Bài giảng điện tử: Đại cương về phương trình Đại số 10

Bài giảng điện tử: Đại cương về phương trình nằm trong chương trình Toán Đại số lớp 10 được biên soạn khá đầy đủ và chi tiết gồm 16 slide. Các slide được thiết kế rõ ràng, hình thức đẹp.

§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ

PHƯƠNG TRÌNH

I Phương trình một ẩn

• Mệnh đề chứa biến

• Mệnh đề (1) đúng hoặc sai phụ thuộc vào x, ta gọi (1) là phương trình một ẩn,

x được gọi là ẩn số Việc tìm tất cả các số thực sao cho mệnh đề (1) tương ứng là đúng gọi là bài toán giải phương trình (1)

Ví dụ :

 

,,,,, ,,,,,,,,(1) 0;

 0; 

x  

• Định nghĩa :

Cho hai hàm số f(x) và g(x) lần lượt có tập xác định Df, Dg Đặt :

 Mệnh đề chứa biến x  D dạng : f(x) = g(x) (1) được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn số.

 D gọi là tập xác định của phương trình (1)

D D   D

 Nếu tồn tại x0  D sao cho f(x0)=g(x0) đúng thì x0 gọi là một nghiệm của phương trình (1).

 Tập T = {x0  D/ f(x0) = g(x0) đúng} gọi là tập nghiệm của phương trình (1)

 Tìm tập T gọi là giải phương trình (1)

 Nếu T =  ta nói phương trình (1) vô nghiệm

II PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ

PHÉP BIẾN ĐỔI

TƯƠNG ĐƯƠNG

Định nghĩa :

• Phương trình f1(x) = g1(x) (1) với tập nghiệm T1 được gọi là tương đương với phương trình f2(x) = g2(x) (2) với tập nghiệm T2 nếu T1 = T2 (có thể T1 = T2 = )

 Ký hiệu f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x)

 Trong trường hợp hai phương trình cùng xác định trên D và có tập nghiệm bằng nhau ta nói rằng hai phương trình đó tương đương trên D

 Phép biến đổi một phương trình xác định trên D thành một phương trình tương đương gọi là phép biến đổi tương đương trên D

Định lý 1 :

Phương trình f(x) = g(x) (1) tương đương với phương trình f(x) + h(x) = g(x) + h(x) (2) trên D (D=Df  Dg, h(x) xác

định  x  D )

Chứng minh :

Với  x0D, h(x0) có nghĩa vì h(x) xác định xD

• Áp dụng tính chất a = b  a + c = b + c ta được:

• f(x0) = g(x0)  f(x0) + h(x0) = g(x0)+ h(x0)

Do đó nếu x0 là nghiệm của phương trình (1) thì x0 là nghiệm của phương trình (2) và ngược lại Tức là hai phương trình (1) và (2) có cùng tập nghiệm Từ đó hai phương trình (1) và phương trình (2) tương đương với nhau trên D

HỆ QUẢ

• Phương trình f(x) = g(x) + h(x) tương đương với pt f(x) – h(x) = g(x) trên tập xác định D của nó (D là tập xác định của cả hai phương trình)

• Tức là nếu chuyển một biểu thức từ một vế của một pt sang vế kia và đổi dấu của nó thì

ta được pt mới tương đương với pt đã cho trên tập xác định của nó

Ví dụ 1 : Giải phương trình



1 x-1

x

Giải :

Tập xác định của phương trình (1) là D = R \{1}

Trên D, ta lần lượt có

1 x-1

x x

x



(x – 1)(x + 1) = 0

Trên D, pt (1) có nghiệm duy nhất x=-1 Vậy pt (1) có nghiệm duy nhất x=-1

 Ta còn viết :tập nghiệm của pt (1) là T = {-1}

Định lý 2 :

Phương trình f(x) = g(x) (1)

tương đương với phương trình h(x).f(x) = h(x).g(x) (2)

trên D (D=Df  Dg, h(x)  0

 x  D)

Chứng minh :

Với  x0D, h(x0) có nghĩa và f(x0)  0

áp dụng tính chất a = b  ac=bc (c0)

ta được: f(x0)=g(x0)  h(x0).f(x0) = h(x0).g(x0)

Từ đó nếu x0 là nghiệm của phương trình (1) thì

x0 cũng là nghiệm của phương trình (2) và ngược lại

Vậy hai phương trình (1) và (2) tương đương với nhau trên D

Ví dụ 2 : Giải phương trình :



1 1 5x-1 = (1)

Giải :

Tập xác định của phương trình (1) là D = R \{1, -1}

Nhân hai vế của phương trình (1) với h(x)=(x+1) (x-1) 0 xD ta có :

2

 Trên D, phương trình (1) có tập nghiệm 3

2

T   

 

Ví dụ 3 : Giải phương trình :



1 1 = 4x (1)

Giải :

Tập xác định của phương trình (1) là: D = R \{1, -1}

Nhân hai vế của phương trình (1) với h(x)=(x+1)

(x-1) 0 xD ta có :

2

x

  Trên D, pt (1) vô nghiệm Vậy pt (1) vô nghiệm Ta còn viết tập nghiệm của pt (1) là : T = 