Các phương pháp nghiên cứu

Nội dung của các phương pháp này như sau: tạo cho hệ đang nghiên cứu một dạng cân bằng lệch khỏi dạng cân bằng ban đầu; xác định giá trị của lực (lực tới hạn) có khả năng giữ hệ ở trạng th

Chương 1

CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1.1 Khái niệm về các phương pháp tính

1.1.1 Các phương pháp tĩnh học

Nội dung của các phương pháp này như sau: tạo cho hệ đang nghiên cứu một dạng cân bằng lệch khỏi dạng cân bằng ban đầu; xác định giá trị của lực (lực tới hạn) có khả năng giữ hệ ở trạng thái cân bằng mới Lực tới hạn được xác định từ phương trình đặc trưng hay còn gọi là phương trình ổn định biểu thị điều kiện tồn tại dạng cân bằng mới

Các phương pháp thuộc loại này bao gồm:

- Phương pháp trực tiếp thiết lập và giải các phương trình vi phân

- Phương pháp thiết lập và giải các phương trình đại số

- Phương pháp lực

- Phương pháp chuyển vị

- Phương pháp hỗn hợp …

1.1.2 Các phương pháp năng lượng

Theo các phương pháp này ta cần cho trước dạng biến dạng của hệ ở trạng thái lệch; Căn

cứ vào biến dạng giả thiết này ta thiết lập các biểu thức thế năng biến dạng và công của ngoại lực để viết điều kiện tới hạn của hệ theo các biểu hiện dưới dạng năng lượng đã xét

ở phần 3 chương mở đầu, từ điều kiện tới hạn ta xác được tải trọng tới hạn cần tìm Các phương pháp thuộc loại này bao gồm:

- Phương pháp áp dụng trực tiếp nguyên lý Dirichlê

- Phương pháp Ritz

- Phương pháp Timôxêncô…

1.1.3 Các phương pháp động lực học

Nội dung tóm tắt của phương pháp này như sau: áp dụng các phương pháp nghiên cứu trong động lực học công trình, thiết lập phương trình dao động riêng của hệ thanh chịu lực nén, xác định tải trọng tới hạn từ điều kiện tần số dao động riêng bằng không [1]

1.2 Phương pháp thiết lập và giải các phương trình vi phân

Theo phương pháp này ta tiến hành theo thứ tự như sau:

1 Thiết lập phương trình vi phân của đường biến dạng của hệ ở trạng thái biến dạng lệch khỏi trạng thái ban đầu

2 Tìm nghiệm của phương trình vi phân

3 Thiết lập các phương trình xác định những hằng số tích phân và phản lực gối tựa chưa biết từ các điều kiện biên Các phương trình thiết lập được là hệ phương trình đại số thuần nhất Một trong những nghiệm của hệ phương trình này là các

ẩn số đều bằng không Muốn cho hệ chuyển từ trạng thái ổn định sang trạng thái không ổn định thì định thức của các hệ số của hệ phương trình thuần nhất phải bằng không, nghĩa là:

D(α) = 0 (1-1)

Trong đó: α là các hệ số của phương trình, phụ thuộc vào đặc trưng hình học và tải trọng

dưới dạng hàm siêu việt Phương trình (1-1) là phương trình đặc trưng hay phương trình

ổn định của hệ theo phương pháp tĩnh

4 Giải phương trình ổn định (1-1) để tìm các lực tới hạn

Cách giải này thường áp dụng cho hệ có số bậc tự do là vô cùng, song chỉ có lực

tới hạn thứ nhất (nhỏ nhất) mới là lực tới hạn có ý nghĩa thực tiễn Đó là phương pháp

chính xác, áp dụng thích hợp cho những hệ thanh đơn giản

1.3 Phương pháp thiết lập và giải các phương trình đại số

Theo phương pháp này ta tiến hành theo thứ tự sau:

1 Tạo cho hệ một trạng thái biến dạng lệch khỏi dạng ban đầu Trạng thái này được

xác định theo các chuyển vị tại một số hữu hạn các điểm

2 Căn cứ vào các điều kiện cân bằng, điều kiện biến dạng ta thiết lập được hệ

phương trình đại số liên hệ giữa các chuyển vị tại những điểm khảo sát , hệ

phương trình đại số đó có thể đưa về dạng tổng quát như sau:

⎪

⎪

⎬

⎫

=

− + + +

= +

+

− +

= +

+ +

−

0 y λ a

y a y a

0 y a

y λ a y a 0 y a

y a y λ a ni i nn 2i n2 1i n1 ni 2n 2i i 22 1i 21 ni 1n 2i 12 1i i 11 (1-2) Trong đó: λi - đại lượng phụ thuộc thông số của lực tới hạn thứ i yki - chuyển vị tại điểm thứ k của đường biến dạng tương ứng với tải trọng thứ i akm - các hệ số phụ thuộc kích thước hình học và độ cứng của hệ Hệ phương trình thuần nhất (1-2) được thoả mãn với hai trường hợp: - Tất cả các nghiệm yki đều bằng không Lúc này hệ đang xét không có dạng cân bằng ổn định mới khác dạng ban đầu nghĩa là hệ chưa mất ổn định - Các nghiệm yki tồn tại Lúc này hệ đang xét có dạng cân bằng mới khác dạng ban đầu nghĩa là hệ ở trạng thái tới hạn Điều kiện để cho phương trình thuần nhất (1-2) có các nghiệm yki khác không là định thức các hệ số của (1-2) phải bằng không ( ) ( ) ( ) 0 λ a

a a

a

λ a a a

a λ

a D

i nn n2

n1

2n i

22 21

1n 12

i 11

=

−

−

−

Phương trình (1-3) là phương trình đặc trưng hay phương trình ổn định của phương pháp

này

3 Giải phương trình ổn định (1-3) ta sẽ xác định được n giá trị của λi và từ đó suy ra n

giá trị của lực tới hạn

Hệ phương trình này không xác định, nhưng nếu cho trước giá trị của một chuyển vị nào

đó, chẳng hạn cho trước y1i thì ta có thể xác định các chuyển vị còn lại theo y1ivà sẽ được

dạng biến dạng của hệ

1.4 Phương pháp sai phân

Nội dung của phương pháp này là thay thế việc giải phương trình vi phân bằng việc giải

hệ phương trình đại số thiết lập dưới dạng sai phân

Ta tiến hành theo thứ tự sau:

1 Thay phương trình vi phân cân bằng ở trạng thái lệch bằng các phương trình sai

phân

2 Giả thiết chuyển vị tại một số điểm của hệ ở trạng thái lệch rồi sử dụng các

phương trình sai phân để thiết lập phương trình đại số thuần nhất với các ẩn số là

chuyển vị

3 Thiết lập phương trình ổn định bằng cách cho định thức của hệ phương trình đại

số bằng không

4 Giải phương trình ổn định để tìm các lực tới hạn

Đối với các thanh, khi thay đường chuyển vị là đường cong bằng đường gãy khúc với k

khoảng chia ∆z đều nhau dọc theo chiều dài trục, ta có các sai phân (hình 1-1):

∆y = yi -yi-1;

∆z

y y

∆z

∆y

;

z

y y z

y

∆

−

−

∆

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

i

∆z

∆y

∆ tgα

∆

2 1 i i 2

i 1 i 2

2

∆z

y y

∆z

y y

∆z

∆y

∆z

∆

∆z

y

−

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Nếu phương trình vi phân đường biến dạng của hệ có dạng:

0 2 2

2

= +α y dz

y

d

, (1-4)

EJ

P

y i-1

α

H×nh 1-1 Sai ph©n

thì tại mỗi điểm i sau khi thay 22

dz

y d

bằng 22

∆z

y

∆

và thay y = yi ta được các phương trình sai

2 1

+

i i i-i

∆z

y y y

, với :

i

P

( 2 2) 1 0

1 + − + + =

với

i = 1, 2, , (n-1)

trong đó :

2 2

2

EJ

P

∆z α

β

i i

Nếu chia hệ thành n khoảng thì số ẩn số yi nói chung bằng n + 1 (y0, y1, , yn) còn số

phương trình sai phân chỉ có (n -1) nên để giải bài toán ta cần bổ sung thêm hai điều kiện

biên

Đây là phương pháp gần đúng áp dụng có hiệu quả cho những trường hợp hệ có tiết diện

thay đổi theo quy luật phức tạp Để tăng mức độ chính xác của phương pháp ta có thể vận

dụng các công thức sai phân bậc cao hoặc tăng số lượng đoạn chia, nhưng tất nhiên khối

lượng tính toán lúc này cũng tăng lên

1.5 Phương pháp Bupnôp- Galoockin

Phương pháp Bupnôp - Galoockin là phương pháp gần đúng xây dựng trên cơ sở tìm

nghiệm gần đúng phương trình vi phân thông qua hệ phương trình đại số tuyến tính

Phương trình vi phân cân bằng của hệ ở trạng thái lệch có dạng tổng quát

(z,y,y,,y,,, )=0

Giả sử nghiệm của phương trình vi phân có thể viết dưới dạng:

∑

=

i

i

i (z) f y

1

trong đó:

p - số nguyên bất kỳ

fi - các hệ số chưa biết

ϕi(z) - các hàm độc lập tuyến tính, thoả mãn các điều kiện biên

Theo Galoockin, các hệ số fi được xác định từ p phương trình đại số như sau:

0

1 1

1

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

=

=

(z)dz

(z), f (z), f , (z) f z,

p i

,, i i p

i

, i i p

i i

Dấu tích phân trong các phương trình trên áp dụng cho toàn hệ

Như vậy, khi giải bài toán ổn định theo phương pháp này ta thiết lập phương trình vi

phân của dạng cân bằng ở trạng thái lệch được biểu diẽn dưới dạng (1-8); tiếp đó giả thiết

nghiệm gần đúng của phương trình dưới dạng chuỗi (1-9) và thiết lập các phương trình

(1-10) Kết quả ta sẽ được p phương trình đại số thuần nhất với p ẩn số f1, f2, , fp, Để

cho các fi tồn tại khác không (tức là tồn tại trạng thái cân bằng ổn định mới) thì định thức

của phương trình này phải bằng không điều kiện định thức bằng không là phương trình

ổn định của hệ Từ phương trình này ta sẽ xác định được lực tới hạn

Phương pháp này áp dụng có hiệu quả đối với những hệ có bậc tự do bằng vô cùng và

cho kết quả chính xác nếu chọn nhiều hàm độc lập ϕi(z) Thường chỉ cần lấy bằng 2 hay

3 là đủ

1.6 Phương pháp năng lượng áp dụng trực tiếp nguyên lý Dirichlê

Theo biểu hiện (4) trong chương mở đầu, trạng thái cân bằng phiếm định xảy ra khi:

δT = δV (1-11) trong đó:

δT là số gia công của ngoaị lực

δV là số gia của thế năng biến dạng đàn hồi

Điều kiện (1-11) là phương trình xác định lực tới hạn theo phương pháp năng lượng

Trong trường hợp tổng quát sự biến thiên năng lượng biến dạng của hệ đàn hồi còn có thể

xác định theo biểu thức sau [xem giáo trình cơ học kết cấu]:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+ +

GF

Q µ ds

EF

N ds

EJ

M δV

2 2

2

2

1

(1-12) trong đó:

M, N, Q - nội lực trong hệ ở trạng thái cân bằng lệch với trạng thái ban đầu

µ - hệ số điều chỉnh kể đến sự phân bố không đều của các ứng suất tiếp

Trong công thức này dấu ∑ áp dụng cho tất cả các cấu kiện của hệ

Trong những trường hợp có thể bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng trượt và biến dạng dọc

trục, ta có:

Nếu chú ý là: EJy,, =−M , ta có:

( )

∑∫

2

1

(1-13)

ϕ

H×nh 1-2 BiÕn d¹ng ph©n tè

Đối với những trường hợp khi trong hệ chỉ tồn tại lực dọc N (trường hợp dàn khớp), ta

∑∫

=

EJ

l N

2

1

(1-14)

Số gia δT của công các ngoại lực phụ thuộc dạng tải trọng, do đó cần phải xác định riêng

biệt cho từng bài toán

Trong những trường hợp khi hệ chỉ chịu các lực tập trung Pk đặt tại các nút hoặc các đầu

thanh ta có thể xác định δT như sau: ∑

=

= m 1 k Pk k P

trong đó:

δPk - chuyển vị theo Pk của điểm đặt lực Pk

m - số tải trọng đặt ở các nút hoặc các đầu thanh

Giá trị δPk có thể xác định như sau: Pk =l∫k Pk

0

∆δ

δ , trong đó ∆δPk- độ biến thiên chiều dài của phân tố ds của thanh chịu lực Pk khi phân tố xoay một góc ϕ (hình 1-2), còn lại lk-

là chiều dài của thanh chịu lực nén Pk

2

1 ds tg 2

1 2

2ds 2 ds2sin cos

1 ds dscos ds

2 2

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

≈

=

−

=

−

Do đó:

( )y ds δ

k

l ,

Pk =∫

0

2

, suy ra: δT P ( )y ds

k

l , m

k k∫

∑

=

=

0

2

1

2

1

(1-15)

Để xác định lực tới hạn ta tiến hành theo thứ tự sau:

- Tự cho trước đường biến dạng y của hệ ở trạng thái lệch phù hợp với các điều kiện

biên

- Xác định số gia của thế năng biến dạng theo công trức (1-12) ÷ (1-14)

- Xác định số gia của công ngoại lực (1-15)

- Thiết lập phương trình ổn định theo (1-11) và từ đó suy ra lực tới hạn cần tìm

Những kết quả tìm được theo phương pháp này thường lớn hơn kết quả chính xác (xem

mục 11) Vì phải tự cho trước đường biến dạng; nếu đường biến dạng cho trước càng gần

với thực tế thì kết quả càng chính xác Ngoài ra sau khi xác định được giá trị tới hạn gần

đúng ta cũng không phán đoán được mức độ chính xác của kết quả