Giải pháp nâng cao chất lượng thi vào lớp 10 THPT môn Toán

Do có vị trí quan trọng như vậy nên môn Toán luôn có mặt trong tất cả các kì thi đối với học sinh ở bậc học phổ thông. Đối với học sinh lớp 9, ngoài các kì thi học sinh giỏi thì còn có một kì thi rất quan trọng đối với các em đó là kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT. Kết quả của kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT là một tiêu chí để đánh giá chất lượng dạy và học toán của các trường THCS. Vì vậy việc nâng cao chất lượng đại trà môn Toán cho học sinh lớp 9 là một nhiệm vụ đối với các nhà trường cũng như giáo viên giảng dạy môn Toán. Qua thực tế nhiều năm giảng dạy môn Toán lớp 9, tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm và viết thành chuyên đề: “Một số giải pháp nâng cao chất lượng thi vào lớp 10 THPT môn toán

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO VĨNH TƯỜNG

13 7.4 Việc tổ chức kiểm tra đánh giá học sinh 40

18 9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng chuyên đề 43

19 10 Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng chuyên đề 4420

11.Danh sách những tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng

thử hoặc áp dụng chuyên đề lần đầu

45

BÁO CÁO KẾT QUẢ CHUYÊN ĐỀ

1 Lời giới thiệu:

Trong chương trình các môn học ở bậc THCS, môn Toán là môn họcchiếm vị trí đặc biệt quan trọng Các kiến thức và kĩ năng của môn Toán là cơ sởgiúp cho học sinh học tốt các môn học khác Trong đời sống hàng ngày, các kĩnăng như tính toán, vẽ hình, đo đạc, ước lượng; kĩ năng sử dụng các dụng cụtoán học, máy tính điện tử là rất cần thiết đối với người lao động trong thời kìcông nghiệp hóa, hiện đại hóa

Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh nắm bắt những tri thức và rènluyện kĩ năng, môn Toán còn có tác dụng rất lớn trong việc phát triển năng lựctrí tuệ, phát triển khả năng tư duy sáng tạo ở học sinh như phân tích, tổng hợp,trừu tượng hóa, khái quát hóa,

Ngoài ra, môn Toán còn góp phần phát triển nhân cách cho học sinh, nóhình thành ở học sinh các phẩm chất cần thiết và quan trọng của người lao độngnhư: đức tính cẩn thận, kiên trì, ý chí vượt khó, tác phong làm việc khoa học, …

Do có vị trí quan trọng như vậy nên môn Toán luôn có mặt trong tất cảcác kì thi đối với học sinh ở bậc học phổ thông Đối với học sinh lớp 9, ngoàicác kì thi học sinh giỏi thì còn có một kì thi rất quan trọng đối với các em đó là

kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Kết quả của kì thi tuyển sinh vào lớp 10THPT là một tiêu chí để đánh giá chất lượng dạy và học toán của các trườngTHCS Vì vậy việc nâng cao chất lượng đại trà môn Toán cho học sinh lớp 9 làmột nhiệm vụ đối với các nhà trường cũng như giáo viên giảng dạy môn Toán.Qua thực tế nhiều năm giảng dạy môn Toán lớp 9, tôi đã tích lũy được một số

kinh nghiệm và viết thành chuyên đề: “Một số giải pháp nâng cao chất lượng thi vào lớp 10 THPT môn toán ''

2 Tên chuyên đề:

“Giải pháp nâng cao chất lượng thi vào lớp 10 THPT môn toán''

3 Tác giả chuyên đề :

- Họ và tên: Trần Thị Thanh Tâm

- Địa chỉ tác giả chuyên đề: Trường THCS Lũng Hòa- Huyện Vĩnh Tường

- Tỉnh Vĩnh Phúc.

- Số điện thoại: 01663537268

Email: tranthanhtam.c2lunghoa@vinhphuc.edu.vn

4 Chủ đầu tư tạo ra chuyên đề

- Họ và tên: Trần Thị Thanh Tâm

- Địa chỉ tác giả chuyên đề: Trường THCS Lũng Hòa- Huyện Vĩnh Tường

- Tỉnh Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 01663537268

Email: tranthanhtam.c2lunghoa@vinhphuc.edu.vn

5 Lĩnh vực áp dụng chuyên đề:

Trong dạy học môn toán khối 9 ở trường THCS

6 Ngày chuyên đề được áp dụng lần đầu : Từ năm học 2015 – 2016.

7 Mô tả bản chất của chuyên đề:

7.1 Cơ sở lí luận:

Trong những năm gần đây, chất lượng giáo dục của trường THCS LũngHòa có đi lên đáng kể Song vấn đề cần bàn đến ở đây là chất lượng đại trà môntoán thi vào lớp 10 các năm trước kết quả còn rất khiêm tốn Điều này khiến chobản thân tôi và một số giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán lớp 9 không khỏibăn khoăn, suy nghĩ với mong muốn tìm ra giải pháp tối ưu giúp học sinh khối 9thi vào lớp 10 THPT môn toán đạt được kết quả cao

7.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu:

Là một giáo viên dạy toán có thâm niên trong nghề nhưng nhiều nămtrước chất lượng môn toán thi vào lớp 10 chưa cao Trước kết quả như vậy bảnthân tôi cùng các đồng nghiệp trong trường đã trăn trở tìm tòi và đưa ra nhiềuphương pháp, xây dựng giáo án với hệ thống bài tập đa dạng phong phú phù hợpvới từng đối tượng học sinh để hướng dẫn các em tiếp cận những dạng bài tậpthường gặp ở những đề thi các năm

7.3 Giải pháp thực hiện:

Năm học vừa qua, HS lớp 9 đã thi vào THPT với 3 môn Toán, Văn vàTiếng Anh Đây là 3 môn cơ bản trong chương trình THCS, với thực tế học sinh

học môn toán là rất khó vì môn học đòi hỏi tư duy cao, tính logic của môn họccũng rất cao vì thế không chỉ giáo viên toán đứng lớp lo mà học sinh, phụ huynh

và các cấp lãnh đạo cũng rất quan tâm đến chất lượng bộ môn này

Tuy vậy, những năm vừa qua, trường THCS Lũng Hòa đạt được kết quả môntoán thi vào lớp 10 THPT cao so với các năm học trước

Đạt được kết quả như vậy là sự kết hợp của nhiều yếu tố: GV, HS, PH,BGH nhưng giáo viên trực tiếp giảng dạy vẫn là người đóng vai trò then chốt

Để giữ vững, phát huy hơn nữa kết quả năm học vừa rồi, tôi mạnh dạn đưa ramột số biện pháp như sau:

7.3.1 Đối với GV:

Nghiên cứu kĩ đối tượng học sinh thông qua bài kiểm tra đầu kỳ ôn tập, từ

đó xây dựng nội dung chương trình vừa theo sự chỉ đạo của cấp trên vừa sát vớitrình độ của HS mình

- Chú ý ôn, luyện theo chuyên đề

- Dạy - rèn – kiểm tra - rút kinh nghiệm theo từng chuyên đề

- Giảng và yêu cầu học thuộc lý thuyết trên cơ sở lấy được ví dụ áp dụng

và làm được bài tập theo chuyên đề, giáo viên luôn có câu hỏi “ Vì sao em làmnhư thế? ” để kiểm tra sự hiểu của học sinh, không chú ý lắm đến đáp án của câutrả lời là gì mà chú ý đến cách làm bài và phương pháp giải quyết bài tập Vìthế, GV nên ra bài tập áp dụng ngay sau khi học lý thuyết, không có ý gác lạisau, đặc biệt rèn cho học sinh biết nhận dạng đề ra và cách thức làm từng dạng

Dành tối đa lượng thời gian trên lớp để giảng dạy nhiệt tình, có hiệu quả,chú ý công tác quản lý học sinh khi làm bài và trả lời, nếu không học sinh sẽnhìn bài nhau, ỷ lại, lười suy nghĩ nhưng vẫn có câu trả lời đúng, do đó GV sẽ

dễ bị ngộ nhận về đối tượng Chú trọng công tác đôi bạn cùng tiến, học sinhgiỏi, khá giúp học sinh trung bình, yếu cách làm bài

Cung cấp đủ và đúng các tài liệu cho học sinh ôn thi có định hướng, phô

tô các bài kiểm tra theo chuyên đề bài 90 phút, 120 phút và đề thi thử

Đừng quá ép học sinh làm quá nhiều bài tập về nhà thuộc môn mình vì sẽlàm cho học sinh căng thẳng

Giờ ôn tập hay ôn thi HS hay có cảm giác chán học, nhất là đối tượng họcsinh trung bình, yếu, kém, vì vậy giáo viên nên thỉnh thoảng tổ chức các trò chơilồng ghép vào các bài tập như hái hoa dân chủ, trò chơi tiếp sức,

* Phân loại học sinh

Ngay từ đầu năm học, BGH nhà trường cùng với GV đã phân luồng họcsinh một cách tương đối chính xác để học sinh có cùng trình độ trong một lớpkhi tổ chức dạy chuyên đề và ôn tập thi vào lớp 10 Đối với biện pháp này tôiphải thực hiện 2 việc là :

Phân chia khối 9 thành 3 đối tượng theo học lực :

Lớp đối tượng 1: gồm các học sinh có học lực Khá - Giỏi

Lớp đối tượng 2: gồm các học sinh có học lực Trung bình

Lớp đối tượng 3: gồm các học sinh có học lực Yếu - Kém

* Xây dựng chương trình, tài liệu ôn tập :

Căn cứ vào nội dung sách giáo khoa, hướng dẫn giảm tải, tài liệu ôn thivào lớp 10 các năm học trước và một số tài liệu tham khảo khác tôi đã xây dựngcác dạng bài tập ôn thi vào lớp 10 THPT Mỗi dạng bài tập đều có lý thuyết,phương pháp giải và ví dụ minh họa cùng với bài tập áp dụng Cụ thể:

CHUYÊN ĐỀ 1: CĂN BẬC HAI-CÁC BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI BIỂU

THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

Các dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Tìm điều kiện để các biểu thức xác định

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức tại một giá trị của biến

Dạng 4: - Tính giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức

- Tìm x để giá trị của biểu thức thoả mãn một điều kiện nào đó

Dạng 5: Tìm x để biểu thức đạt GTLN; GTNN

Dạng 6: Tìm x để biểu thức đạt giá trị nguyên

Dạng 7: CM biểu thức thoã mãn 1 điều kiện với mọi x

Kiến thức bổ trợ:

1 Phép tính trên căn thức và 4 phép biến đổi

2 Các PP phân tích đa thức thành nhân tử (Nhân tử chung, HĐT, nhóm,tách)

3 PP quy đồng mẫu thức các phân thức

4 Phép tính trên căn thức

5 Các hằng đẳng thức đáng nhớ

6 Một số chú ý khi giải toán về biểu thức

+) Tìm ĐKXĐ chú ý : Biểu thức trong căn  0 ,Mẫu  0 , biểu thức chia  0

+)Rút gọn biểu thức

- Đối với các biểu thức chỉ là một căn thức thường tìm cách đưa thừa số ra ngoài dấu căn Cụ thể là:

+Số thì phân tích thành tích các số chính phương

+Phần biến thì phân tích thành tích của các luỹ thừa với số mũ chẵn

- Nếu biểu thức chỉ chứa phép cộng và trừ các căn thức ta tìm cách biến đổi về các căn đồng dạng

- Nếu biểu thức là tổng, hiệu các phân thức mà mẫu chứa căn thì ta nên trục căn thức ở mẫu trước, có thể không phải quy đồng mẫu nữa.

- Nếu biểu thức chứa các phân thức chưa rút gọn thì ta nên rút gọn phân thức trước

- Nếu biểu thức có mẫu đối nhau ta nên đổi dấu trước khi

- Ngoài ra cần thực hiện đúng thứ tự các phép tính, chú ý dùng dấu ngoặc, cách viết căn

Chú ý: Một số bài toán như: Chứng minh đẳng thức, chứng minh biểu thức

không phụ thuộc vào biến, cũng quy về rút gọn biểu thức

+) Tính giá trị của biểu thức

- Cần rút gọn biểu thức trước, nếu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối thìnên thay giá trị của biến vào rồi mới rút gọn tiếp

- Nếu giá trị của biến còn phức tạp thì nghĩ đến việc rút gọn trước khi thayvào tính

+) Tìm biến để biểu thức thoả mãn 1 điều kiện nào đó

- Cần rút gọn biểu thức trước

- Sau khi tìm được giá trị của biến phải đối chiếu với ĐKXĐ

Đối với đối tượng học sinh khá giỏi sẽ yêu cầu thực hiện được tất cả các dạngtoán trên, tuy nhiên đối với HS trung bình ,yếu thì mức độ yêu cầu sẽ nhẹ hơn vàlựa chọn theo từng phần ở từng dạng bài sao cho khi làm bài điểm ở mỗi phầnhọc sinh làm được là tuyệt đối

* Ví dụ 2: Cho biểu thức

3 3

: 1 1 2 1 1

xy y x

y y x x y x y x y x y x

: 1 1 2 1 1

xy y x

y y x x y x y x y x y x

xy xy

y x

-Khi tìm được giá trị của biến không kiểm tra lại ĐKXĐ

-Trong bài toán tìm min , max không chú ý đến ĐKXĐ để tìm hoặc không biết các bất đẳng thức khác để áp dụng

* Biện pháp khắc phục

- Hướng dẫn HS ôn tập hằng đẳng thức ,các phương pháp phân tích thành nhân

tử để HS biết rút gọn , lưu ý cho HS các điều kiện cần đặt để HS biết tìm ĐKXĐ

- Lưu ý cho HS tất cả các bài toán có liên quan đến giá trị của biến phải chú ý kiểm tra lại ĐKXĐ rồi mới kết luận

CHUYÊN ĐỀ 2 :HÀM SỐ BẬC NHẤT

1.Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b

2.Tìm điều kiện của tham số để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất

3.Tìm điều kiện của tham số để hàm số đã cho là hàm số đồng biến hay nghịchbiến

4 Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số tạo với trục Ox một góc nhọn,góc tù

5 Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số đi qua một điểm A (x0; y0) chotrước, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng y0, cắt trục hoành tại điểm cóhoành độ bằngx0, đi qua giao điểm của đồ thị hai hàm số cho trước

6 Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng quy

7.Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số

8 Tìm điều kiện của tham số để 2 đồ thị hàm số: cắt nhau, cắt nhau tại một điểmnằm trên trục tung, hoành; song song; trùng nhau; vuông góc;

9 Lập phương trình của một đường thẳng:

 Đi qua 2 điểm A (x1; y1) và B(x2; y2) cho trước

 Đi qua điểm A (x1; y1) và vuông góc với đường thẳng cho trước

 Đi qua điểm A (x1; y1) và song song với đường thẳng cho trước.Phương pháp giải đối với một số dạng toán :

*Dạng bài tập về sự tương giao của hai hay nhiều đường thẳng

1 Bài tập về chứng minh sự đồng quy của các đường thẳng.

Phương pháp:

Bước 1: Dựa vào hệ số góc và hệ số tự do kiểm tra nhanh xem các đường

thẳng song song hay trùng nhau không (thường xảy ra với các bài toán mở)

Bước 2: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng trong các đường

thẳng (nên chọn hai đường thẳng có công thức đơn giản) bằng cách giải hệphương trình có hai phương trình là công thức của hai đương thẳng đó hoặc giảiphương trình tương giao của hai đường thẳng đó

Bước 3: Thay toạ độ điểm vừa tìm được vào công thức các hàm số còn lại

+ Nếu toạ độ điểm đó thoả mãn công thức các hàm số còn lại ta được cácđường thẳng đồng quy

+ Nếu toạ độ điểm đó không thoả mãn công thức các hàm số còn lại thìcác đường thẳng đó không đồng quy

Bước 4: Kết luận trả lời bài toán.

2 Bài tập về tìm giá trị của tham số để các đường thẳng đồng quy.

Phương pháp:

Bước 1: Xét xem hai trong các đường thẳng có song song, trùng nhau không.

Tìm điều kiện của tham số (nếu có) để hai trong các đường thẳng cắt nhau

Bước 2: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng trong các đường thẳng (nên

chọn hai đường thẳng có công thức đơn giản) bằng cách giải hệ phương trình cóhai phương trình là công thức của hai đường thẳng đó hoặc giải phương trìnhtương giao của hai đường thẳng đó (lưu ý đến điều kiện của tham số vì trong toạ

độ của giao điểm có thể chứa tham số ở mẫu, ở trong dấu căn bậc chẵn)

Bước 3: Thay toạ độ điểm vừa tìm được vào công thức các hàm số còn lại ta có

được phương trình một ẩn (ẩn chính là tham số, phương trình có thể là bậc nhất,bậc hai, bậc ba, chứa ẩn ở mẫu…… )

Bước 4: Giải phương trình vừa tìm được.

Bước 5: Đối chiếu điều kiện của tham số nếu có và kết luận trả lời bài toán.

3 Bài tập về tính chu vi, diện tích, số đo góc trong của tam giác giới hạn bởi

đồ thị các hàm số với trục toạ độ.

Phương pháp:

Bước 1: Lập các phương trình đường thẳng đi qua hai điểm nếu cần.

Bước 2: Vẽ đồ thị các hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy

Bước 3: Tìm toạ độ giao điểm của các đường thẳng vừa vẽ bằng suy luận và xác

định tam giác giới hạn bởi các đường thẳng và trục toạ độ (tuỳ theo yêu cầu của

đề bài)

Bước 4: Tính độ dài các đoạn thẳng cần thiết để tính được chu vi, diện tích, số

đo các góc của tam giác (sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng khi biết toạ

độ hai đầu đoạn thẳng, cách tính khoảng cách từ một điểm đến các trục toạ độ,cách tính số đo góc tạo bởi đồ thị hàm số với trục hoành đã được trình bày trongphần lý thuyết)

Bước 5: Kết luận toàn bài.

Ví dụ 1 : Cho hàm số y (m 2)x m  3

a) Tìm các giá trị của m để hàm số là hàm số bậc nhất luôn đồng biến

b) Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số song song với đường thẳng

Vậy với m 2thì hàm số là hàm số bậc nhất luôn đồng biến

b)Đồ thị của hàm số y (m 2)x m  3 song song với đường thẳng y 3x 2017

Vậy với m = 5 thì đồ thị của hàm số đã cho song song với đường thẳng

y m x m  luôn đi qua

Nên : Tọa độ của điểm A (x0;y0) thỏa mãn công thức y (m 2)x m  3

2

0

1

0 0

0

y x

0 0

y x

Vậy tọa độ điểm cố định mà họ đường thẳng y=(m-2)x+m+3 luôn đi qua

là A(-1;5)

Ví dụ 2 :Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3.

a) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến

b) Tìm m để đồ thị của hàm số y = (m – 2) x + m + 3 song song với đường thẳngy=x+1

c) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2;

m m

 





 2 3

m m

 m=3Vậy với m=3 thì đồ thị của hàm số y = (m – 2) x + m + 3 song song với đường

Vì vậy (x; y) = (1; 1) là nghiệm của phương trình:

Ví dụ 3: Cho hai điểm A (1; 1); B (2; -1).

Viết phương trình đường thẳng AB

Lời giải:

Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng : y = ax + b

Do đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) nên ta có hệ phương trình :

a b

Bước 2: Lập hệ điều kiện trong đó có phương trình thứ nhất là x bằng hoành độ

của điểm K, phương trình thứ hai là y bằng tung độ của điểm K Sau đó từ mỗiphương trình trên biểu thị tham số m theo x và theo y

Bước 3: Từ quan hệ của m theo x và theo y lập mối quan hệ y theo x

Bước 4: Thử lại: Cho m một giá trị bất kỳ sau đó kiểm tra xem toạ độ điểm K có

thoả mãn công thức đường thẳng vừa lập được không

Bước 5: Nếu toạ độ điểm K thoả mãn thì kết luận tập hợp điểm cần tìm, nếu

không thì kiểm tra lại các bước làm ở trên

Đối với HS khá, giỏi thì yêu cầu làm được tất cả các dạng toán trên, tuy nhiên

với đối tượng HS trung bình và yếu thì không yêu cầu làm dạng toán tập hợpđiểm còn lại các dạng khác từng bước hướng dẫn và yêu cầu HS phải áp dụng vàlàm được

Vì: Điểm K thuộc hệ trục toạ độ Oxy

Nên : Toạ độ của điểm K là K( x; y)

Mà : Theo bài có toạ độ K(4m – 1; 2 - 3

Suy ra:

4 1 3 2 5

10 5 3

x m

y m

Thử lại: Với m nhận một giá trị bất kỳ giả sử m = 5

Khi đó toạ độ điểm K (19; -1)

Thay hoành độ điểm K vào đường thẳng y = 3 37

      ( bằng tung độ của điểm K)

Hay: Điểm K (19; -1) thuộc đường thẳng y = 3 37

*Sai lầm thường gặp : không đặt điều kiện để hàm số chứa tham số là hàm số

bậc nhất và khi tìm được giá trị của tham số HS không kiểm tra lại điều kiện củatham số

* Phương pháp khắc phục: GV khi dạy chuyên đề này cần lưu ý cho HS khi nào

cần đặt điều kiện để hàm số là hàm số bậc nhất, cũng cần lưu ý với HS bất kì bàinào có điều kiện của tham số khi tìm được giá trị của tham số đều cần kiểm tratheo điều kiện xem có thỏa mãn không

CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN

+Dạng 1: Hệ phương trình không chứa tham số: thông thường là giải hệ

phương trình Ở dạng này GV hướng dẫn học sinh sử dụng các phương phápnhư giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng, thế, hay đổi biến để tìmnghiệm của hệ phương trình

+Dạng 2: Hệ phương trình chứa tham số

-Dạng 2 1: Giải hệ phương trình với giá trị tham số cho trước: Cách giải quaytrở về dạng 1

- Dạng 2 2: Giải và biện luận hệ phương trình

* Phương pháp giải:

Bước 1: Từ hai phương trình của hệ ta dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số,

ta thu được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn)

Bước 2: Giải và biện luận phương trình mới, từ đó đi đến kết luận về giải và

biện luận hệ phương trình đã cho

-Dạng 2.3: Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) thoả mãnmột trong các điều kiện ( K) sau:

ax + by = c; ax + by > c; ax + by < c; xy < 0; xy > 0; x2 + y đạt giá trị nhỏnhất; x,y là các số nguyên; ; …

* Phương pháp giải:

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x, y) theo tham số m.

Bước 2: Thay nghiệm (x, y) vừa tìm được vào biểu thức điều kiện K Bước 3: Giải điều kiện K tìm m.

Bước 4: Trả lời yêu cầu bài toán.

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình : (2m x y m1)x my 53m1

  



a) Giải hệ phương trình với m =2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x2- y2 < 4

Lời giải

a) Khi m = 2 , ta có 2x x y 2y57

 



Hệ có nghiệm duy nhất khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất,

phương trình (3) có nghiệm duy nhất khi : m 1

thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x2- y2 < 4

Ví dụ 2 : Tìm giá trị của tham số a để hệ 

3 ) 2 9

(

y x

a y a

x

có nghiệmduy nhất? Có vô số nghiệm? Vô nghiệm?

Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi 2

3

a  ; hệ có vô số nghiệm khi a= 32 , hệ vô nghiệm khi a=  32

* Sai lầm thường gặp : khi rút ẩn x theo y (hoặc y theo x) HS đã thu được một

phương trình có chứa tham số ở dưới mẫu mà không quan tâm xem mẫu đã khác

0 chưa

* Phương pháp khắc phục: Khi dạy GV phải lưu ý với HS nếu rút y theo x thì hệ

số gắn với y phải không chứa tham số (hoặc ngược lại)

- Ở dạng toán này đối với HS trung bình và yếu thì việc đầu tiên là yêu cầu họcsinh làm tốt được dạng 1: giải hệ phương trình, các dạng còn lại GV hướng dẫndần dần để có thể làm được từng bước

CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Điều kiện phương trình bậc 2 có nghiệm, vô nghiệm

Có thể xảy ra các trường hợp như sau :

- Muốn chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm, có 2 nghiệm phânbiệt, vô nghiệm ta chứng minh  luôn không âm, luôn dương, luôn âm

- Muốn tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm, vô nghiệm ta giải bấtphương trình:  > 0 hoặc  < 0

Dạng 2 : Hệ thức Vi-ét và ứng dụng của hệ thức Vi-ét

* Dạng 2.1: Tính giá trị 1 biểu thức của 2 nghiệm

Phương pháp giải :

- Kiểm tra điều kiện có nghiệm Tính tổng, tích 2 nghiệm theo Vi-et

- Biến đổi biểu thức về dạng toán tổng, tích 2 nghiệm

Chú ý: - Nếu gặp hiệu, căn thì tính bình phương rồi suy ra

- Nếu biểu thức không đối xứng thì có thể dùng 2

- Nếu mũ quá lớn thì có thể nhẩm nghiệm

Ngoài ra ở những bài khó cần khéo léo vận dụng linh hoạt

* Dạng 2 2: Tìm 2 số biết tổng và tích : Dùng phương pháp thế đưa về phươngtrình bậc hai

* Dạng 2 3: Lập phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm

Khi lập phương trình bậc hai cần biết 2 nghiệm và ẩn

- Muốn lập phương trình bậc hai có 2 nghiệmx x1 , 2ta làm như sau :

Tínhx1 x2 S x x, 1 2 P

Vậy phương trình bậc hai cần lập là : x2- Sx+ P =0

* Dạng 2 4 : Tìm tham số biết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm

Bước1 : Tìm ĐK có nghiệm Tính tổng và tích 2 nghiệm theo Viét

Bước 2 : Biến đổi tương đương hệ thức về dạng toàn Tổng, Tích 2nghiệm Nếu không được thì giải hệ (Hệ thức có bậc 1)

Chú ý : - Phải đối chiếu với ĐK có nghiệm.

- Nếu hệ thức chứa Hiệu, căn thì có thể bình phương, chứa dấu giá trịtuyệt đối thì có thể chia thành 2 trường hợp theo định nghĩa giá trị tuyệt đối

* Dạng 2 5 : Viết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm độc lập với tham số

Bước 1 : Tính tổng và tích 2 nghiệm theo Vi - ét

Bước 2 : Rút tham số từ tổng thay vào tích hoặc ngược lại

Chú ý : Nếu bậc của tham số ở tổng và tích đều là 2 trở lên ta phải khử bậc cao

trước bằng cách như phương pháp cộng trong giải HPT

* Dạng 2 6 : Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một

số cho trước hoặc xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai mà không cần giải phương trình đó, ta có thể ứng dụng định lí Viét

1 Phương trình có 2 nghiệm dương 







 0 0

S P

2 Phương trình có 2 nghiệm âm 

0 0 0

3 Phương trình có 2 nghiệm trái dấu: P 0

Nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có ít nhất 1 nghiệm không âm Thường có 2 cách giải:

Cách 1: Có P 0 (Trường hợp này có 1 nghiệm dương 1 nghiệm âm)

Hoặc P = 0 Trường hợp này tồn tại 1 nghiệm bằng 0

Hoặc:  



 0 0

Cách 2:

Trước hết phải có  0khi đó phương trình có ít nhất 1 nghiệm không âm nếu:

0



S (Trường hợp này tồn tại nghiệm dương)

Hoặc S = 0 (Trường hợp này tồn tại nghiệm không âm)

HoặcS ,0 P 0(Trường hợp này có 1 nghiệm không âm 1 nghiệm âm)

Tuỳ theo đầu bài mà chọn cách xét biểu thức P hay S

Ví dụ: Cho phương trìnhx2  2mx 2m  1 0

a) Giải phương trình với m=12

b) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình đã cho Chứng minh rằng phươngtrình có 2 nghiệm với mọi m

c) Tính giá trị của biểu thức  2 2

A x x  x x theo md) Tìm m để A = 27

e) Tìm m để phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia

0

x x

Vậy với m=21 thì phương trình đã cho có tập nghiệm là S=0 ; 1

3

;

3 thì A = 27e) giả sử x1 = 2 x2, kết hợp (*) ta có:

; 2

3

thì phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia

*Sai lầm thường gặp: Khi áp dụng hệ thức Vi-ét không tìm điều kiện để phương

trình có nghiệm,và khi tìm được giá trị của tham số thì không kiểm tra lại điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm

* Khắc phục sai lầm của HS thì khi dạy dạng toán này GV cần khắc sâu cho HS trước khi áp dụng hệ thức Vi-ét thì phải tìm điều kiện để phương trình có

nghiệm và khi tìm được giá trị tham số phải kiểm tra lại điều kiện

* Trong chuyên đề này đối với đối tượng HS khá, giỏi thì yêu cầu làm thànhthạo tất cả các dạng toán, tuy nhiên đối với HS trung bình và yếu thì yêu cầu đầutiên là phải giải thành thạo phương trình bậc hai theo công thức nghiệm, cácdạng toán khác GV hướng dẫn theo từng bước và phải yêu cầu học sinh thựchiện tốt từng bước trong khả năng của bản thân

CHUYÊN ĐỀ 5: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

(HOẶC HỆ PHƯƠNG TRÌNH )

* Dạng 1 : Dạng toán liên quan đến số học.

- Những lưu ý khi giải các bài tâp:

+ Viết chữ số tự nhiên đã cho dưới dạng lũy thừa của 10:

+ Số chính phương: Nếu a là số chính phương thì a = b2( )

 Hướng dẫn học sinh theo bảng thông thường như sau:

Các trường hợp

Số thứnhất(hoặcchữ sốhàng chục)

Ví dụ : Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng

6 và nếu thêm vào số đó 18 đơn vị thì số thu được cũng viết bằng chữ số đónhưng theo thứ tự ngược lại

* Phân tích tìm lời giải:

Gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y, ( x,y N; 0<x,y  9 )

Vì tổng các chữ số của nó bằng 6 nên ta có phương trình : x+y=6 (1)

Khi thêm vào số đó 18 đơn vị thì thu được số mới là:

Nên ta có phương trình:

+18 =  10x +y +18 = 10y +x  x-y=-2 (2)