Tổng quan về một số phương pháp nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TĂNG THỊ NGA TỔNG QUAN VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

TĂNG THỊ NGA

TỔNG QUAN VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN

CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngành: Toán học

Hà Nội - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

TĂNG THỊ NGA

TỔNG QUAN VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN

CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ

Ngành: Toán học

Cán bộ hướng dẫn: GS TS Nguyễn Hữu Dư

Hà Nội- 2015

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TS Nguyễn Hữu Dư người Thầy đáng kính đã luôn tận tình chỉ bảo giúp đỡ em trong suốt thời gian qua

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Mặc dù có nhiều cố gắng, song trong quá trình thực hiện khóa luận

em không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của Thầy Cô và bạn bè đồng nghiệp, để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 06 tháng 06 năm 2015

Sinh viên Tăng Thị Nga

Mục lục

Mở đầu

Nghiên cứu tính ổn định của một hệ động lực là một bài toán hết sức quan trọng trong cả lý thuyết lẫn thực hành Năm 1892, nhà toán học nổi tiếng A.M Lyapunov, trong bản luận án tiến sỹ của mình, đã đưa ra hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định của nghiệm của phương trình

vi phân Đó là phương pháp số mũ và phương pháp hàm Lyapunov [12]

Từ đó đến nay, bài toán này đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học và có nhiều kết quả sâu sắc về cả lý thuyết lẫn ứng dụng Chúng ta có thể kể đến các nhà toán học có nhiều đóng góp trong lĩnh vực này như là Hahn (1967) và Lakshmikantham et al (1989) [10, 11] và nhiều nhà toán học khác như X Mao [18]; L Arnol [2] Trong các hệ động lực, hệ được mô tả bởi các phương trình sai phân đóng vai trò hết sức quan trọng Chúng ta có thể thấy sự xuất hiện nó trong nhiều bài toán thực tế như là mô hình tăng trưởng của quần thể kiểu Leslie, mô hình động học kinh tế đa lĩnh vực Leontief hoặc là khi

ta rời rạc hóa để tính toán nghiệm của một phương trình vi phân, trong phân tích hệ thống dữ liệu mẫu của thống kê Việc phân tích dữ liệu trong cơ khí, điện, kĩ thuật điều khiển và các vấn đề thực tế khác cũng phải cần đến các nghiên cứu của phương trình sai phân ngẫu nhiên Chính vì vậy, vấn đề nghiên cứu tính ổn định đối với nghiệm của phương trình sai phân là bài toán được rất nhiều người quan tâm và phát triển nhiều phương pháp để nghiên cứu bài toán này Cũng như

hệ động lực khả vi, các phương pháp Lyapunov cũng được sử dụng để nghiên cứu tính ổn định Với phương pháp hàm Lyapunov, người ta xây dựng một phiếm hàm (gọi là hàm Lyapunov) Phiếm hàm này đóng vai trò như là một "chuẩn" hay như "phiếm hàm năng lượng" và các quỹ

đạo dọc theo hàm này sẽ giảm hoặc tăng Điều đó cho phép chúng ta biết được hệ sẽ ổn định hoặc không ổn định Nhược điểm chính của phương pháp này là các điều kiện đưa ra phụ thuộc vào hàm được chọn nên nói chung chỉ là điều kiện đủ

Phương pháp thứ hai được sử dụng là phương pháp so sánh Ở đây

ta so sánh các quỹ đạo của hệ với các quỹ đạo của hệ một chiều Ưu điểm của phương pháp này chúng ta có thể dễ dàng biết hệ 1 chiều có

ổn định hay không thông qua các tiêu chuẩn đơn giản Tuy nhiên việc

so sách này không phải lúc nào cũng thực hiện được vì các quỹ đạo của

hệ nhiều chiều nói chung là rất phức tạp

Phương pháp tiếp theo là sử dụng các định lý giới hạn đã có trong lý thuyết hội tụ của các quá trình ngẫu nhiên (chủ yếu là các định lý giới hạn trong lý thuyết martingale) Với phương pháp này người ta phân tích quá trình thành tổng của một quá trình tăng (hoặc giảm) với một martingale Từ đó ta có thể đưa ra kết luận hệ hội tụ hay không

Nội dung chính của luận văn bao gồm 2 chương Trong chương 1 chúng tôi đưa vào các kiến thức tối thiểu để sử dụng về sau Chương 2 là nội dung chính của bản Luận văn Phần 2.1 của chương này đề cập đến sử dụng hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định Trong đó chúng tôi trình bày các điều kiện đáp ứng trạng thái để xích Markov là ổn định Trong mục 2.2 chúng tôi sử dụng phương pháp so sánh với hệ 1 chiều Đây là một tổng quát hóa của định lý so sánh của Ma và Caughey’s [14]

và sử dụng định lý này để nghiên cứu các định lý ổn định chung của phương trình sai phân ngẫu nhiên phi tuyến Mục 2.3 chúng tôi tái lập lại các ý tưởng cơ bản từ các lý thuyết của martingale cùng với các kết quả về tập hội tụ Nội dung chính của phần này là hai kết quả về ổn định tiệm cận hầu chắc chắn

Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều nên trong khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Em rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy

cô Em xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Giả sử Ω là một tập tuỳ ý khác rỗng, F là một σ-đại số các tập con của Ω Khi đó, cặp (Ω, F ) được gọi là một không gian đo

Giả sử (Ω, F ) là một không gian đo Một ánh xạ P : F → R được gọi

là độ đo xác suất trên F nếu

(i) P(A) > 0 với ∀A ∈ F (tính không âm);

(ii) P(Ω) = 1 (tính chuẩn hoá);

(iii) Nếu An ∈ F (n = 1, 2, 3, ), Ai ∩ Aj = AiAj = ∅ (i 6= j) thì

P(∪∞n=1An) = P∞

n=1P(An) (tính cộng tính đếm được)

Các điều kiện (i)-(iii) được gọi là hệ tiên đề Kolmogorov về xác suất Bộ

ba (Ω, F ,P) được gọi là không gian xác suất

Định nghĩa 1.1 Giả sử (Ω1, F1) và (Ω2, F2) là hai không gian đo Ánh

xạ X : Ω1 −→ Ω2 gọi là ánh xạ F1/F2 đo được nếu với mọi B ∈ F2 thì

X−1(B) ∈ F1

Mệnh đề 1.1 1 Giả sử F1, G1 là hai σ-đại số các tập con của Ω1, F2, G2

là hai σ-đại số các tập con của Ω2 Khi đó, nếu F1 ⊂ G1, G2 ⊂ F2 và

X : Ω1 → Ω2 là ánh xạ F1/F2 đo được thì X là ánh xạ G1/G2 đo được

2 Giả sử X : Ω1 → Ω2 là ánh xạ F1/F2 đo được, Y : Ω2 → Ω3 là ánh

xạ F2/F3 đo được Khi đó Y ◦ X : Ω1 → Ω3 là ánh xạ F1/F3 đo được

3 Giả sử F2 = σ(C) Khi đó ánh xạ X : Ω1 → Ω2 là F1/F2 đo được khi và chỉ khi X−1(C) ∈ F1 với mọi C ∈ C

Định nghĩa 1.2 Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất, G là σ- đại

ngẫu nhiên G- đo được nếu nó là ánh xạ G/B(R) đo được (tức là với mọi

B ∈ B(R) thì X−1(B) ∈ G)

Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F - đo được, thì

X được gọi một cách đơn giản là biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.3 Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất, X : Ω → R là biến ngẫu nhiên và G là σ−trường con của F Khi đó, kỳ vọng có điều kiện của X đối với σ−trường G là biến ngẫu nhiên Y thỏa mãn:

(i) Y là biến ngẫu nhiên G−đo được;

(ii) Với mỗi A ∈ G, ta có

Z

A

Y dP =

Z

A

XdP

Trong toàn bộ luận văn này, chúng ta xét một không gian xác suất đầy đủ có lọc (Ω, F , (Fn)n∈N,P)

(Fn)−martingale nếu

(i) X = (Xn) ∈N là quá trình (Fn)−phù hợp;

(ii) E|Xn| < ∞ với mọi n ∈ N; (iii) Với mọi m < n, m, n ∈ N, E(Xn|Fm) = Xm h.c.c

tích nếu E(|xn|2) < ∞; ∀ n ∈ N Ký hiệu tập tất cả các martingale bình phương khả tích là M2

(Fn)−martingale dưới nếu các điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn và (iii’) Với m < n, m, n ∈ N, E(Xn|Fm) ≤ Xm h.c.c

(Fn)−martingale trên nếu các điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn và (iii”) Với m < n, m, n ∈ N, E(Xn|Fm) ≥ Xm h.c.c

Định nghĩa 1.7 Dãy các biến ngẫu nhiên X = (Xn)n∈N được gọi là (Fn)−hiệu martingale nếu các điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn và (iii”) Với m < n, m, n ∈ N, E(Xn|Fm) = 0 h.c.c

Bổ đề 1.1 Giả sử {Xn}n∈N là một Fn-martingale, và xác định ξn =

Xn − Xn−1 Khi đó {ξn}n∈N là một Fn-hiệu-martingale

Bổ đề 1.2 Giả sử {ξn}n∈N, n ∈ N là môt dãy các biến ngẫu nhiên độc

Zn = Pn

i=1ξi Khi đó {Zn}n∈N là một Fn-martingale và {ξn}n∈N, n ∈ N

là một Fn-hiệu-martingale

Bổ đề 1.3 Giả sử {ξn}n∈N là môt dãy các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho Eξn = 0 và E|ξn| < ∞, với mỗi n ∈ N và (Fn)n∈N là bộ lọc được sinh ra bởi {ξn}n∈N Giả sử {yn}n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên Fn

-đo được Đặt Zn+1 = Pn

i=0yiξi+1 Khi đó {Zn}n∈N là một Fn-martingale

Fn-đo được Nếu EXn = 1 và Zn = Qn

i=1Xi, với mỗi n ∈ N Khi đó {Zn}n∈N là một Fn-martingale

tích Khi đó tồn tại một dãy {µn}n∈N của Fn-hiệu-martingale và một dãy ngẫu nhiên dương Fn−1-đo được {ηn}n∈N sao cho với mỗi n = 1, 2, hầu chắc chắn

ξn2 = µn + ηn, trong đó ηn = Eξn2/Fn−1, µn = ξn2 −E

ξn2/Fn−1

Bổ đề 1.6 Nếu {Xn}n∈N là một dãy ngẫu nhiên tăng với E|Xn| < ∞ với ∀n ∈ N thì {Xn}n∈N là một martingale dưới

Bổ đề 1.7 Nếu {Xn}n∈Nlà một Fn-martingale không âm, thì limn→∞Xn tồn tại, h.c.c

Định lý 1.1 Giả sử rằng {Xn}n∈N là một Fn-martingale dưới Khi đó tồn tại một Fn-martingale {Mn}n∈N và một dãy ngẫu nhiên tăng Fn−1-đo được {An}n∈N sao cho với ∀n = 1, 2,

Định lý 1.2 Giả sử {Xn}n∈N là một Fn-martingale dưới không âm với khai triển Doob’s (1.1) Khi đó, {A∞ < ∞} ⊆ {Xn →} Trong đó

n→∞Xn(ω) tồn tại và hữu hạn

Bổ đề 1.8 Giả sử {Zn}n∈N là một quá trình Fn-đo được không âm, với

E|Zn| < ∞ với mỗi n ∈ N và

Zn+1 ≤ Zn+ un − υn+ ςn+1, n = 0, 1, 2, , trong đó {ςn}n∈N là một Fn-hiệu-martingale, {un}n∈N, {υn}n∈N là các quá trình Fn-đo được không âm và E|un| ,E|υn| < ∞ với mỗi n ∈ N Khi đó

(

ω :

∞

X

n=1

un < ∞

)

⊆

(

ω :

∞

X

n=1

υn < ∞

)

∩ {Zn →}

Ở đây {Zn →} là tập các ω ∈ Ω trong đó limn→∞Zn tồn tại và hữu hạn Chứng minh Ta có

Zn+1 = Zn+ un − υn+ ςn+1 − (Zn − Zn+1 + un− vn + ςn+1)

trong đó wn+1 = Zn − Zn+1 + un − υn + ςn+1 là một quá trình Fn+1-đo

i=1wi là dãy tăng và Fn-đo được với E|Zn| ≤

Pn

i=1E|wi| < ∞ với mọi n ∈ N, nên theo bổ đề 1.6 {Zn}n∈N là một

Fn-martingale dưới Do đó, theo Định lý 1.1 chúng ta có biểu diễn

Zn+1 = Cn + Mn+1(1) , trong đó

n

Mn+1(1)

o

n∈N là một Fn-martingale và {Cn}n∈N quá trình tăng

Fn-đo được Kết hợp với (1.2) ta thu được

Zn+1 = Z0 + Un− (Vn + Cn) + (Mn+1 − Mn+1(1) ), (1.3) trong đó Un = Pn

i=1ui, Vn = Pn

i=1υi, Mn = Pn

i=1ςi Chúng ta định nghĩa

Mn = Mn− Mn(1), Un = Z0+ Un Khi đó đó theo phương trình (1.3) với mọi n ∈ N thì

Tài liệu tham khảo

[1] V Anantharam and T Konstantopoulos, Stations solutions of stochastic recursions describing discrete event systems Stochastic Processes and Applications, 68 (1997), 181-194

[2] L Arnold, Random Dynamical Systems (Springer- Verlag, Berlin, 1998)

[3] J D A Appleby, G Berkolaiko, and A Rokina, Non-exponential stability and decay rates in nonlinear stochastic difference equation with unbounded noise, Stochastic: An International Journal of Prob-ability and Stochastic Processes, 81 (2), (2009), 99-127

[4] J A D Appleby, X Mao, and Rodkina, On stochastic stabilization

of difference equations, Discrete Contin, Dyn Syst., 15(3), (2006), 843-857

[5] G Berkolaiko, C Kelly and A Rodkina, Sharp pathwise asymptotic stability criteria for planar systems of linear stochastic difference equations, Discrete and continuous dynamical systems, Supplement

2011 pp 163-173 [6] L Cesari, Asymptotic Behavior and Stability Problems in Odinary Diferential Equation, Springer-Verlag, New York, 1973

[7] F G Foster: On the stochastic matrices associated with cer-tain queueing processes The Annals of Mathematical Statistics, 24 (1953), 355-360

[8] S Foss and T Konstantopoulos, An overview of some stochastic stability methods, Journal of the Operations Research Society of Japan, Vol 47, No 4(2004), 275-303

[9] Friedman, Stochastic Differential Equations and Applications, Vol

1 Academic Press, New York, 1975

[10] V Lakshmikantham and S Leela, Differential and Integral Inequal-ities, Vol 1 Academic Press, New York, 1969

[11] V Lakshmikantham and D Trigiante, Theory of Difference Equa-tions, Academic Press, San Diego, 1988

[12] A M Lyapunov, The General Problem of the Stability of Motion (In Russian), D octoral dissertation, Univ Kharkov 1892 English translations: A T Fuller trans.) Taylor & Francis, London 1992 [13] F Ma, Stability theory of stochastic difference system, in Probabilis-tic Analysis ang Related Topics, (A T Bharucha-Reid, Ed.), Vol

3 pp 127-160, Academic Press, New York/London, 1983

[14] F Ma and T K Caughey, On the stability of stochastic difference systems, Internat J Non-Linear Mech 16 (1981), 139-153

[15] F Ma and T K Caughey, On the stability of linear and nonlinear stochastic tranformation, Internat J Control 34 (1981), 501-511 [16] F Ma and T K Caughey, Mean stability of stochastic difference systems, Internat J Non-Linear Mech 17 (1982), 69-84

[17] S P Meyn and R L Tweedie: Markov Chains and Stochastic Sta-bility (Springer, New York, 1993)

[18] X Mao, Stochastic Differential Equations and Applications, Hor-wood, Chichester, 1997

[19] A G Pakes: Some conditions for ergodicity and recurrence of Markov chains Operations Research, 17 (1969), 1048-1061

[20] T Taniguchi, E Stanley Lee, Stability theorems of stochastic deffer-ence equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications And Applications 147, 81-96 (1990)

[21] R L Tweedie, Criteria for classifying general Markov chains Ad-vances in Applied Probability 8 (1976), 737-771