Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chữ nhật tại A, ta lấy một điểm S.. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chữ nhật tại A, ta lấy một điểm S.. Đường thẳng vuông gó
Trang 1DAYHOCTOAN.VN FANPAGE:WWW.FACEBOOK.COM/DAYHOCTOAN.VN
BÀI TẬP ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG LỚP 11 GIÁO VIÊN: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC – HUẾ
DAYHOCTOAN.VN
I BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:
Câu 1 Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng thì d vuông góc với .
B Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng thì d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng .
C Nếu một đường thẳng d vuông góc với hai cạnh của một hình bình hành thì d vuông góc với hai cạnh còn lại của hình bình hành đó
D Nếu một đường thẳng d vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì d vuông góc với cạnh thứ ba
Câu 2 Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A Nếu n có giá song song với mặt phẳng thì n là một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng .
B Nếu n là một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng thì k n k 0 cũng là một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng .
C Nếu a b, có giá song song với mặt phẳng và n là một vec tơ pháp tuyến của thì n a 0 và 0
n b
D Một mặt phẳng có vô số vec tơ pháp tuyến
Câu 3 Cho tứ diện ABCD có AB CD. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A D, xuống các mặt phẳng tương ứng BCD và ABC . Câu nào sau đây sai?
A AD BC. B AH và DK không chéo nhau
C H là trực tâm của tam giác BCD D Đáp án khác
Câu 4 Cho tứ diện S.ABC với SA SB SC. Gọi O là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng
.
ABC Khi đó:
A O nằm trong tam giác ABC B O nằm ngoài tam giác ABC
C O có thể nằm trong hoặc nằm ngoài hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC
D Cả ba câu trên đều sai
Trang 2DAYHOCTOAN.VN FANPAGE:WWW.FACEBOOK.COM/DAYHOCTOAN.VN Câu 5 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC từng đôi một vuông góc Gọi H là chân đường vuông góc
hạ từ O xuống mặt phẳng ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A OB OCA . B CA OBH . C AB OCH . D Tất cả các câu trên đều đúng
Câu 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, chiều cao SA. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của điểm A xuống SB và SD. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A AH SBC . B SC ABCD . C SB ABC . D SD SAC .
Câu 7 Cho hình chóp tam giác S.ABC với ABC là tam giác đều và SA ABC . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AB và H, K lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC ABC, Mệnh đề nào sau đây đúng?
A BC SAC . B CJ / / SAB . C IJ SAC . D HK SBC .
Câu 8 Trong mặt phẳng P cho đường tròn tâm O, đường kính AB, C là một điểm trên O và đoạn
.
SA P Trong các đường thẳng sau đây, đường thẳng nào không vuông góc với BC?
A SB. B SC. C SA. D AC.
Câu 9 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và SA SB SC SD. Gọi E là trung điểm của AD; O là giao điểm hai đường chéo AC, BD Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng SAC và SBD và d' là giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A d ABCD . B BC SOE . C CD d d, ' D Tất cả đều đúng
Câu 10 Trong mặt phẳng P cho đường tròn tâm O, đường kính AB, C là một điểm trên O và đoạn
.
SA P Tam giác SBC có đặc điểm gì?
A Tam giác thường B Tam giác cân C Tam giác vuông D Tam giác đều
Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh 4 ,a SA 3 ,a SD 5 a Mệnh đề nào sau đây đúng?
A SA BCD . B BD SAC . C BC SCD . D AB SCD .
Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ABCD . Hạ
AH SB AK SD Mặt phẳng AHK cắt SC tại I Mệnh đề nào sau đây đúng?
A AB BC. B AH SC. C SC AI. D Tất cả đều đúng
Câu 13 Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chữ nhật tại A, ta
lấy một điểm S Mặt phẳng qua CD cắt SA tại M và cắt SB tại N Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?
Trang 3DAYHOCTOAN.VN FANPAGE:WWW.FACEBOOK.COM/DAYHOCTOAN.VN
A NM MD. B SC ABC . C CD SAD . D CB SAB .
Câu 14 Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chữ nhật tại A, ta
lấy một điểm S Mặt phẳng qua CD cắt SA tại M và cắt SB tại N Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng?
A SB ABC . B DC NC. C MN NC. D MN SAD .
Câu 15 Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B và SA SBC . Hãy chọn mệnh đề đúng?
A SA SBC . B SC SAB . C BC SAB . D AC SAB .
Câu 16 Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B và SA SBC .Hỏi tứ diện có mấy mặt là tam giác vuông?
A 1 B 2 C 3 D 4
Câu 17 Tập hợp các điểm M trong không gian cách đều hai điểm A và B là tập hợp nào sau đây?
A Đường thẳng trung trực của đoạn AB B Mặt phẳng trung trực của đoạn AB
C Một mặt phẳng song song với AB D Một đường thẳng song song với AB
Câu 18 Tập hợp các điểm M trong không gian cách đều ba đỉnh của một tam giác ABC là tập hợp nào
sau đây?
A Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
B Đường thẳng song song với mặt phẳng ABC .
C Mặt phẳng song song với mặt phẳng ABC .
D Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC .
Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ABCD và SA a 6 Góc giữa SC và mặt phẳng ABCD là:
A 30 0 B 45 0 C 60 0 D 90 0
Câu 20 Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đôi một vuông góc nhau và OA OB OC 1. Tính góc giữa AB và mặt phẳng OBC ?
A 30 0 B 45 0 C 60 0 D 90 0
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM:
Trang 4DAYHOCTOAN.VN FANPAGE:WWW.FACEBOOK.COM/DAYHOCTOAN.VN
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
II BÀI TẬP TỰ LUẬN:
Bài 1 Cho tứ diện ABCD có các cạnh DA, DB, DC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là trực tâm của
tam giác ABC Chứng minh rằng:
a) DH vuông góc với mặt phẳng (ABC)
b) 1 2 12 12 1 2.
DH DA DB DC
Bài 2 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và có cạnh SA vuông góc với mặt
phẳng đáy (ABCD) Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên các cạnh SB, SC, SD Chứng minh rằng:
a) BC (SAB); CD (SAD); BD (SAC)
b) SC (AHK) và điểm I cũng thuộc mặt phẳng (AHK)
c) HK (SAC) và HK AI
Bài 3 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SC, SB = SD
a) Chứng minh SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Chứng minh rằng IK vuông góc với mặt phẳng (SBD) và IK SD
c) Gọi là mặt phẳng chứa IK và song song với SO Hãy xác định thiết diện của hình chóp đã cho cắt bởi mặt phẳng và chứng minh BD
Bài 4 Cho tứ diện đều ABCD Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau
từng đôi một
Bài 5 Cho góc xOy nằm trong Trên đường thẳng Oz vuông góc với mặt phẳng tại O lấy một điểm C Gọi A và B là hai điểm lần lượt trên tia Ox và Oy
a) Chứng minh tứ diện OABC có ba cạnh đối diện vuông góc với nhau
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC) Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC
Bài 6 Cho mặt phẳng và tam giác AOB vuông tại O có cạnh OA // , cạnh OB không vuông góc với Gọi tam giác A’O’B’ là hình chiếu vuông góc của tam giác AOB trên Chứng minh tam giác A’O’B’ vuông tại O’
Bài 7 Hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau
Gọi I là trung điểm của cạnh BC và AH là đường cao của tam giác AID Chứng minh rằng:
a) BC AD b) AH (BCD)
Bài 8 Hình chóp tam giác S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Tam giác ABC có
ba góc nhọn và có H là trực tâm Tam giác SBC có K là trực tâm Chứng minh rằng:
Trang 5DAYHOCTOAN.VN FANPAGE:WWW.FACEBOOK.COM/DAYHOCTOAN.VN
a) Ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy
b) Cạnh SC vuông góc với mặt phẳng (BHK)
c) Đường thẳng HK vuông góc với mặt phẳng (SBC)
Bài 9 Cho tam giác ABC Gọi là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CB tại B
a) Chứng minh hai mặt phẳng và không trùng nhau và không song song với nhau
b) Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng và Chứng minh d (ABC)
Bài 10 Hình chóp S.ABCD có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và tứ giác ABCD là một
hình thang vuông tại A và D với .
2
AB
ADDC Gọi I là trung điểm của đoạn AB Chứng minh rằng: a) SBCI SC; DI. b) Các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông
Bài 11 Chứng minh rằng tập hợp những điểm cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC là đường
thẳng d vuông góc với (ABC) tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó
Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với (ABC) và SA = a 2 Tam giác ABC có BC = 2a và đường cao AD = a Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC
a) Chứng minh EF (SAD)
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên đường thẳng EF Chứng minh AH nằm trong mặt phẳng (SAD) và tính độ dài đoạn AH
c) Tính diện tích tam giác AEF theo a
Bài 13 Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng nếu AC = AD và BC = BD thì AB CD
Bài 14 Cho hình chóp S.ABC Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng:
SASBSCOA OB OC
Bài 15 Cho tứ diện SABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC)
a) Chứng minh BC (SAB)
b) Kẻ đường cao AH trong tam giác SAB Chứng minh AH (SBC)
c) Kẻ đường cao AK trong tam giác SAC Chứng minh SC (AHK)
d) Đường thẳng HK cắt BC tại I Chứng minh IA (SAC)
Bài 16 Hai đoạn thẳng AB và CD nằm chắn giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) có độ dài AB =1,
CD = 3 Biết góc giữa AB và (P) gấp đôi góc giữa CD và (P) Tính số đo của hai góc này
Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA (ABCD) Hãy xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) qua A, vuông góc với SC
Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O Biết SA = SC và SB = SD
a) Chứng minh SO (ABCD)
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, BC Chứng minh IJ (SBD)
Bài 19 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi O là tâm đường tròn (BCD)
a) Chứng minh AO (BCD) và tính AO theo a
b) Gọi I là trung điểm của AO Tính độ dài các đoạn IB, IC, ID theo a Từ đó chứng minh chúng vuông góc với nhau từng đôi một
Trang 6DAYHOCTOAN.VN FANPAGE:WWW.FACEBOOK.COM/DAYHOCTOAN.VN Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
SA = a Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AB và SC
Chứng minh IS = IC = ID, từ đó chứng minh IK (SDC)
Bài 21 Cho hình chóp S ABCD có SA = SB = SC = a, 0 0
ASB90 ;BSC60 và 0
ASC 120 Gọi I là trung điểm của cạnh AC Chứng minh SI vuông góc với (ABC)
Bài 22 Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB =a, BC = b, CD = c
a) Tính độ dài AD b) Xác định điểm I biết rằng I cách đều A, B, C, D
Bài 23 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc
a) Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn
b) Chứng minh rằng hình chiếu H của O lên mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC c) Chứng minh rằng 1 2 12 12 12.
OH OA OB OC
Bài 24 a) Cho tứ diện ABCD có AB CD, AC BD Chứng minh AD BC (Tứ diện trên có các cạnh đối vuông góc với nhau, ta gọi đó là tứ diện trực tâm)
b) Chứng minh các mệnh đề sau là tương đương:
(i) ABCD là tứ diện trực tâm
(ii) Chân đường cao hạ từ một đỉnh trùng với trực tâm của mặt đối diện
(iii) 2 2 2 2 2 2
.
AB CD AC BD AD BC
c) Chứng minh rằng 4 đường cao của tứ diện trực tâm đồng quy tại một điểm (Điểm này gọi là trực tâm của tứ diện nói trên)
Bài 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA (ABCD) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD
a) Chứng minh MN // BD và SC (AMN)
b) Gọi K là giao điểm của SC với (AMN) Chứng minh tứ giác AKMN có hai đường chéo vuông góc với nhau
c) Nếu SA = AB = a, tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD); góc giữa BD và (SBC)
Bài 26 Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC và AOBBOCCOA. Gọi H là hình chiếu của O lên (ABC) Chứng minh OH tạo với các mặt bên những góc bằng nhau, bằng Tính góc theo .
Bài 27 Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC vuông tại B, SA (ABC) Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm I thuộc cạnh AB và vuông góc với SB Hãy xác định thiết diện do (P) cắt hình chóp Thiết diện
là hình gì? Thiết diện có thể là hình chữ nhật không?
Bài 28 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân, AB = AC = a, AA’= a 2 Hai điểm I và K lần lượt là trung điểm của BC và CC’; M và N lần lượt là trung điểm của AC và BI Chứng minh B’C (AIK)
Trang 7DAYHOCTOAN.VN FANPAGE:WWW.FACEBOOK.COM/DAYHOCTOAN.VN Bài 29 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ tâm O Chứng minh rằng một mặt phẳng (P) qua O,
vuông góc với đường chéo AC’ của hình lập phương, cắt hình lập phương theo một thiết diện là một lục giác đều
Bài 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a; AD = DC = a; SA
vuông góc với đáy, SA = a 2 Gọi M là trung điểm của CD
a) Chứng minh BC (SAC)
b) Tính diện tích thiết diện do mặt phẳng (P) chứa SM và vuông góc với (SAC) cắt hình chóp
Bài 31 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b Gọi G là trọng tâm
của tam giác ABC
a) Chứng minh SG (ABC) Tính SG
b) Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại C1 nằm giữa S và C Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bới (P)
Bài 32 Cho tứ diện ABCD Tìm điểm O cách đều bốn đỉnh của tứ diện
Bài 33 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn AD 2 ,a AB BC CD a. Hình chiếu của S trên (ABCD) là trung điểm I của AD Tam giác SAD đều
a) Tính góc giữa SC và ABCD
b) Gọi K là trung điểm của AB, tính góc giữa SI và mặt phẳng SAB
c) Tính góc giữa BD với SAB
d) Tính góc giữa SA và MBD , với M là trung điểm của SC
Bài 34 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O; SA ABCD Gọi M, N lần lượt
là hình chiếu của A lên SB và SD
a) Chứng minh MN / /BD và SC AMN
b) Gọi K là giao điểm của SC với AMN Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc với nhau
c) Nếu cho AB a SA, a 6, tính góc giữa SC và mặt phẳng ABCD và góc giữa BD và
SBC
Bài 35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O, SA ABCD SA, a 2 a) Tính góc giữa SO và ABCD b) Tính góc giữa SC và SAB
c) Tính góc giữa BD và SAD d) Tính góc giữa SB và SAC
Trang 8DAYHOCTOAN.VN FANPAGE:WWW.FACEBOOK.COM/DAYHOCTOAN.VN Bài 36 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD 2BC và
.
AB BC a SA ABCD và SA a 2
a) Tính góc giữa SC và SAD b) Tính góc giữa SD và SAC
c) Tính góc giữa SB và SAC d) Tính góc giữa AC và SCD
Bài 37 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính góc giữa:
a) B D' và AA D D' ' b) BD và B AC'
Bài 38 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ABCD Hãy xác định thiết diện của:
a) mặt phẳng (P) qua trung điểm I của AB và vuông góc với AC với tứ diện
b) mặt phẳng (Q) qua A, vuông góc với SC và hình chóp S.ABCD
Bài 39 Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC vuông tại B, SA ABC và SA AB. Gọi P
là mặt phẳng qua một điểm M thuộc cạnh AB và vuông góc với SB Hãy xác định thiết diện do (P) cắt hình chóp Thiết diện là hình gì? Thiết diện có thể là hình bình hành được không?
Bài 40 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông đáy lớn là AD SA, ABCD Mặt phẳng qua M thuộc cạnh SC và vuông góc với AB Hãy xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng Thiết diện là hình gì?
Bài 41 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác vuông cân,
AB AC a AA a Ba điểm I K M, , lần lượt là trung điểm của BC, CC’ và BI
a) Chứng minh: B C' AIK
b) Xác định thiết diện do mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với B C' cắt hình lăng trụ
-HẾT -
Sự học là chùm rễ cay đắng, nhưng hoa trái lại ngọt ngào!