CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI một vài lớp bài TOÁN cân BẰNG có TÍNH lồi và đơn điệu SUY RỘNG tt

Bài toánchấp nhận tách SFP - Split Feasibility Problem được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho Ax∗ ∈ Q, SF P trong đó C, Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

———————

TRẦN VIỆT ANH

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT VÀI LỚP BÀI TOÁN CÂN BẰNG CÓ TÍNH LỒI

VÀ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 62460102

DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018

MỞ ĐẦU

Trong thực tế, bên cạnh những mô hình toán học đòi hỏi phải tìm nghiệm chungcủa hai bài toán trên cùng một không gian, có những mô hình, chẳng hạn mô hìnhIMRT (Intensity-Modulated Radiation Therapy) trong bức xạ trị liệu yêu cầu tìmnghiệm của một bài toán trong không gian này sao cho ảnh của nó qua một toán

tử tuyến tính bị chặn là nghiệm của một bài toán trong không gian khác Bài toánchấp nhận tách (SFP - Split Feasibility Problem) được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho Ax∗ ∈ Q, (SF P )trong đó C, Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không gian Hilbertthực H1, H2 và A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn

Bài toán chấp nhận tách có nhiều ứng dụng thực tế trong các bài toán xử lýtín hiệu và khôi phục ảnh, liệu pháp xạ trị với cường độ điều chỉnh (intensity-modulated radiation therapy) và trong các bài toán khác Bài toán chấp nhận táchtrong các không gian Hilbert hữu hạn chiều được giới thiệu lần đầu tiên bởi Censor

và Elfving Để giải bài toán chấp nhận tách trong không gian hữu hạn chiều, Byrne

đã đề xuất thuật toán CQ bằng cách xét dãy, với mọi k ≥ 0,

xk+1 = PC(xk + γAT(PQ− I)Axk),trong đó C, Q lần lượt là hai tập lồi đóng khác rỗng trong Rn và Rm, A là một matrận thực m × n, L là giá trị riêng lớn nhất của ma trận ATA và γ ∈0, 2

L

.Gần đây, Xu đã giải bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert vô hạnchiều trong đó thuật toán CQ có dạng

Thuật toán CQ để giải bài toán chấp nhận tách đòi hỏi phải tìm được hìnhchiếu trên các tập C và Q, tuy nhiên trong các trường hợp các tập C, Q được chodưới dạng ẩn, ví dụ như tập điểm bất động của một ánh xạ, tập nghiệm của mộtbài toán bất đẳng thức biến phân, tập nghiệm của một bài toán cân bằng, thì takhông thể tìm được hình chiếu trên nó Bài toán chấp nhận tách trong trường hợpnày được gọi là bài toán chấp nhận tách suy rộng Một số dạng cơ bản của bàitoán chấp nhận tách suy rộng được nghiên cứu trong luận án đó là bài toán điểmbất động tách, bài toán bất đẳng thức biến phân tách, bài toán cân bằng tách,

bài toán chấp nhận tách đa tập hợp Tất cả các dạng này đều được giả thiết là

có nghiệm Luận án nghiên cứu và đề xuất phương pháp giải một vài lớp bài toánbất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán chấp nhậntách suy rộng Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án đượcchia thành bốn chương, trong đó các kết quả chính của luận án nằm ở Chương 2,Chương 3 và Chương 4

Bố cục của luận án

Mở đầu

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động táchChương 3 Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc bất đẳng thức biếnphân tách và chấp nhận tách đa tập hợp

Chương 4 Bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán cân bằng táchKết luận

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án

Tài liệu tham khảo

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả được sử dụngtrong các chương tiếp theo của luận án

1.1 Hàm lồi và dưới vi phân của hàm lồi

Cho H là không gian Hilbert thực và f : H −→ R ∪ {±∞} Tập

dom f := {x ∈ H : f (x) < +∞}

được gọi là miền hữu hiệu của hàm f

Ta nói f là hàm chính thường nếu dom f 6= ∅ và f (x) > −∞ với mọi x ∈ H.Định nghĩa 1.1 f : H −→ R ∪ {+∞} được gọi là hàm lồi nếu

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)với mọi x, y ∈ dom f và mọi λ ∈ (0, 1)

Định nghĩa 1.2 Cho f : H −→ R ∪ {+∞} là hàm lồi chính thường Ta nói p ∈ H

là dưới đạo hàm của f tại x0 ∈ H nếu

hp, x − x0i + f (x0) ≤ f (x) ∀x ∈ H

Tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x0 được gọi là dưới vi phân của f tại

x0 và được ký hiệu là ∂f (x0) Như vậy

∂f (x0) = {p ∈ H : hp, x − x0i + f (x0) ≤ f (x) ∀x ∈ H}

Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂f (x0) 6= ∅

Định lý 1.1 (Định lý Moreau-Rockafellar) Cho f1, f2 : H −→ R ∪ {+∞} là haihàm lồi chính thường Khi đó

∂(f1+ f2)(x) ⊃ ∂f1(x) + ∂f2(x) ∀x ∈ H

Ngoài ra, nếu một trong hai hàm f1, f2 liên tục tại một điểm thuộc miền hữu hiệucủa hàm kia thì

∂(f1+ f2)(x) = ∂f1(x) + ∂f2(x) ∀x ∈ H

1.2 Toán tử chiếu trong không gian Hilbert

Định lý 1.2 Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H.Khi đó với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất y ∈ C sao cho

Bổ đề 1.1

1.3 Bài toán điểm bất động

Định nghĩa 1.4 Cho C là một tập khác rỗng của H và T : C −→ C là một ánh

xạ Điểm x ∈ C được gọi là điểm bất động của ánh xạ T nếu T (x) = x

Ta ký hiệu Fix(T ) là tập điểm bất động của T , tức là

Fix(T ) = {x ∈ C : T (x) = x}

Định nghĩa 1.5

Bổ đề 1.2 Giả sử C là tập lồi đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert thực

H và T : C −→ C là ánh xạ không giãn Nếu T có điểm bất động thì Fix(T ) là tậplồi đóng

1.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, F là ánh

xạ đi từ Ω vào H, trong đó Ω là một tập trong H chứa C Bài toán bất đẳng thứcbiến phân V IP (C, F ) được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.1)Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (C, F ) được ký hiệu làSol(C, F )

Bổ đề 1.3 Cho x∗ ∈ C và λ > 0 Khi đó x∗ ∈ Sol(C, F ) ⇐⇒ x∗ ∈ Fix(T ).

Định lý 1.3 Nếu C là tập lồi compact và F là liên tục trên C thì V IP (C, F ) cónghiệm

Khi đó ánh xạ T là không giãn và Fix(T ) = Sol(C, F )

Bổ đề 1.5 Giả sử C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực

H và Ω là một tập trong H chứa C Cho ánh xạ F : Ω −→ H giả đơn điệu trên C

và một trong hai điều kiện sau thỏa mãn:

(i) lim sup

k−→∞

hF (xk), yi ≤ hF (x), yi với mọi y ∈ H và mọi dãy {xk} ⊂ C hội tụyếu đến x

(ii) F liên tục Lipschitz trên C với hệ số L > 0

Giả sử tập nghiệm Sol(C, F ) của bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (C, F ) khácrỗng, khi đó Sol(C, F ) là tập lồi đóng

1.5 Bài toán cân bằng

Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, f : C×C −→

R là một song hàm sao cho f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C Bài toán cân bằng (EP Equilibrium Problem) cho song hàm f trên C là bài toán

-Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C (1.2)

Ta ký hiệu bài toán cân bằng (1.2) và tập nghiệm của nó lần lượt bởi EP (C, f ),Sol(C, f )

Định nghĩa 1.7 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbertthực H Song hàm f : C × C −→ R ∪ {+∞} được gọi là:

(i) đơn điệu trên C nếu f (x, y) + f (y, x) ≤ 0 với mọi x, y ∈ C;

(ii) giả đơn điệu trên C nếu từ f (x, y) ≥ 0, ta suy ra f (y, x) ≤ 0 với mọi

(A4) với mọi x ∈ C, hàm y 7−→ f (x, y) lồi và nửa liên tục dưới trên C.

Khi đó với mọi r > 0 và x ∈ H, tồn tại duy nhất z ∈ C sao cho

(i) Trf là đơn trị;

(ii) kTrf(x) − Trf(y)k2 ≤ hTf

r(x) − Trf(y), x − yi ∀x, y ∈ H;

(iii) Fix(Trf) = Sol(C, f );

(iv) Sol(C, f ) lồi đóng

Mệnh đề 1.1 Cho song hàm f : H × H −→ R ∪ {+∞} Giả sử rằng các điềukiện (A0) − (A4) được thỏa mãn đồng thời

(A0) ít nhất một trong hai điều kiện int C 6= ∅ và điều kiện với mỗi x ∈ C thìhàm f (x, ·) liên tục tại một điểm thuộc C được thỏa mãn;

(A1) với mỗi x ∈ C thì hàm f (x, ·) lồi, nửa liên tục dưới trên H và khả dưới viphân trên C;

(A2) f giả đơn điệu trên C và C ⊂ dom f (x, ·), f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C;(A3) f liên tục kiểu Lipschitz trên C với hằng số c1 > 0 và c2 > 0

Xét ánh xạ Tf : C −→ C cho bởi

Tf(x) := argminnλf (s(x), y) + 1

2ky − xk2 : y ∈ Co,với mọi x ∈ C, trong đó λ > 0 và

s(x) := argminnλf (x, y) + 1

2ky − xk2 : y ∈ Co

Khi đó với x∗ ∈ Sol(C, f ), ta có

λ[f (x, y) − f (x, s(x))] ≥ hs(x) − x, s(x) − yi ∀y ∈ C,

kTf(x) − x∗k2 ≤ kx − x∗k2− (1 − 2λc1)kx − s(x)k2− (1 − 2λc2)ks(x) − Tf(x)k2.Mệnh đề 1.2 Dưới các giả thiết (A0) − (A3) của Mệnh đề 1.1 và 0 < λ <minn 1

2c1,

1

2c2

othì tập điểm bất động của ánh xạ Tf trùng với tập nghiệm của bàitoán cân bằng EP (C, f ), với điều kiện tập nghiệm Sol(C, f ) của EP (C, f ) khácrỗng

Mệnh đề 1.3 Giả sử song hàm f thỏa mãn các điều kiện (A0) − (A3) trong Mệnh

đề 1.1 và các điều kiện

(A4) f liên tục yếu đồng thời trên C × C;

(A5) tập nghiệm Sol(C, f ) của bài toán cân bằng EP (C, f ) khác rỗng

Khi đó ánh xạ Tf là tựa không giãn trên C với 0 < λ < minn 1

2c1,

12c2

o

và bánđóng tại 0 ∈ H

Bổ đề 1.8 Cho {an} là một dãy các số thực không âm thỏa mãn điều kiện

an+1 ≤ (1 − αn)an + αnξn, ∀n ≥ 0,trong đó {αn}, {ξn} là hai dãy số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện

Bổ đề 1.9 Cho {an} là một dãy các số thực không âm Giả sử với mỗi số tự nhiên

m, tồn tại số tự nhiên p ≥ m sao cho ap ≤ ap+1 Gọi n0 là số tự nhiên sao cho

Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không gian Hilbertthực H1 và H2 Giả sử F : C −→ H1 là ánh xạ đơn điệu mạnh, A : H1 −→ H2 làmột toán tử tuyến tính bị chặn, T : C −→ C, S : Q −→ Q là các ánh xạ khônggiãn Xét bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách sau:

Tìm x∗ ∈ Ω sao cho hF (x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ Ω, (V ISF P P )trong đó Ω là tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách (SFPP - Split FixedPoint Problem)

Tìm x∗ ∈ Fix(T ) sao cho Ax∗ ∈ Fix(S), (SF P P )với Fix(T ), Fix(S) lần lượt là tập điểm bất động của T, S

2.1 Định lý hội tụ

Trong mục này chúng ta phát biểu và chứng minh định lý hội tụ cho VISFPP Kỹthuật chính để chứng minh là sự kết hợp giữa phương pháp chiếu để giải bài toánbất đẳng thức biến phân và kỹ thuật lặp Krasnoselskii-Mann để tìm điểm bất độngcủa ánh xạ không giãn

Định lý 2.1 Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các khônggian Hilbert thực H1 và H2, A : H1 −→ H2 là toán tử tuyến tính bị chặn với toán

tử liên hợp A∗ Giả sử ánh xạ F : C −→ H1 là β-đơn điệu mạnh và L-liên tụcLipschitz trên C, T : C −→ C, S : Q −→ Q là các ánh xạ không giãn Với x0 ∈ C

bất kỳ, xét các dãy {xk}, {uk}, {yk} và {zk} như sau

L2, {λk} và {αk} là hai dãy số nằm trongkhoảng (0, 1) và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

L2

, {λk} và{αk} là hai dãy số trong khoảng (0, 1) thỏa mãn đồng thời các điều kiện (a), (b), (c)

ở Định lý 2.1 Khi đó dãy {xk} hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của bài toán bấtđẳng thức biến phân V IP (Ω, F ) với điều kiện tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ Sol(C, F1) :

Ax∗ ∈ Sol(Q, F2)} của bài toán bất đẳng thức biến phân tách khác rỗng

Hệ quả 2.2 Giả sử f : C × C −→ R và g : Q × Q −→ R là hai song hàm thỏamãn các điều kiện (A1) − (A4) trong Bổ đề 1.6 Với x0 ∈ C bất kỳ, xét các dãy{xk}, {uk}, {yk} và {zk} xác định bởi

L2, {λk} và {αk} là hai dãytrong khoảng (0, 1) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

Hệ quả 2.3 Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các khônggian Hilbert thực H1 và H2, A : H1 −→ H2 là toán tử tuyến tính bị chặn vớitoán tử liên hợp A∗, F1 : C −→ H1 là ánh xạ η1-đơn điệu mạnh ngược trên C

và F2 : Q −→ H2 là ánh xạ η2-đơn điệu mạnh ngược trên Q Giả sử tập nghiệm

Ω = {x∗ ∈ Sol(C, F1) : Ax∗ ∈ Sol(Q, F2)} của bài toán bất đẳng thức biến phântách khác rỗng Với x0 ∈ C bất kỳ, xét các dãy {xk}, {uk}, {vk}, {yk}, {zk} và{tk} như sau

số trong khoảng (0, 1) thỏa mãn đồng thời các điều kiện (a), (b), (c) ở Định lý 2.1.Khi đó dãy {xk} hội tụ mạnh đến x∗ ∈ Ω, trong đó kx∗k = min{kxk : x ∈ Ω}

Hệ quả 2.4 Giả sử f : C × C −→ R và g : Q × Q −→ R là hai song hàm thỏamãn các điều kiện (A1) − (A4) trong Bổ đề 1.6 và tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ Sol(C, f ) :

Ax∗ ∈ Sol(Q, g)} của bài toán cân bằng tách khác rỗng Với x0 ∈ C bất kỳ, xét cácdãy {xk}, {uk}, {yk} và {zk} cho bởi

Chương 3

Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc bất đẳng thức

biến phân tách và chấp nhận tách đa tập hợp

Trong phần đầu chương, chúng tôi trình bày thuật toán giải bài toán bất đẳngthức biến phân hai cấp (bài toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc là tậpnghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân) Mục tiếp theo là thuật toán giảibài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (bài toán bất đẳng thức biến phânvới tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân tách) Ởphần cuối chương, chúng tôi đề xuất thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biếnphân với tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách đa tập hợp

3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và hai ánh

xạ F : H −→ H, G : H −→ H, ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp(BVIP - Bilevel Variational Inequality Problem)

Tìm x∗ ∈ Sol(C, G) sao cho hF (x∗), y − x∗i ≥ 0 ∀y ∈ Sol(C, G), (BV IP )trong đó

Sol(C, G) = {y∗ ∈ C : hG(y∗), z − y∗i ≥ 0 ∀z ∈ C}

là tập nghiệm của V IP (C, G)

Trong trường hợp G là ánh xạ không thì tập nghiệm Sol(C, G) của V IP (C, G)chính là C Khi đó, BVIP trở thành bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (C, F ).Khi F là ánh xạ đồng nhất thì BVIP trở thành bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏnhất của V IP (C, G)

Ta xét các ánh xạ F, G : H −→ H thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:(A1): F là β-đơn điệu mạnh trên H và L-liên tục Lipschitz trên H

(A2): G giả đơn điệu trên C và γ-liên tục Lipschitz trên H

(A3): lim sup

k−→∞

hG(xk), y − yki ≤ hG(x), y − yi với mọi y ∈ H và mọi dãy {xk},{yk} nằm trong H hội tụ yếu lần lượt đến x, y ∈ H

3.1.1 Thuật toán và định lý hội tụ

Thuật toán 3.1 Chọn x0 ∈ H bất kỳ, 0 < µ < 2β

L2 và các dãy số {αk} ⊂ (0, 1),{ηk}, {λk} thỏa mãn đồng thời các điều kiện

γ

.Với mỗi k ≥ 0, ta tính

yk = PC(xk− λkG(xk)), zk = PTk(xk − λkG(yk)),và

xk+1= ηkxk + (1 − ηk)zk − αkµF (zk),trong đó

τ = 1 −p1 − µ(2β − µL2) ∈ (0, 1]

Bổ đề 3.2 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H,

G : H −→ H giả đơn điệu trên C, L-liên tục Lipschitz trên H và Sol(C, G) 6= ∅.Xét x ∈ H, λ > 0 và xác định y = PC(x − λG(x)), z = PT(x − λG(y)), trong đó

• Vì G là γ-liên tục Lipschitz trên H nên G là liên tục Do đó khi không gianHilbert H là hữu hạn chiều thì điều kiện (A3) luôn thỏa mãn

• Nếu điều kiện G giả đơn điệu trên C được thay bằng điều kiện G đơn điệu trên

H thì điều kiện (A3) có thể được bỏ đi

3.1.2 Một số hệ quả

Hệ quả 3.1 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực

H, G : H −→ H giả đơn điệu trên C và L-liên tục Lipschitz trên H Giả sửSol(C, G) 6= ∅ và lim sup

Hệ quả 3.2 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H,

G : H −→ H đơn điệu trên H và L-liên tục Lipschitz trên H sao cho Sol(C, G) 6= ∅.Xét dãy {xk} cho bởi

3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp

Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không gian Hilbertthực H1 và H2 Giả sử A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn và cácánh xạ F1 : H1 −→ H1 và F2 : H2 −→ H2 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách(SVIP - Split Variational Inequality Problem) được mô tả như sau

Tìm x∗ ∈ C : hF1(x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C (3.3)

sao cho

y∗ = Ax∗ ∈ Q : hF2(y∗), y − y∗i ≥ 0 ∀y ∈ Q (3.4)Nếu tập nghiệm của các bài toán bất đẳng thức biến phân (3.3) và (3.4) lầnlượt được ký hiệu bởi Sol(C, F1) và Sol(Q, F2) thì bài toán bất đẳng thức biến phântách là bài toán tìm x∗ ∈ Sol(C, F1) sao cho Ax∗ ∈ Sol(Q, F2)

Ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (BSVIP - Bilevel SplitVariational Inequality Problem)

Tìm x∗ ∈ Ω sao cho hF (x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ Ω, (BSV IP )trong đó F : H1 −→ H1 và Ω = {x∗ ∈ Sol(C, F1) : Ax∗ ∈ Sol(Q, F2)} là tậpnghiệm của SVIP

Ta giả thiết các ánh xạ F, F1 : H1 −→ H1, F2 : H2 −→ H2 thỏa mãn đồng thờicác điều kiện sau:

(B1): F : H1 −→ H1 là β-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz trên H1.(B2): F1 : H1 −→ H1 là giả đơn điệu trên C và L1-liên tục Lipschitz trên H1.(B3): lim sup

Thuật toán 3.2 Chọn x0 ∈ H1, 0 < µ < 2β

L2 và các dãy số {αk} ⊂ (0, 1), {ηk},{δk}, {λk}, {µk} thỏa mãn đồng thời các điều kiện

kAk2+ 1

,{λk} ⊂ [c, d] với c, d ∈ 0, 1

L1

,{µk} ⊂ [e, f ] với e, f ∈0, 1

L2

.Với mỗi k ≥ 0, ta tính

uk = Axk, vk = PQ(uk − µkF2(uk)), wk = PQk(uk − µkF2(vk)),