Lý thuyết đàn hồi tuyến tính được xây dựng trên cơ sở giả thiết biến dạng nhỏ, còn lý thuyết đàn hồi phi tuyến dựa trên giả thiết các biến dạng lớn. Trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính nguy
Trang 1Chương 1
CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH
1.1 Khái niệm
Lý thuyết đàn hồi tuyến tính được xây dựng trên cơ sở giả thiết biến dạng nhỏ, còn
lý thuyết đàn hồi phi tuyến dựa trên giả thiết các biến dạng lớn Trong lý thuyết đàn hồi
tuyến tính nguyên lý cộng tác dụng hoàn toàn đúng Với một vật thể đàn hồi ta cần xét
mối quan hệ giữa các đại lượng: chuyển vị - biến dạng, biến dạng - ứng suất, ứng suất -
tải trọng Các quan hệ này được mô tả bởi 15 phương trình vi phân đạo hàm riêng với bài
toán không gian và 8 phương trình với bài toán phẳng, cụ thể như sau :
1.1.1 Bài toán không gian:
-Sáu phương trình biểu thị sự liên hệ biến dạng- chuyển vị;
-Sáu phương trình biểu thị liên hệ ứng suất- biến dạng;
-Ba phương trình cân bằng biểu thị quan hệ ứng suất- tải trọng
1.1.2 Bài toán phẳng
-Ba phương trình biểu thị sự liên hệ biến dạng -chuyển vị;
-Ba phương trình biểu thị sự liên hệ ứng suất- biến dạng;
-Hai phương trình cân bằng biểu thị quan hệ ứng suất- tải trọng
1.2 Các phương trình biến dạng - chuyển vị
Biến dạng của kết cấu hoặc môi trường liên tục dưới tác động của một hệ tải trọng
cho trước, hoàn toàn có thể xác định nếu biết được chuyển vị của một điểm bất kỳ thuộc
kết cấu hay môi trường liên tục đó, dưới dạng hàm số liên tục tại điểm đang xét
1.2.1 Bài toán không gian
Trong hệ toạ độ x, y, z chuyển vị tại một điểm được xác định bằng ba thành phần và
thường được ký hiệu như sau:
) , , ( );
, , ( );
, , (x y z u u x y z u u x y z u
Biến dạng dọc trục được xác định theo các công thức:
z
u y
u x
zz y yy x
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
Biểu diễn dưới dạng ma trận ta có:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
z y x
zz
yy
xx
u u u
z y
x
0
0
0 0
0 0
ε
ε
ε
(1-3)
Các biến dạng trượt được xác định theo các công thức sau:
Trang 2u y
u x y
∂ +
∂
∂
=
ε
y
u z
u y z
yz
∂
∂ +
∂
∂
=
z
u x
u z x zx
∂
∂ +
∂
∂
=
ε
Trong đó:
εxy = εyx
εyz = εzy
εzx = εxz
Biểu diễn dưới dạng ma trận ta có:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
z y x
zx
yz
xy
u u u
x z
y z
x y
0
0
0
ε
ε
ε
(1-5)
Nếu gộp thành một phương trình dưới dạng ma trận ta có:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
z y x
zx
yz
xy
zz
yy
xx
u u u
x z
y z
x y
z y x
.
0 0
0
0 0
0 0
0 0
ε
ε
ε
ε
ε
ε
(1-6)
Hay:
Trong đó: [ ]∇ là ma trận các toán tử vi phân
1.2.2 Bài toán phẳng:
Chuyển vị của một điểm bất kỳ gồm hai thành phần và được ký hiệu như sau:
ux = ux(x,y); uy = uy (x,y)
Biến dạng được xác định theo chuyển vị như sau:
x
u x
xx ∂
∂
=
ε
Trang 3u y
yy ∂
∂
=
x
u y
u x y xy
∂
∂ +
∂
∂
=
ε
Viết dưới dạng ma trận:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
y x
xy
yy
xx
u u
x y y
x
0
0
ε
ε
ε
(1-9)
Hay:
1.3 Phương trình ứng suất - biến dạng
Khi thừa nhận giả thuyết đàn hồi tuyến tính, đồng nhất và đẳng hướng, sự liên hệ
giữa ứng suất và biến dạng được biểu thi bằng định luật Hooke tổng quát
Nếu kể đến ảnh hưởng của sự thay đổi nhiệt độ với giả thiết chỉ xét đến ảnh hưởng
biến dạng dọc trục vì nhiệt độ mà bỏ qua ảnh hưởng đến biến dạng trượt vì nhiệt thì các
phương trình ứng suất- biến dạng được thiết lập như sau:
1.3.1 Bài toán không gian
E xx yy zz
ε = 1 − ( + ) +
E yy xx zz
ε = 1 − ( + ) +
E zz xx yy
xy xy
xy
G
ε = 2.(1+ ) = 1
yz yz
yz
G
ε =2.(1+ ) = 1
zx zx
zx
G
ε = 2.(1+ ) = 1
Trong đó:
E - modul đàn hồi dọc trục;
G - modul đàn hồi trượt;
μ - hệ số Poisson;
α - hệ số giãn nở vì nhiệt;
Trang 4T - độ biến thiên nhiệt độ
Nếu biểu diễn dưới dạng ma trận ta có:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+ +
+
−
−
−
−
−
−
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
0 0 0 1 1 1
) 1 ( 2 0 0
0 0 0
0 ) 1 ( 2 0 0
0 0
0 0
) 1 ( 2 0 0 0
0 0
0 1
0 0
0 1
0 0
0 1
1
T E
zx yz xy zz yy xx
zx
yz
xy
zz
yy
xx
α
σ σ σ σ σ σ
μ μ
μ
μ μ
μ μ
μ μ
ε
ε
ε
ε
ε
ε
(1-12)
Trong trường hợp T=0 thì phương trình trên có dạng:
Trong đó:
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+ +
+
−
−
−
−
−
−
=
−
) 1 ( 2 0 0
0 0 0
0 ) 1 ( 2 0 0
0 0
0 0
) 1 ( 2 0 0 0
0 0
0 1
0 0
0 1
0 0
0 1
1
1
μ μ
μ
μ μ
μ μ
μ μ
E
Từ quan hệ của biến dạng - ứng suất ta có thể xác định được ứng suất theo biến
dạng, thường được gọi là định luật Hooke tổng quát:
E
zz yy xx
μ ε
ε μ ε μ μ
μ
2 1 ) (
)
1 ( ) 2 1 )(
1
=
E
zz xx yy
μ ε
ε μ ε μ μ
μ
2 1 ) (
)
1 ( ) 2 1 )(
1
=
E
yy xx zz
μ ε
ε μ ε μ μ
μ
2 1 ) (
)
1 ( ) 2 1 )(
1
xy xy
μ
) 1 (
+
=
yz yz
μ
) 1 (
+
=
zx zx
μ
) 1 (
+
=
Viết dưới dạng ma trận:
Trang 5⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
+
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
− +
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
0 0 0 1 1 1
2
1
.
) 1 ( 2 0 0
0 0
0
0 ) 1 ( 2 0 0
0 0
0 0
) 1 ( 2 0 0
0
0 0
0 ) 1 ( 2 2 2
0 0
0 2
) 1 ( 2 2
0 0
0 2
2 ) 1 ( 2
) 2 1 )(
1 ( 2
μ
α
ε ε ε ε ε ε
μ μ
μ
μ μ
μ
μ μ
μ
μ μ
μ
μ μ σ
σ
σ
σ
σ
σ
T
E
E
zx yz xy zz yy xx
zx
yz
xy
zz
yy
xx
Trong trường hợp T = 0 ta có phương trình:
Biểu thức này biểu thị định luật Hooke
Ma trận vuông [ ]D được gọi là ma trận đàn hồi Ma trận này chứa tất cả các đặc
trưng đàn hồi của kết cấu hoặc môi trường liên tục mà ta đang nghiên cứu
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
− +
=
) 2 1 ( 0 0
0 0
0
0 ) 2 1 ( 0 0
0 0
0 0
) 2 1 ( 0 0
0
0 0
0 ) 1 ( 2 2
2
0 0
0 2
) 1 ( 2 2
0 0
0 2
2 ) 1 ( 2
) 2 1 )(
1 ( 2
μ μ
μ
μ μ
μ
μ μ
μ
μ μ
μ
μ μ
E D
Khi chấp nhận giả thiết vật liệu đàn hồi tuyến tính, đồng nhất và đẳng hướng thì ma
trận [ ]D có tính đối xứng và không suy biến
1.3.2 Bài toán phẳng
Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi được chia thành hai loại:
-Trạng thái phẳng về ứng suất;
-Trạng thái phẳng về biến dạng
Hai trạng thái này được phân biệt theo các tính chất đặc biệt của hình dạng và cách
chịu tải của vật thể đàn hồi nghiên cứu:
1.3.2.1 Trạng thái phẳng về ứng suất
Vật thể đàn hồi được nghiên cứu có dạng tấm với chiều dày nhỏ so với kích thước
của hai chiều còn lại và chịu tải trọng trong mặt phẳng của tấm
Kí hiệu xoy là hệ trục nằm trong mặt phẳng của tấm và oz là trục vuông góc với mặt
phẳng đó Người ta thừa nhận các giả thiết dưới đây với ứng suất:
0
=
=
= zy zz
zx σ σ
σ
Với các giả thiết trên ta có mối quan hệ biến dạng ứng suất:
Trang 6[ ] T
E xx yy
xx 1.σ μ.σ α
E yy xx
yy 1.σ μ.σ α
xy xy
yx xy
G
ε
ε = = 2(1+ ) = 1
Dạng ma trận:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ +
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
0 1
1
) 1 ( 2 0 0
0 1
0 1
.
1
T E
xy yy xx
xy
yy
xx
α σ
σ σ μ μ
μ
ε
ε
ε
(1-18)
Các biến dạng còn lại được xác định như sau:
0
=
= zy
zx ε
ε
T
E xx yy
zz 1.μ.(σ σ ) α
T yy
xx
1
1 ) (
μ
μ ε
ε μ
μ ε
−
+ + +
−
−
=
Rõ ràng εzz ≠ 0và có quan hệ tuyến tính với ε vàxx ε Tuy nhiên với phần tử có bề yy
dày mỏng có thể cho εzz = 0mà vẫn bảo đảm chính xác so với nhu cầu thực tế Nghịch
đảo ma trận đàn hồi có dạng:
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
=
−
) 1 ( 2 0 0
0 1
0 1
1
1
μ μ
μ
E
Biểu thức quan hệ giữa ứng suất- biến dạng thể hiện như sau:
E
yy xx
μ ε
μ ε μ
1
1− 2 + − −
=
E
xx yy
μ ε
μ ε μ
1
1− 2 + − −
xy xy
yx
μ σ
) 1 (
+
=
=
Dạng ma trận:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
0 1
1 1
1 0 0
0 2 2
0 2
2 ) 1 (
xy yy xx
xy
yy
xx
α μ ε
ε ε μ μ
μ μ
σ
σ
σ
(1-22)
Nếu T=0 thì { }σ =[ ]D.{ }ε
Trang 7Trong đó:
[ ]D - ma trận đàn hồi của vật liệu trong bài toán ứng suất phẳng
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
μ μ
μ μ
1 0 0
0 2 2
0 2
2 ) 1 (
E
1.3.2.2 Bài toán phẳng về biến dạng
Các vật thể đàn hồi được nghiên cứu có tiết diện ngang không đổi và chiều dày lớn
hơn so với kích thước của hai chiều còn lại, tải trọng tác dụng vuông góc với trục dài của
vật thể Gọi xOy là hệ trục song song với mặt phẳng của tiết diện ngang Thừa nhận các
giả thiết sau:
0
=
z
u ;
0
=
∂
∂
=
∂
∂
z
u z
u x y
; (1-23) 0
=
=
= zy zz
zx ε ε
ε
Ta có quan hệ giữa biến dạng và ứng suất:
ε =1+ 1− − +(1+ )
xy xy
yx xy
G
ε
ε = = 2(1+ ) = 1
Dưới dạng ma trận ta có biểu thức:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ +
+
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
− +
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
0 1
1 ).
1 (
2 0 0
0 1
0 1
.
1
T E
xy yy xx
xy
yy
xx
α μ σ
σ
σ μ
μ
μ μ μ ε
ε
ε
(1-25)
Nếu T=0 ta có biểu thức rút gọn:
{ }ε = D[ ]− 1.{ }σ
Trong đó:
[ ]
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
− +
=
−
xy yy xx
E
D
σ σ
σ μ
μ
μ μ μ
2 0 0
0 1
0 1
.
1
1
Từ quan hệ trên ta có mối quan hệ ứng suất biến dạng theo định luật Hooke:
E
yy xx
μ ε
μ ε μ μ
μ
2 1 )
1 ( ) 2 1 ).(
1
=
Trang 8[ ] E T
E
xx yy
μ ε
μ ε μ μ
μ
2 1 )
1 ( ) 2 1 ).(
1
xy xy
yx
μ σ
) 1 (
+
=
=
0
=
= zy
zx σ
σ
E
yy xx
μ ε
ε μ μ
μ
2 1
) 2 1 ).(
1 (
−
− +
− +
=
T E yy xx
σ = ( + )−
Ta thấy σzz ≠0 và có liên hệ tuyến tính với σxx và σyy Tuy nhiên trong thực tế có thể
bỏ qua σzz mà vẫn đảm bảo sai số Dưới dạng ma trận ta có:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
− +
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
0 1
1 2 1
2 1 0 0
0 ) 1 ( 2 2
0 2
) 1 ( 2 ) 2 1 )(
1 (
E E
xy yy xx
xy
yy
xx
α μ ε
ε ε μ
μ μ
μ μ
μ μ
σ
σ
σ
(1-27)
Nếu T=0 ta có thể viết gọn: { }σ =[ ]D.{ }ε
Trong đó:
[ ]D - ma trận đàn hồi của bài toán biến dạng phẳng
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
− +
=
μ
μ μ
μ μ
μ μ
2 1 0 0
0 ) 1 ( 2 2
0 2
) 1 ( 2 ) 2 1 )(
1 ( 2
E D
1.3.3 Bài toán một chiều:
T
E xx
ε = 1 +
0
=
=
=
= zz yz zx
yy ε ε ε
T E
E xx
σ = −
1.4 Các phương trình cân bằng
1.4.1 Bài toán không gian
Nếu tách ra khỏi vật thể đàn hồi một phân tố có kích thước dx, dy, dz và thiết lập
phương trình cân bằng theo 3 trục x, y, z ta có:
0
= +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
x xz xy
xx
g z y
x
σ σ
σ
0
= +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
y yz yy
yx
g z y
x
σ σ
σ
(1-29)
Trang 9= +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
z zz zy
zx
g z y
x
σ σ
σ
Trong đó:
zz yy
xx σ σ
σ , , - ứng suất pháp;
zx yz
xy σ σ
σ , , - ứng suất tiếp;
gx, gy, gz - các thành phần lực thể tích tác dụng theo các phương x, y, z trên một
đơn vị thể tích của vật thể
Viết dưới dạng ma trận:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ +
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
z y x
zx yz xy zz yy xx
g g g
x y z
z x y
z y
x
σ σ σ σ σ σ
(1-30)
hay:
Các phương trình cân bằng phải được thoả mãn ở bất kỳ mọi điểm của vật thể đàn
hồi, ở bên trong cũng như trên bề mặt của vật thể Do đó, những điểm nằm trên bề mặt
của vật thể sẽ cân bằng với ngoại lực tác dụng trên bề mặt Sự cân bằng này được xây
dựng trên cơ sở nghiên cứu ứng suất trên mặt cắt xiên và được biểu thị bằng các điều
kiện bề mặt
x xz xy
l.σ + σ + σ =
y yz yy
z zz zy
l.σ + σ + σ =
Trong đó:
l, m, n - các cosin chỉ phương của pháp tuyến ngoài của mặt vật thể đàn hồi tại
điểm đang xét;
px, py, pz - các thành phần ngoại lực theo 3 trục x, y, z tác dụng trên một đơn vị
diện tích mặt ngoài của vật thể đàn hồi
Dạng ma trận:
Trang 10⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
z y x
zx yz xy zz yy xx
p p p
l m n
n l m
n m
l
σ σ σ σ σ σ
0
0 0
0 0
0
0 0
0
(1-33)
hay:
[ ]L.{ } { }σ = p
[ ]L - ma trận cosin chỉ phương của pháp tuyến ngoài của mặt vật thể đàn hồi
1.4.2 Bài toán phẳng
Trong bài toán hai chiều, bài toán phẳng về ứng suất và biến dạng phương trình cân
bằng có dạng:
0
= +
∂
∂ +
∂
∂
x xy xx
g y x
σ σ
(1-34)
0
= +
∂
∂ +
∂
∂
y yy xy
g y x
σ σ
Dạng ma trận:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ +
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
0
0
0
0
y x
xy yy xx g g
x x
y x
σ σ
σ
(1-35)
hay:
Trên chu vi thoả mãn phương trình sau:
y yy yx
x xy xx
p m
l
p m
l
= +
= +
σ σ
σ σ
.
.
(1-37)
Dạng ma trận:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
y x
xy yy xx
p
p l
m
m l
σ σ
σ
0
0
(1-38)
hay:
1.5 Các phương trình liên tục:
Trang 11Các biến dạng và các chuyển vị cần phải có sự thay đổi liên tục từ điểm này sang
điểm khác trong cùng một vật thể đàn hồi Điều kiện để sự liên tục này tồn tại là các
phương trình liên tục hay còn gọi là các phương trình tương thích
1.5.1 Đối với bài toán không gian:
y x x
y
xy yy
xx
∂
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂
2 2
2 2
z y y
z
yz zz
yy
∂
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂
2 2
2 2
z x z
x
zx xx
zz
∂
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂
2 2
2 2
(1-40)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
y x z
x z
y
zx yz xy
ε
2
1
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
z y x y z
x
xy zx yz
ε
2
1
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
x z
y z y
x
yz xy
zx
ε
2
1
2
1.5.2 Bài toán phẳng phương trình:
y x x
y
xy yy
xx
∂
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂
2 2
2 2
(1-41)