[HTQ] Tuyen tap 20 de thi hsg thanh pho (co dap an)

Từ một điểm M di động trên đường thẳng d OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn B, C là các tiếp điểm.. b Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định.. c Cho biết O

ĐỀ SỐ 1 Bài 1 Cho a, b, c là các số thực khác nhau. Chứng minh rằng: 

12

abc n cba n

ĐỀ SỐ 2 Bài 1 Tìm phần dư của phép chia đa thức p(x) cho (x 1)(x 31)biết p(x) chia cho x 1  thì dư 1, p(x) chia cho  3

x   thì dư 1 2

x x 1 Bài 2 Cho phương trình 2x2 2mxm2 2 0 (1).

1 Tìm các giá trị của  m  để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  x  và 1 x  thoả mãn hệ thức 2

52

2) Cho các số thực m, n, p thoả mãn:  2 2

2

3m2

       1 

n np p    Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức S = m + n + p. 

  b) Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1. Tính:  

2

2 2

1

11

x

z y

1

11

y

x z

1

11

z

y x

z y x

b) Cho hai dãy số cùng chiều : a1 ≤ a2  ≤ a3 ; b1 ≤ b2 ≤ b3 

Chứng minh rằng : (a1+ a2 +a3)(b1 + b2 + b3 ) ≤ 3(a1b1 +a2b2+a3b3) 

a 

0

c b a c

b a

c b a

2005 2005 2005

-Hết -

ĐỀ SỐ 5 Bài 1 Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thoả mãn các bất đẳng thức: 

Bài 4 

1) Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng 

d OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K. 

a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định. 

b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định. 

c) Cho biết OA = 2R, hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 

2) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường thẳng đi qua các trung điểm của AB và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O). Chứng minh MK = MA ./. 

Bài 5 A, B, C là một nhóm ba người thân thuộc. Cha của A thuộc nhóm đó, cũng vậy con gái của B và 

người song sinh của C cũng ở trong nhóm đó. Biết rằng C và người song sinh của C là hai người khác giới tính và C không phải là con của B. Hỏi trong ba người A, B, C ai là người khác giới tính với hai 

người kia ?

ĐỀ SỐ 6

x x x

x x x

x x

x

x x P

1

2

. Tìm tất cả các giá trị của  x  sao 

cho giá trị của P là một số nguyên

512

168

2 2

2 2

x x y x x

y x

xy y

b) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn:   2   2  3 3

112212

2y x   x y   x y  

Bài 4 Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài nhai tại điểm T. Hai đường tròn này nằm trong đường tròn (O3) và tiếp xúc với (O3) tương ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của (O1) và (O2) cắt (O3) tại P. PM cắt đường tròn (O1) tại điểm thứ hai A và MN cắt (O1) tại điểm thứ hai B. PN cắt đường tròn (O2) tại điểm D và MN cắt (O2) tại điểm thứ hai C

32

b) Khi điểm M chuyển động trên d, chứng minh rằng điểm M’ thuộc một đường tròn cố định. c) Tìm vị trí điểm M trên d để tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất. 

d) Tìm vị trí điểm M trên d nhưng M không nằm trong đường tròn (O;R) để tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất. 

x y x

đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K. 

    a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn. 

    b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi. 

    c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME. 

1.   Cho   

3 2

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x y  thỏa mãn ;    xy3xy62.

 2) Cho a b c d,   ,   ,    là các số thực thỏa mãn điều kiện:  

Cho  ba  đường  tròn    O1 ,   O   và 2  O   (kí  hiệu  X   chỉ  đường  tròn  có  tâm  là  điểm  X).  Giả  sử 

   O1 ,   O   tiếp  xúc  ngoài  với  nhau  tại  điểm  I  và 2    O1 ,   O lần  lượt  tiếp  xúc  trong  với 2  O   tại 

1, 2

M M  Tiếp tuyến của đường tròn  O  tại điểm I cắt đường tròn 1  O  lần lượt tại các điểm  A A,   '. Đường thẳng AM  cắt lại đường tròn 1  O  tại điểm 1 N , đường thẳng 1 AM  cắt lại đường tròn 2 O2 tại điểm N  2

1.   Chứng minh rằng tứ giác M N N M  nội tiếp và đường thẳng  OA  vuông góc với đường thẳng 1 1 2 2

2. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho  1pp2p3p4 là số hữu tỷ. 

Bài 4 

     1. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O). Lấy điểm P trên cung AB không chứa C của đường tròn (O) (P khác A và B). Đường thẳng qua P vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, 

AC theo thứ tự tại Q, R; đường thẳng qua P vuông góc với OB cắt các đường thẳng AB, BC theo thứ tự tại S, T. 

a) Giả sử tam giác ABC cân tại C. Tìm vị trí của P trên cung AB để tổng PA + PB + PC đạt giá trị lớn nhất. 

  b) Giả sử a a1, 2, ,a  là các số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2, đôi một khác nhau và thỏa 11

mãn a1a2 a11 407. Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho tổng các số dư của các phép chia n cho 22 số a a1, 2, ,a11, 4 , 4 , , 4a1 a2 a  bằng 2012? 11

b) Chứng minh rằng: AE AC AF AB .  

c) ChoACb AB;  c. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AEF theo b c,     

Bài 9: Cho tam giácABC cân tại A. Một điểm P di động trên BC. Qua P vẽ PQ//AC 

Bài 1. (3,0 điểm) 

Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi bằng hai lần số đo diện tích. Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó. 

có diện tích lớn nhất. 

Bài 5. (3,0 điểm) 

ĐỀ CHÍNH 

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O R  Gọi I là điểm bất kỳ nằm trong tam giác ;  ABC (I không nằm trên cạnh của tam giác). Các tia AI BI CI,   ,    lần lượt cắt BC CA AB,   ,    tại M N P,   ,    

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013

MÔN THI: TOÁN HỌC

(Thời gian làm bài: 150 phút) Ngày thi 10 tháng 01 năm 2013 

b. Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì tam giác BPQcó diện tích nhỏ nhất. 

c. Chứng minh các hệ thức sau: CE DF EF CD3 và 

3 3

……… Hết………  

ĐỀ SỐ 15

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ THANH HÓA

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

DỰ THI CẤP TỈNH CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP 9

a) Chứng minh BCM đồng dạng với BEO  

b) Chứng minh CM vuông góc với OE. 

     c) Tìm giá trị nhỏ nhất của dây AB và diện tích tứ giác MAOB. 

Bài 5 (2,0 điểm)  

Câu 1 (3 điểm). 

  a. Chia 18 vật có khối lượng 20162; 20152; 20142;  ; 19992 gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau. (không được chia nhỏ các vật đó). 

   a. Chứng minh  HPOHQO  

ĐỀ SỐ 17 Câu 1 (2,5 điểm)

2) Cho hai số tự nhiên a và b. Chứng minh rằng nếu tích a.b là số chẵn thì luôn tìm được số nguyên c sao cho  2 2 2

a b c là số chình phương. 

Bài II: (2 điểm) 

1) Cho phương trình x − 3mx − m = 0 có hai nghiệm x ; x  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

Bài III (2 điểm)  1) Giải hệ phương trình: 

2

21

A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm)

Câu 1 Biểu thức  

2

5 36

  

Câu 6 Cho Parabol (P): yx2 và đường thẳng (d) có phương trình  y2m2x5m16. Tìm 

giá trị của m để (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung. 

A.  16

.5

m   

Câu 7. Gọi x y0; 0 là nghiệm của  phương trình  2 2  

x  y  x  y x sao cho y0 đạt giá trị lớn nhất . Tính tổng x0y0.  

A.  4.  B   5

.2



.2

3

Câu 14. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB =2R . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB  Qua 

M kẻ dây cung CD, qua N kẻ dây cung EF sao cho CD//EF (C, F cùng thuộc nửa đường tròn đường kính  AB) và  0

R

 .       B. 

2

134

R

.          C. 

2

154

Câu 3 (4,0 điểm) Cho đường tròn ( ; )O R  và điểm A cố định trên ( ; )O R  Gọi M, N  là các giao điểm 

của hai đường tròn ( ; )O R  và ( ; )A R ; H là điểm thay đổi trên cung nhỏ  MN của đường tròn ( ; )A R . Đường  thẳng  qua  H  và  vuông  góc  với  AH  cắt  ( ; )O R   tại  B, C.  Kẻ 

HI  AB IAB HK  AC KAC  

a) Chứng minh rằng IK luôn vuông góc với một đường thẳng cố định và  AB AC 2R2 

b) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích AIK  khi H thay đổi. 

Câu 4 (1,5 điểm) Cho các số dương  a b c, ,  thỏa mãn a  b c 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

P a bb cc a  a b c  abc