Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do - P2

Ta hãy nghiên cứu dao động của một khối lượng tập trung M, đặt trên dầm AB. Dầm này được xem là vật thể đàn hồi không có khối lượng (khối lượng phân bố của dầm xem như không đáng kể và t

Chương 2

DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT SỐ HỮU HẠN BẬC TỰ DO

2.1 Phương trình vi phân tổng quát của dao động

Ta nghiên cứu dao động của dầm có n khối lượng tập trung (hình 2-1) Giả thiết

không để ý đến kích thước của khối lượng và bỏ qua trọng lượng bản thân dầm Như vậy

hệ có n bậc tự do Hệ này dao động dưới tác dụng của các lực sau:

- Các lực kích thích q(t), P(t), M(t);

- Các lực quán tính do các khối lượng mk dao động: Z K =−m k.y&&k(t);

hướng theo chiều chuyển động

- Các lực cản đặt tại khối lượng RK(t) hướng ngược chiều chuyển động

Theo nguyên lý Đalambe, ta viết được phương trình chuyển động của các khối

lượng:

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) )

(t 1 Z1 t R1 t 2 Z2 t R2 t Z t R t t

(k = 1, 2, 3, , n)

Trong đó:

Ki

δ - chuyển vị của khối lượng mK do lực đơn vị đặt tại khối lượng mi theo phương

của chuyển vị yi gây ra trong hệ;

)

(t

KP

∆ - chuyển vị của khối lượng mK do các tải trọng q(t), P(t), M(t) gây ra với giả

thiết mK = 0 (coi như bài toán tĩnh)

Thay biểu thức của lực quán tính vào (2-1) và sau khi biến đổi, ta có:

−

−

⎥⎦

⎤

⎢⎣

−

⎥⎦

⎤

⎢⎣

)

(t 1 m1 y1 t R1 t 2 m2 y2 t R2 t

y k δk && δk &&

0 ) ( )

( )

⎥⎦

⎤

⎢⎣

−δkn m n y&&n t R n t kP t

hay:

+ +

⎥⎦

⎤

⎢⎣

+

⎥⎦

⎤

⎢⎣

)

(t 1 m1 y1 t R1 t 2 m2 y2 t R2 t

y k δk && δk &&

0 ) ( )

( )

⎥⎦

⎤

⎢⎣

m1

k

m

n

m

1

y (t)

y (t)k y (t)n

y

z

P(t) q(t)

M(t)

Hình 2-1 Sơ đồ tính

(k = 1, 2, , n)

Đó là phương trình vi phân tổng quát của dao động hay còn gọi là phương trình

chính tắc của hệ có n bậc tự do dùng để xác định các chuyển vị động y1(t), ,yn(t) của các

khối lượng

Nếu không kể tới lực cản, hệ phương trình (2-2) có dạng:

0 ) ( ) (

) ( )

( )

(t + 1m1y t + 2m2y2 t + + m y t −∆ t =

y k δk && δk && δkn n &&n kP , (2-3)

(k = 1, 2, , n)

Khi xét dao động tự do, vì không có lực kích thích nên trong các phương trình vi

phân (2-2) và (2-3) ta chỉ cần cho ∆kP(t)=0

Ngoài ra, ta cũng có thể thiết lập phương trình vi phân của dao động đối với từng

khối lượng riêng biệt, hoặc thay tác dụng của các lực quán tính và lực cản bằng phản lực

của các liên kết đàn hồi đặt tại các vị trí có mang khối lượng, sau đó áp dụng các phương

pháp tính toán tĩnh học đã quen biết để giải

2.2 Dao động riêng của hệ có một số hữu hạn bậc tự do

2.2.1 Phương trình cơ bản của dao động riêng

Khi không kể lực cản (RK = 0), từ phương trình (2-3) ta suy ra phương trình vi phân

của dao động riêng đối với hệ có n bậc tự do như sau:

0 ) t ( y m

) t ( y m )

t ( y m )

t

(

yk +δ 1 1&&1 +δ 2 2&&2 + +δkn n&&n = (2-4)

(k = 1, 2, , n)

Giả sử nghiệm tổng quát của (2-4) có dạng:

) ( )

(

1

t y t

y

n i Ki

=

Với các nghiệm riêng viết dưới dạng:

) ( ) (t y F t

(i = 1, 2, , n),

trong đó:

yki - các hằng số chưa biết;

Fi(t) - các hàm số theo thời gian t, chưa xác định

Ta xét một nghiệm riêng thứ i tương ứng với các khối lượng:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

=

=

=

) ( ) (

) ( ) (

) ( ) (

2 2

1 1

t F y t

y

t F y t y

t F y t

y

i ni ni

i i i

i i i

(2-7)

1i

y

(ω )i

Hình 2-2 Các chuyển vị

Từ (2-7) ta thấy tại mọi thời điểm, tỷ số giữa chuyển vị của các khối lượng là không

đổi ( nghĩa là không phụ thuộc thời gian) Đường đàn hồi của dầm xác định bởi các đại

lượng không đổi y1i, y2 i, , yni gọi là dạng chính thứ i của dao động riêng (hình 2-2)

Thay (2-7) vào (2-4) ta có:

[m y m y ]F (t) 0 )

t ( F

yKi i + 1δK1 1i + + nδKn ni &&i =

Hay:

ni Kn n i 1 1 K 1 Ki i i y m

y m y ) t ( F ) t ( F δ + + δ − = && (2-8) Vế trái của (2-8) phụ thuộc t còn vế phải phụ thuộc vị trí và trị số của các khối lượng Như vậy mỗi vế của đẳng thức này là một đại lượng không đổi và được ký hiệu là ±ω2 Vì dao động riêng là dao động điều hoà nên ở đây phải đặt là −ω2 Do đó từ (2-8) ta rút ra được hai phương trình: 1) F&&i(t)+ωi2F i(t)=0 (2-9) 2) 2 0 1 2 1 1 K i y i+ +m n Kn i y ni− y Ki = mδ ω δ ω (2-10) Phương trình (2-9) có dạng như phương trình vi phân dao động của hệ có một bậc tự do (xem chương 1), nên có nghiệm: t B t A t F i( )= isinωi + icosωi hay:

) sin( ) ( i i i i t A t F = ∗ ω +λ

(2-11) trong đó: 2 2 i i i A B A∗ = + ;

i i i A B tgλ = Như vậy nghiệm riêng thứ i của phương trình vi phân (2-4) chính là một hàm tuần hoàn có tần số vòng thứ i của dao động riêng là ω và pha ban đầu của dao động lài λ i Từ phương trình (2-10) lần lượt cho k = 1, 2, , n ta được hệ n phương trình chính tắc để xác định n các chuyển vị yki: ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = − + + + = − + + + = − + + + 0

0

0

2 2

2 2 2 1

2 1 1

2

2 2 2

2 22 2 1

2 21

1

1

2 1 2

2 12 2 1

2 11

1

ni ni i nn n i

i n i

i n

i ni i n n i

i i

i

i ni i n n i

i i

i

y y m

y m

y m

y y m

y m

y m

y y m

y m

y m

ω δ ω

δ ω

δ

ω δ ω

δ ω

δ

ω δ ω

δ ω

δ

hay:

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

=

− +

+ +

= +

+

− +

= +

+ +

−

0 ) 1 (

0

) 1 ( 0

) 1 ( 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 22 2 1 2 21 1 2 1 2 2 12 2 1 2 11 1 ni i nn n i i n i i n ni i n n i i i i ni i n n i i i i y m y m y m y m y m y m y m y m y m ω δ ω δ ω δ ω δ ω δ ω δ ω δ ω δ ω δ (2-12) Chia tất cả các phần tử trong hệ (1-12) cho 2 i ω và đặt 12 i i u ω = ta có: ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = − + + + = + + − + = + + + − 0 ) (

0

) ( 0

) (

2 2 2 1 1

1

2 2

22 2 1 21

1

1 2

12 2 1 11

1

ni i nn n i

n i

n

ni n n i

i i

ni n n i

i i

y u m

y m y m

y m y

u m

y m

y m y

m y u m

δ δ

δ

δ δ

δ

δ δ

δ

Hệ phương trình (2-12) và (2-13) là hệ phương trình thuần nhất đối với các ẩn số

là chuyển vị y1i, y2 i, , yni Đó là phương trình cơ bản của dao động riêng

Từ hệ này ta xác định được trị số của các tần số dao động riêng và phương trình

dao động riêng, ta thấy nghiệm tầm thường với y1i= y2 i = = yn i= 0 không thích hợp với

bài toán

Vậy, điều kiện tồn tại nghiệm (tức là tồn tại dao động) là định thức của hệ số các

ẩn số bằng không:

0.

1 ω δ m ω δ m ω

δ m

.

ω δ m 1 ω δ m ω

δ m

ω δ m ω δ m 1 ω δ m D

2 i nn n

2 i n2 2

2 i n1 1

2 i 2n n

2 i 22 2

2 i 21 1

2 i 1n n

2 i 12 2

2 i 11 1

=

−

−

−

hay

0.

u δ m δ

m δ

m

.

δ m

u δ m δ

m

δ m

δ

m u

δ m D

i nn n n2

2 n1

1

2n n i

22 2 21

1

1n n 12

2 i

11 1

=

−

−

−

Điều kiện này dẫn đến phương trình bậc n đối với ui Từ phương trình này ta xác

định được n nghiệm thực u1, u2, , un; tương ứng với các nghiệm đó ta suy ra một phổ

của các tần số dao động riêng: ω , 1 ω , , 2 ω Xếp thứ tự cấc n ω từ trị số nhỏ đến trị số i

lớn và gọi ω là tần số thứ nhất hay tần số cơ bản 1

Phương trình (2-14) hay (2-15) gọi là phương trình tần số hay phương trình thế kỷ

Phương trình này tìm được đầu tiên trong thiên văn học, dùng để xác định chu kỳ chuyển

động của các hành tinh đo bằng thế kỷ Việc giải phương trình này khá phức tạp đặc biệt

là khi số bậc càng lớn

Trong thức tế, thường chỉ cần tìm tần số thấp nhất, nên ta sẽ nghiên cứu cách tính

gần đúng đơn giản để xác định ω1 (xem chương 4) Như vậy, đối với hệ có n bậc tự do, ta

xác định được n trị số tần số dao động riêng, ứng với mỗi tần số dao động riêng ω , ta có i

một dạng chính của dao động

Tiếp theo là xác định phương trình chuyển động tổng quát của các khối lượng Theo (2-7) và (2-11), phương trình chuyển động của các khối lượng ứng với tần số ω có i dạng:

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

+

=

+

=

+

=

+

=

∗

∗

∗

∗

) sin(

) (

) sin(

) (

.

) sin( ) ( ) sin( ) ( 1 2 2 1 1 i i ni ni i i i ki ki i i i i i i i i i i t A y t y t A y t y t A y t y t A y t y λ ω λ ω λ ω λ ω (2-16) Thay (2-16) vào nghiệm (2-5), ta được phương trình dao động tổng quát của khối lượng mk: ∑ = ∗ + = n i i i ki k t y A t y 1 1 ) sin( ) ( ω λ (2-17) Đặt:

i ki ki y y 1 = µ (2-18) Trong đó:

k = 1, 2, , n chỉ thứ tự khối lượng (mk); i = 1, 2, , n chỉ thứ tự tần số riêng (ω ) i Lúc này phương trình (2-17) có dạng : ) sin( ) ( 1 1 i i i n i i ki k t y A t y = µ ∗ ω +λ = ∑ (2-19) hay:

) sin( ) ( 1 i i n i i ki k t C t y =∑µ ω +λ = (2-20) với : C i = y1i.A i∗ Đó là phương trình tổng quát của dao động tự do tại khối lượng m k; trong đó các đại lượngµ , ki C i, λ xác định như sau: i a) Xác định các tỷ số chuyển vị i ki ki y y 1 = µ Từ (2-12) sau khi chia tất cả các phần tử cho y1ita được: ( 1) 0

1 2 1 1 2 2 12 2 2 11 1 − + + + = i ni i n n i i i i y y m y y m mδ ω δ ω δ ω ( 1) 0

1

2 2 1

2 2 22 2

2 21

i

ni i n n i

i i

y m

y

y m

( 1) 0

1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 + + + − = i ni i nn n i i i n i n y y m y y m mδ ω δ ω δ ω Nếu chú ý đến (2-18), ta có: ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = − + + + = + + − + = + + + − 0 ) 1 (

0

) 1 ( 0

) 1 ( 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 22 2 2 21 1 2 1 2 2 12 2 2 11 1 ni i nn n i i n i n ni i n n i i i ni i n n i i i m m m m m m m m m µ ω δ µ ω δ ω δ µ ω δ µ ω δ ω δ µ ω δ µ ω δ ω δ (2-21) Ta thấy ứng với mỗi giá trị ω , hệ n phương trình đại số tuyến tính (2-21) chỉ có (n -i 1) ẩn µ (vì đã biết ki 1 1 1 1 = = i i k y y µ ) Do vậy, ta chỉ cần lấy (n -1) phương trình bất kỳ trong hệ phương trình (2-21) để xác định các ẩn số Điều đó có nghĩa là một phương trình bất kỳ trong hệ trên phụ thuộc tuyến tính vào các phương trình còn lại b) Xác định C i và λ i Sau khi tính được các trị số µ , trong phương trình chuyển vị của khối lượng ki m k (2-20) chỉ còn n trị số C i và n trị số λ là chưa biết Đó là các hằng số phụ thuộc các i điều kiện ban đầu của dao động tự do Ta có 2n điều kiện ban đầu: - Khi t = 0, thì ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ = = ∑ ∑ = = n i i i i ki k n i i i ki k C v C y 1 1 cos ) 0 ( sin ) 0 ( λ ω µ λ µ (k = 1, 2, , n) (2-22) Từ hệ 2n phương trình trên ta xác định được 2n trị số C i và λ i Trường hợp có kể lực cản, nếu quan niệm gần đúng là lực cản tỷ lệ với vận tốc: ) ( ) (t y t R k =βk&k , thì theo (2-2), phương trình vi phân của dao động riêng có dạng: [m y (t) y (t)] [m y (t) y (t)] 0 ) t ( yk =δ 1 1&&1 +β1&1 + +δkn n&&n +βn&n = Cũng dùng nghiệm theo dạng (2-5); tương tự như trên, ta có phương trình viết cho nghiệm riêng thứ i: 0 ) ( ) (

) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + i ni n n i kn n i i i k i ki F t y m t F m y t F m t F m t F y δ && β & δ && β & Giả sử β = const = 2α m i i Phương trình trên có thể viết dưới dạng tương tự (2-8): ni kn n i 1 1 1 ki i i i y m

y m

y )

t ( F

) t ( F 2 )

t

(

F

δ + + δ

−

= α

+ &

&&

Cũng lý luận tương tự như trên, sau khi cho đẳng thức này bằng 2

i

ω

− , ta rút ra được hai phương trình:

1 F&&i(t)+2αF&i(t)+ωi2F i(t)=0 (a)

1

2

1 ki i y i + +m n kn i y ni −y ki =

mδ ω δ ω (b) Phương trình (a) có dạng giống như phương trình dao động của hệ một bậc tự do

có kể tới lực cản Do đó nghiệm của phương trình này khi lực cản nhỏ, có dạng:

) cos sin

( )

i = − α ω∗ + ω∗

Trong đó: ω∗ = ω2 −α2

i i

Phương trình (b) có dạng giống như (2-10), nên các tần số riêng ω cũng có giá trị i giống như trên và được xác định theo phương trình tần số (2-14) Phương trình chuyển động của khối lượng m k, khi có kể tới lực cản, có dạng:

∗

∗

=

= n

i

n

t ki i

ki

y

)

( )

hay:

) sin(

)

(

1

.

i i i n

i

t ki

=

−

trong đó các đại lượng µ , ki C i, λ cũng được xác định như trên i

2.2.2 Cách sử dụng tính chất đối xứng của hệ

Tương tự như bài toán ổn định, trong bài toán dao động của hệ đối xứng, dạng chính của dao động riêng có hai loại: dao động có dạng đối xứng và dao động có dạng phản xứng

Khi hệ dao động với dạng đối xứng, các lực quán tính cũng đối xứng; còn khi hệ dao động với dạng phản xứng, các lực quán tính cũng phản xứng Do đó, để đơn giản việc tính toán ta có thể tìm cách tách bài toán thành hai loại bài toán riêng biệt, và tìm các tần số dao động riêng ứng với từng loại

Cách tính theo một nửa hệ

Tương tự ứng với mỗi dạng dao động đối xứng hoặc phản xứng, thay thế hệ đã cho bằng một nửa hệ có sơ đồ phù hợp với biến dạng đối xứng hoặc phản xứng Cách thay thế này đã được trình bày như phần I Trên (hình 2-7) trình bày một vài thí dụ về cách biến đổi sơ đồ tương ứng với dạng dao động đối xứng và phản xứng Sau đó ta lần lượt xác định các tần số dao động riêng cho từng nửa hệ riêng biệt

2.3 Các dạnh chính của dao động riêng, khai triển tải trọng và chuyển vị theo các dạng chính

2.3.1 Các dạng chính của dao động riêng

Tại một thời điểm bất kỳ, dạng dao động của kết cấu được xác định theo vị trí của khối lượng, tính theo công thức (2-20)

Đối với hệ có n bậc tự do, khi dao động riêng, chuyển vị của từng khối lượng là tổng hợp của n dao động, ứng với các tần số riêng ω1 khác nhau Dạng dao động ứng với

ω nào đó gọi là dạng chính thứ i của dao động riêng Như vậy, một hệ có n bậc tự do,

cũng có n dạng dao động chính Từ (2-6), ta thấy ứng với mỗi dạng chính của dao động riêng tỷ số giữa chuyển vị của các khối lượng

) (

) ( ) (

) (

t y

t y t y

t y

j

k ji

ki = là đại lượng không đổi Do

đó ta có thể xác định được dạng chính thứ i của dao động theo đường đàn hồi của dầm (hình 2-10a) gây ra bởi biên độ của các lực quán tính sau khi đã giảm đi S lần Để tiện lợi cho việc tính toán ta có thể chọn S bằng trị số biên độ của một trong các lực quán tính Thí dụ chọn S Z i m i2y1i

1

1 = ω

= Như vậy dạng chính thứ i của dao động riêng chỉ phụ thuộc vào tỷ số của chuyển vị

i

ki

ki y

y

1

=

µ (xem hình 2-10b)

Nếu nhân cả hai vế của phương trình (2-9) với y ki, ta có:

0 ) ( )

( F t + 2y F t =

y ki &&i ωi ki i

hay theo (2-6):

0 ) ( )

(t + 2y t =

y&&ki ωi ki (2-24)

Ta thấy phương trình vi phân (2-24) có dạng tương tự như phương trình (1-3) trong chương 1 Do đó có thể khảo sát chuyển động của khối lượng bất kỳ mk trong dạng chính thứ i như khảo sát bài toán dao động của hệ một bậc tự do tượng trưng; trong đó theo (2-10) ta có :

ni kn n i

k i

k

ki

y m y

m y m

y

δ δ

δ

ω

+ + +

=

2 2 2 1 1 1

2

Ngược lại, nếu biết một dạng chính nào đó ta có thể tính được tần số riêng của hệ ứng với dạng dao dao động đó Từ (2-31) ta có:

kk ki

trong đó:

ki

ni kk

kn n k

ki

i kk

k ki

i kk

k

y m

m y

y m y

y m

2 1 1

δ δ

δ δ

Hình 2-3 Dạng chính

1i y

m1 µni µ

m m

k ki 1 1

i 1i 1i Z =mω yki 2i ki Z =mω yni 2i ni a,

b,

Ta thấy (2-25) có dạng tương tự như công thức (1-2) trong chương 1 dùng để tính tần số dao động riêng của hệ có một bậc tự do, với khối lượng quy ước là Mki xác định theo(2-27) đặt tại vị trí mk

2.3.2 Tính chất trực giao của các dạng chính

Ta sẽ chứng minh rằng các dạng chính của dao động có tính chất trực giao nghĩa là công của ngoại lực (hay nội lực) của một dạng chính này trên chuyển vị (hay biến dạng) của một dạng chính khác bằng không

Xét hai dạng chính của dao động ứng với các tần số ω và i ω Để cho gọn ta có j thể chọn sơ kiện sao cho các phương trình chuyển vị có dạng:

- Đối với dạng chính thứ i (hình 2-11a)

y ki(t)= y kisinω1t;

do đó lực quán tính:

Z ki(t)=m kωi2y kisinωi(t)

- Đối với dạng chính thứ j (hình 2-11b)

y kj(t)= y kjsinωj t;

do đó lực quán tính

) ( sin )

Z kj = kωj kj ωj

Khi đó biểu thức công tương hỗ của các ngoại lực có dạng:

=

n

k

n

k

i ki j kj j k j

kj i ki i

m

2

2 sinω sinω ω sinω sinω ω

Như vậy, với bất kỳ thời điểm nào ta cũng có điều kiện:

( ) ∑

=

=

k

kj ki k j

1

2

ω

Vì ωi ≠ωj, nên ta suy ra:

1i

y (t)

Z (t)=m 1i 1 ω y sinω t1i

2

Z (t)ki Z (t)ni

(t)

ki

y y ni(t)

Z (t)=m 1j 1 ω jy sinω t1j

2

j

(t)

nj

y

kj(t)

y (t)

1j

y

Z (t)kj

j

(ω )

(ωi) a)

b)

Hình 2-4 Tính chất trực giao

=

=

n

k

kj ki

k y y m

1

Biểu thức (2-28) biểu thị tính chất trực giao của các dạng dao động chính đối với

hệ có một số hữu hạn bậc tự do Kết quả này không phụ thuộc sơ kiện

Tính chất trực giao cũng có thể biểu thị dưới dạng công của ngoại lực như sau:

GF

Q Q ds

EF

N N ds

EJ

M

2.3.3 Khai triển tải trọng và chuyển vị theo các dạng chính vào các khối lượng

2.3.3.1 Khai triển tải trọng :

Giả sử có hệ tải trọng Pk(t) đặt tại vị trí của các khối lượng mk (hình 2-12) Ta sẽ

phân tích các tải trọng này theo dạng chính tức là dưới dạng tổng của các thành phần tải

trọng được biểu diễn theo dạng chính của các dao động riêng:

∑

=

= n

i ki

k t P t

P

1 ) ( )

trong đó:

) ( )

(t m y H t

i - chỉ số biểu thị tần số dao động riêng thứ i;

k - chỉ số biểu thị khối lượng thứ k; Hi(t) - hàm chưa biết

Nhân hai vế của (2-30) với yki, sau đó lập tổng theo tất cả các khối lượng, ta có:

+

=

=

n

k

n

k

n

k

n

k

k k ki i

ki k ki ki

k t y y m y H t y m y H t

P

1

1 ( ) [

) (

)

(

)]

(

) ( )

( 2

2H t m y H t m y H t y

Sử dụng tính chất trực giao (2-28), ta được:

=

n

k

n

k

ki k i

ki

k t y H t m y

P

2 )

( )

( suy ra:

∑

∑

=

=

= n

k

ki k

n

k

ki k i

y m

y t P t

H

1 2 1 ) ( )

k

Hình 2-5.Khai triển tải trọng