Bài tập hình nón (có lời giải chi tiết)

Cắt hình nón N bằng một mặt phẳng đi qua trục của hình nón được thiết diện là một tam giác vuông cân có diện tích bằng 2 3a.. Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh là đỉnh của hình nó

THI ONLINE – BÀI TOÁN VỀ HÌNH NÓN – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1 Cho hình nón (N) có chiều cao h, độ dài đường sinh l, bán kính đáy r Ký hiệu S tp là diện tích toàn phần của (N) Công thức nào sau đây là đúng?

A S tp rl B.S tp rl2r C S tp rlr 2 D S tp 2rlr 2 Câu 2 Gọi l, h, R lần lượt là dộ dài đường sinh, chiều cao và bán kính của hình tròn đáy Đẳng thức nào sau

đây luôn đúng?

A l2 h2R2 B 12  12  12

2  2  2

R h l D l2 hR Câu 3 Cho hình nón (N) có chiều cao bằng 4cm, bán kính đáy bằng 3cm Diện tích xung quanh của (N) là:

A  2

12 cm B  2

15 cm C  2

20 cm D  2

30 cm Câu 4 Cho hình nón (N) có đường sinh bằng 9cm, chiều cao bằng 3cm Thể tích khối nón (N) là:

A  3

72 cm B  3

216 cm C  3

72 cm D  3

27 cm

Câu 5 Diện tích xung quanh của hình nón được sinh ra khi quay tam giác đều ABC cạnh a xung quanh đường

cao AH là:

2 a 2



2

a 3 2



Câu 6 Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh AB2a Quay tam giác này xung quanh cạnh AB Tính thể tích của khối nón được tạo thành:

A

3

4 a

3



3

4 a 3



3

8 a 3



3

8 a 2 3



Câu 7 Cho tam giác ABC vuông tại B có  0

ABa, A30 Quay tam giác này xung quanh cạnh AB Diện tích toàn phần của hình nón được tạo thành là:

A 3 a 2 B 5 a2

3 C a2 C 3 a 2 Câu 8 Cắt hình nón (N) bằng một mặt phẳng đi qua trục của hình nón được thiết diện là một tam giác vuông

cân có diện tích bằng 2

3a Diện tích xung quanh của hình nón là:

A 2  2

6 a cm B 2  2

2 a cm C 2  2

6 2 a cm D 2  2

3 2 a cm Câu 9 Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh 2a, cạnh bên bằng 3a Hình nón (N) ngoại tiếp hình chóp

S.ABCD Thể tích của khối nón (N) là:

A 3  3

7 a cm B 3  

3

7 a

cm 3



2 a cm D 3  

3

2 7 a

cm 3



Câu 10 Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng 2R Diện tích xung quanh của hình nón

bằng:

A

2

R

2



R

2 R D 2

4 R

Câu 11 Cho hình nón đỉnh S có đường cao bằng 6cm, bán kính đáy bằng 8cm Trên đường tròn đáy lấy hai

điểm A, B sao cho AB 12cm Diện tích tam giác SAB bằng:

A  2

48 cm B  2

40 cm C  2

60 cm D  2

100 cm

Câu 12 Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh là đỉnh của hình nón, 3 đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy

của hình nón Thể tích khối nón bằng:

A

3

a 3

27



3

a 6 27



3

a 3 9



3

a 6 9



Câu 13 Một hình nón được sinh ra do một tam giác đều cạnh a quay quanh đường cao của nó Một mặt cầu có

thể tích bằng thể tích hình nón đó thì có bán kính bằng:

A

3

a 2 3

4 B

3

a 3

3

a 2 3

8 D

3

a 2 3

2

Câu 14 Một hình nón có đường sinh bằng 3cm và góc ở đỉnh bằng 0

90 Cắt hình nón bởi mặt phẳng   đi qua đỉnh sao cho góc giữa   và mặt đáy bằng 600 Khi đó diện tích thiết diện là:

A 9 3  2

cm

2 B 27  2

cm

2 C  2

6 cm D  2

3 2 cm

Câu 15 Khối nón (N) có chiều cao bằng 3a Thiết diện song song và cách mặt đáy một đoạn bằng a, có diện

tích bằng 64 a2

9  Khi đó thể tích khối nón (N) bằng:

A 16 a 3 B 25 a3

3  C 48 a 3 D 16 a3

3  Câu 16 Cho hình nón đỉnh S, tâm đáy là O, góc ở đỉnh là 135̊ Trên đường tròn đáy lấy điểm A cố định và

điểm M di động Tìm số vị trí M để diện tích SAM đạt giá trị lớn nhất?

Câu 17 Cho mặt cầu tâm O bán kính R Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn

(C) Hình nón (N) có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn (C) và có chiều cao h hR Tính h để thể tích khối nón được tạo nên bởi (N) có giá trị lớn nhất

A h 3R B h 2R C h 4R

3

2



Câu 18 Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối cầu

đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón Bán kính đáy của hình nón đã cho là:

A 8a

3

Câu 19 Cho tam giác ABC vuông tại A cạnh AB6, AC8, M là trung điểm AC Tính thể tích khối tròn

xoay do tam giác BMC quay một vòng quanh cạnh AB là:

Câu 20 Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ Chiều cao của cốc là 20cm, bán kính đáy

cốc là 4cm, bán kính miệng cốc là 5cm Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được

dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dưới đây:

A l58, 67cm B l 58,80cm C l59,98cm D l61, 20cm

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN BỞI BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM

Câu 1

Hướng dẫn giải chi tiết

2

  đ  

Chọn C

Câu 2

Hướng dẫn giải chi tiết

Áp dụng định lí Pi – ta – go trong tam giác vuông ABH ta có: l2 h2R2

Chọn A

Câu 3

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét tam giác vuông SHB có: 2 2 2 2 2  

SB  SH HB  4 3 5 cm h

xq

S rl.3.5 15  cm

Chọn B

Câu 4

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có: lSA9cm, hSH3cm

Xét tam giác vuông SAH có: AH SA2SH2  9232  72r

Khi đó thể tích khối nón là: 1 2 1  3

V r h 72.3 72 cm

Chọn A

Câu 5

Hướng dẫn giải chi tiết

Quay tam giác đều ABC quanh đường cao AH của nó ta được hình nón đỉnh A, đáy là đường tròn đường kính

BC

Ta có: BH CH 1BC 1a r

    (Trong tam giác đều đường cao đồng thời là đường trung tuyến)

lABa

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là:

2

xq

S rl a



Chọn B

Câu 6

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có: hAB2a, rAC2a

Thể tích khối nón là: 1 2 1  2 8 a3

V r h 2a 2 a



Chọn C

Câu 7

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét tam giác vuông ABC có: BC AB.tan 30 a 1 a r

3 3

2

3 3

đ

xq

a 2a a 2 a a

3 3

3 3 3

 

 

Chọn C

Câu 8

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có:

SAB

1

S SA 3a SA 6a SA a 6 l

2

       

1

AB SA 2 2a 3 AI AB a 3 r

2

2 xq

S rl a 3.a 6 3 2 a

Chọn D

Câu 9

Hướng dẫn giải chi tiết

Khối nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có đỉnh S, đáy của nón là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD Gọi  O ACBDSOABCD

Vì ABCD là hình vuông cạnh 2aACBD2a 2

1

OA AC a 2 r

2

Xét tam giác vuông SOA có:  2  2

SO SA OA  3a  a 2 a 7 h

Vậy thể tích của khối nón ngoại tiếp chóp S.ABCD là:  2 3  

V r h a 2 a 7 cm



Chọn D

Câu 10

Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi l, r lần lượt là độ dài đường sinh và bán kính đáy của hình nón

Ta có: l2r2R r R

Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là: S xq rl  2

.R.2R 2 R

  

Chọn C

Câu 11

Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi SI là đường cao của hình nón SI 6cmh

Gọi H là trung điểm của ABHIAB (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

AH BH AB 6 cm

2

   , AIBI8 cm 

Xét tam giác vuông AHI có: 2 2 2 2 2

HI AI AH 8 6 28

SI là đường cao SIIH SHI vuông tại I 2 2  

SH SI HI 36 28 8 cm

Vì SASB (cùng bằng độ dài đường sinh của hình nón)

SAB

  cân tại SSHAB (trung tuyến đồng thời là đường cao)

 2 SAB

S SH.AB 8.12 48 cm



Chọn A

Câu 12

Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi I là tâm tam giác đều ABCDIABC

Đáy ABC là tam giác đều cạnh a

ABC

a 3 AB.AC.BC a

4 4r 4r

Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy

3

2

a 3 3

DI ABC DIIB DIB vuông tại I

2

3 3

Vậy thể tích khối nón bằng:

2

1 1 a a 6 a 6

V r h

3 3 3 3 27



Chọn B

Câu 13

Hướng dẫn giải chi tiết

Khi quay tam giác đều ABC quanh đường cao AH ta nhận được hình nón có đỉnh A, đáy là đường tròn đường kính BC

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên AH a 3 h; r BH 1a

Khi đó thể tích khối nón bằng

2 n

1 1 a a 3 3 a

V r h

3 3 4 2 24



Gọi R là bán kính hình cầu có cùng thể tích với hình nón trên

Vì

4 3 a 3a a 2 3 a 2 3





Chọn A

Câu 14

Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi SI là đường cao của hình nón

Giả sử mặt phẳng   cắt mặt nón theo thiết diện (SBC)

Gọi H là trung điểm của BC ta có:IHBC (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

Tam giác SBC có: SB SC  SBCcân tại SSHBC (trung tuyến đồng thời là đường cao)

Gọi   là mặt phẳng đáy của hình nón ta có:

   

 

 

   

BC

SH BC ; SH; IH SHI 60

IH BC







Ta có: SASB3a

Xét tam giác vuông cân SAB có:   1 3 2  

AB SA 2 3 2 cm SI AB cm

     (trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Xét tam giác vuông SHI có:  

3 2

SI 2

sin 60 3

2

Xét tam giác vuông SHB có: 2 2    

HB SB SH  9 6  3 cm BC2 3 cm

SBC

S SH.BC 6.2 3 3 2 cm

Chọn D

Câu 15

Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi thiết diện song song và cách mặt đáy một đoạn bằng a là đường tròn tâm I đường kính B’C’

IH a AI AH HI 2a

Ta có diện tích hình tròn tâm I đường kính B’C’ là 64 a2

.B'I a B' I a

Dễ thấy:  

8a 3a

AI B'I AH.B'I 3

Vậy thể tích khối nón là: 1 2 1 2 3

V r h 16a 3a 16 a

Chọn A

Câu 16

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có:  2  2 2

SAM

S SA.SM.sin ASM SA sin ASM SA l

Dấu “=” xảy ra khi   0

sin ASM 1 ASM90 SASM

Vậy để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất thì điểm M chạy trên đường tròn đáy sao cho SMSA

 Có 2 vị trí như vậy trên đường tròn đáy

Chọn C

Câu 17

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có: Gọi bán kính (C ) với tâm là I là r 0 r R thì dễ có S phải thuộc OI và :

Xét tam giác vuông OAI có:

OI OA IA R r h SI SO OI R r R

V r h r ( R r R)

Xét hàm số:

3

2 2

2 2

f (r) r ( R r R)

r

f '(r) 2r R r 2rR

R r



   

 

2

2 2

2 2

2

r

f '(r) 0 2 R r 2R 0

R r 2(R r ) r 2R R r 0

3r 2R 2R R r

(3r 2R ) 2R R r 3r 2R

9r 12R r 4R 4R 4R r

8 2 2R



Ta có: 2 2R 32R3   3

0;R

Chọn C

Câu 18

Hướng dẫn giải chi tiết

Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là ∆ ABC với A là đỉnh nón, BC là đường kính đáy nón

Gọi H là tâm đường tròn đáy của hình nón, O1, O2 lần lượt là tâm của mặt cầu lớn và nhỏ, D1, D2 lần lượt là tiếp điểm của AC với (O1) và (O2)

Vì O1D1 // O2D2 (cùng vuông góc với AC) nên theo hệ thức Ta – let ta có:

2

AO O D a 1

O

AO O D 2a 2

     là trung điểm của OD1 AO12O O1 2 2 a 2a6a

1 1

AH AO O H 6a 2a 8a

Xét tam giác vuông AO D1 1 có: AD1 AO12O D1 12  36a24a2 4 2a

Dễ thấy   1 1

1 1

HC AH O D AH 2a.8a

O D AD AD 4 2a

Chọn C

Câu 19

Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi V1 là thể tích của hình nón đỉnh B, đáy là hình tròn bán kính AC, V2 là thể tích hình nón đỉnh B, đáy là hình tròn bán kính AM

Suy ra thể tích khối tròn xoay do tam giác BMC quay một vòng quanh cạnh AB là: VV1V2

Ta có: V1 1 r h12 1 1 AC AB2 1 8 6 1282

V r h AM AB 4 6 32

1 2

V V V 128 32 96

Chọn C

Câu 20

Hướng dẫn giải chi tiết

Đặt b, a, h lần lượt là bán kính đáy cốc, bán kính miệng cốc và chiều cao của cốc,  là góc kí hiệu như hình vẽ

Ta trải hai lần mặt xung quanh của cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt như hình vẽ với cung nhỏ BB’ và cung lớn AA’ có độ dài lần lượt là:



BB' 2.2 b 4 b 2 OB OB 



AA' 2.2 a 2 OA OA 



l

(BB’ vừa là cung tròn của đường tròn tâm D’ bán kính b, vừa là cung tròn của đường tròn tâm O bán kính OB, AA’ vừa là cung tròn của đường tròn tâm C bán kính a, vừa là cung tròn của đường tròn tâm O bán kính OA) ( BB';AA' )

Khi đó độ dài ngắn nhất của đường đi con kiến là độ dài đoạn thẳng l AB'

Áp dụng định lý cosin trong tam giác OAB’:l AB' OA2OB'22.OA.OB'.cos 2 (1);

AB ACBD' CD'  (ab) h



 



 

BB'

2 b

a 2 b 2(a b) 2(a b)

1

2

a 5, b 4, h 20 (2)

401

b (a b) h

a

1 b

b (a b) h

OA OB BA

a















l

l

(a b) h 4 401 401 5 401



Thế vào biểu thức (1) ta được: l 58,80 (cm)

Chọn B