Do tam giác SADSAD và SABSABđề u nên: SAD^=BI,DI^... SB hay St⊥SB.St⊥SB.. Cho hình chóp S.ABCS.ABC có áy đ ABCABC là tam giác vuông cân t i ạ BB, SA=aSA=a và SA⊥ABCSA⊥ABC, AB=BC=a.AB=BC=
Trang 1Ph ươ n g pháp tính góc gi a hai m t ữ ặ
ph ng c t nhau ẳ ắ
Bài toán: Cho hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau, tính góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β).
Ta áp dụng một trong các phương pháp sau đây:
D ng hai ự đườ ng th ng ẳ aa, bb l n l ầ ượ t vuông góc v i hai m t ph ng ớ ặ ẳ (α)(α) và (β) (β) Khi ó, góc gi a hai m t ph ng đ ữ ặ ẳ (α)(α) và (β)(β) là (ˆ(α),(β))=(ˆa,b).((α), (β)^)=(a,b^). Tính góc (ˆa,b).(a,b^)
+ Xác đị nh giao tuy n ế cc c a hai m t ph ng ủ ặ ẳ (α)(α) và (β).(β)
+ D ng hai ự đườ ng th ng ẳ aa, bb l n l ầ ượ t n m trong hai m t ph ng và cùng vuông góc v i ằ ặ ẳ ớ giao tuy n ế cc t i m t i m trên ạ ộ đ ể c.c. Khi ó: đ (ˆ(α),(β))=(ˆa,b).((α),(β)^)=(a,b^)
Hiểu cách khác: ta xác đị nh m t ph ng ph ặ ẳ ụ (γ)(γ) vuông góc v i giao ớ tuy n ế cc mà (α)∩(γ)=a(α)∩(γ)=a, (β)∩(γ)=b.(β)∩(γ)=b. Suy ra (ˆ(α), (β))=(ˆa,b).((α),(β)^)=(a,b^)
Phương pháp 3 (trườ ng h p ợ đặ c bi t) ệ
Trang 2N u có m t ế ộ đ ạ o n th ng n i hai ẳ ố đ ể i mAA, BB(A∈(α),B∈(β)) (A∈(α),B∈(β)) mà AB⊥(β)AB⊥(β) thì qua AA ho c ặ BB ta d ng ự đườ ng th ng ẳ vuông góc v i giao tuy n ớ ế cc c a hai m t ph ng t i ủ ặ ẳ ạ H.H. Khi ó đ (ˆ(α),(β))=ˆAHB ((α),(β)^)=AHB^
Ví dụ 1 Cho hình chóp t ứ giác đề uS.ABCDS.ABCD c nh ạ áy
cosin góc gi a hai m t ph ng ữ ặ ẳ (SAB)(SAB) và (SAD).(SAD)
G i ọ II là trung đ ể i mSA.SA. Do tam giác SADSAD và SABSABđề u nên:
(SAD)^)=(BI,DI^)
Áp d ng ụ đị nh lý cosin cho tam giácBIDBID ta có:
cosˆBID=IB 2 +ID 2 –BD 2 2IB.IDcos BID^=IB2+ID2–BD22IB.ID=( √32 a) 2 +( √32 a) 2 – (a√2) 2 2 √32 a √32 a=(32a)2+(32a)2–(a2)22.32a.32a=–13.=–13
V y ậ cos(ˆ(SAB),(SAD))=13.cos ((SAB),(SAD)^)=13
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có áy đ ABCDABCD là n a l c giác ử ụ đề u
n i ti p ộ ế đườ ng tròn đườ ng kính AB=2aAB=2a, SASA vuông góc v i ớ (ABCD) (ABCD) và SA=a√3.SA=a3. Tính góc gi a hai m t ph ng ữ ặ ẳ (SBC)(SBC) và (SCD) (SCD)
Trang 3Vì ABCDABCD là n a l c giác ử ụ đề u nênAD=DC=CB=a.AD=DC=CB=a.
D ng ự đườ ng th ng ẳ đ i quaAA và vuông góc v i ớ (SCD).(SCD)
D ng ự đườ ng th ng ẳ đ i qua AA và vuông góc v i ớ (SBC).(SBC)
Trong m t ặ ph ng ẳ (SAC)(SAC) d ng ự AQ⊥SC.AQ⊥SC
L i ạ
Suy ra góc gi a hai m t ph ng ữ ặ ẳ (SBC)(SBC) và (SCD)(SCD) là góc gi a hai ữ đườ ng
th ng l n l ẳ ầ ượ t vuông góc v i hai m t ph ng ớ ặ ẳ ấ y làAPAP và AQ.AQ
a 2 4=a√32.=a2–a24=a32
⇒1AP 2=1AS 2+1AH 2⇒1AP2=1AS2+1AH2⇒AP=a√3√5.⇒AP=a35
Tam giác SACSAC vuông cân t i ạ AA⇒AQ=SC2=a√62.⇒AQ=SC2=a62
cos√105.=arccos 105
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCS.ABC có áy đ ABCABC là tam giác vuông cân
v i ớ BA=BC=aBA=BC=a, SA⊥(ABC)SA⊥(ABC), SA=a.SA=a. G i ọ E,FE,F lầ
n l ượ t là trung i m c a các c nh đ ể ủ ạ AB,AC.AB,AC. Tính cosin góc gi a hai m t ữ ặ
ph ng ẳ (SEF)(SEF) và (SBC).(SBC)
Trang 4Nhận xét: Giao tuy n c a hai m t ph ng ế ủ ặ ẳ (SEF)(SEF) và (SBC)(SBC) là đườ ng
th ng ẳ StSt i qua đ SS và song song v i ớ EFEF và BCBC nên ta xác nh hai đị đườ ng th ng ẳ qua SS và l n l ầ ượ t n m trong hai m t ph ng ằ ặ ẳ (SEF)(SEF) và (SBC)(SBC) và cùng vuông góc v i ớ StSt (ta i ch ng minh hai đ ứ đườ ng th ng ó là ẳ đ SESE và SBSB).
tuy n c a ế ủ (SEF)(SEF) và (SBC)(SBC) là đườ ng th ng qua ẳ SS, song song
v i ớ BCBC, là St.St
SB hay St⊥SB.St⊥SB
T ươ ng
SE
V y ậ SBSB và SESE cùng i qua đ SS và cùng vuông góc v i ớ StSt nên góc gi a hai m t ữ ặ
ph ng ẳ (SEF)(SEF) và (SBC)(SBC) b ng góc gi a hai ằ ữ đườ ng th ng ẳ SBSB và SE.SE
2+AB2=a2; BE=a2.BE=a2
Theo đị nh lí cosin ta có: cosˆBSE=SE 2 +SB 2 –BE 2 2.SE.SBcos BSE^=SE2+SB2–
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCS.ABC có áy đ ABCABC là tam giác vuông cân
t i ạ BB, SA=aSA=a và SA⊥(ABC)SA⊥(ABC), AB=BC=a.AB=BC=a. Tính góc gi a hai m t ph ng ữ ặ ẳ (SAC)(SAC) và (SBC).(SBC)
Trang 5Nhận xét: Ta áp d ng ph ụ ươ ng pháp 3 (tr ườ ng h p ợ đặ c bi t) ệ
G i ọ FF là trung đ ể i mACAC⇒BF⊥(SAC).⇒BF⊥(SAC)
C.SASC=a√22 aa√3=a√6.=a22.aa3=a6
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có áy đ ABCDABCD là n a l c giác ử ụ đề u
n i ti p ộ ế đườ ng tròn đườ ng kính AB=2aAB=2a, SASA vuông góc v i ớ (ABCD) (ABCD) và SA=a√3.SA=a3. Tính tan c a góc gi a hai ủ ữ m t ph ng ặ ẳ (SAD) (SAD) và (SBC).(SBC)
Trang 6Vì v y theo tr ậ ườ ng h p ợ đặ c bi t ta ch c n d ng ệ ỉ ầ ự DE⊥SIDE⊥SI v i ớ E∈SI.E∈SI
Hai tam giác vuông SAISAI và DEIDEIđồ ng d ng ạ nên: DESA=DISI⇒DE=a√3√7.DESA=DISI⇒DE=a37
Ví dụ 6. Cho tam giác ABCABC vuông cân t i ạ AA có AB=aAB=a, trên đườ ng
th ng ẳ dd vuông góc v i ớ (ABC)(ABC) t i i m ạ đ ể AA ta l y m t i m ấ ộ đ ể D.D. Tính góc gi a ữ hai m t ph ng ặ ẳ (ABC)(ABC) và (DBC)(DBC), trong tr ườ ng h p ợ (DBC)(DBC) là tam giác đề u.
G i ọ φφ là góc gi a ữ hai m t ặ ph ng ẳ (ABC)(ABC) và (DBC).(DBC)
Theo công th c di n tích hình chi u c a ứ ệ ế ủ đ a giác, ta có: SΔABC=SΔDBC.cosφ.SΔABC=SΔDBC.cosφ
Mà: SΔDBC=12DB.DC.sin600SΔDBC=12DB.DC.sin 600=12a√2.a√2.√32=a 2
M t ặ khác:SΔABC=12AB.AC=12a2.SΔABC=12AB.AC=12a2
os33
Ví dụ 7. Cho l ng tr ă ụ đứ ngOAB.O′A′B′OAB.O′A′B′ có các áy là các tam giác vuông đ cân OA=OB=a,AA′=a√2.OA=OB=a,AA′=a2. G i ọ M,PM,P l n l ầ ượ t là trung
i m các c nh
đ ể ạ OA,AA′.OA,AA′. Tính di n tích thi t di n khi c t l ng tr b i ệ ế ệ ắ ă ụ ở (B′MP).(B
′MP)
Trang 7G i ọ RR là giao i m c a đ ể ủ MPMP và OO′OO′, QQ là giao i m c a đ ể ủ B′RB′R v i ớ OB.OB.
Thi t di n là t ế ệ ứ giác MPB′QMPB′Q, ta có: OQO ′ B ′=RORO ′=13OQO′B′=RORO
T giác ứ AMQBAMQB là hình chi u vuông góc c a t giác ế ủ ứ PMQB′PMQB′ trên m t ặ
ph ng ẳ (OAB)(OAB) nên: SPMQB ′=S AMQB cosφ.SPMQB′=SAMQBcos φ
V i ớ φφ là góc t o b i hai m t ph ng ạ ở ặ ẳ (OAB)(OAB) và (MPB′Q).(MPB′Q)
112a2=512a2.=12a2–112a2=512a2
{MQ⊥OHMQ⊥OR⇒MQ⊥(OHR)
V y: ậ φ=ˆOHRφ=OHR^ (ˆOHROHR^ nh n) ọ
Ta có: cosφ=cosˆOHR=OHRHcos φ=cosOHR^=OHRH=OH√OH 2 +OR 2=OHO H2+OR2=a√13 √ a213 + a22=√2√15.=a13a213+a22=215
V y: ậ SPMQB ′=5a 2 √1512√2.SPMQB′=5a215122
Ví dụ 8. Cho l ng tr ă ụ đứ ngABC.A′B′C′ABC.A′B′C′ có áy đ ABCABC là m t tam giác ộ cân v i ớ AB=AC=a,ˆBAC=1200,AB=AC=a,BAC^=1200, c nh bên ạ BB
′=a.BB′=a. G i ọ II là trung i m đ ể CC′.CC′. Ch ng minh r ng ứ ằ tam giác AB′IAB′I vuông
ở A Tính cosin c a góc gi a hai m t ph ng ủ ữ ặ ẳ (ABC)(ABC) và (AB′I).(AB′I)
Áp d ng ụ đị nh lý cosin choΔABCΔABC ta có: BC2=a2+a2–
Áp d ng ụ đị nh lý Py-ta-go cho các tam giác:
Trang 8ΔB′BAΔB′BA: B′A2=2a2.B′A2=2a2.
ΔICAΔICA: AI2=a2+(12)2=5a 2 4.AI2=a2+(12)2=5a24
ΔB′C′IΔB′C′I: B′I2=3a2+a 2 4=13a 2 4.B′I2=3a2+a24=13a24
Ta có: B′A2+AI2=2a2+5a 2 4B′A2+AI2=2a2+5a24=13a 2 4=B′I2⇒ΔAB
′=12.a√52.a√2=a 2 √104.=12.a52.a2=a2104
SΔABC=12a2sin1200=a 2 √34.SΔABC=12a2sin 1200=a234
G i ọ φφ là góc gi a hai m t ph ng ữ ặ ẳ (ABC)(ABC) và (AB′I).(AB′I). Khi đ ó:
cosφ=S ΔABC S ΔABI′cosφ=SΔABCSΔABI′=a2√34a2√104=√3√10=√3010