Tinh toán tốc độ hủy của positron trong titanium, vanadium, chromium, silicon

Tinh toán tốc độ hủy của positron trong titanium, vanadium, chromium, silicon Tinh toán tốc độ hủy của positron trong titanium, vanadium, chromium, silicon Tinh toán tốc độ hủy của positron trong titanium, vanadium, chromium, silicon Tinh toán tốc độ hủy của positron trong titanium, vanadium, chromium, silicon Tinh toán tốc độ hủy của positron trong titanium, vanadium, chromium, silicon Tinh toán tốc độ hủy của positron trong titanium, vanadium, chromium, silicon Tinh toán tốc độ hủy của positron trong titanium, vanadium, chromium, silicon Tinh toán tốc độ hủy của positron trong titanium, vanadium, chromium, silicon Tinh toán tốc độ hủy của positron trong titanium, vanadium, chromium, silicon Tinh toán tốc độ hủy của positron trong titanium, vanadium, chromium, silicon Tinh toán tốc độ hủy của positron trong titanium, vanadium, chromium, silicon Tinh toán tốc độ hủy của positron trong titanium, vanadium, chromium, silicon Tinh toán tốc độ hủy của positron trong titanium, vanadium, chromium, silicon

KHOA VẬT LÝ – VẬT LÝ KỸ THUẬT

BỘ MÔN VẬT LÝ HẠT NHÂN

- -

Đềtài:

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

TÍNH TOÁN TỐC ĐỘ HỦY CỦA POSITRON

TRONG TITANIUM, VANADIUM,

CHROMIUM, SILICON

HUỲNH NGỌC TRÂM

-

TP HỒ CHÍ MINH - 2012

trường Đại học Khoa học Tự nhiên, em đã nhận được nhiều sự động viên, giúp đỡ tận tình, chu đáo của thầy cô, bạn bè và gia đình Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến :

 Quý thầy cô trong Khoa Vật lý -Vật lý kỹ thuật, đặc biệt là quý thầy cô trong

Bộ môn Vật lý Hạt nhân đã truyền đạt những kiến thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi nhất để em học tập và hoàn thành Khóa luận tốt nghiệp

 Thầy Trịnh Hoa Lăng đã hướng dẫn trực tiếp đề tài, cung cấp những tài liệu

bổ ích và tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình làm đề tài

 Thầy Lê Công Hảo đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu giúp Khóa luận của

em được hoàn thiện hơn

 Gia đình đã lo lắng tạo điều kiện tốt nhất cho con ăn học

 Bạn bè đã giúp đỡ, khích lệ mình trong suốt thời gian qua

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2012

Huỳnh Ngọc Trâm

DANH MỤC CÁC BẢNG 3

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, CÁC ĐỒ THỊ 4

LỜI MỞ ĐẦU 7

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT TỔNG QUAN 9

1.1 Tổng quan về positron trong vật liệu rắn 9

1.1.1 Khái niệm về positron 9

1.1.2 Positron trong vật liệu rắn 9

1.1.3 Sự hủy positron 10

1.2 Hàm sóng của hệ 11

1.2.1 Hàm sóng Slater 11

1.2.2 Hàm sóng Gauss 13

1.3 Phương trình Schrodinger 13

1.3.1 Gần đúng Oppenheimer 14

1.3.2 Lý thuyết hàm mật độ hai thành phần electron-positron 15

1.3.3 Mô hình gần đúng mật độ cục bộ LDA 16

CHƯƠNG 2: BIẾN PHÂN MONTE CARLO VÀ TỐC ĐỘ HỦY CỦA POSITRON 17

2.1 Nguyên lý biến phân 17

2.2 Phương pháp Monte Carlo lượng tử 17

2.3 Tốc độ hủy của positron 20

2.4 Hàm tương quan cặp electron-positron 22

2.5 Khoảng cách trung bình của mỗi lớp electron đến positron 23

2.6 Làm khớp hàm tương quan cặp electron-positron 23

CHƯƠNG 3: HÀM SÓNG VÀ MÔ HÌNH TÍNH TOÁN CHO Ti,V,Cr,Si 27

3.1 Hàm sóng của electron và positron trong nguyên tử 27

3.1.1 Nguyên tử Titanium (Ti) 27

3.1.2.1 Khảo sát nguyên tử Vanadium 29

3.1.2.2 Hàm sóng của electron và positron trong nguyên tử Vanadium 30 3.1.3 Nguyên tử Chromium (Cr) 31

3.1.3.1 Khảo sát nguyên tử Chromium 31

3.1.3.2 Hàm sóng của electron và positron trong nguyên tử Chromium 32 3.1.4 Nguyên tử Silicon (Si) 34

3.1.4.1 Khảo sát nguyên tử Silicon 34

3.1.4.2 Hàm sóng của electron và positron trong nguyên tử Silicon 35

3.2 Năng lượng của electron 36

3.2.1 Xây dựng hàm Hamilton cho electron 36

3.2.2 Biểu thức động năng và thế năng của electron 38

3.3 Năng lượng của positron 39

3.3.1 Xây dựng hàm Hamilton cho positron 39

3.3.2 Biểu thức động năng và thế năng của positron 39

CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ TÍNH TOÁN 41

4.1 Biến phân Monte Carlo để tìm bộ tham số tối ưu trong hàm sóng 41

4.1.1 Bộ tham số của Titanium 41

4.1.1.1 Biến phân theo Ti 41

4.1.1.2 Biến phân theo eTi 42

4.1.1.3 Biến phân theo eTi 42

4.1.1.4 Biến phân theo pTi 43

4.1.1.5 Biến phân theo epTi 44

4.1.1.6 Biến phân theo epTi 44

4.1.2 Bộ tham số của Vanadium 45

4.1.2.1 Biến phân theo V 45

4.1.2.4 Biến phân theo pV 47

4.1.2.5 Biến phân theo epV 48

4.1.2.6 Biến phân theo epV 48

4.1.3 Bộ tham số của Chromium 49

4.1.3.1 Biến phân theo Cr 49

4.1.3.2 Biến phân theo eCr 50

4.1.3.3 Biến phân theo eCr 50

4.1.3.4 Biến phân theo pCr 51

4.1.3.5 Biến phân theo epCr 52

4.1.3.6 Biến phân theo epCr 52

4.1.4 Bộ tham số của Silicon 53

4.1.4.1 Biến phân theo Si 53

4.1.4.2 Biến phân theo eSi 54

4.1.4.3 Biến phân theo eSi 54

4.1.4.4 Biến phân theo pSi 55

4.1.4.5 Biến phân theo epSi 56

4.1.4.6 Biến phân theo epSi 56

4.2 Kết quả biến phân 57

4.3 Kết quả tốc độ hủy của positron 58

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 61

TÀI LIỆU THAM KHẢO 64

PHỤ LỤC A - Bảng giá trị năng lượng theo các tham số 66

PHỤ LỤC B - Bảng số liệu hàm g(r) theo r 78

PHỤ LỤC C - Các hệ số trong hàm được làm khớp 84

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC ĐƠN VỊ Các kí hiệu

 : điện tích hiệu dụng của hạt nhân Ti

đối với electron

pTi

 : điện tích hiệu dụng của hạt nhân Ti

đối với positron

Si

 : điện tích hiệu dụng của hạt nhân Si

đối với electron

pSi

 : điện tích hiệu dụng của hạt nhân Si

đối với positron

V

 : điện tích hiệu dụng của hạt nhân V

đối với electron



 : hệ số Yukawa

p e ip

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang

Bảng 1.1 Hàm sóng trực chuẩn của electron trong các phân lớp 12

Bảng 4.1 Giá trị các tham số tối ưu của Titanium 57

Bảng 4.2 Giá trị các tham số tối ưu của Vanadium 57

Bảng 4.3 Giá trị các tham số tối ưu của Chromium 57

Bảng 4.4 Giá trị các tham số tối ưu của Silicon 58

Bảng 4.5 Kết quả của phương pháp 1 58

Bảng 4.6 Kết quả của phương pháp 2 59

Bảng 4.7 Thời gian sống của positron trong tinh thể tính bằng phương pháp Ab-initio 59

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, CÁC ĐỒ THỊ

Trang Các hình vẽ

Hình 1.1 Các trường hợp phát gamma trong quá trình hủy positron 11

Hình 2.1 Sơ đồ thuật toán biến phân Monte Carlo lượng tử 20

Hình 3.1 Sự phân bố electron trong nguyên tử Titanium 27

Hình 3.2 Sự phân bố electron trong nguyên tử Vanadium 29

Hình 3.3 Sự phân bố electron trong nguyên tử Chromium 32

Hình 3.4 Sự phân bố electron trong nguyên tử Silicon 35

Các đồ thị Hình 4.1 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron

và positron trong nguyên tử Ti theo tham số Ti 41

Hình 4.2 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron

và positron trong nguyên tử Ti theo tham số eTi 42

Hình 4.3 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron và positron trong nguyên tử Ti theo tham số eTi 43

Hình 4.4 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron và positron trong nguyên tử Ti theo tham số pTi 43

Hình 4.5 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron và positron trong nguyên tử Ti theo tham số epTi 44

Hình 4.6 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron và positron trong nguyên tử Ti theo tham số epTi 45

Hình 4.7 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron

và positron trong nguyên tử V theo tham số V 45

Hình 4.8 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron và positron trong nguyên tử V theo tham số eV 46

Hình 4.9 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron

và positron trong nguyên tử V theo tham số eV 47 Hình 4.10 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron

và positron trong nguyên tử V theo tham số pV 47 Hình 4.11 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron

và positron trong nguyên tử V theo tham số epV 48 Hình 4.12 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron

và positron trong nguyên tử V theo tham số epV 49 Hình 4.13 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron

và positron trong nguyên tử Cr theo tham số Cr 49 Hình 4.14 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron

và positron trong nguyên tử Cr theo tham số eCr 50 Hình 4.15 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron

và positron trong nguyên tử Cr theo tham số eCr 51 Hình 4.16 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron

và positron trong nguyên tử Cr theo tham số pCr 51 Hình 4.17 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron

và positron trong nguyên tử Cr theo tham số epCr 52 Hình 4.18 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron

và positron trong nguyên tử Cr theo tham số epCr 53 Hình 4.19 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron

và positron trong nguyên tử Si theo tham số Si 53 Hình 4.20 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron

và positron trong nguyên tử Si theo tham số eSi 54 Hình 4.21 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron

và positron trong nguyên tử Si theo tham số eSi 55

Hình 4.22 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron

và positron trong nguyên tử Si theo tham số pSi 55 Hình 4.23 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron

và positron trong nguyên tử Si theo tham số epSi 56 Hình 4.24 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron

và positron trong nguyên tử Si theo tham số epSi 57

LỜI MỞ ĐẦU

Vật lý positron là một lĩnh vực khá mới mẻ trong ngành vật lý hạt nhân và đang được các nhà khoa học chú tâm nghiên cứu Cho đến nay phạm vi ứng dụng của nó rất rộng lớn như: phát hiện chỗ khuyết tật trong vật liệu bằng phương pháp

đo phổ thời gian sống, CT (Computed Tomography) trong công nghiệp để phát hiện

lỗ hỏng vật liệu Trong y khoa, positron được ứng dụng vào công nghệ máy PET (Positron Emission Tomography) dùng cắt lớp và tái tạo hình ảnh …

Các phương pháp thí nghiệm dựa trên phổ hủy positron cho ta những thông tin rất có giá trị trong nghiên cứu về cấu trúc vật liệu, đặc biệt là những khuyết tật trong vật rắn Với tính chất tìm hiểu về sự hủy positron, tôi đã thực hiện luận văn với đề tài: “ Tính toán tốc độ hủy của positron trong Titanium, Vanadium, Chromium, Silicon “ Trong đề tài này, phương pháp biến phân Monte Carlo lượng tử sẽ được

áp dụng để tìm ra hàm sóng tối ưu cho từng hạt trong hệ electron-positron của các nguyên tử Từ đó, tôi đã sử dụng hai phương pháp khác nhau để xác định tốc độ hủy của positron:

Phương pháp 1: Từ hàm sóng tối ưu của electron, ta sẽ thu được mật độ electron trung bình Dựa vào mật độ electron trung bình, tính được tham số mật độ electron rs Hệ số tăng cường sẽ được xác định thông qua tham số mật độ electron rs Phương pháp 2: Bằng cách làm khớp hàm tương quan cặp hay hàm mật độ tương tác, ta tìm được hệ số tăng cường trong quá trình hủy Tham số mật độ electron rs được tính toán dựa vào hệ số tăng cường

Với tham số mật độ và hệ số tăng cường thu được, ta có thể tính tốc độ hủy electron-positron, từ đó suy ra thời gian sống của positron trong nguyên tử

Kết quả thời gian sống của positron từ hai phương pháp trên được so sánh với nhau, đồng thời so sánh với kết quả của phương pháp khác để từ đó có thể xây dựng

mô hình nghiên cứu tính chất cấu trúc vật liệu ở cấp độ cao hơn

Nội dung đề tài gồm bốn chương:

Chương 1: Lý thuyết tổng quan

Chương 2: Biến phân Monte Carlo và tốc độ hủy của positron Chương 3: Hàm sóng và mô hình tính toán cho Ti, V, Cr, Si Chương 4: Kết quả tính toán

CHƯƠNG 1

LÝ THUYẾT TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan về positron trong vật liệu rắn [7]

1.1.1 Khái niệm về positron

Positron là phản hạt của electron, nó có khối lượng bằng khối lượng electron (vào cỡ 511,0034 0,0014 

Positron có thể được tạo ra từ nguồn phóng xạ hoặc từ phản ứng hạt nhân tạo

ra positron đơn năng Khi positron được tạo ra từ nguồn phóng xạ, nó có năng lượng liên tục nằm trong khoảng từ 0 (MeV) đến EMax (MeV) và có độ xuyên sâu trung bình trong vật chất cỡ từ 10 đến 100 (µm) Đối với positron đơn năng thì độ xuyên sâu trung bình trong vật chất cỡ 1 (nm) đến vài (µm)

1.1.2 Positron trong vật liệu rắn

Khi positron có năng lượng cỡ vài eV đến vài KeV đi vào trong chất rắn, năng lượng của nó mất đi nhanh chóng do các quá trình tương tác khác nhau

Đầu tiên, quá trình ion hóa chiếm ưu thế, trong quá trình này năng lượng positron bị giảm xuống, đồng thời các cặp electron và lỗ trống được tạo ra Khi năng lượng của positron còn lại thấp thì tương tác positron và phonon trở nên quan trọng nhất Sau đó, positron đạt trạng thái cân bằng nhiệt với môi trường Ở trạng thái cân bằng nhiệt, quá trình khuếch tán của positron xảy ra, độ dài khuếch tán trung bình ở nhiệt độ phòng của positron là khoảng 1000 A0 Trong quá trình này, nếu vật chất có khuyết tật thì positron có thể tương tác với chúng, khi đó những khuyết tật này trở thành các bẫy Cũng trong quá trình khuếch tán, với một xác suất nào đó thì positron kết cặp với electron tạo ra positronium (Ps) Cuối cùng positron hủy với electron, kết quả của sự hủy này tạo ra các gamma, có thể một, hai hay ba gamma

Positronium là trạng thái giả bền trung hòa của electron-positron Nó giống như hydro nhưng có khối lượng rút gọn là m/2 khối lượng của chúng, năng lượng liên kết của positronium ở trạng thái cơ bản xấp xỉ 6,8 eV

Positronium có thể tồn tại hai trạng thái spin: S = 0,1 Trạng thái singlet (S=0), electron và positron có spin phản song và được gọi là para-positronium (para-Ps) Trạng thái triplet (S=1), electron và positron có spin song song và được gọi là ortho-positronium (ortho-Ps) Trạng thái spin ảnh hưởng quan trọng đến cấu trúc mức năng lượng của positronium

1.1.3 Sự hủy positron

Sự hủy positron xảy ra khi positron và electron gặp nhau, chúng hủy lẫn nhau và tạo ra các gamma Tùy trường hợp mà số lượng bức xạ gamma phát ra từ quá trình hủy là khác nhau:

● Nếu trong quá trình hủy có sự ảnh hưởng của electron hoặc positron khác thì một gamma được tạo ra

● Nếu positron và electron có spin đối song thì hai gamma có năng lượng cỡ

511 (KeV) được tạo ra

● Nếu positron và electron có spin song song thì ba gamma có năng lượng liên tục nằm trong khoảng từ 0 (KeV) đến 511 (KeV) được tạo ra

Xác suất xảy ra từng trường hợp trên là phụ thuộc trực tiếp vào tỉ số giữa tiết diện hủy của chúng Nếu gọi 1,2,3 lần lượt là các tiết diện hủy của từng trường hợp phát một, hai và ba gamma thì ta có các tỉ số như sau:

Tỉ số tiết diện hủy của trường hợp phát ba gamma so với trường hợp phát hai gamma là:

Trong đó

137

1



 là hằng số mạng ( fine structure constant)

Từ (1.1) và (1.2) ta thấy quá trình hủy tạo ra hai gamma là chiếm ưu thế nhất, kế đến là phát ba gamma và cuối cùng là phát một gamma Vì vậy ta thường quan tâm đến trường hợp phát hai gamma

Hình 1.1 Các trường hợp phát gamma trong quá trình hủy positron

a) Trường hợp phát 1 gamma b) Trường hợp phát 2 gamma c) Trường hợp phát 3 gamma

1.2 Hàm sóng của hệ

1.2.1 Hàm sóng Slater

Hàm sóng Slater được Slater (1930) và Zener (1930) [12] xây dựng cho hệ nhiều electron có tính đến hiệu ứng màn chắn điện tích hạt nhân Dạng của hàm sóng:

              

, Y r R , Y r r exp N ,

1drr

Tuy nhiên hàm Slater là hàm không trực giao nên ta có thể dùng phương pháp Gram-Schmidt để tạo ra bộ hàm sóng trực giao với nhau:

1 1 1

n 1 1

n 1 n 1 n

n 1 n n

n

1 1 1

3 1 2 2 2

3 2 3 3

1 1 1

2 1 2 2

1 1

Thực hiện phương pháp này ta có các hàm sóng trực chuẩn cho trong bảng 1.1:

Bảng 1.1 Hàm sóng trực chuẩn của electron trong các phân lớp

Lớp Hàm  trong tọa độ cầu Hàm  trong tọa độ Descarses

e/

e/

e1cr27/

e1cr27/

cosre/

ze/

cossinre/

xe/

sinsinre/

ye/

e1cr4rc219/

e1cr4rc219/

cose3cr2r9/

e3cr2z9/

cossine3cr2r9/

e3cr2x9/

sinsine3cr2r9/

e3cr2y9/

Bảng 1.1 Hàm sóng trực chuẩn của electron trong các phân lớp (tiếp theo)

Lớp Hàm  trong tọa độ cầu Hàm  trong tọa độ Descarses

2 / 1 2

7

cos2er

)5/83/82(45

c4

r c

2 / 1 2

7

rz2e

)5/83/82(45

c4

xze3

/c

yz

d      

sincossiner3/c

yze3

/c

siner6/

eyx6/

xy

d      

cossinsiner3/c

yxe3

/c

e3cr18rc18rc4333

/

e3cr18rc18rc4333/

N ,

!1n

c22

Trong đó H ˆ là Hamilton của hệ bao gồm M hạt nhân và N electron:

A

B A N

1 i N

i ij N

1 i M

1

A 2

A M

1

N

1 i

2 i

Rr

1r

M

12

12

 là toán tử động năng của hạt nhân A

 rij là khoảng cách giữa electron thứ i và electron thứ j

 riA là khoảng cách giữa electron thứ i và hạt nhân A

 RAB là khoảng cách giữa hai hạt nhân thứ A và B

 A,B là điện tích hiệu dụng của hạt nhân nguyên tử thứ A và B

Trong (1.9), hai số hạng đầu tiên mô tả động năng của electron và hạt nhân,

ba số hạng còn lại biểu diễn tương tác giữa hạt nhân và electron, thế đẩy giữa electron-electron và hạt nhân-hạt nhân

Tuy nhiên việc giải phương trình Schrodinger đối với hệ nhiều hạt vô cùng phức tạp Do đó các nhà vật lý đã đưa ra mô hình xấp xỉ Hamilton nhằm tìm lời giải tương đối chính xác

1.3.1 Gần đúng Oppenheimer

Bởi vì khối lượng của hạt nhân rất lớn so với khối lượng electron nên có thể xem hạt nhân đứng yên và electron di chuyển trong trường hạt nhân cố định, điều này dẫn tới động năng của hạt nhân bằng không và thế năng giữa chúng được xem như là một hằng số Vì vậy phương trình (1.9) có thể được viết lại đối với electron:

N

1 i N

i ij N

1 i M

1

A N

1 i

2 i

r

1r

 VNe là thế năng tương tác giữa hạt nhân-electron

 Vee là thế năng tương tác giữa electron-electron

Khi hệ trong trạng thái , giá trị trung bình của năng lượng được cho bởi:

1.3.2 Lý thuyết hàm mật độ hai thành phần electron-positron

Để xác định trạng thái của electron-positron trong vật liệu ta dựa trên lý thuyết hàm mật độ hai thành phần electron-positron Mật độ electron và positron ở trạng thái cơ bản có thể được tìm thấy khi ta giải bộ phương trình Kohn-Sham [8] đối với electron và positron

Ta có năng lượng trạng thái cơ bản của hệ electron-positron trong một trường thế ngoài được viết như một hàm của mật độ electron (n_) và mật độ positron (n+) Khi đó năng lượng tổng cộng của hệ được viết như sau [5]:

r

r n r n

dr r n r n r V n

F n F n , n E

p e c ' '

r n r n 2

1 n T n

 T[n] là động năng của electron hoặc positron không tương tác

 Exc n là năng lượng tương quan trao đổi giữa các hạt cùng loại

 Eecpn  , n  là năng lượng tương quan trao đổi giữa electron-positron

Để tìm mật độ electron và positron ở trạng thái cơ bản, năng lượng cực tiểu

n,n

E có thể được tính toán thông qua phương pháp Kohn-Sham Do đó cần phải giải hệ phương trình Schrodinger một hạt đối với electron và positron [5]:

   

   r  rr

n

n,nErjrn

nEr

2

1

i i i

p e c xc

n,nErjrn

nEr

2

1

i i i

p e c xc

dr r

r

r n r n r n )

(

j     

Với n0(r’) là mật độ điện tích tạo bởi thế hạt nhân VNe

Mật độ electron và positron được tính bằng tổng mật độ xác suất các trạng thái xảy ra:

  2

i i

r

n  (1.16)

  2

i i

Eec p được biết Tuy nhiên điều này rất khó khăn Trong tính toán cấu trúc electron, phương pháp phổ biến nhất là sử dụng gần đúng mật độ cục bộ đối với hiệu ứng tương quan trao đổi Trong mô hình này, năng lượng tương quan trao đổi có thể được viết xấp xỉ như sau:

Exc n n r xc n r dr (1.18) Với xc n là năng lượng tương quan trao đổi trên hạt đối với mô hình khí electron đồng nhất Khi đó thế tương quan trao đổi là:

   

 r n

n E n

V xc xc

CHƯƠNG 2 BIẾN PHÂN MONTE CARLO VÀ TỐC ĐỘ HỦY CỦA POSITRON 2.1 Nguyên lý biến phân [4]

Năng lượng cơ bản i

0

 của electron thứ i luôn thỏa bất đẳng thức sau đây:

H ˆ dR

i i

* i i

Trong đó i là một hàm tùy ý thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa:

1 dR

i i

* i i

  (2.3) Trên thực tế, để tính năng lượng trạng thái cơ bản ta phải chọn hàm sóng thử chứa thông số chưa biết nào đó Sau khi ta tính tích phân

J   R, H ˆ R , dR

i i

* i

J   



Nguyên lý này cũng được áp dụng tương tự cho positron

2.2 Phương pháp Monte Carlo lượng tử

Phương pháp biến phân Monte Carlo đã và đang được ứng dụng rộng rãi để nghiên cứu các hệ lượng tử Để có thể sử dụng phương pháp này thì cần phải đơn giản các phân bố xác suất trong không gian Thông thường thì các phân bố này ta không thể biết và chúng quá phức tạp đến nỗi chúng ta không thể giải chúng một

cách trực tiếp Thuật toán Metropolis [13] có bước tiến đáng kể cho phép ta có thể đơn giản các phân bố phức tạp này

Trong luận văn, ta xây dựng hàm sóng cho từng electron, positron Sau đó, áp dụng phương pháp biến phân Monte Carlo đối với các electron, positron của hệ lượng tử

Thuật toán Metropolis cho ra kết quả đến điểm cân bằng Rm của electron bằng việc thực hiện bước dịch chuyển (walker) theo quy luật sau:

(1) Bắt đầu từ một vị trí R ngẫu nhiên của electron

(2) Thực hiện một bước dịch chuyển tới một vị trí mới R’ Chấp nhận

bước dịch chuyển thử tới R’ với xác suất:

M inR

RA

i

' i '

(2.7) Nếu bước dịch chuyển được chấp nhận, thì điểm R’ trở thành walker mới và nếu bước dịch chuyển bị loại bỏ thì điểm R vẫn là điểm

R

,R,

RP

2 i

2 i

dRRHR

i

* i

i i

* i

Tiếp theo chúng ta định nghĩa một toán tử mới và toán tử này được gọi là toán

tử năng lượng cục bộ của electron:

1 ,

Vậy ta có thể tóm tắt phương pháp biến phân Monte Carlo như sau [10]:

● Ban đầu ta gieo một vị trí ngẫu nhiên của electron cần xét và ta gọi nó là R

● Khởi tạo hàm sóng thử iR, cho electron với các tham số biến phân nào đó

● Thực hiện bước dịch chuyển từ vị trí R sang vị trí R’

● Thực hiện kiểm tra tỉ số xác suất  

,'R

,'R

,'R

Dựa vào công thức (2.14), tính được năng lượng trung bình EL của hệ lượng

tử ứng với một hệ gồm các tham số biến phân Tiếp tục thay đổi giá trị của tham

số biến phân đã chọn, trong quá trình thay đổi như vậy, ta tìm được giá trị cực tiểu

L

E ứng với một giá trị nào đó của tham số và ta chọn giá trị này Đây là quá trình biến phân cho một tham số Lần lượt thực hiện quá trình này đối với từng tham số, cuối cùng ta thu được tập hợp các tham số để cho EL nhận giá trị cực tiểu

Ta có thể khái quát qui trình thuật toán Monte Carlo lượng tử bởi sơ đồ trong hình 2.1 sau:

Hình 2.1 Sơ đồ thuật toán biến phân Monte Carlo lượng tử

2.3 Tốc độ hủy của positron

Việc nghiên cứu sự hủy positron sẽ cho ta thu được một số thông tin về những sai hỏng trong vật liệu Chẳng hạn như một positron khi rơi vào chỗ khuyết trong

Thiết lập các thông số ban đầu cho hạt

Thực hiện bước dịch chuyển

vật liệu, nơi mà mật độ electron thấp hơn so với các vùng khác, điều này làm giảm

sự hủy electron-positron, vì vậy thời gian sống của positron tăng lên

Tốc độ hủy electron-positron được tính như sau [6]:

 2

N N 2 1 3 2

r1,r2,,rN,rN là hàm sóng tổng của hệ electron-positron, và positron có tọa

độ trùng với tọa độ của electron thứ N

Biểu thức (2.15) thường được tính tốc độ hủy electron-positron cho ra 2  Trong lý thuyết hàm mật độ hai thành phần, tốc độ hủy thường được viết dưới dạng

ma trận bao gồm các yếu tố mật độ electron, mật độ positron và hệ số tăng cường như sau:

    r n r g 0 ; n , n dr n

+ Theo mô hình hạt độc lập IPM (Independent Particle Model) thì sự tương quan electron-positron không ảnh hưởng đến tốc độ hủy [6] , vì vậy gIPM = 1

+ Tuy nhiên trong mô hình gần đúng mật độ cục bộ (LDA) thì hệ số tăng cường là một hàm theo mật độ electron, hệ số này được dẫn ra từ việc tính toán với chỉ một positron n 0 trong một thể tích khí electron đồng nhất

* Với mô hình LDA, Arponen và Pajanne [6] đã dẫn ra biểu thức tính hệ số tăng cường như sau:

s 2 s s

6

1 r 0742 , 0 r 23 , 1 1

Với rs là tham số mật độ electron được cho bởi:

3 / 1 s

n 4

3

r   



(2.18) Công thức gần đúng được dẫn ra bởi Brant-Reiheimer [2] là:

3 s 2 / 5 s 2

s 2

/ 3 s s

/ 5 s 2

s s

/ 5 s 2

s s

2.4 Hàm tương quan cặp electron-positron

Để tìm hệ số tăng cường tại vị trí positron và electron trùng nhau, điều cần thiết

ta phải tích lũy hàm tương quan cặp trong suốt quá trình mô phỏng Monte Carlo Chúng ta hình dung rằng khi positron vào trong vật liệu thì mật độ electron xung quanh tăng lên tạo nhiều lớp hình cầu có tâm đặt tại vị trí positron và mỗi lớp cầu cách nhau một khoảng dr như nhau [2],[9] Với thể tích của lớp cầu thứ n là:

12

3 s



Để tìm giá trị trung bình của mật độ electron, thì số electron trong mỗi lớp phải được chia cho thể tích lớp đó

Một khi phân bố mật độ electron trung bình xung quanh positron được tìm thấy, nó phải được chuẩn hóa bằng cách chia cho số bước dịch chuyển trong quá trình chạy Monte Carlo và đó cũng chính là giá trị của hàm tương quan cặp electron-positron theo khoảng cách r giữa electron và positron

2.5 Khoảng cách trung bình của mỗi lớp electron đến positron

Để tìm khoảng cách r từ positron tới mỗi lớp electron, ta có thể giả sử rằng khoảng cách từ positron đến mỗi lớp là hàm gần đúng theo một đường thẳng cắt ngang lớp Vì thế hàm này sẽ có dạng:

4 a 4 b

2 r

r 3 a 3 b

r

r 3 a 3 b

rr4

rr3ba

drr4brarr43

dVrfrr4

3r

f

b a

b a

4 a 4 b c

rr4

rr3r

n

dr 1 n ndr

4

dr 1 n ndr

3 r

2.6 Làm khớp hàm tương quan cặp electron-positron

Do ta chỉ thu được dữ liệu hàm tương quan cặp tại các vị trí r ≠ 0, nên để biết được hàm tương quan cặp tại vị trí positron (r = 0) ta cần làm khớp dữ liệu này, rồi

sau đó dùng phương pháp ngoại suy để tìm Giá trị mà ta tìm được cũng chính là hệ

số tăng cường hủy positron

Để thực hiện việc làm khớp hàm tương quan cặp electron-positron, ta viết hàm tương quan cặp là tổ hợp tuyến tính của các đa thức Chebyshev, Ti(x) [9]

N

0 i i

Cheb

(2.30) Với L được chọn lớn hơn khoảng cách ngắn nhất của ô mạng được sử dụng trong mô phỏng Bởi vì các đa thức Chebyshev có dạng:

 x cosiarccosx

Vì thế nó chỉ được xác định khi -1 < x < 1 nên ta đã đặt x = (2r-L)/L để vừa đảm bảo được điều kiện của x vừa có thể mở rộng biến r của đa thức

Ta có các điều kiện sau:

● Điều kiện biên

g(r) có thể được xem như là thể tích ô mô phỏng nhân với mật độ xác suất tìm thấy electron ở khoảng cách r từ positron Bên trong ô mô phỏng, số electron được bảo toàn vì thế g(r) chỉ phân bố lại các electron xung quanh positron Do đó:

 

1 g r dr 0r

rdgr

LxTc14

1xL4

Ch eb

N

0 i i i 1

1

2 2

KY

N

0 i i

N

0 i i



(2.39) Thay (2.38) và (2.39) vào (2.33) ta được:

0X

N

0 i i

  T  1 L

2 1 T

N

2 i i i

1 0 1 0

1 0

YcK

Xcc

cYY

XX

(2.42)

Phương trình (2.42) có thể giải để tìm các phương trình c0 và c1:

K

~c

N

2 i i 0

N

2 i i 1

0 1 1 0

1 i i 1 i

YXYX

YXYX

0 i 0 i i

YXYX

XYYX







0 1 1 0

1 0

YXYX

0 1

YXYX

~L

Lr2KT

~

L

Lr2TL

Lr2TL

Lr2Tcr

g

1 1 0

0

1 i 0

i i

N

2 i i

ji j

CHƯƠNG 3 HÀM SÓNG VÀ MÔ HÌNH TÍNH TOÁN CHO Ti, V, Cr, Si

3.1 Hàm sóng của electron và positron trong nguyên tử

3.1.1 Nguyên tử Titanium (Ti)

3.1.1.1 Khảo sát nguyên tử Titanium

Nguyên tử Titanium thuộc phân nhóm phụ nhóm bốn trong bảng hệ thống

tuần hoàn các nguyên tố hóa học

Cấu hình của nguyên tử Titanium (Z = 22) : 1s22s22p63s23p63d24s2

Hình 3.1 Sự phân bố electron trong nguyên tử Titanium

Nhận thấy rằng nguyên tử Titanium có 4 electron hóa trị: 2 electron ở phân

lớp 4s, 2 electron ở phân lớp 3d lần lượt ứng với số lượng tử từ là 2 và 1

3.1.1.2 Hàm sóng của electron và positron trong nguyên tử Titanium

 Hàm sóng của electron

Khi viết hàm sóng cho electron trong nguyên tử, ta cần chú ý đến sự tương quan

trao đổi giữa electron-electron, electron-positron nên hàm sóng của electron phải

nhân thêm các hệ số e p

ip e e

e e ij r

iTi Ti 2

iTi 2 Ti 3

iTi 3 Ti Ti s 4 iTi s 4

iTi Ti

e3r18r18r4

e r r ij

e e

l

2 1

ep r r ip

ep

ep p

e

r 1



2 / 1 3 Ti Ti

 Ti là điện tích hiệu dụng của hạt nhân Ti đối với electron

Ta có thể thay đổi ký hiệu để biểu thức (3.1) trở nên đơn giản như sau:

p e ip 4 , 1 i 1 i 1 j

e e ij iTi

s 4 iTi s 4

, 1 i 1 i 1 j

e e ij 2

iTi 2 iTi r Ti d Ti

2 z 2

7 Ti Ti

d

5/83/8245

4N

e e ij Ti

d Ti

z 2 z

e e ij r

iTi iTi Ti d Ti

d

iTi Ti xz

d

3

2N

x z    là hằng số chuẩn hóa

Ta có thể thay đổi ký hiệu để biểu thức (3.7) trở nên đơn giản như sau:

e p

ip 4 , 1 i 1 i 1 j

e e ij Ti

d Ti

là hàm sóng positron sẽ là tổ hợp tuyến tính của các dạng hàm cơ sở của electron ở các phân lớp mà ta đã xét:

(3.9)

Với: pTi là điện tích hiệu dụng của hạt nhân Ti đối với positron

Giữa electron và positron có sự tương quan trao đổi nên hàm sóng của positron phải nhân thêm hệ số Yukawa-Pade có dạng như (3.3)

Như vậy thì hàm sóng positron trong nguyên tử Ti là:

p e ip Ti p Ti

3.1.2 Nguyên tử Vanadium (V)

3.1.2.1 Khảo sát nguyên tử Vanadium

Nguyên tử Vanadium thuộc phân nhóm phụ nhóm năm trong bảng hệ thống tuần hoàn các nguyên tố hóa học

Cấu hình của nguyên tử Vanadium (Z = 23) : 1s22s22p63s23p63d34s2

Hình 3.2 Sự phân bố electron trong nguyên tử Vanadium

Nhận thấy rằng nguyên tử Vanadium có 5 electron hóa trị: 2 electron ở phân lớp 4s và 3 electron ở phân lớp 3d lần lượt ứng với số lượng tử từ 2,1,0

pTi pTi

2 / 1 7 pTi

2 pTi 2 pTi

2 / 1

2

7 pTi

pTi pTi 2

pTi 2 pTi 3

pTi 3 pTi

2 / 1 3 pTi

Ti

zx3

2

rz2)5/83/82(45

4

3r18r18r4333

3.1.2.2 Hàm sóng của electron và positron trong nguyên tử Vanadium

 Hàm sóng của electron

* Hàm sóng của electron trong phân lớp 4s có dạng:

ip 5

, 1 i 1 i 1 j

e e ij r

iV V 2

iV 2 V 3

iV 3 V V s 4 iV s 4

iV V

e3r18r18r4

 V là điện tích hiệu dụng của hạt nhân V đối với electron

Ta có thể thay đổi ký hiệu để biểu thức (3.11) trở nên đơn giản như sau:

p e ip 5 , 1 i 1 i 1 j

e e ij iV

s 4 iV s 4

, 1 i 1 i 1 j

e e ij 2

iV 2 iV r V d V

2 z 2

2

7 V V

d

)5/83/82(45

4N

e e ij V

d V

z 2 z

e e ij r

iV iV V d V

d

iV V xz

d

3

2N

Ta có thể thay đổi ký hiệu để biểu thức (3.15) trở nên đơn giản như sau:

e p

ip 5

, 1 i 1 i 1 j

e e ij V

d V

e e ij r

iV iV V d V

d

iV V yz

d

3

2N

e e ij V

d V

p e ip V p V

p (3.19) Trong đó:

(3.20)

Với: pV là điện tích hiệu dụng của hạt nhân V đối với positron

3.1.3 Nguyên tử Chromium (Cr)

3.1.3.1 Khảo sát nguyên tử Chromium

Nguyên tử Chromium thuộc phân nhóm phụ nhóm sáu trong bảng hệ thống tuần hoàn các nguyên tố hóa học

pV pV

2 / 1 7 pV pV

pV

2 / 1 7 pV

2 pV 2 pV

2 / 1

2

7 pV

pV pV 2

pV 2 pV 3

pV 3 pV

2 / 1 3 pV

V

zy3

2z

x3

2

rz2)5/83/82(45

4

3r18r18r4333

Cấu hình của nguyên tử Chromium (Z = 24) : 1s22s22p63s23p63d54s1

Hình 3.3 Sự phân bố electron trong nguyên tử Chromium

Nhận thấy rằng nguyên tử Chromium có 6 electron hóa trị: 1 electron ở phân lớp 4s, 5 electron ở phân lớp 3d lần lượt ứng với số lượng tử từ là 2,1,0,-1,-2

3.1.3.2 Hàm sóng của electron và positron trong nguyên tử Chromium

 Hàm sóng của electron

* Hàm sóng của electron trong phân lớp 4s có dạng:

ip 6

, 1 i 1 i 1 j

e e ij r

iCr Cr 2

iCr 2 Cr 3

iCr 3 Cr Cr s 4 Cr s 4

iCr Cr

e3r18r18r4

 Cr là điện tích hiệu dụng của hạt nhân Cr đối với electron

Ta có thể thay đổi ký hiệu để biểu thức (3.21) trở nên đơn giản như sau:

e p

ip 6 , 1 i 1 i 1 j

e e ij Cr

s 4 Cr s 4

e e ij 2

iCr 2 iCr r Cr d Cr

2 z 2

7 Cr Cr

d

)5/83/82(45

4N

2

z       là hằng số chuẩn hóa

Ta có thể thay đổi ký hiệu để biểu thức (3.23) trở nên đơn giản như sau:

p e ip 6 , 1 i 1 i 1 j

e e ij Cr

d Cr

z 2 z

* Hàm sóng của electron ứng với số lượng tử từ m = 1 trong phân lớp 3d có dạng:

p e ip 6 , 1 i 1 i 1 j

e e ij r

iCr iCr Cr d Cr

d

iCr Cr xz

d

3

2N

, 1 i 1 i 1 j

e e ij Cr

d Cr

, 1 i 1 i 1 j

e e ij r

iCr iCr Cr d Cr

d

iCr Cr yz

d

3

2N

, 1 i 1 i 1 j

e e ij Cr

d Cr

e e ij r

2 iCr 2

iCr Cr

d Cr

d

iCr Cr 2

2 2

e e ij Cr

d Cr

* Hàm sóng của electron ứng với số lượng tử từ m = -2 trong phân lớp 3d có dạng:

p e ip 6

, 1 i 1 i 1 j

e e ij r

iCr iCr Cr d Cr

d

iCr Cr xy

d

3

2N

, 1 i 1 i 1 j

e e ij Cr

d Cr

p e ip Cr p Cr

p (3.33) Trong đó:

(3.34)

Với:pCr là điện tích hiệu dụng của hạt nhân Cr đối với positron

3.1.4 Nguyên tử Silicon (Si)

3.1.4.1 Khảo sát nguyên tử Silicon

Nguyên tử Silicon thuộc phân nhóm chính nhóm bốn trong bảng hệ thống tuần hoàn các nguyên tố hóa học

2 / 1 7 pCr 2

pCr 2

pCr

2 / 1 7 pCr

pCr pCr

2 / 1 7 pCr pCr

pCr

2 / 1 7 pCr

2 pCr 2

pCr

2 / 1

2

7 pCr

pCr pCr 2

pCr 2 pCr 3

pCr 3 pCr

2 / 1 3 pCr

Cr

yx3

2y

x6

zy3

2z

x3

2

rz2)5/83/82(45

4

3r18r18r4333