So sánh một số phương pháp xấp xỉ và mô phỏng FFT cho hệ số dẫn nhiệt vật liệu không đồng nhất

Vật liệu tổ hợp được cấu tạo vi mô từ các thành phần vật liệu khác nhau nhưng về mặt vĩ mô được coi là đồng nhất và có các tính chất hữu hiệu mô đun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt, điện… nói c

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ KỸ THUẬT

NGÀNH: CƠ KỸ THUẬT CHUYÊN NGÀNH: CƠ KỸ THUẬT

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới PGS TSKH Phạm Đức Chính và TS Nguyễn Trung Kiên, những người thầy đã tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới quý thầy cô dạy các chuyên đề cao học

đã trang bị cho tôi kiến thức nền tảng Tôi xin cảm ơn Bộ Môn Cơ Học Kỹ Thuật – Khoa Cơ Khí – Trường Đại học Thủy Lợi đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi có thời gian cũng như trang thiết bị để tập trung nghiên cứu

Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, những người đã luôn động viên, tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành tốt luận văn này

Hà Nội, ngày 01 tháng 10 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hải Duyên

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan tất cả những kết quả khoa học trình bày trong luận văn là thành quả lao động của bản thân dưới sự giúp đỡ tận tình của PGS.TSKH Phạm Đức Chính và TS Nguyễn Trung Kiên Các kết quả thu được không sao chép từ bất kỳ công trình nào của các tác giả khác

Hà Nội, ngày 01 tháng 10 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hải Duyên

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 2

LỜI CAM ĐOAN 3

MỤC LỤC 4

DANH MỤC CÁC BẢNG 5

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ 7

MỞ ĐẦU 9

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN BÀI TOÁN DẪN 10

1.1 Tính chất dẫn vĩ mô của vật liệu đồng nhất hóa 10

1.2 Một số phương pháp xác định hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu đồng nhất hóa ………12

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ 19

2.1 Phương pháp xấp xỉ Mori-Tanaka 19

2.2 Phương pháp xấp xỉ phân cực 20

2.2.1 Xấp xỉ phân cực 20

2.2.2 Cách xác định C0 24

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI FOURIER 26

3.1 Bài toán vật liệu không đồng nhất có cấu trúc tuần hoàn 26

3.2 Phương trình Lippmann-Schwinger cho bài toán dẫn nhiệt 27

3.3 Thuật toán lặp giải phương trình tích phân 29

CHƯƠNG 4 VÍ DỤ TÍNH TOÁN VÀ SO SÁNH 32

4.1 Trường hợp vật liệu hai pha nền và cốt liệu 32

4.2 Trường hợp vật liệu ba pha 38

4.3 So sánh và kết luận chương 4 57

KẾT LUẬN 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 4.1: Xấp xỉ phân cực, xấp xỉ Mori-Tanaka, mô phỏng FFT đối với vật liệu

trục làa1  2a2 34Bảng 4 2: Xấp xỉ phân cực, xấp xỉ Mori-Tanaka, mô phỏng FFT đối với vật liệu

2



a a 35

Bảng 4.3: Xấp xỉ phân cực, xấp xỉ Mori-Tanaka, mô phỏng FFT đối với vật liệu

liệu hình ellipse với tỉ lệ các bán trục là a1 5a2 36Bảng 4.4: Xấp xỉ phân cực, xấp xỉ Mori-Tanaka, mô phỏng FFT đối với Vật liệu

liệu hình ellipse với tỉ lệ các bán trục là a1 5a2 37Bảng 4.5: Xấp xỉ phân cực, xấp xỉ Mori-Tanaka, mô phỏng FFT đối với vật liệu

ba pha cốt liệu là tròn và ellipse với CM =1, C1= 10, C2=40 Pha cốt liệu hình ellipse với tỉ lệ các bán trục là a2 0 2 a1 40Bảng 4.6: Xấp xỉ phân cực, xấp xỉ Mori-Tanaka, mô phỏng FFT đối với vật liệu

2



hình ellipse với tỉ lệ các bán trục là a2  0 2 a1 42Bảng 4.7: Xấp xỉ phân cực, xấp xỉ Mori-Tanaka, mô phỏng FFT đối với vật liệu

ba pha cốt liệu là tròn và ellipse với CM =1, C1= 20, C2=50 Pha cốt liệu hình ellipse với tỉ lệ các bán trục là a2  0 5 a1 45Bảng 4.8: Xấp xỉ phân cực, xấp xỉ Mori-Tanaka, mô phỏng FFT đối với vật liệu

ba pha cốt liệu là tròn và ellipse với CM =1, C1= 50, C2=20 Pha cốt liệu hình ellipse với tỉ lệ các bán trục là a2  0 5 a1 47Bảng 4.9: Xấp xỉ phân cực, xấp xỉ Mori-Tanaka, mô phỏng FFT đối với vật liệu

ba pha cốt liệu là tròn và ellipse với CM =1, C1= 30, C2=60 Pha cốt liệu hình ellipse với tỉ lệ các bán trục là a2  0 2 a1 49Bảng 4.10: Xấp xỉ phân cực, xấp xỉ Mori-Tanaka, mô phỏng FFT đối với vật liệu

ba pha cốt liệu là tròn và ellipse với CM =1, C1= 60, C2=30 Pha cốt liệu hình ellipse với tỉ lệ các bán trục là a  0 2 a 51

Bảng 4.11: Xấp xỉ phân cực, xấp xỉ Mori-Tanaka, mô phỏng FFT đối với vật liệu

cốt liệu hình ellipse với tỉ lệ các bán trục là a2  2a1 53Bảng 4.12: Xấp xỉ phân cực, xấp xỉ Mori-Tanaka, mô phỏng FFT đối với vật liệu

cốt liệu hình ellipse với tỉ lệ các bán trục là a2  2a1 55

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Phần tử đặc trưng RVE 10

Hình 3.1 Phần tử đặc trưng của vật liệu có cấu trúc tuần hoàn 26

Hình 4.1: Mô hình tính toán 32

Hình 4.2: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 1 35

Hình 4.3: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 2 36

Hình 4.4: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 3 37

Hình 4.5: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 4 38

Hình 4.6: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 5 41

Hình 4.7: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 5 với 0 v I  0 25 41

Hình 4.8: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 5 với 0 75 v I 0 95 42

Hình 4.9: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 6 43

Hình 4.10: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 6 với 0 v I 0 22 44

Hình 4.11: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 6 với 0 7 v I 1 44

Hình 4.12: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 7 46

Hình 4.13: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 7 với 0 v I 0 5 46

Hình 4.14: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 7 với 0 92 v I  1 47

Hình 4.15: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 8 48

Hình 4.16: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 8 với 0 v I 0 5 48

Hình 4.17: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 8 với v I  0 925 49

Hình 4.18: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 9 50

Hình 4.19: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 9 với 0  v I 0 6 50

Hình 4.20: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 9 với v I  0 88 51

Hình 4.21: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 10 52

Hình 4.22: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 10 với 0  v I 0 6 52

Hình 4.23: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 10 với v I  0 88 53

Hình 4.24: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 11 54

Hình 4.25: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 11 với 0 v I  0 5 54 Hình 4.26: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 11 với v I  0 7 55 Hình 4.27: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 12 56 Hình 4.28: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 12 với 0 56  v I 0 6 56 Hình 4.29: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và v I cho trường hợp 12 với v I  0 8 57

MỞ ĐẦU

Đồng nhất hóa vật liệu hiện đang là lĩnh vực có nhiều phát triển Trong các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và đời sống hiện nay, thường sử dụng rất nhiều vật liệu tổ hợp nhiều thành phần (vật liệu composite) Vật liệu tổ hợp được cấu tạo vi

mô từ các thành phần vật liệu khác nhau nhưng về mặt vĩ mô được coi là đồng nhất và có các tính chất hữu hiệu (mô đun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt, điện…) nói chung khác với tính chất các thành phần cấu thành Tính chất vĩ mô của của vật liệu tổ hợp không những phụ thuộc vào tính chất của các thành phần cấu thành

mà còn phụ thuộc vào hình học vi mô của chúng Vì vậy việc nghiên cứu các tính chất của các loại vật liệu này là rất cần thiết, có tính thời sự đối với việc ứng dụng thực tế, và hiện đang là hướng nghiên cứu cơ bản của khoa học vật liệu

Luận văn tập trung vào xây dựng mối quan hệ giữa tính chất dẫn nhiệt vĩ

mô của vật liệu đồng nhất hóa với tính chất của các thành phần vi mô với các cấu trúc hình học vi mô khác nhau Tính dẫn nhiệt có vai trò đặc biệt quan trọng trong việc chế tạo vật liệu và ứng dụng vật liệu tổ hợp trong kỹ thuật Ví dụ như các loại vật liệu nền polymer cốt sợi được sử dụng nhiều trong các lĩnh vực kỹ thuật như hàng không, công nghiệp ô tô, hàng hải, dân dụng… khi gia cố các loại cốt sợi khác nhau như sợi thủy tinh, cacbin, kim loại…dẫn đến tính dẫn điện khác nhau

Để ứng dụng được trong thực tế thì cần xác định được tính dẫn nhiệt này

Nội dung của luận văn sẽ trình bày phương pháp tính toán hệ số dẫn nhiệt

vĩ mô của vật liệu theo phương pháp xấp xỉ Mori-Tanaka, xấp xỉ phân cực (Polarization Approximation) và theo phương pháp số (Fast Fourier Transformation) sau đó áp dụng cho các ví dụ cụ thể

Bố cục luận văn chia làm 4 chương:

Chương 1 Tổng quan bài toán dẫn

Chương 2 Một số phương pháp xấp xỉ

Chương 3 Phương pháp biến đổi Fourier nhanh (FFT) cho một số mô hình

có cấu trúc tuần hoàn

Chương 4 Ví dụ, so sánh một số phương pháp xấp xỉ và phương pháp số FFT

Phần cuối là kết luận và kiến nghị, tham khảo

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN BÀI TOÁN DẪN

1.1 TÍNH CHẤT DẪN VĨ MÔ CỦA VẬT LIỆU ĐỒNG NHẤT HÓA

Để đánh giá tính dẫn nhiệt vĩ mô của vật liệu đồng nhất hóa, ta đánh giá

dựa trên phần tử đặc trưng V Xét phần tử đặc trưng V (RVE: Representative

Volume Element) của vật liệu tổ hợp, phần tử đặc trưng phải đủ lớn so với các cấu trúc vi mô để đại diện cho các tính chất của vật liệu thành phần đồng thời phải

đủ nhỏ so với kích thước vật thể để việc xác định tính chất vĩ mô có ý nghĩa

Hình 1 1 Phần tử đặc trưng RVE

Phần tử đặc trưng V được cấu thành bởi n thành phần chiếm không gian

V V và có các hệ số dẫn C,   1, ,n Phần tử đặc trưng V (thể tích V được coi

phân bố hỗn độn hay đều theo mọi hướng trong không gian ta có thể coi vật liệu

là đẳng hướng vĩ mô, các kích thước vi mô là đủ lớn so với kích thước phân tử để

có thể được coi là môi trường liên tục

Có nhiều tính chất cơ-lý của vật liệu mà khoa học hiện nay cần quan tâm, tuy nhiên do phạm vi nghiên cứu nên trong luận văn này chỉ đề cập đến tính dẫn nhiệt và một số tính dẫn có tính chất tương tự

Hệ số dẫn nhiệt C(x) là tensor bậc hai đặc trưng cho khả năng dẫn nhiệt của

vật liệu, nói chung là khác nhau cho các hướng khác nhau đối với vật liệu dị hướng, C x( )=C  nếu xV,  1, ,N

Với điều kiện chịu nhiệt của vật thể, trường vectơ dòng nhiệt J cần phải

thỏa mãn phương trình cân bằng:

( ) 0,

Với liên kết lý tưởng trên mặt ngăn cách giữa các pha: xV, J n Jn

(liên tục về dòng nhiệt), T x T x (liên tục về nhiệt độ) với, n x( ) là pháp tuyến ngoài biên trên

Trường dòng J x( ) quan hệ với trường gradient nhiệt E x( )= T( )x thông qua định luật Fourier

hướng thể hiện hệ số dẫn đẳng hướng Từ các phương trình (1.1) và (1.2) ta nhận được phương trình Laplace:

0

T

Một số tính dẫn khác có cấu trúc tính toán tương tự tính dẫn nhiệt:

Hệ số tán xạ D đặc trưng cho khả năng lan truyền của dòng vật chất được

xác định thông qua định luật Fick 1:

Hệ số thấm từ (độ từ thẩm)  là đại lượng đặc trưng cho tính thấm từ của

từ trường ngoài, thỏa mãn phương trình:

1.2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH HỆ SỐ DẪN VĨ MÔ CỦA VẬT LIỆU ĐỒNG NHẤT HÓA

Hướng tiếp cận cơ bản để xác định tính chất cơ-lý hiệu quả của vật liệu

nhiều thành phần có thể chia thành 2 hướng chính: Đường hướng giải phương

trình: giải trực tiếp các phương trình vi phân, tích phân mô tả làm việc của vật

liệu và Đường hướng năng lượng (Biến phân): tìm lời giải bài toán thông qua việc

tìm cực trị của các phiếm hàm năng lượng Cụ thể, có ba phương pháp chính đó

là phương pháp đánh giá, phương pháp xấp xỉ và phương pháp số

Phương pháp đánh giá là phương pháp xác định hệ số dẫn hiệu quả thông

qua việc tìm cực trị của các phiếm hàm năng lượng trên phần tử đặc trưng V mà

cụ thể là tìm cách đánh giá cận trên, cận dưới của các tính chất bằng cách xuất phát từ nguyên lý năng lượng cực tiểu Nguyên lý năng lượng cực tiểu để tìm đánh

giá trên hệ số dẫn nhiệt cho vật liệu đẳng hướng vĩ mô n pha

trong đó E trong (1.9) là vector gradient của một hàm liên tục trên V, 0

V

d V

Voight đã đưa ra công thức trung bình cộng số học [34] và Reuss đưa ra trung bình cộng điều hòa [33] để tính xấp xỉ các tính chất vĩ mô của các loại vật

liệu tổ hợp n thành phần với hình học pha và tỉ lệ thể tích bất kì ở các pha Đối

(1.12) có các giá trị khác nhau, các kết quả này chỉ gần nhau khi tính chất các thành phần gần nhau Với cách xây dựng đánh giá theo đường lối biến phân có thể chỉ ra rằng (1.11) và (1.12) chính là các đánh giá trên và đánh giá dưới đối với tính chất hiệu quả của vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần với cấu trúc hình học pha bất kì của vật liệu Nguyên lý năng lượng cực trị lần đầu tiên được

đề xuất bởi [20] trong nghiên cứu tính chất hiệu quả của vật liệu và chọn trường khả dĩ hằng số, ông đã chứng minh được tính chất hiệu quả luôn nằm giữa trung

Các đánh giá hẹp hơn đánh giá HS có chứa thêm các thông tin bậc cao về hình học pha của vật liệu đã được xây dựng bởi các tác giả khác nhau, như Milton (1981), Miller (1969), Phạm D.C (1996)

(1.16)

Trường khả dĩ phân cực E trong (1.9) được chọn như sau:

0

ij 0

Theo (1.10) với trường khả dĩ phân cực J được chọn là:

 

   

1 1

' , '

2 1

0 **

eff C

12

xỉ hay được dùng có độ chính xác cao hơn Voight và Reuss như xấp xỉ Maxwell, xấp xỉ phân bố thưa, xấp xỉ Mori-Tanaka, xấp xỉ vi phân DA (diffirential approximation), xấp xỉ phân cực PA (polarization approximation) [31]…

Xấp xỉ phân bố thưa [23,32] đưa ra lời giải tiệm cận cho hệ số dẫn hỗn hợp với pha nền là chủ đạo và tỉ lệ nhỏ các cốt liệu hạt tròn



Trong đó C I và C M là các tensor hệ số dẫn bậc hai của pha nền và pha cốt

với cốt liệu tròn (1.29) được viết lại như sau:

1 1

1 1

Phương pháp xấp xỉ phân cực (Polarization Approximation) [2, 13] xây

0

,ij 1

1 0 0

ln 2

1 0 0

cho vật liệu nhiều thành phần (pha nền và n pha cốt liệu) được thiết lập như sau:

1 0

phương pháp này là phân vùng vật thể thành một tập hợp các miền con rời rạc gọi

là phần tử Quá trình này được thiết kế để giữ cho kết quả đại số cũng như quản

lý tính toán bộ nhớ hiệu quả nhất có thể Khó khăn chính của phương pháp FEM

đó là việc chia lưới các phần tử với miền phân lưới có hình học pha phức tạp

Bên cạnh đó phương pháp biến đổi Fourier (FFT) [24, 28] cũng được áp dụng trong bài toán xác định tính chất vĩ mô của vật liệu với một số mô hình vật liệu có cấu trúc đặc biệt như vật liệu có cấu trúc tuần hoàn Phương pháp FFT được đề xuất đầu tiên bởi Moulinec và Suquet (1994) để xác định tính chất có hiệu của vật liệu đàn hồi nhiều pha Gần đây phương pháp FFT cũng được áp dụng trong bài toán điện từ [8] FFT được xây dựng trên phương trình tích phân Lippmann-Schwinger và tensor Green Nghiệm của phương trình tích phân thu được nhờ một sơ đồ lặp sử dụng biến đổi Fourier Điều này cho phép rút ngắn thời gian tính toán, và dễ xử lý các bài toán vật liệu có hình dạng phức tạp do nó sử dụng lưới tọa độ đều và không yêu cầu quá trình rời rạc hóa các pha khác nhau Tuy nhiên hạn chế của phương pháp này đó chính là chỉ áp dụng được đối với vật liệu có cấu trúc tuần hoàn

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ

2.1 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ MORI-TANAKA

Xấp xỉ Mori-Tanaka [27] được áp dụng cho vật liệu nhiều pha dạng cốt liệu với cốt liệu phân bố thưa Nội dung của phương pháp là để tính trường dòng và gradient nhiệt cho bài toán tìm hệ số dẫn nhiệt vĩ mô dựa trên kết quả của bài toán Eshelby

nền-Tương tự bài toán Eshelby [14] cho hệ số đàn hồi ta có thể xác định hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu không đồng nhất Trong trường hợp mô hình vật liệu là hai pha với các cốt liệu có dạng ellipse phân bố xa nhau trong pha nền liên tục và tỷ

và gradient nhiệt của nó (bỏ qua sự tương tác giữa các cốt liệu với nhau) Từ đó tìm được hệ số dẫn vĩ mô

,

I eff

2, tương tác giữa hai hạt cốt liệu gần nhau được tính đến để chính xác hóa các

Sử dụng kết quả trên của Eshelby, Mori-Tanaka đã đưa ra công thức tính

hệ số dẫn hiệu quả cho vật liệu hai thành phần pha nền và pha cốt liệu có dạng sau:

là một tensor phân cực đối xứng của ellipsoid 2 chiều, I là tensor đơn vị

Trong đó ai là bán trục của ellipse dọc theo hướng xi, trong không gian 2

Xấp xỉ MTA cho vật liệu nhiều thành phần ( pha nền và n pha cốt liệu)

đẳng hướng vĩ mô trong không gian 2 chiều được đơn giản như sau:

1 1

1 1

2 2

(   1, ,n) trong không gian 2 chiều:

Xét phần tử đặc trưng (RVE) V trong không gian 2 chiều của một vật liệu

số dẫn C,   1, ,n Phần tử đặc trưng có thể tích V được giả thiết bằng 1 đơn vị)

Hệ số dẫn nhiệt hiệu dụng của vật liệu sẽ được xác định thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu (1.9):

Trong đó E là trường gradient nhiệt, 0

trình (1.9), [3,22] đã chọn trường thử khả dĩ E theo dạng trường phân cực

dẫn của vật liệu so sánh trong tiếp cận Hashin-Shtrikman Trong tiếp cận này,

khả dĩ (2.8)-(2.10) đạt giá trị nhỏ nhất

Le&Pham [22] và Pham [3] đã xây dựng trường thử phân cực

,ij 1

trong đó q i x q i nếu xV Trong phương pháp tiếp cận theo nguyên lý bù cực

0

i ff

1

1 1 0

1 1 0

i n

C

Chú ý rằng P C n là hàm đơn điệu tăng đối với tham số dương C 0 , khi C 0 tăng

từ 0 đến  thì P C n tăng từ giới hạn dưới Reuss (C R ) tới giới hạn trên Voigt (C V)

1 1 1

n R

Công thức (2.22) được gọi là xấp xỉ phân cực (PA) để tính hệ số dẫn hiệu

dụng của vật liệu đàn hổi đẳng hướng trong không gian 2 chiều Tham số tự do

Cmin ,Cmax và với tham số C0 tìm được này, hệ số dẫn hiệu dụng eff

tính theo công thức xấp xỉ phân cực (2.22) sẽ thỏa mãn giới hạn HS đối với tất cả

v C    n Khi tỉ lệ thể tích của các cốt liệu nhỏ tv, (   2, , ; n t 1), hệ

số dẫn vĩ mô được xác định theo công thức sau:

hợp phân bố thưa, xấp xỉ phân cực (2.22) sẽ có biểu thức tiệm cận tương ứng

dụng nghiệm bài toán phân bố thưa làm tham chiếu

Trong trường hợp cụ thể là vật liệu hai pha nền và cốt liệu D D C C( I, M)

phương trình (2.27) sẽ được giải một cách tường minh

Phương pháp số

Ngày nay với sự phát triển của các kỹ thuật máy tính và các phương pháp tính toán, người ta có thể giải quyết trực tiếp vấn đề trung bình hiệu quả cho một vật liệu composite cụ thể Với các số liệu I,C C I, Mcho từng trường hợp vật liệu,

sử dụng phương pháp số (phần tử hữu hạn, biến đổi Fourier FFT…) chúng ta có

của cốt liệu Giá trị eff

mô của vật liệu cho các tỉ lệ thể tích cốt liệu khác nhau

Phương pháp thực nghiệm

khác nhau

Kết luận chương 2

Chương 2 trình bày những một số phương pháp xấp xỉ để xác định hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu nhiều thành phần, cụ thể là phương pháp xấp xỉ Mori-Tanaka (MTA) và phương pháp xấp xỉ phân cực (PA) MTA được diễn giải như

là nghiệm gần đúng của các phương trình trường đối với vật liệu composite trong khi PA được xây dựng dựa trên nguyên lý năng lượng cực tiểu MTA có dạng tường minh (2.5) trong khi PA cần giải phương trình (2.27) để xác định tham số

thực nghiệm) tương ứng với một tỉ lệ thể tích cốt liệu nào đó để xác định tham số

phương pháp xấp xỉ phân cực PA sẽ thuận lợi hơn trong việc xác định hệ số dẫn của vật liệu nhiều pha

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI FOURIER

Trong chương này sẽ trình bày phương pháp số dựa trên phép biến đổi Fourier để xác định tính chất vĩ mô của vật liệu tổ hợp có cấu trúc tuần hoàn Phương pháp biến đổi Fourier được đề xuất đầu tiên bởi Moulinec và Suquet [28]

để xác định tính chất đàn hồi của vật liệu composite dựa trên phương trình tích phân Lippmann-Schwinger đối với bài toán không đồng nhất và toán tử Green tuần hoàn Nghiệm của phương trình tích phân thu được qua sơ đồ lặp bằng cách

sử dụng biến đổi nhanh Fourier (Fast Fourier Transform-FFT) do đó giảm đáng

kể thời gian tính toán [7, 24, 26] Một điểm đáng chú ý nữa là phương pháp FFT

có thể xử lý dễ dàng vật liệu có cấu trúc hình học vi mô đơn giản cũng như phức tạp vì phương pháp này sử dụng một lưới đều (tương tự phương pháp sai phân)

mà không cần phải chia lưới cho từng pha khác nhau trong phần tử đặc trưng

3.1 BÀI TOÁN VẬT LIỆU KHÔNG ĐỒNG NHẤT CÓ CẤU TRÚC TUẦN HOÀN

Vật liệu có cấu trúc tuần hoàn được hình thành khi phần tử đặc trưng được lặp lại theo 3 hướng trong không gian Phần tử đặc trưng không nhất thiết phải có dạng hình hộp, nhưng việc xét các phần tử đặc trưng dạng này sẽ thuận lợi trong tính toán số bài toán vật liệu không đồng nhất Hình 3.1 mô tả vật liệu có cấu trúc tuần hoàn và một số dạng phần tử đặc trưng trong không gian 2 chiều

Hình 3 1 Phần tử đặc trưng của vật liệu có cấu trúc tuần hoàn

Xét phần tử đặc trưng V của một vật liệu nhiều thành phần có cấu trúc tuần hoàn bao gồm pha nền và pha cốt liệu Giả sử các pha vật liệu là đồng nhất và tuân theo định luật Fourier:

Với ( ) 1

0

V I

( ) ( )

T và

tích của F(x) trên phần tử đặc trưng:

ˆ ( 0) (x) x (x)

V V

V

Để giải bài toán, ta thực hiện tương tự bài toán Eshelby [12,13]: đưa vào

trong đó Jˆi  là biến đổi Fourier của Ji x Liên hệ giữa trường dòng J và trường

ˆ  C  *ˆ 

trong đó ký hiệu “ * ” là tích “convolution”

Biến đổi Fourier của tensor hệ số dẫn:

I V I

Để xác định hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu composite, cho phần tử đặc

với số hạng đầu tiênE1 E0, khi quá trình lặp hội tụ, ta có:

xác định hệ số dẫn của vật liệu nhiều thành phần có cấu trúc tuần hoàn:

với 𝜖 là sai số cho trước, trong luận văn chọn 3

- Độ chính xác 𝜖 quyết định số lượng số hạng được giữ lại trong chuỗi Neumann (3.21)

- Chọn hệ số dẫn của môi trường đồng nhất làm chuẩn ảnh hưởng đến tốc

hội tụ của chuỗi Neumann Dựa trên kết quả thu được bởi Milton [25], hội tụ của chuỗi Neumann được đảm bảo khi: