Đề thi Olympic 274 Toán 11 năm 20172018 sở GD và ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu

1 Chứng minh rằng B là trực tâm của tam giác KMN... Ta thấy hàm số này thỏa mãn 2.. Hàm số này thỏa mãn 2.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI OLYMPIC 27/4 - NĂM HỌC 2017- 2018

MÔN THI: TOÁN LỚP 11

Ngày thi: 06/03/2018

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Bài 1 (5,0 điểm):

1) Giải phương trình 2 cos 4xsin4x 1 2cos 2 sinx x 3 cos3 x

8

Chứng minh ABC là một tam giác đều

Bài 2 (2,0 điểm): Cho khai triển sau:

2018 2

b

Hãy tính hệ số a0 và tổng S b   1 b2 b2018

Bài 3 (5,0 điểm): Cho đoạn AB vuông góc mặt phẳng (P) tại điểm B Trong (P) lấy điểm H thỏa

( 0)

,

M N di động trên d và thỏa mãn  MAN 90 

Đường thẳng qua A và vuông góc mặt phẳng ( AMN) 

cắt (P) tại điểm K

1) Chứng minh rằng B là trực tâm của tam giác KMN

2) Gọi  ,  lần lượt là số đo các góc tạo bởi BM  với mp (AKN), BN với mp ( AKM) Chứng

2

  và tìm giá trị nhỏ nhất của  

Bài 4 (4,0 điểm): Cho dãy số ( )a n xác định bởi công thức:

(3 2) 2( 1) ; 1;2;3;



 1) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy ( )a n

( 1)

2

n

n n

a   a    a       n

2

n n

a

Bài 5 (4,0 điểm):

1) Tìm tất cả các giá trị của a để giới hạn lim  2 2 2 2 

2) Tìm tất cả các hàm số :f  thỏa mãn

            2

- HẾT -

Họ và tên thí sinh Số báo danh Chữ ký của giám thị 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU

KỲ THI OLYMPIC 27/4 - NĂM HỌC 2017- 2018

MÔN THI: TOÁN LỚP 11

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Hướng dẫn chấm có 04 trang)

1.1

2 cos sin 1 2cos 2 sin 3 cos3

2 cos sin cos sin sin 2sin cos 2 3 cos3

0,25

2cos 2x sinx sin 3x sinx 3 cos 3x

cos3 sin 3 cos 2

cos cos3 sin sin 3 cos 2 cos 3 cos 2

0,25x2

2

k

        

        

1.2

2

A B C   A B  A B  C 0,25

2

1

cos cos cos

2 C A B A B 

cos cos 2 cos 2 cos cos cos 1

0,25x2

2 cos cos cos cos cos cos 1

gt  A B C  A B  C   0,25

16cos3 A 12cos2 A 1 16cos3B 12cos2B 1

16cos3C 12cos2C 1 0

0,25

2cosA 1 4cosA 1 2cosB 1 4cosB 1

2cosC 1 4cosC 1 0

0,25

1 cos cos cos

2

    (Do 4cosA 1 0, 4cosB  1 0, 4cosC   ) 1 0 0,25x2

0

60

2

(2,0đ)

Đặt

2018

( )

1

f x

x

   

   

  ta có

2018

Vậy 2018

0,5

2018 2018

2 2018 2018

0

2 2018 2018

2018

2018 2

1

1

( 1) ( 1)

k k

k

x C

x















0,5

1 3 2017 0 2 4 2018 2018 2018 2018 2018

b b   b   S  b b  b C C  C C 0,25

1009 1010 2017 2018 1009

0 2018 2018 2018 2018 2018 ,( k n k)

Từ (1) và (2) suy ra: 2017 2017

0

2017! 2017!

3.1

(2,5đ)

- Xác định vị trí M, N trên d: Tam giác

AMN vuông tại A và có đường cao AH

(MN  AB BH, ) nên M, N khác phía

đối với H

- Xác định vị trí K: trong (ABH) dựng K

thuộc BH và KAH  90(BH = BA = a

nên B là trung điểm KH),

- Chứng minh: AK  (AMN)

0,5

0,5 0,5

3.2

(2,5đ)

( ) ( , ( ))

2

1 cos cos

2

   

         

    , (do tam giác ABH vuông cân tại B)

(Cách khác: chứng minh, áp dụng hệ thức cos2 cos2 cos2 1,   KAB  450)

0,5

cos cos cos( ).cos( )

            

, 0; 0 cos( ) 1

2



 

        

1 cos( )

2

     (1) 0,5

, 0; 0

2



 

         

  và hàm số y  cosx nghịch biến trên (0; ) nên từ (1) ta

có 2

3



    Kết luận: min( ) 2

3



3 HM HN a



      

0,5

4.1

(2,0đ)

1

n



 0,5

Đặt n 1 n

n

x

n

 

1 2 1 1; n 1 2 ;n

x  a a  x   x    Vậy ( )n x là cấp số nhân n

với công bội q = 2, nên 1 1 *

1 n 2 ;n

n

x  x q       n

0,5

1 2 ;n 1 1.2 2.2 3.2 ( 1)2n

2 [2.2 3.2 ( 1)2n ];

n

Xét 2 4 [2.22 3.23 ( 2)2n 2 ( 1)2 ]n 1

n

2 ( 1)2n (2 2 2 2n ) ( 1)2n (2n 2) (

4.2

(1,0đ)

2n (1 1)n n 1 ( 1) ; 2

           

( 2)2n 2 ( 2) 2 ( 1) 1; 2 1 1; 2

                  0,5

*

( 1)

1 1 1 0 1 2 ( 1) ;

2

n

n n

                0,5

A

H M

N

B K

P

d E

4.3

(1,0đ) Ta có

1

*

k k

k



       

          

      

1

n

n

a

       , với

n n

     

      ;

           

            ; Xét

1 2 ( 1)

n



             



                 

Vậy 1 2

n n

n

a

        

0,5

1

lim 2;lim

;

n n

                   

n

          



n n

a

     

0,5

5.1

          

khi 1 khi 1

a a

 



  

0,25 0,25 Nếu a 1 thì



0,25 0,25

lim



0,25

lim

x



       

1 4

Vậy a 1 là giá trị cần tìm 0,25

5.2

(2,0đ) Giả sử f x  là một hàm số thỏa mãn giả thiết bài toán

            2 1 

              

Đặt g x   f x 1 ta có phương trình

        2 1, , 2 

0,25

Kí hiệu P a b , chỉ việc thay x bởi a và thay y bởi b vào phương trình (2)

 ,0      0  0 1  0 1   1 0 3 

Nếu g 0  1 0 thì từ (3) suy ra g x     1, x Thay vào (2) ta thấy hàm số này

không thỏa mãn, do đó g 0  1

0,25

1, 1  0    1 1  1 1  1 1  1 0

P   g  g g   g    g  g  

Nếu g 1 1 thì P x ;1  g x 1  2x 1 2x1 1 g x   2x 1, x Ta

thấy hàm số này thỏa mãn (2)

0,25

Nếu g 1 1 thì g  1 0 Đặt a  g 1

 ,1  1     2 1  1 1    2 1,

0,25

 , 1  1   2 1    1 2 1

P   x g  x  g x  x  g x  g  x  x 

Thay vào (4) ta được

 1 1   1 2 1 2 1 1   1 2 1 ,

  1    2 1 , 5 

  1     2 1 ,

          Thay vào (5) ta được

         

0,25

Rõ ràng từ (6) suy ra a  2

Nếu a  0 thì từ (6) suy ra   2 1,

2

a

a

    

Thay vào (2) ta được  

2 2

2

a

 

    

 (Vì a  g 1 1 )

       Hàm số này thỏa mãn (2)

0,25

Nếu a  0 thì từ (5) suy ra g x   g x ,  x

 ,   0      2 2 2 1

1 g x g x 2x 1 7

 ,  2 2   2 2 2 1

Từ (7) và (8)  g 2x  4x2  1 g x   x2    1, x Hàm số này thỏa mãn  2

0,25

Do f x   g x 1 nên các hàm số cần tìm là

  2 ,   ,   2,

- HẾT -