Ôn thi TN THPT + Đại học +Cao đẳng bao gồm chương trình của lớp 10 + 11 + 12. Đây là các vấn đề môn Toán lớp 11 chiếm 2 điểm trong đề thi tuyển sinh năm nay. Tôi sẽ liệt kê tất cả các vấn đề có trong cấu trúc đề thi môn toán trong kì thi THPT có lời giải chi tiết, bài tập từ cơ bản đến nâng cao để các bạn có thể tham khảo và tự mình làm được khi gặp dạng tương tự. Cám ơn các bạn đã theo dõi.
Trang 1VẤN ĐỀ 1: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Câu 1: Có 10 cặp vợ chồng đi dự hội nghị “Vệ sinh an toàn thực phẩm” Tính số cách chọn
1 người đàn ông và 1 người đàn bà phát biểu ý kiến sao cho 2 người đó không là vợ chồng ?
Có 10 cách chọn 1 người đàn ông
Ứng với cách chọn người đàn ông thì chỉ có 9 cách chọn 1 người đàn bà (trừ vợ của người đàn ông đó)
Vậy theo quy tắc nhân ta được 9x10 = 90 cách chọn.
Câu 2: Có bao nhiêu cách xếp 10 người ngồi vào một bàn dài gồm 10 ghế sao cho 3 người
A, B, C không ngồi cạnh nhau ?
Trước hết xếp 7 người còn lại vào 7 vị trí ngẫu nhiên: có 7! = 5040 cách chọn Xem mỗi người
là 1 vách ngăn tạo thành 8 vị trí.
Xếp A, B, C vào 8 vị trí: có = 336
Vậy theo quy tắc nhân ta được 5040x336 = 1693440 cách xếp
Câu 3: Cho đa giác lồi 10 cạnh Tính số giao điểm tối đa của các đường chéo của đa giác cho.
4 đỉnh bất kì của đa giác cho 1 giao điểm của 2 đường chéo thuộc số đường chéo của đa giác đó
Số giao điểm chính là số cách chọn 4 đỉnh bất kì từ n đỉnh của đa giác n cạnh.
Số giao điểm là: = 210 giao điểm
Câu 4: Trong tủ sách của Minh có 10 cuốn sách tiếng Anh, 8 cuốn sách tiếng Pháp và 6 cuốn sách tiếng Nhật (tất cả các cuốn sách đều khác nhau) Hỏi Minh có bao nhiêu cách chọn 2 cuốn sách tiếng khác nhau ?
Số cách chọn 2 cuốn sách tiếng khác nhau:
1 tiếng Anh + 1 tiếng Pháp: = 80
1 tiếng Anh + 1 tiếng Nhật: = 60
1 tiếng Pháp + 1 tiếng Nhật: = 48
Vậy theo qui tắc cộng ta được 80 + 60 + 48 = 188 cách chọn.
Câu 5: Với các chữ số 0;1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau ?
Trang 2Gọi số cần tìm là abcde
TH1: e là số 0
Các số còn lại có = 360 cách chọn
Có 1 = 360 cách chọn
TH2: e khác số 0 => e có 3 cách chọn
A có 5 cách chọn
Các chữ số còn lại có số cách chọn lần lượt là 5, 4, 3
Có 3.5.5.4.3 = 900 cách chọn
Vậy theo qui tắc cộng ta được 360 + 900 = 1260 cách chọn.
Câu 6: Một đội xây dựng gồm 10 công nhân và 3 kĩ sư Hỏi có bao nhiêu cách chọn một tổ công tác gồm 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên ?
Có 3 cách chọn kĩ sư làm tổ trưởng
10 cách chọn 1 công nhân làm tổ phó
= 126 cách chọn 5 công nhân làm tổ viên
Vậy theo qui tắc nhân ta được 3.10.126 = 3780 cách chọn một tổ công tác.
Câu 7: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau ?
{0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau có dạng abc
TH1: c là số 0
2 chữ số còn lại có = 72 cách chọn
TH2: c khác số 0 (có 4 cách chọn)
a có 8 cách chọn
b có 8 cách chọn
Có 4.8.8 = 256 cách chọn
Vậy theo qui tắc cộng ta được 256 + 72 = 328 số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau.
Trang 3Câu 8: Cho đa giác lồi 20 cạnh
a Tính số tam giác tạo thành bởi các đỉnh của đa giác có 2 cạnh thuộc đa giác đã cho.
b Tính số tam giác tạo thành bởi các đỉnh của đa giác có đúng 1 cạnh thuộc đa giác đã cho.
c Tính số tam giác tạo thành bởi các đỉnh của đa giác không có cạnh nào thuộc đa giác đã cho.
Bài giải
a Tam giác có 2 cạnh thuộc đa giác đã cho => mỗi tam giác cần chọn 3 đỉnh liên tiếp của
đa giác Tập trung vào đỉnh ở giữa => có 20 cách chọn đỉnh ở giữa => có 20 tam giác.
b Tam giác có 1 cạnh thuộc đa giác đã cho => chọn 1 cạnh bất kì của đa giác và 1 đỉnh không kề với cạnh đã chọn => ta không được chọn 4 đỉnh liên tiếp nhau => có 20 cách chọn 1 cạnh và 20 – 4 = 16 đỉnh không kề với cạnh => có 20x16 = 320 tam giác.
c Số tam giác được tạo thành từ 3 đỉnh bất kì của đa giác là = 1140 => Tam giác không
có cạnh thuộc đa giác đã cho 1140 – 20 – 320 = 800 tam giác.
Câu 9: Trong 100000 số nguyên dương đầu tiên, có bao nhiêu số chứa một chữ số 1, một chữ số 2 và một chữ số 3 ?
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Nếu viết 00123 thì ta hiểu đó chính là số 123 Với qui ước như vậy ta lí luận như sau:
Gọi số cần tìm có dạng abcde
Chữ số 1 có 5 cách đặt
Chữ số 2 có 4 cách đặt
Chữ số 3 có 3 cách đặt
Khi đã đặt các chữ số 1, 2, 3 thì ta còn 2 chỗ nữa Ta có 7 cách đặt một trong 7 số còn lại vào vị trí a và 7 cách đặt chữ số còn lại vào vị trí còn trống.
Vậy theo qui tắc nhân ta được 5.4.3.7.7 = 2940 số.
Câu 10: Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau và phải có mặt hai chữ số 0 và 8 ?
Số cần tìm có dạng abcdef
TH1:
Trang 4Cách chọn vị trí cho số 0 và số 8:
Cách chọn vị trí cho 4 số còn lại:
= 30.840 = 25200 số
TH2: Chữ số 0 đứng đầu
Cách chọn vị trí cho số 8: 5 cách chọn
Cách chọn vị trí cho 4 số còn lại:
Có 5 = 5.840 = 4200 số
Vậy số có 6 chữ số khác nhau và phải có mặt 2 chữ số 0 và 8 là: 25200 – 4200 = 21000
Câu 11: Với các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8 ?
{1; 2; 5} {1; 3; 4}
Giả sử 6 chữ số cần tìm có dạng abcdef
TH1: {1; 2; 5}
cde có thứ tự 3 chữ số {1, 2, 5} có 3! = 6 cách chọn
3 vị trí còn lại có = 120 cách chọn
Có 120x6 = 720 số
TH2: Tương tự có 720 số
Vậy theo qui tắc cộng có 720 + 720 = 1440 số cần tìm.
Câu 12: Trong các số nguyên từ 100 đến 99, số các số mà các chữ số của nó tăng dần hoặc giảm dần (kể từ trái sang phải) bằng ?
Số cần lập có 3 chữ số khác nhau
TH1: Các chữ số tăng dần Khi đó các chữ số được chọn từ tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} => có
= 84
TH2: Các chữ số giảm dần Khi đó các chữ số được chọn từ tập {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} =>
có = 120
Vậy theo qui tắc cộng ta được 84 + 120 = 204 cách chọn.
Trang 5Câu 13: Số 54000 có bao nhiêu ước nguyên dương ?
54000 = 54.1000 = 9.6.10 3 = 3 2 3.2.2 3 5 3 = 2 4 3 3 5 3
Số ước nguyên dương cần tìm là: (4 + 1).(3 + 1).(3 + 1) = 80
Câu 14: Nhóm học sinh giỏi khối 12 của một trường THPT có 10 học sinh giỏi toán (T), 8 học sinh giỏi lý (L) và 6 học sinh giỏi hóa (H) Có bao nhiêu cách chọn đội tuyển gồm 5 học sinh để dự thi học sinh giỏi cấp thành phố sao cho học sinh giỏi T bằng số học sinh giỏi L.
TH1: 1 hs giỏi T_1 hs giỏi L => = 80
Phải chọn 3 hs giỏi H: = 20
Có = 80.20 = 1600
TH2: 2 hs giỏi T_2 hs giỏi L => = 45.28 = 1260
Phải chọn 1 hs giỏi H: Có 6 cách chọn
Có 6 = 6.1260 = 7560
Vậy theo qui tắc cộng ta được 1600 + 7560 = 9160
Câu 15: Trong số 999 số nguyên dương đầu tiên, có bao nhiêu số nguyên dương có các chữ
số khác nhau ?
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
TH1: Số cần tìm có 1 chữ số, ta có 9 số khác nhau
TH2: Số cần tìm có 2 chữ số khác nhau có dạng ab
a có 9 cách chọn
b có 9 cách chọn
Theo qui tắc nhân ta được 9 = 81 số
TH3: Số cần tìm có 3 chữ số khác nhau có dạng abc
a có 9 cách chọn
bc có = 72 cách chọn
Theo qui tắc nhân ta được 9 = 9.72 = 648
Vậy ta có 9 + 81 + 648 = 738 số.
Trang 6Câu 16: Trong mặt phẳng có 10 đường thẳng song song nhau và 15 đường thẳng khác cũng song song nhau đồng thời cắt 10 đường thẳng đã cho Hỏi có bao nhiêu hình bình hành tạo bởi 25 đường thẳng đã cho.
Mỗi hình bình hành được tạo từ 2 đường thẳng song song này với 2 đường thẳng song song kia Vậy ta được = 45.105 = 4725 hình bình hành.
Câu 17: Có bao nhiêu số nguyên dương gồm 6 chữ số sao cho mỗi chữ số của số đó nhỏ hơn chữ số bên phải của nó ?
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Có = 210 số có 5 chữ số phân biệt
Ở đây tính cả số 0 đứng đầu nên ta phải trừ ra Trường hợp này có = 126 số
Vậy ta có 210 – 126 = 84 số.
Câu 18: Cho đa giác đều 20 cạnh Tính số hình chữ nhật tạo bởi 4 trong số 20 đỉnh của đa giác đều đã cho?
Đa giác đều 20 cạnh có 10 đường chéo qua tâm
Cứ 2 đường chéo qua tâm ứng với 1 hình chữ nhật có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho =>
Số hình chữ nhật là: = 45 hcn.
Câu 19: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau mà chữ số đầu là bội của
3 ?
Bội của 3 là những số chia hết cho 3.