Rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải phương trình lượng giác (Khóa luận tốt nghiệp)

Rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải phương trình lượng giácRèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải phương trình lượng giácRèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải phương trình lượng giácRèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải phương trình lượng giácRèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải phương trình lượng giácRèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải phương trình lượng giácRèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải phương trình lượng giácRèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải phương trình lượng giácRèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải phương trình lượng giácRèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải phương trình lượng giácRèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải phương trình lượng giác

M C L C

Trang

Trang ph bìa i

L ii

L i c iii

M c l c 1

Các kí hi u s d ng trong lu 3

M U 4

N TH C CHU N B 1.1 M t s công th ng giác 6

1.1.1 Các h th n 6

1.1.2 Công th c c ng 6

1.1.3 Công th 6

1.1.4 Công th c nhân ba 7

1.1.5 Công th c h b c 7

1.1.6 Công th c bi i tích thành t ng 7

1.1.7 Công th c bi i t ng thành tích 7

1.2 Các hàm s ng giác 7

1.2.1 Hàm s tu n hoàn 7

1.2.2 Hàm s y = sinx và y = cosx 8

1.2.3 Hàm s y = tanx và y = cotx 9

1.3 Cách th c xây d ng h th ng bài t ng giác 10

NG H TH NG BÀI T P

NG GIÁC

2.1 n 12

2.2 c nh i v i m t hàm s ng giác 24

2.3 c nh i v i sin(x) và cos(x) 29

2.4 i v i m t hàm s ng giác 36

2.5 i v i hàm sin(x) và cos(x) 43

2.6 i x ng 53

2.7 M t s d ng giác khác 64

2.8 Bài t p t ng h p 81

2.9 Bài t p tr c nghi m 96

K t lu n khóa lu n 105

Tài li u tham kh o 106

Trong gi i tích toán h c, ch v p ng giác là m t ch ch a

ng nhi u ki n th c mang tính tr : các khái ni m v ng

ng ki n th c khá l n cùng v i nhi u công th c và các d ng bài t p

c n m v ng lý thuy t và v n d ng làm bài t i v i h c sinh

th c s r ng g p không ít lung túng, sai sót khi gi i bài t p

sinh bài

D a vào nh ng lý do trên cùng v i s i m i giáo d c trong nh

Xây d ng h th ng bài t ng giác nh m giúp h c sinh THPT

IV Gi thuy t nghiên c u

N u xây d c m t h th ng bài t ng giác có tính ch t phân hóa khi d y h c l ng THPT thì s góp ph n nâng cao ch ng d y

h c và phát huy tính tích c c, ch ng và sáng t o trong vi c gi i bài t

ng giác cho t ng h c sinh

N TH C CHU N B 1.1 M t s công th ng giác

Trong ph n này, chúng tôi ch trình bày công th c mà không ch ng minh Các

ch ng minh xem trong [1]

tan tantan( )

1 tan tantan tantan( )

1 tan tan

2

sin 2 2sin cos

2 tantan2

1 tan

21sin cos sin ( ) sin ( )

+ Ví d minh h a v i bài t p có m n (6 thang nh n th c c a

+ Bài t p t rèn luy n giúp HS rèn luy n k i PT và tinh th n t h c + Bài t p t ng h p giúp HS phân bi c các d ng c a PTLG.

k

PTLGCB (hàm sin có góc là m t bi u th c theo x) (gi i a).

- câu d: ? Nh n xét h s c sinx và cosx?

1

cos

3 2 và

3sin

2sin( )

2

- câu b: VT ch a hàm cos và VP ch a hàm sin

- câu c và câu d, gi câu a và b

)2sin 3 sin cos 2 1

c x x x d)sin cos cos3x x x sin3 cosx 2x sinx 0

ng tìm l i gi i

- câu a: ? Hai v PT có d ng công th c nào?

V n d ng công th c tích thành t ng ta tri t tiêu cos2x.

- câu d: VT có hai h ng t là tích c a ng giác (có cung x và 3x).

1 3) sin cos

2sin sin cos cos

)2sin 3 sin cos 2 1

cos 2 cos 4 cos 2 1

)sin cos cos3 s in3 cos sin 0

V n d ng kinh nghi m câu a, ta bi i v sin2x và k t h p v i cos2x, ta

) cos3 cos 3 sin 2 0

- câu b: PT có h ng t ch a cosx và sin2x.

? Gi a cosx và sin2x có m i quan h gì không?

sin 2x 2cos sinx x , gi a sin2x và 2cosx có nh n t chung là cosx.

V y t p nghi m c

2

) cos3 cos 3 sin 2 0 2sin 2 sin 3 sin 2 0

sin 2 3 2sin 0

2sin 2 0

1sin

1 3 1

(*) cos 2 sin 2

524

1324

3 4: cos ;sin

- Câu a: VT PT ch a 2 h ng t có cung ph nhau

Ta s d ng tính ch t c a hai cung ph nhau bi i PT v cùng cung x.

52

26

x x

)2cos 3cos 1 0 (2cos 1)(cos 1) 0

2cos 1

23

63

x x

( )4

( )6

- câu a: VT có h ng t ch a cos2x và h ng t ch a cosx

? Có th bi i hàm cos2x và cosx v cùng góc không?

Bi i v bi u th c:cos 2x 2cos2x 1

PT tr v d ng (2.4) (gi VD trên)

- câu b: VT có h ng t ch a sin 2 2x và h ng t cos2x.

? So sánh v ng gi i câu b?

câu a, ta bi i: sin 22 x 1 cos 22 x

- câu c: VT v a có h ng t ch a tanx và h ng t ch a cotx.

? Tìm m i quan h gi a tanx và cotx?

( )2

5 / 2(sin x cos x) sin 2x 0

x.

Chia c hai v cho cos 2 x d ng (2.4)

[?] Khi chia c hai v cho cos 2 x, ta c u gì?

Nghi m c a PT cosx = 0 có ph i là nghi m PT ra hay không?

Cách 2: Ta chia c hai v PT cho cos 2 x.

: asin2x bsin cosx x c.cos2x d 0

? Li u r ng có th bi n i v d c không?

Nh n xét: sin2x = 2sinx.cosx, bi PT có d ng (2.5)

- Câu e: VT ch a h ng t ch a sinx và cosx d ng b c 2 và h ng t ch a cos2x,

sin2x PT có d ng g n gi ng câu d.

? D a vào câu d, tìm ng gi i câu e?

Bi i cos2x = cos 2 x sin 2 x.

4tan 2

x x

) 2sin 3 3 sin cos cos 4

)3sin sin 2 cos 0 3sin 2sin cos cos 0

arctan ( )5

) 4 cos 2sin 3sin 0

) cos 4cos sin 3cos sin sin 0

1 4 tan 3 tan tan (1 tan ) 0

(tan 1)(tan 4 tan 1)

arctan(2 3) ( )tan 1 0

4tan 4 tan 1

) 3cos 2sin cos sin 0

tan tan 2 tan 0

t , d a vào m i quan h trên tính theo t, thay vào

2

t

c:

2

2

1 ( )1

- Câu d: VP PT có d ng tích sin5x.cos5x và VT ch a tích hai bi u th c có ch a

2

t

c: 2 2

1 ( )

( )3

c) sin 3 cos3x x 2 sin 3x cos3x 1 0

t: t = sin3x + cos3x

21

k x

x

1 78 6 2 2arccos

k k

212

t: sin cos 2 cos( )

4

21sin

2

t xcosx

1: 2 cos( ) 1

41

t: cos 2 sin 2 2 cos(2 )

4

21sin 2 cos 2

sinx.cosx ho c (sinx cosx), ta hoàn toàn có th gi PT (2.6).

- Câu b: PT ch a h ng th c t ng hai l ng t ch a sin2x

Phân tích: sin3x cos3x (sinx cos )(1 sin cos )x x x

t n ph gi câu a

- Câu c: VT ch a phân s ng phân s PT s xu t hi n t ng và

tích c a sinx và cosx.

- Câu d: PT v a có ch a hàm tan và cot, v a có ch a hàm sin và cos.

Gi i PT b ng cách bi i hàm tan sin , cot cos

t: cos sin 2 cos( )

4

2

t xcosx

b x x x 1 (sinx cos )(1 sin cos )x x x 3sin cos (2)x x

4

21sin cos

t: sin cos 2 cos( )

4

21sin

2

t xcosx

3 13 16 0 ( o)

t t t

sin cos ( 2sin cos sin cos ) 0

(2) 2sin cos sin + cos 0

2

t xcosx

)sin5 sin3 sin 0

)sin2 sin5 sin3 sin4

x

Ta có th gi i PT b ng cách h b ng giác b

d ng t ng (b VD 2.7.1.1)

- câu b, c: PT có d câu a

Bài gi i

)sin 4 sin 3 sin 2 sin

k k x

) cos cos 2 cos 3 cos 4 2

1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 1 cos8

V y t p nghi m c ; ;

)sin 3 cos 4 sin 5 cos 6

cos 7 cos 2.cos11 coscos (cos 7 cos11 ) 0

2cos 0

cos x sin x (cos x sin x)(cos x sin x) (cosx sin )(cosx x sin )x

- xu t hi n nhân t chung:cosx sinx

gi i

Bài gi i

) (cos sin ) 2(sin + cos )

(cos sin )(cos sin ) 2(sin cos )

sin cos ( cos sin 2) 0

(cos sin ) cos sin 2sin cos

cos sin 1 2sin cos

y VT xu t hi n h ng t ch a sin2xcos2x (h ng t này có th bi i

thành sin 2 2x), VP xu t hi n h ng t cos2x, nên ta có th bi i PT trên v d ng

PT b c hai v i n là cos2x.

- Ngoài ra, cos x sin x có th c tính t h ng th c:

(sin cos ) cos sin 3sin cos 3sin cos

1 cos sin 3sin cos (sin cos )

cos sin 1 3sin cos

- VT xu t hi nsin8x cos8x (d ng a2 b ), nên PT có d2 câu a

PT gi i a Chú ý:(cos4x sin4x)2 sin8x cos8x 2cos4xsin4x

sin 2sin 2 1

32

cos

x

x b) tanx tan 2x sin 3 cosx x

)(1 tan )(1 sin 2 ) 1 tan

ng tìm l i gi i

- Ta th y các PT ch a hàm tan ho c cot thì vi u tiên ta c n tìm c a PT

- câu a, b, c: ta th y VT PT là hàm tan, còn VP PT là hàm sin và cos,

cos

x x

x n d ng các ki n

- câu d: ta th y PT xu t hi n hàm tan và

Bài gi i

sin3) tan t an2 (*)

x

k k x

sin s in2 s in3

(*)

cos cos 2 cos

sin cos 2 s in2 cos s in3

s in3 s in3cos cos 2 cos

s in3 s in3 cos 2 0

s in3 (1 cos 2 ) 0

s in3 0

3cos 2 1

,cos 2 0

2 2 2

2

2sin cos 2 cos 2 cos 2 sin 2

2sin cos 2 4sin cos 0

2sin (2 cos 1 2 cos ) 0

x x

x

23

23

2

23

- Câu b: Ta PT xu t hi n hàm cos b ng th i l i có hàm sinx, nên n u ta

h b c PT s làm PT ph c t không cùng góc)

a ta th y có th nhóm cos x và 3 cos x ; 2 2sin x t o ra nhân

- Câu c: ta th y PT có nhi u hàm sin và cos (không cùng góc).

Làm t câu b nhóm các h ng t cho phù h p (sin v i sin, cos v i cos)

t o ra nhân t chung d ng PT tích

Bài gi i

2

)2cos 2cos sin 2

2cos (cos sin 1) 0

2cos 0

2cos sin 1

22

) cos cos 2sin 2 0

cos (1 cos ) 2(1 sinx) 0

(1 sin )(1 sin )(1 cos ) 2(1 sin ) 0

1 sin 0 (1)

sin cos sin cos 1 0 (2)

2(2) sin cos sin cos 1 0

thành: 1 1 0 2 2 3 0 1 ( )

3 ( )2

)1 sin cos sin 2 cos 2 0

sin (1 2 cos ) cos (1 2 cos ) 0

(1 2 cos )(sin cos ) 0

2

23

cos 1 cos 2

x b

( )4

sin cos 0

cos sin 1 0

2 ( )2

(2) cos 2 )(1 cos 2 ) sin 2 cos

1 cos 2 sin 2 cos

sin 2 (sin 2 cos ) 0

( )2

( ) ( )

2 ( )2

(*) sin cos )(sin sin cos cos ) (cos sin )(2cos sin )

sin cos )(1 sin cos ) (cos sin )(cos sin )(2cos sin )sin cos 0 1

1 sin cos (cos sin )(2cos sin ) 2

(2) 1 sin cos 2cos sin 3sin cos

cos 2sin cos 0

cos (cos 2sin ) 0

sin 2sin 2 sin cos3 sin 3

1 2sin 2sin cos 3 cos cos 3 sin 3

2

2sin 2 cos cos

1 2sin 25cos cos 2 3

) 3 cos sin 2cos 2

26

)sin cos 3 s in3 cos sin

- Câu e: ta th y PT có cos x và 2 sinx cosx 2 ng c n khai tri n

h ng th c sinx cosx 2 và h b c cos x 2

Tóm l i: bài [PP 1] (h b c) và [PP 2] PT d câu a)

Bài gi i

) 2sin 2 2cos 2 2 (1)

Ta có: 22 ( 2)2 ( 2)2

)sin 2 sin 5 cos

sin cos 2 sin 5

k x

3 sin 2 cos 2 2 (4)

2)5sin 2 3(1 sin ) tan

- Câu b: ta th y PT ch a hàm tan ng th i có ch a hàm sinx và hàm cosx nên ta

ng có th gi i PT b ng cách khai tri n

2 2

2

sintan

cos

x x

) cos 2 sin 2sin 0

3sin 2sin 1 0

22sin 1

1

1

3sin

(2) sin 2) cos 3(1 sin )sin

sin 2)(1 sin ) 3(1 sin )sin

sin 5sin 2 2sin 3sin 3sin

2sin sin 5sin 2 0

324

)3sin sin 2 cos 0

arctan3

3

k x

2 2

1)sin sin 2cos

22arctan( 5) 2

arcsin 2 1 24

3 ( )2

t t

- Câu c: ta th y PT ch a hàm tan và sin-cos, bi i

2 2

2

sintan

cos

x x

x .PT còn ch a hàm b c cao (góc ), nên ta h b góc x

Tóm l i: PT d ng (7) [PP 1-2] f x g x( ) ( ) 0 b)

Bài gi i

) (2 cos 1)(2sin cos ) sin 2 sin

(2 cos 1)(sin cos ) 0

232cos 1 0

)sin 3 cos sin cos 3 sin cos

sin (cos sin ) 3 cos (cos sin ) 0

(cos sin )(sin 3 cos ) 0

sin )sin (1 cos ) cos 0

(sin cos )(1 sin )(cos 1) 0

- Câu a: Ta th y PT ch a sin 3 cos 2x x(v i 3x 2x 5 ;3x x 2x x

có th v n d ng công th c bi i t bi i sin 3 cos 2x x vcùng góc v i các h ng t còn l i

Tóm l i: PT d ng (7) [PP 1-5] PT d ng (1)

- Câu b: Ta th y PT có

2sin cos

- Câu c, d: Ta th y PT có m u ki n c i PT b ng

Tóm l i: PT d ng (7) [PP 6-5] PT d ng (1)

Bài gi i

) 3 cos 5 2sin 3 cos 2 sin 0

3 cos 5 (sin 5 sin ) sin 0

3 cos 5 sin 5 2sin

22

cos sin 2 3 sin 3 cos 2

k x

(1 sin cos 2 ) 2 sin

4

sin coscos(1 sin cos 2 )(sin cos )

1sin cos

6. u ki m.sinx 3cosx 5 có nghi m là :

4

m m

13. 4sin 2x 3cosx 5 2 có nghi m là:

A 5

,

5,

5,

22

5,

TÀI LI U THAM KH O

[1] Sách giáo khoa i s 10, Nhà xu t b n giáo d c Vi t Nam.

[2] Sách giáo khoa i s và Gi i tích 11, Nhà xu t b n giáo d c Vi t Nam.

[3] Lê Hoành Phò, i S - Gi i Tích 11, Nhà xu t b i h c qu c gia Hà N i

h c qu c gia Hà N i

[5] Nguy c, ng giác, Nhà xu t b i h c qu c gia thành ph H Chí Minh

[6] Các ngu n tài li u tham kh o t các website: dienantoanhoc.net, mathvn.com

[7] Các tài li u lý thuy t và bài t p Toán h i b t ng THPT

a bàn thành ph H Chí Minh