SỰ hội tụ của TỔNG có TRỌNG số các PHẦN tử NGẪU NHIÊN TRONG KHÔNG GIAN NPC TOÀN cục (tt)

SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN TRONG KHÔNG GIAN NPC TOÀN CỤC Nguyễn Văn Quảng Đại học Vinh Hoàng Thị Duyên Trường Đại học Quảng Bình Tóm tắt.. Bài báo đưa r

SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN

TRONG KHÔNG GIAN NPC TOÀN CỤC

Nguyễn Văn Quảng

Đại học Vinh

Hoàng Thị Duyên

Trường Đại học Quảng Bình

Tóm tắt Bài báo đưa ra định nghĩa tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên,

sau đó thiết lập luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số các phần

tử ngẫu nhiên độc lập trên không gian NPC toàn cục Các kết quả này là mở rộng một kết quả đã biết của Karl - Theodor Sturm trong [5] về tổng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối

1 MỞ ĐẦU

Các định lý giới hạn nói chung và luật số lớn nói riêng đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống kê Luật số lớn có nhiều ứng dụng trong thống kê, kinh tế, y học và một số ngành khoa học thực nghiệm khác Chính vì thế, việc nghiên cứu về luật số lớn không chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn có ý nghĩa to lớn về mặt thực tiễn

Từ kết quả của Karl - Theodor Sturm về tổng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối [5], chúng tôi đưa ra định nghĩa tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian NPC toàn cục, sau đó thiết lập luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập trên không gian đó

Trước hết, chúng tôi xin giới thiệu khái niệm về không gian NPC toàn cục theo nghĩa của Alexandrov được sử dụng trong các bài báo [5] và [7]

Định nghĩa 1.1 Cho ( , )N d là không gian mêtric

i) Đường cong (liên tục)  :[0,1] N được gọi là trắc địa nếu d( ,   0 1 ) l d( ), 

trong đó

1

0

n

d

k



Ta còn ký hiệu trắc địa là t t, t [0,1].

ii) ( , )N d được gọi là không gian trắc địa nếu với bất kỳ  0, 1N, luôn tồn tại trắc địa nối hai điểm đó

Định nghĩa 1.2 Không gian mêtric đủ ( , )N d được gọi là không gian NPC

(nonpositive curvature) toàn cục nếu :

i) Nó là không gian trắc địa,

ii) Với bất kỳ trắc địa t t, t [0,1], với bất kỳ zN, ta có bất đẳng thức sau

( , t) (1 ) ( , ) ( , ) (1 ) ( , ).

d z   t d z  td z  t t d   (1)

Không gian NPC toàn cục cũng được gọi là không gian Hadamard

Điều kiện (1) có nhiều ứng dụng quan trọng Một trong những ứng dụng của (1) là với hai điểm bất kỳ  0, 1 trong không gian NPC toàn cục N, trắc địa

:[0,1] N

  nối hai điểm đó là duy nhất Dưới đây là một số ví dụ về không gian NPC toàn cục

Ví dụ 1) Không gian Hilbert là không gian NPC toàn cục Một không gian Banach là không gian NPC toàn cục khi và chỉ khi nó là không gian Hilbert

Ví dụ 2) Không gian 2

( , , )

L M N  gồm các ánh xạ đo được f M: N từ không gian độ đo (M, M ,) bất kỳ vào không gian NPC toàn cục ( , )N d là không gian NPC toàn cục với khoảng cách là

1 2 2

2 ( , ) : ( ( ), ( )) ( )

M

Ví dụ 3) Không gian mêtric 2

( ,d p) với

(( , ), ( , )) | | | | , 1 , 2

p

p

d x x y y  x y  x y   p p

không là không gian NPC toàn cục

Xét (, f, P) là không gian xác suất, g là σ-đại số con của f và ( , )N d là không gian NPC toàn cục

Định nghĩa 1.3

i) Cho Y Z, :  N là các ánh xạ g-đo được Ta gọi Y và Z là tương đương nếu Y = Z hầu chắc chắn

ii) Đặt

1

2 2

2

2



và

 , : ess sup  ( ), ( )







trong đó, ess sup ( )

x

f x

 là cận trên cốt yếu của f theo nghĩa nó là giá trị bé nhất trong số các giá trị chặn trên (hầu khắp nơi) của f

Khi đó, d2và d là các mêtric trên không gian các ánh xạ g-đo được

Kí hiệu 2

L (g) là tập hợp các lớp tương đương của các ánh xạ g-đo được :

Z  N sao cho d y Z2( , )  , với yN và L(g) là tập hợp các lớp tương đương của các ánh xạ g- đo được Z:  N sao cho d( , )y Z   với yN

Như vậy, mỗi phần tử của 2

L (g), L(g) là một lớp tương đương Từ đây trở về sau, nếu không sợ nhầm lẫn, chúng ta sẽ không phân biệt một ánh xạ đo được với lớp tương đương của nó

Mệnh đề 1.1 ([5, Proposition 1.6 ]) Không gian 2

L (g) với mêtric d2 là không gian NPC toàn cục

Định nghĩa 1.4 Cho ánh xạ đo được Y:  N Ta gọi

VgY=inf{ 2 

Ed Y Z Z  N là g - đo được}

là phương sai có điều kiện trung bình của Y đối với g và

 2  V(Y): = inf Ed z Y( , ) |zN

là phương sai của Y

Định nghĩa 1.5 Cho ( ),Y n Y n:  N là dãy các phần tử ngẫu nhiên Dãy ( )Y n

được gọi là hội tụ về Y

i) theo xác suất nếu với mọi   0 ta có lim  ( , )n  0

Kí hiệu Y nP Y

ii) hầu chắc chắn nếu lim ( , )n 0 1

n

Kí hiệu .

n

h c c

Y  Y

iii) theo trung bình cấp r, (r 0) nếu lim r( , ) 0

n

Kí hiệu n L r

Y Y

Định nghĩa 1.6 Cho ( ),Y n Y n:  N là dãy các phần tử ngẫu nhiên Dãy ( )Y n

được gọi bị chặn đều h.c.c nếu tồn tại hằng số C 0 và phần tử zN sao cho

( n z C h c c n

d Y   

Định lý 1.1 ([5, Theorem 2.1]) Cho 2

YL (f ) Khi đó i) Tồn tại duy nhất 2

ZL (g) là điểm mà tại đó hàm Z d2Z Y,  đạt giá trị nhỏ nhất Ta kí hiệu Z là E(Y|g) hay E gY

ii) Với mỗi 2

ZL (g), ta có

2 2

( , )

Ed Z Y Ed (EgY,Y)+ 2

Ed (EgY,Z) (2)

và

Eg 2

( , )

d Z Y Eg 2

d (Eg Y, Y) + 2

d (Eg Y, Z), h.c.c (3)

2 CÁC KẾT QUẢ CHÍNH

Trong [5], Karl - Theoder Sturm đã định nghĩa tổng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian NPC toàn cục ( , ),N d sau đó thiết lập luật yếu số lớn

và luật mạnh số lớn cho tổng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối Chúng tôi mở rộng các kết quả này cho tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập

Định nghĩa 2.1

i) Cho dãy các phần tử ngẫu nhiên ( ),Y n Y n:  N và ( n)là dãy số thực dương Ta định nghĩa dãy (S n) các phần tử ngẫu nhiên bằng quy nạp như sau:

( ) : ( )

n i

















trong đó vế phải kí hiệu cho một điểm trên đường trắc địa

1 1 1

n n i i





 





từ S n( )  đến

1 ( )

n

Y  mà có khoảng cách từ điểm này đến S n( )  bằng 1

1 1

n n

i i











 so với chiều dài của

đường trắc địa

ii) Kí hiệuS n bởi

1 1

1 n

i i n

i i i

Y



 





 và gọi là tổng có trọng số của các phần tử ngẫu

nhiên Y1, , Y n

Định lý 2.1 Cho 2

( )Y n L (F ) là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập, có cùng

kỳ vọng sao cho

1

1 sup ( )

n i

n i

V Y C

n  , C là hằng số và ( n) là dãy số thực dương Khi

đó

i) S n EY, n trong 2

L và theo xác suất

ii) Nếu thêm điều kiện ( )Y n bị chặn đều h.c.c và ( n) là dãy đơn điệu giảm thì

1

,

h c c

S     Chứng minh

i) Trước hết, ta chứng minh bằng quy nạp rằng

2

1

1

n

i

n 

Ta có

Ed EY S Ed EY Y V Y

Vậy, khẳng định đúng với n 1

Giả sử khẳng định đúng với n Ta chứng minh khẳng định đúng với n + 1

Thật vậy, theo định nghĩa (S n), S n1( )  là một điểm thuộc trắc địa nối 2 điểm S n( ) 

và Y n1( ),    nên theo (1) ta có

1

Suy ra

1

Ngoài ra từ (2) ta có

( n, n ) ( n , n ) ( n , n)

Ed S Y Ed EY Y Ed EY S

nên

2

1

1

( ,S n n Ed EY S n Ed EY Y n n Ed EY n Y n n Ed EY n S n

Vì EY n1 EY1 nên

2 2 2

2

2

2

2

1 ( ) 1

1 ( )

1

1

1 ( 1)

1 ( 1)

1 ( 1)

n

n

V Y

i

V Yi i

n

n

n n

n

V Y

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 















1

n



Như vậy, ta đã chứng minh

2

1

1

n

i

n

Ed



Cho n  ta được n L2 1

EY

S  Suy ra S nP EY1, n 

ii) Giả sử (Y n) bị chặn đều h.c.c Với mỗi   0, đặt

( ( , ) ).

n d S n EY

Vì

2

2

2

1

1

2

1 2

1

1

.

( )

1

n i i

n

n

n

V Y n

S EY

Ed

























Do đó, theo Bổ đề Borel-Cantelli, ta có P(limsupA n)  0 Suy ra

P( ( 2 , 1 )

n

d S EY   với hữu hạn n) = 1

Vậy

.

n

h c c

Vì (Y n) bị chặn đều h.c.c nên có zN và R sao cho d Y z( , )n R h c c, với mọi n 1 Ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng d S( n, )z R h c c, với mọi n Thật vậy, khẳng định đúng với n 1 vì

1 , ) ( , ) 1 ,

( z d Y z R h c c

Giả sử khẳng định đúng với n, tức là d S( n, )z R h c c, Do hàm d(., )z lồi trên

N nên

Do đó, khẳng định đúng với n 1

1

1

1

1 1

1 1

1 1

1

1 1

1

.

2 ,

n i

n

n

n n n

i i

n

n i i

n n i i

Y

d S Y

d S z d z Y

R h c c



























































Vì thế với mỗi k n,  sao cho 2 2

( 1)

n   k n ta có

2 2 2

2 2

1 1

2

2 2

2

2 1 2

4 ,

R

R

k n

R n

R h c c n

















Như vậy,

2

4

n

Cho k  , ta được 1 .

( k, ) h c c 0,

d S EY   điều này có nghĩa là

1

.

,

k

h c c

k

Định lý đã được chứng minh

Hệ quả 2.1 Cho 2

( )Y n L (f ) là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối và (n) là dãy số thực dương

i) Khi đó S nEY1, n trong 2

L và theo xác suất

ii) Nếu thêm điều kiện Y nL(f ) và ( n) là dãy đơn điệu giảm thì

1

,

h c c

S     Chứng minh

i) Vì 2

( )Y n L (f ) và cùng phân phối nên

V Y  V Y  

Do đó, 1

1

1



 Ngoài ra, vì ( )Y n có cùng phân phối nên có cùng kỳ vọng Từ đây, ta có khẳng định i)

ii) Vì Y1L(f ) nên có zNvà R sao cho d Y( 1, )z R h c c, Ngoài ra, do

( )Y n độc lập, cùng phân phối nên ta cũng có d Y( n, )z R h c c, với mọi n1, tức là

( )Y n bị chặn đều h.c.c Do đó, theo Định lý trên ta có điều phải chứng minh

Trong trường hợp n  1 với mọi n , ta nhận được Định lý 2.6 trong [5]

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1 ] Ballmann, W (1995), Lectures on Spaces of Nonpositive Curvature,

Birkh¨auser, Berlin

[2 ] Jost, J (1994), Nonpositive Curvature: geometric and analytic aspects,

Lectures Math ETH Z¨urich Birkh¨auser, Basel

[3 ] Jost, J (1997), Equilibrium maps between metric spaces, Calc Var Partial

Differential Equations 2 173 -204

[4 ] Korevaar, N and Schoen, R (1993), Sobolev spaces and harmonic maps for

metric space targets Comm Anal Geom 1 561 - 569

[5 ] Sturm, K.T (2002), Nonlinear martingale theory for processes with values in

metric spaces of nonpositive curvature, The Annals Probability, Vol 30, No 3,

1195 -1222

[6 ] Sturm, K.T (2002), Nonlinear Markov operators, discrete heat flow, and

harmonic maps between singular spaces Potential Anal 16 305-340

[7 ] Sturm, K.T (2001), Nonlinear Markov operators associated with symmetric

Markov kernels and energy minimizing maps between singular spaces Calc Var

Partial Differential Equations 12 317-357

CONVERGENCE OF WEIGHTED SUMS OF RANDOM ELEMENTS IN

GLOBAL NPC SPACES

Nguyen Van Quang

Vinh University

Hoang Thi Duyen

Quang Binh University

Abstract This paper presents the definition of weighted sums of random

elements, and then establish the weak and strong law of the large number for weighted sums of independent random elements in global NPC Our result is the extension based on a result of Karl - Theodor Sturm about the sums of independent, identically distributed random elements in [5]