dữ liệu lồitổng quát có thể mô tả dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên, chẳng hạn Aubin
và Ekeland [8], Corley [13] và Luc [51] Bên cạnh đó, một số điều kiện tối
ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu và cực tiểu chặt địa phương cấp một của cácbài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc có thể được dẫn thông qua kháiniệm đạo hàm tiếp liên với lớp các hàm ổn định, xem Jiménez và Novo[37] Chú ý rằng để dẫn các điều kiện cần và đủ tối ưu cho các bài toáncân bằng vectơ, các song hàm được xét nhất thiết phải có đồ thị lồi Đểvượt qua sự bất tiện này, Jahn và Rauh [35] đưa ra khái niệm trên đạohàm tiếp liên của ánh xạ đa trị vào năm 1997 và áp dụng chúng để dẫn cácđiều kiện tối ưu trong tối ưu đa trị, Chen và Jahn [14] đưa ra khái niệmtrên đạo hàm tiếp liên tổng quát của một ánh xạ đa trị vào năm 1998 và
áp dụng kết quả cho các bài toán cân bằng vectơ đa trị
Đối với hàm đơn trị, chúng ta không chuyển trực tiếp từ kết quả đatrị sang đơn trị mà thiết lập các kết quả mới sâu sắc hơn Để nghiên cứucác điều kiện tối ưu với dữ liệu không trơn cho lớp các bài toán tối ưuđơn trị, dựa vào định nghĩa của Aubin [7], Jiménez và Novo [37] đã chứngminh các quy tắc tính đạo hàm tiếp liên với lớp hàm vững, ổn định, khả viHadamard, khả vi Fréchet và thiết lập các điều kiện tối ưu cho bài toán tối
ưu vectơ không ràng buộc và các điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toántối ưu vectơ có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức dưới ngôn ngữ đạohàm tiếp liên với lớp hàm ổn định trong không gian hữu hạn chiều Một sốvấn đề còn tồn đọng trong các kết quả của Jiménez và Novo [37] là chưa
Trang 11đưa ra được điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John và Karush-Kuhn-Tuckercho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràngbuộc tập, đẳng thức và bất đẳng thức Ngoài ra, một số áp dụng kết quảthu được cho bài toán tối ưu vectơ, bất đẳng thức biến phân vectơ, bàitoán sản xuất-vận tải và bài toán cân bằng Nash-Cournot cổ điển cũngchưa thực hiện trong [37] Luận án của chúng tôi đã góp phần giải quyếtcác vấn đề mở vừa được đề cập ở trên (xem Định lí 2.1-2.10, Ví dụ 2.2-2.3).Khi nghiên cứu điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngônngữ đạo hàm tiếp liên ta chú ý rằng đạo hàm tiếp liên là một ánh xạ đatrị Hơn nữa, nói chung đạo hàm tiếp liên là một ánh xạ có giá trị khônglồi và ánh xạ giá trị này chỉ lồi trong một số trường hợp đặc biệt Do đó,chúng ta có thể sử dụng công cụ trên và dưới đạo hàm tiếp liên và tậptiếp liên cấp một và cấp hai để nghiên cứu điều kiện tối ưu cho bài toáncân bằng vectơ Đầu tiên, Rodríguez-Marín và Sama [70] nghiên cứu sựtồn tại, tính duy nhất và các tính chất của trên và dưới đạo hàm tiếp liên,các mối liên hệ giữa trên và dưới đạo hàm tiếp liên và đạo hàm tiếp liênvới lớp hàm ổn định trong trường hợp không gian ảnh hữu hạn chiều Sau
đó, Rodríguez-Marín và Sama [71] nghiên cứu sự tồn tại trên đạo hàmtiếp liên của một ánh xạ đa trị trên quan điểm biến phân và thu được cáckết quả tồn tại chúng qua một họ các hệ thống biến phân liên kết và mởrộng được các kết quả tồn tại đó (xem [70]), v.v Một số vấn đề còn tồnđọng trong các kết quả của Rodríguez-Marín và Sama [70], [71] là chưanghiên cứu sự tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên cho lớp hàm đơn trịtùy ý với không gian ảnh là Banach Về điều kiện tối ưu, Jiménez - Novo
và Sama [38] chỉ dẫn các điều kiện cần và đủ tối ưu cho cực tiểu chặt địaphương cấp một trong tối ưu đa mục tiêu qua ngôn ngữ trên và dưới đạohàm tiếp liên với hàm mục tiêu ổn định Trường hợp về điều kiện cần và
đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục vàsiêu hữu hiệu của các bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ trên và dướiđạo hàm tiếp liên với các hàm ổn định là không được nghiên cứu trongJiménez - Novo và Sama [38] và cũng chưa từng được nghiên cứu bởi cáctác giả khác Luận án của chúng tôi đã nghiên cứu các kết quả tồn tạitrên và dưới đạo hàm tiếp liên với các hàm đơn trị tùy ý trong không gianBanach (xem Mệnh đề 3.1, 3.2, 3.5), mối liên hệ của nó với đạo hàm tiếp
Trang 12liên (xem Mệnh đề 3.3) và dẫn các điều kiện cần và đủ tối ưu cho các loạinghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ chỉ có ràng buộc tập (xemĐịnh lí 3.1, 3.2) và có đầy đủ ràng buộc (xem Định lí 3.5, 3.6) qua ngônngữ trên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm vững trong không gian Banach,
và cuối cùng chúng tôi cung cấp một điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữuhiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc với hàm mục tiêu
ổn định làm cơ sở cho việc mở rộng kết quả sang nghiên cứu điều kiện tối
ưu cấp hai (xem Định lí 3.4)
Trong một thập niên gần đây, điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán cânbằng vectơ và các trường hợp riêng của nó đã được nhiều tác giả quan tâmnghiên cứu, chẳng hạn [17], [30], [31], [32], [33], [34], [40], [42], [43], [44],[47], [48], [52], [54], [58], [60], [65], [67] và [74] Trong các công trình đượcliệt kê ở trên, có nhiều bài báo sử dụng khái niệm đạo hàm và trên đạo hàmtiếp liên cấp hai để nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp hai, chẳng hạn, Durea[17] sử dụng đạo hàm tiếp liên cấp hai để thiết lập các điều kiện tối ưu chobài toán tối ưu đa trị, Jahn - Khan và Zeilinger [34] đã đề xuất các kháiniệm trên đạo hàm tiếp liên cấp hai và cấp hai tổng quát và nhận đượccác điều kiện tối ưu cấp hai dạng cơ bản (primal form), Khan và Tammer[44] đã thiết lập các điều kiện tối ưu cấp hai dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếpliên cấp hai tiệm cận, Li - Zhu và Teo [47] nghiên cứu sự tồn tại trên đạohàm tiếp liên cấp hai hiệu chỉnh tổng quát và nhận được các điều kiện tối
ưu cho bài toán tối ưu vectơ đa trị chỉ có ràng buộc tập, v.v Ta nhậnthấy rằng kết quả tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên cấp hai với cáchàm đơn trị tùy ý trong không gian Banach là chưa được nghiên cứu, cáckết quả về điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu qua ngôn ngữ trênđạo hàm tiếp liên cấp hai hiệu chỉnh chỉ được thực hiện cho trường hợpbài toán có ràng buộc tập Luận án của chúng tôi đã nghiên cứu kết quảtồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên cấp hai tổng quát với lớp hàm đơntrị tùy ý trong không gian Banach (xem Mệnh đề 4.1-4.4 ) và xây dựngcác điều kiện đủ, cần và đủ tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của bàitoán cân bằng vectơ có ràng buộc qua ngôn ngữ đó (xem Định lí 4.1-4.4).Bởi vì các tập tiếp liên cấp hai không lồi thậm chí tập đã cho là lồi vàcũng không là một nón mà nói chung chỉ là một tập đóng Do đó, chúng ta
Trang 13không thể áp dụng kết quả nghiên cứu điều kiện tối ưu qua ngôn ngữ trênđạo hàm tiếp liên để nghiên cứu các điều kiện tối ưu cấp hai qua ngôn ngữtrên đạo hàm tiếp liên cấp hai Vì vậy, trong luận án chúng tôi nghiên cứucác điều kiện cần và đủ tối ưu cấp hai mang tính kế thừa từ các điều kiệncần và đủ tối ưu cấp một qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên cấp hai,thiết lập các điều kiện đủ tối ưu cấp hai qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếpliên để kiểm tra một điểm chấp nhận được cho trước là một nghiệm hữuhiệu cho bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc Kết quả nghiên cứu này là
cơ sở để thiết lập điều kiện tối ưu cấp hai và cấp cao cho các loại nghiệmhữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ tổng quát dưới ngôn ngữ đạo hàmtiếp liên trong không gian Banach trong tương lai
Một trong những ưu điểm nổi bật khi nghiên cứu điều kiện tối ưu chobài toán cân bằng vectơ so với các bài toán khác là có thể áp dụng kết quảnày cho từng dạng đặc biệt của nó như bất đẳng thức biến phân vectơ,bài toán tối ưu vectơ và nhiều bài toán khác Bên cạnh đó, yếu tố vi phânquyết định đến kết quả nhận được, xem [53], [55], [57], [59], [63], [64], v.v Việc sử dụng lớp hàm ổn định và lớp hàm vững để nghiên cứu các tínhchất của đạo hàm, trên và dưới đạo hàm tiếp liên nhằm làm giàu thêmcác tính chất của nó là cần thiết, và hơn nữa, từ đó ta sẽ dẫn được cácđiều kiện tối ưu cho các bài toán cân bằng vectơ Một chú ý khác cũngcần được quan tâm ở đây là lớp hàm vững rộng hơn lớp hàm Lipschitz địaphương và lớp hàm khả vi Hadamard Do đó, ta có thể áp dụng kết quảthu được khi nghiên cứu điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ vớihàm ổn định cho hàm Lipschitz địa phương và hàm khả vi Hadamard.Một trong những phương pháp quen thuộc trong quá trình nghiên cứuđiều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ đạo hàm vàtrên đạo hàm tiếp liên là nghiên cứu ở dạng cơ bản (primal form) và sau
đó sử dụng định lí tách (mạnh) trong giải tích lồi của Rockafellar [69] đểđưa về dạng đối ngẫu (dual form) Các điều kiện tối ưu kiểu Kuhn-Tuckerhay Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu thường được quan tâmtrước tiên và từ các kết quả đó có thể áp dụng cho các loại nghiệm khácnhư các nghiệm hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu chobài toán cân bằng vectơ Các kết quả thu được cũng có thể áp dụng trực
Trang 14tiếp vào bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ, xem [24],[25], [26], [27], [28], [29], [32], [49], [68], [72], [73].
Mục đích chính của luận án nhằm nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp một
và cấp hai cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ quangôn ngữ đạo hàm và trên đạo hàm tiếp liên, và cụ thể như sau:
1) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phươngcủa bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập, đẳng thức và bất đẳng thứcdưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định trong không gianhữu hạn chiều
2) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp một cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữuhiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằngvectơ qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên trong không gian Banach vớihàm vững, hàm khả vi Hadamard và hàm khả vi Fréchet
3) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữuhiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằngvectơ qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên trong không gian Banach vớilớp hàm tùy ý
4) Áp dụng một số kết quả đã nhận được vào bất đẳng thức biến phânvectơ và bài toán tối ưu vectơ
Bên cạnh phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo,nội dung của luận án gồm bốn chương: Chương 1 giới thiệu và trình bàycác kiến thức bổ trợ phục vụ cho các chương sau của luận án, các kết quảchính của luận án nằm ở trong các Chương 2, 3, 4
Chương 1 giới thiệu các khái niệm về nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệuyếu địa phương, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu củabài toán cân bằng vectơ; trình bày các định nghĩa về nón tiếp liên, tậptiếp liên cấp hai, đạo hàm tiếp liên, trên (t.ứ., dưới) đạo hàm tiếp liên cấpmột và cấp hai của một ánh xạ đa trị Trình bày các khái niệm về hàm
ổn định, hàm vững, hàm khả vi Hadamard, hàm khả vi Fréchet và một
số công thức liên quan đến đạo hàm tiếp liên Trình bày các khái niệm vềđiểm cực tiểu lý tưởng và Pareto của một tập theo nón cùng với một sốtính chất quan trọng của chúng Phần cuối cùng của Chương 1 trình bày
Trang 15nguồn gốc bài toán cân bằng vectơ, bài toán tối ưu vectơ và bài toán bấtđẳng thức biến phân vectơ.
Chương 2 nghiên cứu các điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John và Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán cân bằngvectơ có ràng buộc dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn địnhtrong các không gian hữu hạn chiều và trình bày một số ứng dụng chobài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ Trongchương này, chúng tôi có đưa ra hai điều kiện chính quy (CQ1) và (CQ2)làm cơ sở để nghiên cứu điều kiện tối ưu kiểu Karush - Kuhn - Tucker vàKarush - Kuhn - Tucker mạnh và cung cấp nhiều ví dụ minh họa trong đó
Karush-có ví dụ thực tế về mô hình bài toán sản xuất - vận tải và mô hình bàitoán cân bằng Nash-Cournot
Phần đầu tiên của Chương 3 và 4 nghiên cứu các kết quả tồn tại trênđạo hàm tiếp liên và công thức biểu diễn của nó dưới ngôn ngữ đạo hàmtiếp liên trong không gian Banach với các hàm đơn trị tùy ý Trong cáckết quả liên quan đến trên đạo hàm tiếp liên cấp hai, chúng tôi sử dụngkhông gian l2 để mô tả kết quả thu được
Phần thứ hai của Chương 3 nghiên cứu điều kiện cần và đủ tối ưu chocác nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữuhiệu cho bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc qua ngôn ngữ trên đạohàm tiếp liên với lớp hàm ổn định trong các trường hợp các không gian đầu
- cuối đều là Banach và không gian đầu Banach, không gian cuối hữu hạnchiều Phần cuối chương này nghiên cứu điều kiện tối ưu Kuhn - Tuckercho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộcdựa trên việc đề xuất điều kiện chính quy kiểu Kurcyusz-Robinson-Zowe(KRZ) Nhiều ví dụ được cung cấp để mô tả chi tiết kết quả nhận được.Phần thứ hai của Chương 4 nghiên cứu các điều kiện đủ tối ưu cấp haicho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữuhiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc qua ngôn ngữ trên đạo hàmtiếp liên với lớp hàm tùy ý trong không gian Banach Phần cuối cùng củachương này chúng tôi đưa vào Giả thiết 4.1 làm cơ sở để nghiên cứu điềukiện cần và đủ tối ưu cấp hai qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên vớilớp hàm tùy ý Nhiều ví dụ minh họa liên quan đến không gian Banach l2
Trang 16được trình bày.
Các kết quả của luận án được báo cáo tại:
• Hội thảo toàn Quốc lần thứ IV về "Ứng dụng Toán học", Trường Đạihọc Kinh tế Quốc dân, Hà Nội 23-25/12/2015;
• Hội nghị về Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 14, Ba Vì, Hà Nội21-23/04/2016;
• Seminar Tối ưu, Khoa Toán tin, Trường Đại học Thăng Long, Hà Nội
Trang 17Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và các kết quả
bổ trợ cần thiết được sử dụng ở các chương sau
Chương 1 gồm hai phần Phần đầu trình bày một số khái niệm và kếtquả về giải tích không trơn, giải tích Lipschitz và giải tích đa trị Phầnthứ hai dành cho việc trình bày các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cânbằng vectơ và các trường hợp đặc biệt của nó cùng với một số điều kiệntối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên vớilớp hàm ổn định
1.1.1 Tập tiếp tuyến
Để nghiên cứu các điều kiện cần và đủ tối ưu cho các bài toán tối ưuvectơ người ta thường sử dụng các nón tiếp liên (contingent cones) và cáctập tiếp liên cấp hai (second-order contingent sets) Các kết quả trong tiểumục này được tham khảo trong các tài liệu tham khảo [7], [9], [32], [37],[38], [40], [41], [70], [71]
Giả sử X là một không gian định chuẩn, X∗ là không gian đối ngẫutôpô của X Ta có các định nghĩa nón tiếp liên của một tập tại một điểmcho trước như sau
9
Trang 18Định nghĩa 1.1 ([37], Định nghĩa 2.1) Cho M ⊂ X và x ∈ clM.
(i) Nón tiếp liên T (M, x) của M tại x được xác định bởi
Trong đó, B(v, δ) là hình cầu mở tâm v bán kính δ
(iv) Nón tiếp tuyến phần trong theo dãy ITs(M, x) của M tại x đượcxác định bởi
IT (M, x) ⊂ A(M, x) ⊂ T (M, x) ⊂ cl cone(M − x),
trong đó cone(M − x) = {t(x − x) : t ≥ 0, x ∈ M } là bao nón của tập
M − x hay hình nón sinh bởi tập M − x; các ký hiệu int M và cl M thaycho phần trong và bao đóng của tập M tương ứng
Về mặt hình học, nón tiếp liên của tập M ⊂ R2 tại gốc tọa độ O làđường thẳng tiếp tuyến với M tại O Để làm sáng tỏ ý nghĩa hình học này,chúng tôi cung cấp một số ví dụ minh họa đơn giản sau
Trang 19Ví dụ 1.1 (i) Xét M1 là đồ thị của parabol y = x2 xác định trên toàn bộtrục thực R Khi đó, T (M1, (0, 0)) = {(u, 0) : u ∈ R} là tiếp tuyến của đồthị hàm số y = x2 tại gốc O(0, 0).
(ii) Xét M2 là đồ thị hàm số y = −p|x| xác định trên toàn bộ trụcthực R Khi đó, T (M2, (0, 0)) = {(0, v) : v ≤ 0} là tiếp tuyến chung của
Khi M là tập lồi, ta có các tính chất thú vị cho các nón tiếp liên
Mệnh đề 1.1 ([40], Mệnh đề 2.3) Cho M ⊂ X là một tập con lồi và
x ∈ clM Khi đó,
(i) A(M, x) = T (M, x) = cl cone(M − x)
Nếu thêm int M 6= ∅ thì
(ii) IT (M, x) = IT (intM, x) = int cone(M − x)
(iii) cl IT (M, x) = A(M, x) = T (M, x)
(iv) N (M,x) = −(T (M, x))+, trong đó (T (M, x))+ ký hiệu nón đối ngẫucủa T (M, x)
Mở rộng Định nghĩa 1.1 theo một phương u cho trước, ta được
Định nghĩa 1.2 ([32], [41], các Định nghĩa 1 và 2.1 ) Cho M ⊂ X và
Trang 20(iii) Tập tiếp tuyến phần trong cấp hai IT2(M, x, u) của M tại x theophương u có dạng
là mở và nếu M lồi thì A2(M, x, u) và IT2(M, x, u) lồi Ngoài ra, nếu
u 6∈ T (M, x) thì tất cả các tập tiếp liên cấp hai trên bằng rỗng, và do đó
ta luôn đặt giả thiết x ∈ cl M và u ∈ T (M, x) trong mọi phát biểu Khi
u = 0 thì các tập tiếp liên cấp hai trở thành các nón tiếp liên tương ứng
Ví dụ 1.2 Xét M1 vàx như trong Ví dụ 1.1 Chọn tùy ý (u, v) ∈ T (M1, x),nghĩa là u ∈ R và v = 0 Tính toán trực tiếp ta được
Nếu thêm M lồi có phần trong khác rỗng và u ∈ T (M, x) thì
(iii) IT2(M, x, u) ⊂ intA2(M, x, u) ⊂ int cone[cone(M − x) − u]
(iv) Nếu A2(M, x, u) 6= ∅ thì
IT2(M, x, u) = intA2(M, x, u) và cl IT2(M, x, u) = A2(M, x, u).(v) Nếu u ∈ cone(M − x) thì
(a) A2(M, x, u) = cl cone[cone(M − x) − u]
(b) IT2(M, x, u) = int cone[cone(M − x) − u]
Trang 211.1.2 Đạo hàm tiếp liên
Để thiết lập các điều kiện cần và đủ tối ưu cho các bài toán tối ưuvectơ, ngoài công cụ là các nón tiếp liên và các tập tiếp liên cấp hai, người
ta còn sử dụng công cụ khác là các khái niệm đạo hàm tiếp liên được xâydựng nhờ các cấu trúc hình học đó là các nón tiếp tuyến của đồ thị và cáctập tiếp tuyến cấp hai của đồ thị của một ánh xạ đa trị được xét tại mộtđiểm cho trước Các định nghĩa được trình bày trong phần này chủ yếudựa vào các tham khảo [7], [37], [72] và [73]
Cho X và Y là hai không gian định chuẩn và ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y.Miền hữu hiệu và đồ thị của F được xác định lần lượt như sau:
domF = {x ∈ X | F (x) 6= ∅},graphF = {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)}
Xét không gian tích X × Y với một chuẩn
k(x, y)kX×Y = kxkX + kykY, ∀ (x, y) ∈ X × Y
Ta có các định nghĩa mô tả cho đạo hàm tiếp liên cấp một và cấp haithông qua các khái niệm nón tiếp liên và tập tiếp liên cấp hai như sau
Định nghĩa 1.3 ([7], [37]) Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y, (x, y) ∈ graphF
và (u, v) ∈ X × Y
(i) Đạo hàm tiếp liên của F tại (x, y) là một ánh xạ đa trị DcF (x, y) :
X ⇒ Y được xác định bởi công thức
graph DcF (x, y) = T graphF, (x, y)
(ii) Trường hợp F ≡ f là một ánh xạ đơn trị, ký hiệu Dcf (x) thay cho
DcF (x, f (x)) và được định nghĩa bởi
Dcf (x)u = {y ∈ Y : ∃ (tn, un) → (0+, u) sao cho
Trang 22Nếu F ≡ f là ánh xạ đơn trị, ký hiệu D2cf (x, u, v) thay cho D2cF (x, f (x), u, v).
Về mặt hình học đạo hàm tiếp liên DcF (x, y) là một ánh xạ đa trị có
đồ thị trùng với nón tiếp liên (hay còn gọi là nón tiếp tuyến Bouligand)
T (graphF, (x, y)), nghĩa là
DcF (x, y)u = {v ∈ Y : (u, v) ∈ T (graphF, (x, y))}
Đạo hàm tiếp liên cấp hai được mô tả tương tự Tiếp theo là một ví dụminh họa cho các đạo hàm tiếp liên cấp một và cấp hai
Ví dụ 1.3 Xét ánh xạ đa trị F : R ⇒ R được xác định bởi
Đặt tiếp (u, v) = (−1, −3), ta được
T2(graphF, (x, y), (u, v)) = {(x, y) ∈ R2 : y = 3x + 6}
Hệ quả là
D2cF (x, y, u, v)x = {3x + 6} ∀ x ∈ R
1.1.3 Các hàm ổn định
Đạo hàm tiếp liên của các hàm ổn định có nhiều tính chất phong phú
và rất hữu ích cho việc dẫn các điều kiện tối ưu Các kết quả về điều kiệntối ưu cho bài toán tối ưu vectơ đã được thiết lập với nhiều loại đạo hàmliên quan đến các hàm vững, hàm ổn định, hàm khả vi Hadamard và hàmkhả vi Fréchet Các kết quả trong tiểu mục này được trình bày chủ yếutham khảo từ các tài liệu tham khảo [37], [66] và [67]
Trang 23Định nghĩa 1.4 ([37], tr 451) Đạo hàm Hadamard của f : X → Y tại
x ∈ X theo hướng u ∈ X là giới hạn sau:
Nếu f khả vi Hadamard tại x thì Dcf (x)u = {df (x; u)} với mọi u ∈ X.Nếu f khả vi Fréchet tại x, với đạo hàm Fréchet là ∇f (x), thì Dcf (x)u ={∇f (x)(u)} với mọi u ∈ X
Cho hàm f : X → R Trên (t.ứ., dưới) đạo hàm Hadamard của f tại
x ∈ X theo hướng u ∈ X được xác định bởi
(t,v)→(0 + ,u)
f (x + tv) − f (x)
t
Nếu df (x; u) = df (x; u), thì giá trị chung của chúng là đạo hàm Hadamard
df (x; u) của f tại x theo hướng u
Nếu Y = R, df (x; u) và df (x; u) là hữu hạn, thì theo Nhận xét 3.4 [37],
Dcf (x)u ⊂ df (x; u), df (x; u) (1.1)Nếu f liên tục trong một lân cận của x, đẳng thức trong (1.1) xảy ra, và
do đó Dcf (x)u là một tập lồi Trường hợp Y = Rm và f = (f1, f2, , fm)với fi : X → R (∀ i = 1 m), ta có
kf (x) − f (x)k ≤ Lfkx − xk ∀ x ∈ U
Nếu kf (x1) − f (x2)k ≤ Lfkx1 − x2k (∀ x1, x2 ∈ U ), thì f được gọi làLipschitz quanh x Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên X, nếu
Trang 24với mỗi x ∈ X tồn tại một lân cận U của x sao cho f Lipschitz quanh x.
Rõ ràng f Lipschitz địa phương trên X kéo theo f ổn định tại mỗi x ∈ X.Tuy nhiên chiều ngược lại không đúng như được chỉ ra trong ví dụ sau
Ví dụ 1.4 Cho f là một hàm số thực xác định trên R như sau:
Khi đó, f ổn định tại x = 0, nhưng không Lipschitz địa phương tại điểm
đó Ta có Dcf (0)u = [−|u|, |u|]
Cho Z là một không gian định chuẩn và f : X → Y, g : X → Z Địnhnghĩa hàm (f, g) : X → Y × Z với (f, g)(x) = (f (x), g(x)) ∀x ∈ X
Mệnh đề 1.3 ([37], Mệnh đề 3.3)
(i) f và g ổn định tại x ∈ X khi và chỉ khi (f, g) ổn định tại x ∈ X
(ii) Với mỗi u ∈ X, bao hàm thức sau luôn đúng
Dc(f, g)(x)u ⊂ Dcf (x)u × Dcg(x)u (1.3)
Đẳng thức trong (1.3) xảy ra khi f hoặc g khả vi Hadamard tại x theohướng u
Mệnh đề 1.3 (ii) được áp dụng để tính đạo hàm tiếp liên cho hàm (f, g)tại một điểm cho trước Cụ thể, muốn thu được Dc(f, g)(x)u chúng ta chỉcần kiểm tra xem f hoặc g khả vi Hadamard tại x theo hướng u, và sau
đó áp dụng công thức
Dc(f, g)(x)u = Dcf (x)u × Dcg(x)u (1.4)
Ví dụ 1.5 Cho f, g là các hàm số thực xác định trên R như sau:
Trang 25Khi đó, f ổn định tại x = 0 và g khả vi Hadamard tại điểm đó Áp dụngđẳng thức trong (1.4), ta có
f hoặc g ổn định tại x ∈ X Khi đó,
Dc(f + g)(x)u ⊂ Dcf (x)u + Dcg(x)u (1.5)
Đẳng thức trong (1.5) xảy ra khi f hoặc g khả vi Hadamard tại x theohướng u
Như vậy, để thu được Dc(f + g)(x)u chúng ta phải thực hiện qua 3 bướcsau:
Bước 1 Kiểm tra f hoặc g khả vi Hadamard tại x theo hướng u
Bước 2 Tính Dcf (x)u và Dcg(x)u
Bước 3 Kết luận Dc(f + g)(x)u = Dcf (x)u + Dcg(x)u
Ví dụ 1.6 Cho f, g là các hàm số thực xác định trên R như sau:
Chọn x = 0 và tính toán trực tiếp các đạo hàm tiếp liên ta được
Dcf (x)u = [−|u|, |u|] ∀ u ∈ R,
Dcg(x)u = {u} ∀ u ∈ R
Dễ dàng thấy rằng, f là ổn định tại x và g khả vi Hadamard tại điểm đó
Áp dụng dấu đẳng thức xảy ra trong (1.5), ta có
Dc(f + g)(x)u =
[0, 2u], nếu u ≥ 0,[2u, 0], nếu u < 0
Trang 26Định nghĩa 1.6 ([37], Định nghĩa 4.1) Hàm f : X → Y được gọi là vững(steady) tại x ∈ X theo hướng u ∈ X, hay f vững tại (x, u), nếu
n→∞ f (x + tnun) − f (x)/tn = y và u0n → u thìlim
Trang 271.1.4 Trên đạo hàm tiếp liên
Để tổng quát hóa các điều kiện tối ưu cổ điển đã biết, Aubin [7, tr.178] đã đưa ra khái niệm trên đạo hàm tiếp liên cho lớp hàm thực và sau
đó khái niệm đó được mở rộng cho ánh xạ đa trị bởi Jahn và Rauh [35].Hiện nay việc sử dụng khái niệm trên và dưới đạo hàm tiếp liên (contingentepiderivatives and contingent hypoderivatives) để nghiên cứu các điều kiệncần và đủ tối ưu cho các bài toán tối ưu vectơ đơn trị với lớp hàm ổn địnhqua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên và dưới đạo hàm tiếp liên cấp một
và cấp hai đang được nhiều tác giả quan tâm Các kết quả được trình bàytrong tiểu mục này chủ yếu tham khảo trong các tài liệu tham khảo [7],[9], [35], [38], [50], [70], [71], [72] và [73]
Cho X, Y là các không gian định chuẩn trong đó Y được sắp thứ tự
bộ phận bởi một nón lồi đóng Q Ta viết x y thay cho x − y ∈ Q với
x, y ∈ Y Nhắc lại trên và dưới đồ thị của một ánh xạ đa trị F : X ⇒ Yđược định nghĩa tương ứng bởi
epiF = {(x, y) ∈ X × Y : x ∈ domF, y ∈ F (x) + Q},
hypF = {(x, y) ∈ X × Y : x ∈ domF, y ∈ F (x) − Q}
Tiếp theo chúng tôi sẽ nhắc lại các ký hiệu về điểm cực tiểu
Định nghĩa 1.7 ([50], Định nghĩa 2.1) Cho M là một tập con khác rỗngcủa Y Ta nói rằng
(i) y ∈ M là một điểm cực tiểu lý tưởng (t.ứ., điểm cực đại lý tưởng)của M theo nón Q nếu a y (t.ứ., y a) với mọi a ∈ M Tập các điểmcực tiểu lý tưởng (t.ứ., điểm cực đại lý tưởng) của M theo nón Q được kýhiệu là IM in(M |Q) (t.ứ., IM ax(M |Q))
(ii) y ∈ M là một điểm cực tiểu Pareto (t.ứ., điểm cực đại Pareto) của
M theo nón Q nếu y a (t.ứ., a y) với a ∈ M kéo theo a y (t.ứ.,
y a) Tập các điểm cực tiểu Pareto (t.ứ., điểm cực đại Pareto) của Mtheo nón Q được ký hiệu bởi M in(M |Q) (t.ứ., M ax(M |Q))
Theo định nghĩa trên, ta dễ dàng thấy rằng
IM in(M |(−Q)) = IM ax(M |Q),
IM ax(M |(−Q)) = IM in(M |Q)
Trang 28Ví dụ 1.7 Cho a, b là các số thực với a < b Khi đó,
IM in((a, b]|R+) = ∅, IM in([a, b)|R+) = {a},
IM ax((a, b]|R+) = {b}, IM ax([a, b)|R+) = ∅,
IM in((a, b]|R−) = {b}, IM ax([a, b)|R−) = {a},
IM in([a, b)|R−) = ∅, IM ax((a, b]|R−) = ∅,
IM in([a, b]|R+) = {a}, IM ax([a, b]|R+) = {b},
IM in([a, b]|R−) = {b}, IM ax([a, b]|R−) = {a},
M ax(M |Q) = {y ∈ M : M ∩ (y + Q) ⊂ y + Q ∩ (−Q)}.(iii) Giả sử rằng Q nhọn (t.ứ., l(Q) := Q ∩ (−Q) = {0}) Khi đó,
epi DF (x, y) = T (epiF, (x, y))t.ứ., hyp DF (x, y) = T (hypF, (x, y))
Nếu F ≡ f là ánh xạ đơn trị, ta viết Df (x) và Df (x) thay cho
DF (x, f (x)) và DF (x, f (x)) tương ứng
Trang 29(ii) Trên (t.ứ., dưới) đạo hàm tiếp liên cấp hai của F tại (x, y) theo hướng(u, v) là một ánh xạ đơn trị D2F (x, y, u, v) (t.ứ., D2F (x, y, u, v)) cótrên đồ thị (t.ứ., dưới đồ thị) trùng với tập tiếp liên cấp hai của trên
đồ thị (t.ứ., dưới đồ thị) của F tại (x, y) theo hướng (u, v), nghĩa là
epi D2F (x, y, u, v) = T2(epiF, (x, y), (u, v))
t.ứ., hyp D2F (x, y, u, v) = T2(hypF, (x, y), (u, v))
Nếu F ≡ f là ánh xạ đơn trị, ta viết D2f (x, u, v) và D2f (x, u, v) thaycho D2F (x, f (x), u, v) và D2F (x, f (x), u, v) tương ứng
Trường hợp nón Q nhọn, nếu trên và dưới đạo hàm tiếp liên tồn tại thìchúng được xác định duy nhất (xem [70], Mệnh đề 3.2) Hơn nữa, ta có
Df (x) = −D(−f )(x)
Do đó, chúng ta chỉ quan tâm nghiên cứu các kết quả liên quan đến trênđạo hàm tiếp liên, còn dưới đạo hàm tiếp liên xem như một hệ quả trựctiếp Từ đây trở về sau, ký hiệu f+ : X ⇒ Y là một ánh xạ đa trị sắpthẳng được xác định bởi f+(x) = f (x) + Q với mọi x ∈ X, hay f+ = f + Q.Theo Định nghĩa 1.8 (i) và khái niệm trên đồ thị, nếu Df (x) tồn tại thì
Df (x)u + Q = Dcf+(x, f (x))u, ∀ u ∈ dom Dcf+(x, f (x)) (1.6)
• Tập A được gọi là Q− bị chặn dưới (t.ứ., Q− bị chặn trên), nếu tồntại y ∈ Y sao cho A ⊂ y + Q (t.ứ., A ⊂ y − Q)
Trang 30• Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y được gọi là có đạo hàm bị chặn dưới, kýhiệu (LBD) tại (x, y) ∈ graphF , nếu DcF+(x, y)u là Q− bị chặn dưới vớimọi u ∈ L, ở đây L là hình chiếu của T (epi(F ), (x, y)) lên không gian X.
• Ký hiệu
infQA = IM ax
y ∈ Y : A ⊂ y + Q |Q,supQA = IM iny ∈ Y : A ⊂ y − Q |Q.Theo Mệnh đề 1.8 ta có
infQ(−A) = −supQA (1.8)
Ví dụ 1.8 Xét Y = R, A = [a, b], B = −A với a < b và Q = R+ Khi đó,infQA = IM ax
y ∈ Y : A ⊂ y + Q |Q = IM ax
(−∞, a]|R+
= a,infQB = IM axy ∈ Y : B ⊂ y + Q |Q = IM ax(−∞, −b]|R+
= b
Một hệ quả từ đây là
infQB = −supQA = −b
Vậy, đẳng thức trong (1.8) được thỏa mãn
Trường hợp A là Q− bị chặn dưới, ta có mối quan hệ sau
Mệnh đề 1.9 ([70], Mệnh đề 5.2) Cho A là Q− bị chặn dưới, khi đó
infQDcF+(x, y)u ∈ DcF+(x, y)u với mọi u ∈ L
Trang 31Khi ánh xạ f : K → Rm với K ⊂ X là ổn định tại x ∈ K, ta có đặctrưng cơ bản cho trên và dưới đạo hàm tiếp liên của f tại x.
Định lí 1.2 ([38], Định lí 2.8)
(i) Df (x) tồn tại ⇐⇒ IM in(Dcf (x)u|Q) 6= ∅ với mọi u ∈ domDcf (x).Hơn nữa, dom Df (x) = dom Dcf (x) và
Df (x)u = IM in(Dcf (x)u|Q)
(ii) Df (x) tồn tại ⇐⇒ IM ax(Dcf (x)u|Q) 6= ∅ với mọi u ∈ dom Dcf (x).Hơn nữa, dom Df (x) = dom Dcf (x) và
Df (x)u = IM ax(Dcf (x)u|Q)
1.2.1 Bài toán cân bằng vectơ
Bài toán cân bằng vectơ là một bộ phận quan trọng của giải tích phituyến và đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu trong những nămgần đây Một chủ đề quan trọng của bài toán cân bằng vectơ là nghiên cứuđiều kiện tối ưu cho các nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệutoàn cục và siêu hữu hiệu của nó
Cho X, Y, Z và W là các không gian Banach thực với C là một tậpcon không rỗng trong X; Q và S lần lượt là các nón lồi trong Y và Z;
F : X × X → Y là một song hàm vectơ; g : X → Z và h : X → W là cácràng buộc, và K = {x ∈ C : g(x) ∈ −S, h(x) = 0} tập chấp nhận đượccủa bài toán cân bằng vectơ
• Bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc được ký hiệu là (CVEP) đượcphát biểu như sau: tìm vectơ x ∈ K sao cho
F (x, y) 6∈ −intQ (∀ y ∈ K) (1.9)
Vectơ x được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (CVEP) Nếu tồntại một lân cận U của x sao cho (1.9) thỏa mãn với mọi y ∈ K ∩ U thì xđược gọi là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán (CVEP)
Trang 32• Bài toán cân bằng vectơ chỉ có ràng buộc tập K = C được ký hiệu là(VEP): tìm vectơ x ∈ K sao cho
F (x, y) 6∈ −intQ (∀ y ∈ K) (1.10)
Trường hợp X = Rn, Y = Rm, Z = Rr, W = Rl và các nón Q = Rm+,
S = Rr+ ta xét các trường hợp đặc biệt sau
• Bài toán cân bằng vectơ (VEP1): tìm vectơ x ∈ K sao cho
F (x, y) 6∈ −Rm++ (∀ y ∈ K) (1.11)Một vectơ x ∈ K được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán(VEP1) nếu tồn tại δ > 0 sao cho (1.11) đúng với mọi y ∈ K ∩ B(x, δ)
• Bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc (CVEP1): tìm vectơ x ∈ K saocho
F (x, y) 6∈ −Rm++ (∀ y ∈ K), (1.12)
ở đây tập chấp nhận được
K = {x ∈ C : gi(x) ≤ 0 (∀ i ∈ I), hj(x) = 0 (∀ j ∈ L)},
gi, hj (i ∈ I := {1, 2, , r}, j ∈ L := {1, 2, , l}) là các hàm số thựcxác định trên Rn và hàm giá trị vectơ F = (F1, F2, , Fm)
Một vectơ x ∈ K được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán(CVEP1) nếu tồn tại δ > 0 sao cho (1.12) đúng với mọi y ∈ K ∩ B(x, δ)
Trang 33Tựa phần trong của Q+ là Q] được định nghĩa bởi
Q] = {y∗ ∈ Y∗ : hy∗, yi > 0 ∀ y ∈ Q \ {0}}
Nhắc lại rằng một tập con lồi B của Q được gọi là một cơ sở của nón Qnếu Q = cone B và 0 6∈ cl B Ta biết rằng (xem [49]) Q] 6= ∅ nếu và chỉnếu Q có một cơ sở, và ngoài ra một nón có cơ sở phải là nón nhọn Cho
B là một cơ sở của nón Q, ký hiệu
và với mọi lân cận lồi U của gốc 0 với U ⊂ VB, ta có B + U là một tập lồi
và 0 6∈ cl(B + U ) Do đó, cone(B + U ) là một nón lồi nhọn và chứa Q \ {0}trong phần trong của nó
Dựa theo cách mô tả trên, ta có các định nghĩa cho nghiệm hữu hiệuHenig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu cùng với một số đặc trưng cơbản của nón
Định nghĩa 1.9 ([25], [26], [27], [49]) Một vectơ x ∈ K được gọi là nghiệmhữu hiệu toàn cục của bài toán (CVEP) nếu tồn tại một nón lồi nhọn
H ⊂ Y với Q \ {0} ⊂ intH thỏa mãn
F (x, K) ∩ (−H) \ {0} = ∅
Định nghĩa 1.10 ([25], [26], [27], [49]) Một vectơ x ∈ K được gọi lànghiệm hữu hiệu Henig của bài toán (CVEP) nếu tồn tại một lân cận lồicân đối U của 0 với U ⊂ VB thỏa mãn
cone F (x, K) ∩ − int cone(U + B) = ∅
Trang 34Định nghĩa 1.11 ([25], [26], [27], [49]) Một vectơ x ∈ K được gọi lànghiệm siêu hữu hiệu của bài toán (CVEP) nếu với mỗi lân cận V của 0,tồn tại một lân cận U của 0 thỏa mãn
cone F (x, K) ∩ U − Q ⊂ V
Nhận xét 1.1 ([49], Nhận xét 2.1) Giả sử B là một cơ sở của nón Q.(i) Nếu x ∈ K là một nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán (CVEP) thì xcũng là một nghiệm hữu hiệu Henig của bài toán đó
(ii) Nếu B đóng và bị chặn thì một nghiệm hữu hiệu Henig của bàitoán (CVEP) cũng là một nghiệm siêu hữu hiệu của các bài toán đó.Trong trường hợp này, ta có Q∆(B) = int(Q+), ở đây int(Q+) ký hiệuphần trong của nón đối ngẫu của một nón Q được xác định với tôpô mạnhβ(Y∗, Y ) Các tập
(i) Với mọi lân cận lồi mở cân đối U của 0 với U ⊂ VB, ta có
sử dụng Nhận xét 1.1 và mệnh đề này để cung cấp các điều kiện tối ưu chobài toán cân bằng vectơ có ràng buộc dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên vàqua ngôn ngữ trên và dưới đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định tại điểm
Trang 35tối ưu Cho đến nay, cách tiếp cận này chỉ sử dụng để nghiên cứu cho cáctrường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng vectơ chứ chưa áp dụng nghiêncứu trực tiếp cho bài toán cân bằng vectơ tổng quát Đó là một trong cácvấn đề mở mà sẽ được chúng tôi giải quyết một phần nào trong luận ántiến sĩ này (xem các Chương 2, 3, 4).
1.2.2 Bài toán tối ưu vectơ
Một trong những ứng dụng đặc biệt của bài toán cân bằng vectơ là bàitoán tối ưu vectơ Bài toán tối ưu vectơ có xuất xứ từ các loại bài toán làmquyết định (decission making problems) mà chúng ta thường gặp trong sảnxuất kinh doanh, thiết kế, quản lý, hành chính văn phòng, Các bài toánlàm quyết định thường được mô tả qua một bài toán tối ưu vectơ sau:
min{f (x) : x ∈ K}, (1.13)
trong đó
• K là tập các phương án được thiết lập ban đầu;
• f : K → Rm (m là số mục tiêu của bài toán) chỉ mục tiêu của ngườilàm quyết định khi tiến hành kiểm tra tất cả các phương án sao cho tìmđược một phương án x thỏa mãn (1.13), nghĩa là f (x) tốt nhất
Tiếp theo chúng ta xét hàm giá trị vectơ f : X → Y Bài toán tối ưuvectơ tổng quát có ràng buộc được ký hiệu bởi (CVOP) là bài toán sau:
M inQ{f (x) : x ∈ K},trong đó
K = {x ∈ C : g(x) ∈ −S, h(x) = 0}
là tập chấp nhận được của bài toán Nhắc lại rằng:
• Vectơ x ∈ K được gọi là một nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của(CVOP), ký hiệu x ∈ LW M in(f, K), nếu tồn tại một lân cận U của x saocho
f (x) − f (x) 6∈ −intQ ∀ x ∈ K ∩ U
• Vectơ x ∈ K được gọi là một cực tiểu chặt địa phương cấp m (m ∈ N)của (CVOP), ký hiệu x ∈ Strl(m, f, K), nếu tồn tại α > 0 và một lân cận
Trang 36U của x sao cho
Tiếp theo chúng tôi cung cấp một số kết quả đã biết về điều kiện tối ưucho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (điều kiện cần) và cực tiểu chặt địaphương cấp một (điều kiện đủ) của bài toán tối ưu vectơ dưới ngôn ngữđạo hàm tiếp liên mà nó được mở rộng qua các bài toán cân bằng vectơ
Định lí 1.3 ([37], Định lí 5.1, Hệ quả 5.2) Xét bài toán (VOP) trong đó
f vững tại x ∈ K Khi đó, nếu x ∈ LW M in(f, K) thì
Trang 37Định lí 1.4 ([37], Định lí 5.9) Giả sử dim(X), dim(Y ) hữu hạn và f ổnđịnh tại x ∈ K Khi đó, nếu
Dcf (x)v ∩ (−Q) = ∅ ∀ v ∈ T (K, x) \ {0}
thì x ∈ Strl(1, f, K)
Tiếp theo chúng tôi xét bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc (CVOP),trong đó các không gian liên quan là hữu hạn chiều, dim(W ) = l vàKer∇h(x) được ký hiệu là nhân của ∇h(x) với x ∈ X Một điều kiện cầnkiểu Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương có thể được phátbiểu như sau
có thể phát biểu dưới đây như sau
Định lí 1.6 ([37], Định lí 6.5) Giả sử rằng các hàm f và g là ổn định tại
x ∈ K và h khả vi Fréchet tại x Khi đó, nếu ∀ v ∈ Ker∇h(x) \ {0} và
∀ (y, z) ∈ Dc(f, g)(x)v tồn tại (λ, η) ∈ Rp × Rm thỏa mãn (1.14) và bấtđẳng thức chặt
hλ, yi + hη, zi > 0,thì x ∈ Strl(1, f, K)
1.2.3 Bất đẳng thức biến phân vectơ
Một ứng dụng đặc biệt khác của bài toán cân bằng vectơ là bất đẳngthức biến phân vectơ Bài toán này được đưa vào lần đầu bởi Giannessi[21] trong không gian Euclide hữu hạn chiều, và sau đó Chen và Cheng [15]
áp dụng mô hình này cho bài toán tối ưu vectơ Nhiều mô hình của bất
Trang 38đẳng thức biến phân vectơ đều mô tả dưới dạng bài toán cân bằng vectơ,xem Giannessi, Mastroeni, Pellegrini, Maugeri và Pardolos [20], [21], [22],[23] Một số trường hợp riêng của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơbao gồm bài toán bù vectơ, bài toán điểm bất động vectơ, v.v
Tiếp theo ta ký hiệu L(X, Y ) là không gian của tất cả các ánh xạ tuyếntính bị chặn từ X vào Y và hh, xi là giá trị của phiếm hàm tuyến tính
h ∈ L(X, Y ) tại x ∈ X Bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràngbuộc ký hiệu (CVVI) có dạng: tìm vectơ x ∈ K sao cho
Nhận xét 1.2 Về điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của bàitoán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc (CVVI) dưới ngôn ngữđạo hàm tiếp liên và qua ngôn ngữ trên (t.ứ., dưới) đạo hàm tiếp liên vớilớp hàm ổn định tại điểm tối ưu hiện tại vẫn còn bỏ ngõ (xem [25], [26],[27], [28], [37], [38], [49], [61], [62], v.v)
Trang 39tế kỹ thuật; trình bày tình hình nghiên cứu điều kiện tối ưu cho bài toáncân bằng vectơ và các dạng đặc biệt của nó bao gồm bất đẳng thức biếnphân vectơ và bài toán tối ưu vectơ qua ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên, trên(dưới) đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định.
Trang 40Chương 2
Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên
Trong chương này, phần đầu nghiên cứu điều kiện cần tối ưu kiểu FritzJohn cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ córàng buộc (CVEP1) và áp dụng vào bài toán sản xuất - vận tải và bài toáncân bằng Nash-Cournot Phần thứ hai nghiên cứu điều kiện cần tối ưukiểu Karush-Kuhn-Tucker (Karush-Kuhn-Tucker mạnh) cho nghiệm hữuhiệu yếu địa phương của (CVEP1) bằng cách đề xuất hai điều kiện chínhquy mới (CQ1) và (CQ2) Phần cuối cùng nghiên cứu áp dụng các kếtquả thu được trong phần một và phần hai vào bất đẳng thức biến phânvectơ (CVVI1) và bài toán tối ưu vectơ (CVOP1)
Nội dung của chương này dựa vào các công trình [1] và [5] trong phầnDanh mục các công trình đã công bố
Mục đích của tiểu mục này là nghiên cứu phát triển các điều kiện cầntối ưu kiểu Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toáncân bằng vectơ (CVEP1) có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và tậpdưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên
32