Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do - P3

Ta hãy nghiên cứu dao động của một khối lượng tập trung M, đặt trên dầm AB. Dầm này được xem là vật thể đàn hồi không có khối lượng (khối lượng phân bố của dầm xem như không đáng kể và t

Chương 3

DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ

DO

(Trong chương này không giảng trực tiếp mà chỉ hướng dẫn trên tài liệu, chỉ ra các phần tính toán đã được lập thành bảng sẵn, đồng thời biết sử dụng 1 số công thức trong chương để làm bài tập lớn)

3.1 Phương trình vi phân tổng quát của dao động ngang của thanh thẳng

Ta xét thanh thẳng có khối lượng phân bố, đây là hệ có vô số bậc tự do Dao động ngang của hệ tại một thời điểm bất kỳ được biểu diễn bằng đường đàn hồi của hệ đó Phương trình đường đàn hồi này là hàm số của hai biến số: toạ độ z và thời gian t :

y = f(z, t)

Theo sức bền vật liệu, ta đã biết độ võng và nội lực trong dầm có sự liên hệ vi phân như sau:

) , ( 2

2

t z M z

y

∂

∂

Ngoài ra giữa nội lực và tải trọng cũng có sự liên hệ như sau:

) , ( ) , ( 2

2

t z p z

t z M

=

∂

∂

Trong đó p(z, t) là cường độ của tải trọng phân bố; đại lượng này mang dấu dương khi chiều của tải trọng hướng lên Kết hợp hai biểu thức trên, ta có:

) , (

2

2 2

2 2

2

t z p z

M z

y EJ

∂

∂

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

(3-1)

Khi dầm dao động, tải trọng tác dụng trên dầm gồm có các lực kích thích, lực quán tính và lực cản (hình 3-1); lực kích thích phân bố có cường độ q(z, t) với chiều hướng lên trên là chiều dương; lực quán tính phân bố hướng theo chiều của chuyển vị , nếu xét tại thời điểm dầm có chuyển vị dương thì lực này có cường độ:

2

) (

t

t z y z m

∂

∂

−

z

y

q(z,t)

-m(z)

r(z,t)

δy 2 2

δt

Hình 3-1 Các lực tác dụng

Lực cản có chiều ngược với chiều của chuyển động và có cường độ r(z, t)

Vậy ta có :

) , ( )

( )

, ( ) ,

2

t z r t

y z m t

z q t z

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

∂

−

−

) t z ( t

y ) z ( m ) t z ( q ) t

z

(

p

2

2 +

∂

∂ +

Thay (3-2) vào (3-1) ta có:

) , ( )

( ) ,

2 2

2 2

2

t z r t

y z m t z q z

y EJ

∂

∂

−

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

Như vậy phương trình vi phân tổng quát của dao động ngang của dầm có dạng:

) , ( ) , ( )

2 2

2 2

2

t z q t z r t

y z m z

y EJ

∂

∂ +

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

Đó chính là phương trình vi phân của dao động cưỡng bức

Phương trình vi phân của dao động riêng:

0 ) , ( )

2 2

2 2

2

= +

∂

∂ +

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

t z r t

y z m z

y EJ

Nếu dầm có độ cứng EJ không đổi thì các phương trình vi phân (3-3) và (3-4) có

dạng:

EJ

) t z ( q ) t z ( t

y EJ

) z ( m z

y

2

2

4

4

−

= +

∂

∂ +

∂

∂

0 ) t z ( t

y EJ

) z ( m z

y

2

2

4

4

= +

∂

∂ +

∂

∂

(3-6) Khi dầm có khối lượng phân bố đều, trong các phương trình trên ta có m(z) = m

3.2 Dao động cưỡng bức của thanh thẳng không kể lực cản, chịu lực bất

kỳ q(z,t)

Theo (3-3), phương trình vi phân của dao động cưỡng bức khi không kể lực cản có

dạng :

) , ( )

( )

2

2

t z q t

y z m z

y z EJ

∂

∂ +

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

(3-7) Giả thử nghiệm tổng quát của (3-7) có dạng :

∑∞

=

=

1

) ( ) ( )

,

(

i

i

y t

z

ứng dụng cách phân tích tải trọng ta có:

=

=

1

) ( ) ( ) ( )

,

(

i

i

i z q t y

z m t

z

Thay(3-8), (3-9) vào (3-7) và chỉ xét số hạng thứ i của các tổng trong phương

trình này, ta có:

[ ( ) ,,( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

t q z y z m t F z y z m t F z y z EJ

∂

Chia hai vế của phương trình trên cho tích [m(z) yi(z)Fi(t)], sau khi biến đổi, ta

được:

) (

) ( ) (

) ( )

( ) (

) ( )

t F

t q t F

t F z

y z m

z y z EJ

i i i

i i

″ &&

Sau khi cho cả hai vế bằng đại lượng không đổi 2

i

ω

− , ta có : )

( )

(

2

t q t F

Phương trình này có dạng tương tự phương trình vi phân của hệ có một bậc tự do,

nghiệm của phương trình :

+ +

=

t

i i

i i i i i

F

0

) ( sin ) (

1 cos

sin )

ω ω

ω

+ +

i i

i i i i

F

0

) ( sin ) (

1 ) sin(

)

ω λ

thay (3-12) vào (3-8), ta có nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (3-7):

( ) 1 ( )sin ( ) ( ) sin

) ,

(

z y du u t u

q t

A t

z

i

t

i i

i i i i

=

∗

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

− + +

ω λ

3.3 Dao động riêng của thanh có khối lượng phân bố đều và tiết diện

không đổi

Ta xét trường hợp m=const; EJ=const và không kể lực cản [r(z,t)=0] Theo (3-6) phương

trình vi phân của dao động riêng cho trường hợp này có dạng:

0

2

2 4

4

=

∂

∂ +

∂

∂

t

y EJ

m z

y

(3-14) Nghiệm của phương trình (3-14) có dạng:

=

∞

=

=

=

) ( ) ( )

, ( )

,

(

i i

y t

z

trong đó :

( i i)

i i i i i

F( )= sinω + cosω = ∗sinω +λ

Các dạng chính yi(z) được xác định theo phương trình :

0 ) ( )

(z −k4y z =

với:

EJ

m k

2 i 4

i

ω

Nghiệm của phương trình (3-16) có dạng:

z k cos d z k sin c be

ae )

z

(

y = kii .z + i−ki.z + i + i

Hay cũng có thể viết :

z k D z k C z Bshk z

Achk z

Phương trình này biểu diễn dạng chính của dao động riêng ứng với tần số dao

động ω i

Để tiện cho việc tính toán sau này ,ta đặt:

( 1 3) 2

1

C C

2

1

C C

( 1 3) 2

1

C C

2

1

C C

Do đó, phương trình (3-18) có dạng mới :

z k z

k z

k z

A C z

Trong đó :

Để cho việc tính toán được dễ dàng, trong phần phụ lục đã thiết lập sẵn bảng giá trị

của các hàm Akiz ,Bkiz ,Ckiz ,Dkiz theo các biến số kiz (bảng4) Các hàm số trên có những

tính chất sau:

a) k z i k z

i

z k i z

z k i z

z k i z

b) A(0)=1 ; B(0)=0 ; C(0)=0; D(0)=0

Muốn xác định C1, C2, C3, C4 trong phương trình (3-19) ta phải dùng các điều kiện

biên sau:

Tại z=0 ; y(z) = y0 ; y,(z)= y0,;

EJ )

z

EJ )

z

Từ phương trình (3-19) ta suy ra:

⎭

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

+ +

+

=

−

=

+ +

+

=

−

=

+ +

+

=

z k 4 z k 3 z k 2 z k 1

3 i ,

z k 4 z k 3 z k 2 z k 1

2 i ,

z k 4 z k 3 z k 2 z k 1 i ,

i i

i i

i i

i i

i i

i i

A C D C C C B C k EJ

Q ) z

(

y

B C A C D C C

C k EJ

M )

z

(

y

C C B C A C D C k )

z

(

y

(3-20)

( cos ); 2

1

z k z

chk

2

1

z k z shk

( cos ); 2

1

z k z

chk

2

1

z k z shk

Từ các điều kiện biên ta xác định được :

0

0 2

1

y k

C i

=

EJ

M k

C

i

0 2 3

1

−

EJ

Q k

C

i

0 3 4

1

−

Thay những kết quả này vào các phương trình trên , ta có :

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

−

− +

=

−

− +

=

z k i z k i z k z

k i

z k i z k i z k i z k

i i

i i

i i

i i

C EJ k

Q B

EJ k

M A

y D k y z

y

D EJ k

Q C

EJ k

M B

k

y A y z

y

2 0 0

, 0 0

,

3

0 2

0

, 0 0

)

(

)

(

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫ +

+

−

−

=

+ +

−

−

=

z k z

k i z

k i z

k i

z k i z

k z

k i z

k i

i i

i i

i i

i i

A Q D k M C k EJy B

k EJy z

Q

B k Q A M D k EJy C

k EJy z

M

0 0

2 , 0

3 0

0 0

, 0

2 0

)

(

1 )

(

(3-21)

Các phương trình (3-21) cho phép ta xác định được các đại lượng cần nghiên cứu

trong dao động riêng của dầm Từ điều kiện tồn tại dao động riêng tức là tồn tại các thông

số chưa biết ta sẽ lập được phương trình xác địmh thông số ki sau đó thay vào công thức

(3-17) ta sẽ tính được tần số dao động riêng

.

2

M

EJ

k i

i =

Vì phương trình để xác định kj là phương trình siêu việt nên ta sẽ giải được vô số

nghiệm kj, nghĩa là có vô số tần số ω (i=1,2,3 ) Với mỗi tần số riêng i ω , hệ sẽ có một i

dạng chính tương ứng Tần số thấp nhất ω gọi là tần số cơ bản Trong trường hợp tổng i

quát, hệ dao động với tổng của các dạng chính

3.4 Dao động cưỡng bức của thanh thẳng có khối lượng phân bố đều và

tiết diện không đổi, chịu tác dụng của lực q(z,t) = q(z)sinrt

Trong trường hợp m=const; EJ=cosnt; lực cản r(z,t) = 0; theo (3-5), phương trình vi

phân dao động cưỡng bức có dạng :

EJ

rt z q t

y EJ

m z

2

2 4

4

−

=

∂

∂ +

∂

∂

(3-23) Nghiệm tổng quát của phương trình (3-23) gồm nghiệm của phương trình không có vế

phải Khi dao động đã bình ổn trong hệ chỉ tồn tại dao động cưỡng bức Ta tìm nghiệm riêng của

phương trình (3-23) dưới dạng:

Để xác định biên độ của dao động cưỡng bức y(z), ta thay (3-24) vào phương trình

(3-23), sau khi biến đổi ta được :

EJ

z q z y k z

) ( )

trong đó :

mr k

2

k gọi là hệ số đặc trựng của dầm khi dao động

Sau đây, để đơn giản chỉ xét trường hợp q(z) =q= const, do đó nghiệm riêng của

phương trình (3-25) có dạng:

EJ k

q z

Nghiệm tổng quát của phương trình (3-25) khi không có vế phải có dạng:

EJ k

q D

C C C B C A C z

Để xác định các hằng số C1, C2, C3, C4 ta dùng các điều kiện biên:

Tại z = 0: y(z) = y0; y’(z) = y’0; ( ) 0 ;

EJ

M z

EJ

Q z

y ′′′ ( ) = − 0 ,

ta xác định được :

EJ k

q y

C1 = 0 − 4 ;

k

y

=

EJ k

M

EJ k

Q

Vậy các phương trình biên độ chuyển vị và nội lực của dầm khi dao động cưỡng

bức có dạng :

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

+ +

+

−

−

=

−

=

+ +

+

−

−

=

−

=

−

−

−

′ +

=

−

−

−

−

′ +

=

kz kz

kz kz

kz

kz kz

kz kz

kz

kz kz

kz kz

kz

kz kz

kz kz

kz

B k

q A Q D kM C

EJy k B EJy k z EJy z

Q

C k

q B k

Q A M D kEJy C

EJy k z EJy z

M

D EJ k

q C

EJ k

Q B

kEJ

M A y D ky z

y

A EJ k

q D

EJ k

Q C

EJ k

M B

k

y A y z

y

0 0

, 0

2 0

3 ,,

2

0 0

, 0 0

2 ,,

3 2

0 0

0 0

,

4 3

0 2

0 0

0

) ( )

(

) ( )

(

)

(

1 )

(

(3-29)

Cần chú ý là các phương trình (3-29) chỉ đúng cho trường hợp dầm chịu tác dụng

của lực kích thích phân bố liên tục với cường độ qsinrt Từ đó ta có thể xây dựng được

phần tử mẫu chịu tải trọng và chuyển vị cưỡng bức để tiện cho việc tính khung và dầm

liên tục sau này

Sau đây ta sẽ nghiên cứu trường hợp tổng quát hơn Giả sử tại toạ độ z = a1 chuyển

vị, nội lực và tải trọng có sự thay đổi không liên tục (có bước nhảy):

.

i

a

y

∆ , ,

i

a

y

∆ (về chuyển vị ); .

i

a M

∆ , .

i

a Q

∆ (về nội lực); .

i

a q

∆ (về tải trọng)

Đối với trường hợp này ta cần thiết lập các phương trình chuyển vị và nội lực cho

từng đoạn trong đó các đại lượng kể trên là liên tục, đồng thời sử dụng các điều kiện nối

tiếp giữa đầu các đoạn tương tự như đã giải quyết trong bài toán dầm trên nền đàn hồi

quen biết, hoặc như trong chương 2 của phần ổn định công trình

Các phương trình chuyển vị và nội lực viết cho đoạn bất kỳ thứ (m+1) có thể biểu thị theo các phương trình của đoạn thứ m như (3-30)

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

∆ +

∆ +

+

∆ +

∆

−

∆

−

=

∆ +

∆ +

+

∆ +

∆

−

∆

−

=

∆

−

∆

−

−

∆

−

∆ +

∆ +

=

−

∆

−

∆

−

−

∆

−

∆ +

∆ +

=

−

−

−

−

− +

−

−

−

−

− +

−

−

−

−

− +

−

−

−

−

− +

) ( ) (

;

) ( )

(

;

) ( ) (

; 1

) ( ) (

) ( )

(

) ( )

( , 2 ) (

3 1

) ( 2 ) (

) ( )

(

, )

(

2 1

) ( 3 ) ( 2

) ( )

(

, ) ( ,

,

1

) ( 4

) ( 3

) ( 2 ) (

, ) ( 1

i i i

i

i i i

i i

i

i i i

i

i i i

i i

i

i i

i i

i i i

i i

i

i i

i i

i i i

i i

i

a z k a a

z k a

a z k a a

z k a a

z k a m

m

a z k a a

z k a

a z k a a

z k a a

z k a m

m

a z k a a

z k a

a z k a a

z k a a

z k a m

m

a z k a a

z k a

a z k a a

z k a a

z k a m

m

B k

q A

Q

D M k C

y EJ k B

y EJ k z Q z Q

C k

q B

k Q

A M D

y kEJ C

y EJ k z M z M

D EJ k

q C

EJ k Q

B kEJ

M A

y D

y k z y z y

A EJ k

q D

EJ k Q

C EJ k

M B

k

y A

y z y z y

(3-30)

Trong đó:

)

(z

y m , , ( )

z

y m ,M m (z), Q m (z)- chuyển vị và nội lực trong đoạn thứ m;

i

a

y

∆ , ,

i

a y

∆ ,∆M a i,∆Q a i- giá trị các bước nhảy của chuyển vị và nội lực tại hoành độ

z = ai là chỗ tiếp giáp giữa đoạn thứ m và đoạn thứ m+1(hình 3-7)

3.5 Dao động của dầm một nhịp có tiết diện không đổi và khối lượng phân

bố đều

Trong mục này ta sẽ thiết lập những kết quả cụ thể cho trường hợp dầm một nhịp có tiết diện không đổi, khối lượng phân bố đều, chịu các nguyên nhân kích thích khác nhau như tải trọng hoặc chuyển vị cưỡng bức để chuẩn bị cơ sở cho việc nghiên cứu dao động của khung và dầm liên tục (chương 6)

q sinrtm

Psinrt

q sinrtm+1 Msinrt

z = ai

Hình 3-2 Giá trị bước nhảy tại z = a i

3.5.1 Dầm đơn giản chịu lực động P(t) =Psinrt đặt ở giữa nhịp (hình 3-9)

3.5.1.1 Dao động tự do

Các thông số ban đầu (tại z=o):

0

y , M0 =0, Q0 =0 Các điều kiện ở cuối dầm (z = l) để tìm thông số chưa biết :

0

Theo (3-21), ta có:

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

= +

−

=

=

−

=

0

0

0 ,

0 1

3 0

, 0 1

l k i l k i

l k i l k i

i i

i i

B k

Q EJD y k M

D EJ k

Q B

k

y y

Điều kiện tồn tại dao động, tức là tồn tại y’0 và Q0:

i

l k l

k i

i

l k i

l k

k

B EJD

k

EJ k

D k

B

D

i i

i i

−

−

Suy ra :

0

2 2

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

i

l k i

l

k

k

D k

B

i i

Hay:

( k l + k l)( k l − k l)=0

i i i

B

Thay biểu thức của các hàm số Bkz và Bkz vào phương trình tên; sau khi biến đổi, ta

có :

0 sin k l =

l

vì shk i l ≠0, nên : sink i l=0

Suy ra :

) 3 , 2 , 1 ( =

=i i

l

Psinrt

l a=l/ 2

Hình 3-3 Sơ đồ tính

Thay kết quả này vào công thức (3-22), ta được

m

EJ l

i

2

Tần số cơ bản :

m

EJ

l2

2 1

π

Dạng chính thứ i của dao động xác định theo biểu thức:

z k i

i z k i

i

EJ k

Q B

k

y z

, 0

)

Hay:

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

i

i i i

i

Q

EJ k y EJ k

Q z

y

0

2 , 0 3

0

Từ một trong hai phương trình của (a), ta rút ra:

l k

l k i

i i

i

i

B

D Q

EJ k y

=

0

2 , 0

Theo (c) sink i l =0 nên từ (3-20) ta suy ra k l k l

i

D = Do đó :

1

0

2

,

i

i

i

Q

EJ

k

y

Vậy: ( ) [ k z k z]

i

i

EJ k

Q z

Thay biểu thức các hàm số Bkz và Dkz vào phương trình trên ta có:

l

z i f z

sin )

.

Trên hình 3-10 vẽ các dạng dao động riêng chính ứng với các tần sốω ,1 ω , 2 ω 3

3.5.1.2 Dao động cưỡng bức

Các tần số ban đầu: y0=0 ; y’0=? ; M0=0 ; Q0=?; q0=0

(ω )1

f 1sinπz l

2 (ω )

3 (ω ) l

2πz

f sin2

3πz sin

f

l 3

Hình 3-4 Các dạng chính

Ta có thể tìm hai thông số chưa biết bằng cách sau đây:

Dùng điều kiện ở cuối dầm, khi z = l: yl=0 ; M1=0

Các phương trình viết cho đoạn đầu ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ ≤ ≤

2

0 z l như sau:

kz

EJ k

Q B

k

y z

' 0

kz

k

Q D kEJy z

Các phương trình viết cho đoạn thứ hai ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ ≤ ≤

l z

l

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ − +

=

2 )

( )

2

l z D EJ k

P z

y z

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

−

=

2 )

( )

2

l z B k

P z M z

Từ đó ta thiết lập được phương trình để xác định y’0 và Q0 :

; 0 2 1 3

1 3

0 1

'

=

k k

k

EJ k

P D

EJ k

Q B

k

y y

; 0

2 3

0 '

k kl

kl

k

P B EJ k

Q D

kEJy M

Kết quả :

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

−

−

=

−

−

=

2 2

2 / 2

/ 0

2 2

2 / 2

/ 2

'

0

.

λ λ

λ λ λ

λ

λ λ

λ λ λ

λ

D B

D D B

B P Q

D B

D B B

D EJ k

P y

,

với λ = kl

3.5.2 Dầm có hai đầu ngàm, chịu tác dụng của lực động P(t)= Psinrt

Theo (3-29), các phương trình chuyển vị và nội lực viết cho đoạn thứ nhất có dạng:

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

+

=

+

=

−

=

−

=

kz kz

kz kz

kz kz

kz kz

A Q D kM z

Q

B k

Q A M z

M

C EJ k

Q B

kEJ

M z

y

D EJ k

Q C

EJ k

M z

y

0 0

1

0 0

1

2 0 0

,

1

3

0 2

0 1

) (

) (

)

(

)

(

với 0 ≤ z ≤ a

Theo (3-30), các phương trình chuyển vị và nội lực viết cho đoạn thứ hai có dạng:

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

+

=

−

=

+

=

+

=

−

−

−

−

) ( 1

2

) ( 1

2

) ( 2 1

,

2

) ( 3

1 2

) ( ) (

) ( ) (

) ( ' ) (

) ( ) (

a z k

a z k

a z k

a z k

A P z Q z

Q

B k

P z M z M

C EJ k

P z

y z

y

D EJ k

P z

y z

y

với a ≤ z ≤ l

Từ điều kiện ở cuối dầm (z = l), ta có:

0 ) ( 3

3

0 2

0

EJ k

P D

EJ k

Q C

EJ k

M

) ( 2 2

0 0

,

EJ k

P C

EJ k

Q B

kEJ

M

Suy ra :

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

−

−

=

−

−

=

−

−

−

−

λ λ λ

λ λ

λ λ λ

λ λ

D B C

D B C

C P Q

D B C

C D D

C k

p M

a l k a

l k

a l k a

l k

2

) ( )

( 0

2

) ( )

( 0

Trong đó: λ = kl

Sau khi tính được hai thông số ban đầu M0, Q0, đem thay vào phương trình (3-33)

và (3-34), ta có thể xác định được các thông số cần thiết khác

3.5.3 Dầm đơn giản chịu tác dụng của mômen M(t)= Msinrt đặt ở một đầu dầm

3.5.3.1 Trường hợp mômen đặt tại gối tựa trái

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

−

−

=

−

−

=

2 2 0

2 2

,

0

) (

.

λ λ

λ λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ

D B

D A D C kM Q

D B

D A C B kEJ

M y

3.5.3.2 Trường hợp mômen Msinrt đặt tại gối tựa bên phải (hình 3-15)

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

−

=

−

=

2 2 0

2 2

,

0

.

λ λ λ

λ λ λ

D B

B kM Q

D B

D kEJ

M y

(3-37)

3.5.4 Dầm có hai đầu ngàm chịu chuyển vị xoay α(t)= αsinrt

3.5.4.1Chuyển vị động ở ngàm trái

( )

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

−

−

−

=

−

−

=

) (

6 6

) (

4

) (

4

2

2 2 2 0

2 0

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ λ

λ α

λ α

D B C

C A B l

FJ Q

D B C

D A C B l

FJ M

3.5.4.2 Chuyển vị động tại ngàm phải

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

−

−

=

−

=

) (

6 6

) (

2 2

2

2 2

0

2 0

λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ α

λ α

D B C

C l

FJ Q

D B C

D l

FJ M

Vì λ = kl nên khi k = 0, thì λ = 0

Đây chính là trường hợp hệ chuyển vị tĩnh cưỡng bức Thay λ = 0 vào (3-39) ta có

dạng vô định, ta lại được các công thức quen thuộc

α

l

EJ

l

EJ

3.5.5 Dầm có hai đầu ngàm chịu tác dụng của chuyển vị thẳng tương đối theo

phương vuông góc với trục thanh ∆(t)= asinrt

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

−

−

−

=

−

−

=

λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

D B C

B A D C EJa k Q

D B C

D C A EJa k M

2

3 0

2

2 2

0

) (

(3-40)

3.5.6 Dầm có một đầu ngàm một đầu khớp chịu chuyển vị góc α(t) = αsinrt ở

ngàm

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

−

−

=

−

−

=

λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ

α

α

D A C B

B A D C kEJ Q

D A C B

D B kEJ M

0

2 2 0

3.5.7 Dầm có một đầu ngàm, một đầu khớp chịu chuyển vị thẳng tương đối theo

phương vuông góc với trục thanh ∆(t) = ainrt

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

) (

3

) (

3

) (

3

) (

3

2 2 3 3

0

3 2

0

λ λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ

D A C B

A C l

EJa Q

D A C B

D C B A l

EJa M

(3-42)

Cũng thực hiện tương tự như trên ta có thể giải quyết được các bài toán dầm một

nhịp chịu các dạng tải trọng động khác nhau Những kết quả tìm được trong mục này

dùng để lập bảng xác định các nội lực động đối với các phần tử mẫu khi nghiên cứu dao

động của khung và dầm liên tục (xem chương 6)