Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do - P5

Ta hãy nghiên cứu dao động của một khối lượng tập trung M, đặt trên dầm AB. Dầm này được xem là vật thể đàn hồi không có khối lượng (khối lượng phân bố của dầm xem như không đáng kể và t

Chương 5

DAO ĐỘNG CỦA VÒM VÀ DÀN 5.1 Dao động của vòm

5.1.1 Khái niệm về cách tính dao động của vòm

Vòm là một thanh cong có tiết diện không đổi hoặc thay đổi và có trọng lượng bản thân khá lớn Khối lượng bản thân của vòm phân bố trên toàn chiều dài, nên vòm là hệ có

vô số bậc tự do Cách tính chính xác bài toán dao động của vòm rất phức tạp Để đơn giản ta có thể dùng phương pháp tính gần đúng bằng cách thay thế khối lượng phân bố bằng các khối lượng tập trung hữu hạn như ta đã nói trong chương 4 Muốn vậy, ta chia vòm thành một số đoạn như trên hình 5-1a, sau đó thay thế các khối lượng phân bố bằng các khối lượng tập trung bố trí ở trọng tâm mỗi phần khối lượng phân bố bị thay thế (hình 5-1b), hoặc bằng các khối lượng tập trung bố trí ở ranh giới các đoạn chia theo nguyên tắc cánh tay đòn (hình 5-1c)

Ngoài ra để cho quá trình tính toán được đơn giản hơn nữa, ta còn có thể thay trục cong của vòm bằng một đường gãy khúc (hình 5-2) Đường gãy khúc này bao gồm các đoạn thẳng cắt nhau tại ranh giới các đoạn đã chia (hình 5-2a,b) hoặc cắt nhau tại vị trí các khối lượng tập trung, khi đó bố trí các khối lượng tập trung này ở trọng tâm các phần khối lượng bị thay thế (hình 5-2c)

Như vậy, khi ta tính chuyển vị ta có thể dùng phép nhân biểu đồ Vêrêxaghin mà không phải tính tích phân theo công thức Mor Qua những thí dụ trên ta thấy số bậc tự do của kết cấu phụ thuộc sơ đồ khối lượng và dạng trục đã chọn Sau khi thay đổi sơ đồ tính như trên, ta có thể tính dao động của vòm theo bài toán dao động hệ có một số hữu hạn bậc tự do (số bậc tự do hữu hạn ) như đã trình bày trong chương 2

5.1.2 Dao động riêng của vòm

Đối với hệ thay thế có n bậc tự do, ta sẽ xác định được n tần số dao động riêng Trong thực tế ta chỉ cần tìm tần số cơ bản w1, nên có thể chọn sơ đồ thay thế sao cho đơn giản mà vẫn đạt được yêu cầu chính xác đối với kết quả w1

a,

b,

c,

n = ∞

n = 8

n = 6

Hình 5-1 Vòm có trục thay

thế dạng đường cong

b, a,

c,

n = 2

n = 6

n = 3

Hình 5-2 Vòm có trục thay thế dạng đường gãy khúc

Như ta đã biết, vị trí của khối lượng có ảnh hưởng lớn đến độ chính xác của kết quả, do đó cần căn cứ vào dạng dao động tương ứng với tần số cơ bản để chọn vị trí của các khối lượng tập trung thay thế Thí dụ đối với dầm đơn giản, khi chỉ cần tìm tần số cơ bản w1 thì sơ đồ đơn giản nhất là sơ đồ dầm có khối lượng tập trung ở giữa nhịp như trên hình 5-3

Đối với vòm không khớp và vòm hai khớp, dạng dao động chính thứ nhất tương ứng với tần số cơ bản w1 là dạng có điểm uốn ở đỉnh vòm Do đó sơ đồ thích hợp là sơ đồ

có các khối lượng tập trung tại vị trí một phần tư nhịp hoặc một phần tư cung vòm (hình 5-4) Các khối lượng tập trung ở chân vòm không có ảnh hưởng đến dao động của vòm Sau khi chọn được sơ đồ thay thế ta có thể áp dụng phương trình tần số đã thiết lập ở chương 2 để xác định các tần số dao động

Ngoài ra ta cũng có thể áp dụng các phương pháp gần đúng đã trình bày trong chương 4, để xác định tần số cơ bản w1 Chẳng hạn nếu dùng công thức gần đúng của Dunkerley ta có:

∑

=

+

= n

1 i

ng ii

d ii i

2

1

δ δ m

1

ω (5-1)

Trong đó:

siiđ, siing - là các chuyển vị đơn vị theo phương đứng và phương ngang của khối lượng mi đặt trên vòm do lực thẳng đứng pd = 1 và lực nằm ngang png =1 tác dụng tại điểm i gây ra;

n - số lượng khối lượng tập trung trên vòm

Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một thí dụ áp dụng

Trong trường hợp vòm thoải, khi tính tần số dao động riêng thứ nhất w1, ta có thể

coi phương chuyển vị của các khối lượng trên vòm vuông góc với trục vòm

5.1.3 Dao động cưỡng bức

Hình 5-3 Dầm đơn giản

ml l m

2 1

1 ml

4

Hình 5-4

Sơ đồ tính

m s 4

s m 4 s m

8

s m 8

Khi tính dao động cưỡng bức của vòm, ta cũng dùng sơ đồ khối lượng thay thế như

khi tính dao động riêng Nhiệm vụ cơ bản ở đây là xác định các lực quán tính do lực động

gây ra Như đã trình bày trong chương 2, hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ

các lực quán tính khi vòm chịu các lực động biến đổi dạng hàm Psinrt cũng có dạng như

hệ phương trình (2-57)

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

= + +

+ +

= + +

+ +

= + +

+ +

0 Z

Z Z

0 Z

Z Z 0 Z

Z Z

np n 2

n2 1 n1

2p n 2n 2

1 21

1p n 1n 2

12 1

∆ δ

δ δ

∆ δ

δ δ

∆ δ

δ δ

* nn

* 22

*

11

(5-2)

trong đó

2 i ii

r m

1

−

= δ

δ*

Hệ phương trình này có thể áp dụng cho kết cấu bất kỳ, nhưng cần chú ý rằng số

ẩn số không nhất thiết phải bằng số bậc tự do, mà bằng số lực quán tính (cũng tương tự

như phương trình tần số đã gặp trong thí dụ 5-2)

Nội lực động cực đại trong vòm được xác định theo biểu thức sau:

kp n kn 2

k2 1 k1

S = + + + + (5-4)

5.2 Dao động của vòm khi có kể đến ảnh hưởng của trọng lượng mặt cầu

Trong cầu vòm, đặc biệt là cầu vòm bê tông cốt thép, trọng lượng của bộ phận mặt

cầu có khi lớn hơn trọng lượng bản thân của vòm Đối với những trường hợp này khi tính

dao động của vòm ta không thể bỏ qua ảnh hưởng của trọng lượng mặt cầu

Giả sử xét vòm cho trên hình 13a Sơ đồ tính của vòm có dạng như trên hình

5-13b

C

C

a)

m

m

m

1

1

90 0 5m

2sinrt

90o

2 2

4,12m b)

Hình 5-5 Sơ đồ tính

Nếu kể thờm cỏc khối lượng m1 của bộ phận mặt cầu thỡ bài toỏn trở nờn phức tạp

hơn nhiều, vỡ vậy, ta cú thể chuyển chỳng lờn trờn để nhập vào cỏc khối lượng tập trung

trờn mặt cầu, vỡ khối lượng m2, m3, m4 của vũm nhỏ so với khối lượng của cả kết cấu

nhịp Cỏch làm này phự hợp với giả thiết là bỏ qua cỏc thành phần ngang của lực quỏn

tớnh đặt ở cỏc khối lưọng thuộc phần vũm Trong thực tế, vũm thường là thoải nờn giả

thiết trờn cú thể chấp nhận được với một sai số tương đối nhỏ

5.3 Dao động của dàn

5.3.1 Khỏi niệm về cỏch tớnh dao động của dàn

Khi giải quyết chớnh xỏc dao động dàn ta phải kể đến sự phõn bố khối lượng trờn

cỏc thanh (số bậc tự do bằng vụ cựng) và ảnh hưởng độ cứng của cỏc mắt Song như vậy

thỡ bài toỏn sẽ rất phức tạp Ở đõy ta nghiờn cứu cỏch tớnh được gọi là “chớnh xỏc” với giả

thiết sơ đồ kết cấu đó được đơn giản hoỏ như sau: khối lượng phõn bố của cỏc thanh được

chia đều và được tập trung về cỏc mắt dàn; cỏc mắt dàn được coi là khớp lý tưởng (hỡnh

5-20) Cỏch tớnh như vậy phự hợp với giả thiết bỏ qua hiện tượng dao động của từng

thanh quanh trục của nú Sau khi biến đổi sơ đồ tớnh của dàn theo giả thiết trờn, số bậc tự

do của dàn sẽ giảm xuống và trở thành hữu hạn

cú M mắt, tức là cú m khối lượng tập trung và cú Co liờn kết loại một nối với đất Mỗi

mắt dàn cú hai thành phần chuyển vị (ngang và đứng) tức là cú hai bậc tự do nờn số bậc

tự do của toàn bộ dàn được xỏc định theo cụng thức sau:

Hình 5-14 Sơ đồ tính dàn

Hỡnh 5-13 Cầu vũm

b)

I I

m1

1

m m1 m1 m1

4

m m3 m2 m3

4

m

Thí dụ đối với dàn cho trên hình 5-23 ta có:

n = 2.7 - 3 = 11

5.3.2 Dao động riêng của dàn

Ta có thể xem dàn như hệ có số bậc tự do hữu hạn, và áp dụng phương trình tần số

đã thiết lập trong chương 2 để xác định tần số riêng Khi thiết lập phương trình tần số ta phải xác định các chuyển vị đơn vị dik Trong bài toán về dàn khối lượng tính toán các chuyển vị này đòi hỏi mất khá nhiều công sức

Dưới đây ta hãy thiết lập hệ phương trình chính tắc của chuyển vị các khối lượng một cách khác dưới dạng khai triển Cách tính này không cần phải xác định các chuyển vị đơn vị

Khảo sát sự cân bằng động của mắt bất kỳ thứ i của dàn Giả sử tại mắt i có u thanh

ik quy tụ (hình 5-21) và có các lực quán tính tác dụng theo phương thẳng đứng(−m && i y i); theo phương ngang(−m && i x i) Gọi Nik là các nội lực động trong các thanh quy tụ tại mắt i Theo nguyên lý Đalămbe ta viết được phương trình cân bằng của mắt i (khi tách mắt i )

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

= +

−

=

= +

−

=

∑

∑

=

0 sin

0 cos

1

ik ik i

i

u k

ik ik

i i

N y

m Y

N x

m X

α

α

&&

&&

(5-6)

Mối quan hệ giữa các nội lực Nik với chuyển vị của các thanh đó (hình 5-22)

Theo định luật Húc, ta có:

ik ik

ik

l

EF

N = ∆ (5-7)

trong đó :

li’k cosai’k = lik cosaik + xk - xi;

i

m x i

N ik

m yi i

i

m i

α ik

y x

x

y

i

i

k k

ik

l

' '

i

k i

k

'

α ik

α ik

x y

0

Hình 5-15 Mắt i Hình 5-16 Thanh i-k

li’k sinai’k = lik sinaik + yk - yi.

Sau khi biến đổi, ta có:

(li’k)2 = lik2 + 2lik [(xk – xi) cosaik + (yk -yi) sinaik] +(xk -xi)2 + (yk -yi)2 (5-9)

Từ (5-9) và (5-8), ta có :

lik2 + 2likDlik +Dlik2 = lik2 +2lik [(xk – xi) cosaik + (yk -yi) sinaik]+(xk -xi)2 + (yk

-yi)2

Nếu bỏ qua các đại lượng Dlik2 , (xk -xi)2 , (yk -yi)2 so với các đại lượng khác ta có:

Dlik = (xk – xi) cosaik + (yk -yi) sinaik (5-10)

Thay (5-10) vào (5-7) ta có :

ik

ik

l

EF

Tiếp đó, thay (5-11) vào các phương trình cân bằng (5-6) ta được:

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

=

− +

− +

−

=

− +

− +

−

∑

∑

=

=

0 sin

sin ) (

cos ) (

0 cos

sin ) (

cos ) (

1

1

u

ik i

i

u

ik i

i

y y x

x l

EF y

m

y y x

x l

EF x

m

α α

α

α α

α

&&

&&

Để biến đổi các phương trình vi phân thành phương trình đại số, ta đặt nghiệm dưới dạng:

) sin(

)

(

) sin(

)

(

j j i i

j j i i

t b

t

y

t a

t

x

λ ω

λ ω

+

=

+

=

i j j

j i j

i j j

j i j

y t

b t

y

x t

a t

x

2 2

2 2

) sin(

)

(

) sin(

)

(

ω λ

ω ω

ω λ

ω ω

−

= +

−

=

−

= +

−

=

&&

&&

Thay những kết quả này vào (5-12) ta được :

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

=

− +

− +

−

=

− +

− +

−

∑

∑

=

=

0 sin

sin ) (

cos ) (

0 cos

sin ) (

cos ) (

1 2

1 2

u k

ik ik

i k ik i

k ik

ik i

j i

u k

ik ik

i k ik i

k ik

ik i

j i

y y x

x l

EF y

m

y y x

x l

EF x

m

α α

α ω

α α

α ω

(5-13)

Đây là các phương trình chính tắc của dao động riêng của dàn Đối với dàn có số bậc tự do n = 2M - Co, ta thiết lập được n phương trình chính tắc như trên Hệ phương trình này là thuần nhất và tuyến tính, để tồn tại các nghiệm chuyển vị xi , yi, ta có định thức các hệ số của hệ phải bằng không:

Biểu thức (5-14) chính là phương trình tần số dao động riêng của dàn Giải

phương trình tần số ta sẽ xác định được tần số riêng wj (j = 1,2, ,n) Đối với dàn có số mắt lớn hơn 3, việc giải định thức (5-14) sẽ rất phức tạp Trong thực tế thường dàn có

khá nhiều mắt nên phương pháp này cũng ít được áp dụng Dưới đây ta sẽ nghiên cứu

một số phương pháp gần đúng

5.3.3 Dao động cưỡng bức của dàn

Trong trường hợp tổng quát hệ phương trình chính tắc trong dao động cưỡng bức

của dàn chịu lực động Psinrt có dạng (xem chương 2):

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

=

∆ + +

+ +

=

∆ + +

+ +

=

∆ + +

+ +

0

0

0

* 2 2 1 1 2 2 2 * 22 1 21 1 1 2 12 1 * 11 np n nn n n p n n p n n Z Z Z Z Z Z Z Z Z δ δ δ δ δ δ δ δ δ (5-15) Sau khi xác định các hệ số và giải hệ phương trình này, ta sẽ tìm được biên độ các lực quán tính Z1, Z2, Zn Tiếp đó có thể xác định được nội lực động trong các thanh dàn theo biểu thức sau: ip n in i i i N Z N Z N Z N N = 1 1 + 2 2 + + + (5-16) trong đó: ij N - lực dọc trong thanh bất kỳ thứ i của dàn do lực Zj =1 gây ra; Nip- lực dọc trong thanh thứ i do biên độ của các lực kích thích tác dụng tĩnh gây ra Ngoài ra, ta cũng có thể viết hệ phương trình chính tắc dưới dạng khai triển tương tự như biểu thức (5-13) Sau khi tách mắt i như trên hình 5-23, ta có thể thiết lập các phương trình cân bằng động cho mắt đó như sau: thực hiện các biện pháp biến đổi như trên ta được các phương trình chính tắc viết cho mắt thứ i của dàn như sau: [ ] [ ] ⎪⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = − + − + + − = − + − + + − ∑ ∑ = = 0 sin sin ) ( cos ) ( sin 0 cos sin ) ( cos ) ( sin 1 2 1 2 u k ik k i ik k i ik ik ik iy i i u k ik k i ik k i ik ik ik ix i i y y x x l EF rt P y r m y y x x l EF rt P x r m α α α α α α (5-17) Hình 5-17 Mắt i i m x i

N ik m yi i

i

mi

α ik P sinrt ix

P sinrt iy

Giải hệ phương trình này ta sẽ xác định được nội lực động của thanh trong dàn

Cần chú ý rằng trong thực tế, đối với các dàn đơn giản, ta có thể tính gần đúng bằng cách

bỏ qua chuyển vị ngang của các mắt dàn

5.4 Cách tính gần đúng dao động riêng của dàn

Khi tính gần đúng dao động của dàn có nhiều phương pháp như: phương pháp

năng lượng, phương pháp dầm tương đương, phương pháp thay thế khối lượng v.v song

trong phần này ta chỉ trình bầy 2 phương pháp sau:

5.4.1 Phương pháp dầm tương đương

Nội dung phương pháp: thay dàn bằng dầm và coi gần đúng là khi hai hệ này có

độ võng tương đương thì tần số dao động của chúng cũng tương đương

Theo phương pháp này muốn tìm tần số cơ bản của dàn, trước tiên ta cần xác định

độ cứng EJ của dầm tương đương có tiết diện không đổi, trên cơ sở so sánh độ võng của

dầm và của dàn tại một điểm đặc trưng nào đó Giả sử dàn chịu trọng lựợng bản thân

phân bố đều q như trên hình 5-28a, nếu lấy điểm k ở giữa dàn là điểm đặc trưng (điểm

dùng để so sánh độ võng ) ta có độ võng tại k của dàn được xác địng theo công thức:

l

EF

N

Nk p

kp =∑

Mặt khác, chuyển vị tại tiết diện giữa nhịp dầm tương đương do tải trọng phân bố

đều q (hình 5-28b) gây ra là;

EJ

ql 384

5 f

4

Đối chiếu (5-18) với (5-19) ta sẽ xác định được độ cứng tương đương:

a)

q=const

kp

δ k

b)

f

q

DÇm t−¬ng ®−¬ng

Hình 5-18 PP dầm tương đương

=

l EF

N N

ql 384

5 EJ

p _

4

(5-20)

Sau khi tìm được độ cứng EJ của dầm tương đương, ta có thể xác định dao động cơ bản ω1 theo công thức đã quen biết của dầm như sau:

m

EJ

l2

2 1

π

Thay (5-20) vào (5-21) ta có:

kp

2 1

384δ

5g π

∑

=

l EF

N N

g 1,13

ω

p _

Phương pháp này cho kết quả khá chính xác đối với những dàn dầm đơn giản có biên song song So với phương pháp năng lượng cách tính cũng đơn giản hơn nhiều, vì không phải tìm chuyển vị tại tất cả các mắt của dàn

5.4.2 Phương pháp thay thế khối lượng

Ngay từ khi chọn sơ đồ để tính theo phương pháp được coi là “chính xác” ở trên, ta

đã vận dụng tính chất thay thế khối lượng Để nhằm mục đích làm đơn giản cách tính hơn nữa ta có thể thay thế các khối lượng với số lượng ít hơn số mắt của dàn Thường nên chuyển khối lượng của dàn về đường biên có mặt đường xe chạy, vì khối lượng của biên này lớn hơn