Quy lạ về quen phá đảo phương trình hệ phương trình bất phương trình

Trong tài liệu này tôi chủ yếu đề cập đến việc giải các bài toán về Phương trình,Hệ phương trình và Bất phương trình,tài liệu sẽ đề cập đến nhiều kiến thức tổng hợp và một số cách định h

LỜI NÓI ĐẦU

Tài liệu “Quy lạ về quen phá đảo PT-Hệ PT-Bất PT” chủ yếu xoay quanh việc tận dụng các kiến thức mới và cũ phối hợp với nhau để cùng giải quyết các bài toán Trong tài liệu này tôi chủ yếu đề cập đến việc giải các bài toán

về Phương trình,Hệ phương trình và Bất phương trình,tài liệu sẽ đề cập đến nhiều kiến thức tổng hợp và một số cách định hướng cho các bài toán ,dạng toán các câu xoay quanh PT,Hệ PT,Bất PT và một số bài toán liên quan đến đến các vấn đề trên !Tài liệu được soạn thảo dựa trên kiến thức,kinh nghiệm của bản thân tôi nên chắc chắn sẽ còn nhiều thiếu sót ! Mong độc giả đón nhận và góp ý để tài liệu này hoàn thiện hơn !

Dưới đây tôi xin nói vài nét về tên gọi “ Quy lạ về quen”,với giáo viên hay trong ngành sư phạm đây là tên một phương pháp dạy học giải bài tập toán học nhằm nâng cao khả năng giải toán cho học sinh ,củng cố nâng cao kiến thức đồng thời giúp học sinh không quên kiến thức cũ,những bài toán tưởng chừng khó hay phức tạp sẽ trở lên đơn giản hơn nhiều khi đưa về những thứ quen thuộc mà học sinh đã được thấy được học trước đây Ở đây ,tôi xin lấy một ví dụ để độc giả dễ hình dung :

“Ở bậc học Tiểu học,chúng ta được làm quen với bài toán tìm Số lớn, Số

bé khi biết tổng và hiệu ,ví dụ như :

Tìm hai số tự nhiên biết số lớn hơn số bé 2 đơn vị và tổng hai số là 10

Và cách giải là gọi tổng hai số là T và hiệu chúng là H thì ta có H=10, T=2 và công thức tính là :

10 2 6, 10 2 4

SL     SB    

Vậy kết quả là số lớn là 6,số bé là 4 ”

Đến bậc THCS ,học sinh gặp lại một bài toán hệ phương trình như :

10 2

x y

x y



Nhìn vào đề bài ta thấy x+y là một tổng và x-y là một hiệu nên trong tiềm thức ta thấy hình bóng bài toán trên ở Tiểu học và sử dụng lại kết quả ở bậc Tiểu học.Sau đó,ta nhận ra rằng có thể giải bài toán ở Tiểu học bằng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thông qua đặt ẩn phụ và phương pháp cộng đại số.”

Nguyễn Anh Tú

1

I.Các vấn đề liên quan đến phương trình bậc cao

1.Phương trình bậc ba

Ở mục này tôi sẽ không đề cập đến cách giải phương trình bậc ba đã có ít nhất một nghiệm nguyên nữa do công việc này máy tính có thể hỗ trợ bạn

đọc ! Tôi chỉ xin đề cập một số cách giải phương trình bậc ba tổng quát để bạn đọc tham khảo !

1.1.Phương pháp Cardano

Cho phương trình bậc ba tổng quát dạng :

( )( )

Do a khác 0 nên chia cả hai vế của (1) cho a ta được :

Sau đó thực hiện các bước biến đổi sau :

( )

( ) ( ) ( )

Bằng cách đặt các ẩn phụ

{

Ta đưa (1) về dạng ( )

Giờ ta giả sử (2) có nghiệm z = lúc đó ta có :

( ) ( )  ( ) ( )

 ( )( )

Ta chọn sao cho : { hay {

Nhớ lại định lý Vi-ét đảo ta sẽ thấy là nghiệm của phương trình bậc 2

( ) (3) có =

và ta chọn √ √

Vậy z = √ √ √ √ là một nghiệm của (2)

2

**** Phần chứng minh trên cho ta các công thức khá là phức tạp và khi giải quyết các bài toán phương trình bậc ba ta sẽ phải chứng minh công thức trên Đặc biệt,vấn đề phát sinh trong mọi phương trình bậc ba là t chưa chắc

là nghiệm thực của bài toán do  có thể là giá trị âm lúc đó ta sẽ phải giải quyết bằng tính toán số phức ! Sau đây, tôi xin trình bày một cách để giải tiếp !

Do z là một nghiệm của (2) nên hay ta được :

( )( )

nên hai nghiệm còn lại của (2) (do phương trình bậc ba có tối đa 3 nghiệm)

là nghiệm của phương trình ( ).(ta hoàn toàn giải được do z được tính theo giá trị các hệ số thực)

Nhận xét : nếu p > 0 thì  > 0 và (4) vô nghiệm do (4) là một bình phương thiếu cộng thêm một số dương.Vậy nếu p > 0 thì (2) có nghiệm thực duy nhất hay ta kết luận (1) có nghiệm thực duy nhất khi .Còn nếu p=0, ta thay trực tiếp vào (2) và các bạn đọc sẽ tự rút ra nhận xét nhé !

Vì phần này mang tính chất tham khảo do công thức nghiệm phức tạp nên tôi không lấy ví dụ ! Điều mà tôi muốn nói đến ở đâu chính là việc sử dụng tính chất liên quan đến tổng và tích để xây dựng được công thức nghiệm cho phương trình bậc ba ! Hệ thống trên được gọi là phương pháp Cardano còn

**** chỉ là cách trình bày của cá nhân tôi !

1.2.Sử dụng lượng giác để giải phương trình bậc ba

Ý tưởng : Theo 1.1 ,mọi phương trình bậc ba đều đưa về dạng

Mà ta có nên phải chăng sẽ có phép biến đổi nào để giải phương trình bậc ba bằng lượng giác ! Mời bạn đọc cùng tôi đi khám phá thông qua các ví dụ :

VD1: Giải phương trình

( ) Nhận thấy hình bóng nên ta nhận định có thể đổi biến thành nhưng chỉ khi chắc chắn (1) có nghiệm trong đoạn [ ]

Ở lớp 11 chúng biết được một hệ quả đó là : Nếu hàm số f liên tục trên

đoạn [ ] và f(a).f(b) < 0 tồn tại ít nhất một điểm c thuộc (a,b) sao cho

f(c)=0

Áp dụng vào bài toán trên khi xét hàm ( ) trên [ ]

3

ta hoàn toàn chỉ ra được (1) có nghiệm thuộc đoạn [ ].Khi đó nếu đặt

ta đưa (1) về dạng  ( ) Đến đây

do thường mắc sai lầm quên đặt điều kiện t [ ] mà chúng ta sẽ khó xử

lý nghiệm ,điều kiện trên xuất phát từ việc nên phải thuộc đoạn [ ].Vậy ta chọn được t ( ),do phương trình bậc ba có tối đa 3 nghiệm mà mỗi t ứng với một nghiệm nên đây là tất cả các nghiệm của (1)

Khi giải quyết các bài toán khác ví dụ như ta lại phải đặt vậy ta có thể giải quyết cái bài toán phương trình bậc ba bằng cách đặt ẩn phụ ( ) chăng ?

Thật vậy áp dụng cho phương trình

Ta thử đặt ( )thì phương trình có dạng : đặt như vậy với mục đích tìm a sao cho ta nhóm được một đại lượng ( ) nào đó,chú ý đến công thức quan trọng ta chọn a sao cho  Vậy là với cách thử trên ta dễ dàng tìm được cách đặt ẩn phụ Tuy nhiên ,phương pháp này cũng sẽ bị hạn chế ví dụ trong bài toán sau :

Đặt ẩn phụ như bài toán (1) ta thu được Trong việc giải phương trình này lại liên quan đến vấn đề số phức với lượng giác ,một vấn đề nằm ngoài phạm vi kiến thức THPT,THCS Vậy nên dù tiện lợi nhưng nó chỉ giải quyết được một số dạng nhất định.Qua đó,ta thấy rằng việc giải phương trình bậc ba tổng quát ít được đề cập và mang tính tham khảo là chính 1.3 Một số phương trình bậc ba được giải bằng cách đưa về tổng và

hiệu của các lập phương Tuy hay nhưng đây là phần không dễ để thực hiện , khi gặp hay được giao làm những bài toán này chúng ta thường gặp những dạng dễ nhận biết thông qua các hằng đẳng thức sau : ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

4

VD1 : Giải phương trình sau :

Việc nhận ra hướng giải của bài toán này nằm ở việc hình dung ta việc nhận ra hình bóng hằng đẳng thức : ( ) khi nhìn vào các số hạng và ta nhóm thành :

( ) Hay

( )  √



√

Ví dụ trên là dạng toán hay gặp và đặc biệt ( ) được

nhận dạng qua các số hạng trong khai triển hằng đẳng thức và xử lý các hệ

số A,B,C thuộc Z và A+B ,dĩ nhiên hệ số thuộc tập số thực thì sẽ khó lắm

Trong một số trường hợp như có dạng sau:

( ) ( )

Với A,B,C,D thuộc Z thì dễ thấy sẽ có ngay nghiệm máy tính có thể xử lý được ngay (A+C nếu A+C=0 thì là phương trình bậc hai mất rồi )

Độ khó của việc nhận diện mình sẽ trình bày theo một cách tư duy ngược khi trong vai một người ra đề :

( ) ( ) Nếu đưa số 7 và -3 vào trong hằng đẳng thức sẽ là số vô tỉ nhưng khai triển

ra ta lại được hệ số nguyên của phương trình bậc ba tổng quát ! Ta sẽ giải quyết bằng phương pháp hệ số bất định với 6 ẩn ,đối với các bạn chưa biết phương pháp này thì hãy theo dõi tiếp tài liệu ở phần Phương trình bậc 4 sau đây nhé !

5

2.Phương trình bậc 4

2.1.Phương trình trùng phương và các dạng phương trình bậc cao quy

về phương trình bậc hai

BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

TRÙNG PHƯƠNG -Dạng tổng quát : ( )

+ Điều kiện vô nghiệm

{

{

{

Bao gồm các trường hợp (1) vô nghiệm,có hai nghiệm âm và nghiệm kép

âm

+ Điều kiện có nghiệm là (1) có ít nhất một nghiệm không âm

a.Điều kiện có 1 nghiệm{

tức là (1) có nghiệm duy nhất =0 b.Điều kiện có 2 nghiệm {

{

Bao gồm các trường hợp sao cho (1) có ít nhất một nghiệm dương là (1)

có 2 nghiệm trái dấu và (1) có nghiệm kép dương

c.Điều kiện có 3 nghiệm {

(1) có nghiệm là 0 và một nghiệm dương d.Điều kiện có 4 nghiệm{

(1) có 2 nghiệm dương phân biệt

Đây là dạng toán quen thuộc nên tôi chỉ đề cập đến các điều kiện định số nghiệm của phương trình bậc 4 trùng phương Dưới đây là phần mở rộng về một số phương trình đưa về dạng bậc bốn trùng phương !

6

Vấn đề đề cập ở đây sẽ chủ yếu xoay quanh phương trình bậc bốn đưa về dạng một phương trình bậc hai Ta có thể nhận diện một số các bài toán đưa

về phương trình bậc hai thông qua dạng tổng quát hơn là :

( ) Sau đây là một số ví dụ

VD1 : Giải phương trình

Cùng nhớ lại công cụ hằng đẳng thức trong việc khai triển ( )

có đồng thời các số hạng bậc bốn ,bâc ba và bậc hai theo biến thì đây phải chăng là ý đồ của bài toán Ta thử nhóm hằng đẳng thức như sau :

( ) ( ) ( )

Giờ bằng cách đặt ẩn phụ ta đưa bài toán về dạng :

Vậy khi gặp các phương trình bậc bốn ta có thể thử nhóm các số hạng bậc ba,bậc bốn thành hằng đẳng thức trước để kiểm tra Các ví dụ sau sẽ minh họa nhiều hơn về vấn đề này

VD2 : Giải phương trình

Nhận xét hệ số trước là 4 một số chính phương và hệ số trước là 12

có thể tách thành 2.2.3 nên ta lại bắt đầu công việc thử nhóm về hằng đẳng thức :

( )  ( ) ( )

Bài toán đến đây đã được định hướng ,những dạng toán tôi đề cập ở đây liên quan nhiều đến hằng đẳng thức và super soi các hệ số nên chủ yếu dựa vào kinh nghiệm , để có được điều này ta cần làm nhiều bài tập để có được phản

xạ với các dạng toán !

VD3: Giải phương trình

Tuy rằng hệ số trước là 3 không phải số chính phương nhưng ta thấy hệ

số trước là 12 cũng chia hết cho 3 nên ta thử tìm kiếm cơ hội bằng cách

7

đặt 3 là thừa số chung.Thật vậy ,ta thực hiện như sau :

( ) ( )  ( ) ( )

Đây là những kĩ thuật cơ bản để định hướng cho dạng toán này

Bài toán tiếp theo tôi muốn đề cập tới là việc nhóm thành nhiều hằng đẳng thức và để tận dụng triệt để tính chất của nó nhìn chung phần này vẫn xoay

quanh việc nhóm từ các bậc cao nhất Mời bạn đọc theo dõi :

VD4 : Giải phương trình

Bài toán không có bậc ba nên ta sẽ nghĩ tới cách nhóm về ( ) ,

ta lần lượt nhóm từ bậc cao nhất :

( ) Nhiều bạn sẽ đặt ra câu hỏi sao lại biết tách như vậy câu trả lời sẽ có ở

mục quan trọng nhất của phần này,đó là cách giải phương trình bậc bốn

dạng tổng quát ! Đến đây bạn đọc có thể tự nhóm rồi !

 Các phương trình bậc bốn đặc biệt

1.Phương trình có dạng

( )( ) thỏa mãn ( ) ( )( )

Dạng toán này còn có hai dạng đặc biệt thường gặp là :

( ) ( ) với tên gọi là phương trình bậc bốn hồi quy và phản hồi quy

Tôi xin trình bày các bước chung cho dạng toán này :

Bước 1 : Ta thử có phải nghiệm phương trình (1) không

- Nếu e =0,d=0 thì vẫn thỏa mãn (*) nhưng ta sẽ nhóm ngay được là

nhân tử chung và có thể giải luôn Nếu e=0,d≠0 thì phương trình có ngay

một nghiệm 0 và không thỏa mãn (*)

- Nếu e.d và thỏa mãn (*) thì 0 không phải nghiệm của (1) nên chia cả

hai vế của (1) cho và làm bước 2

Bước 2 : Ta thu được phương trình mới ( )

hay ( ) ( ) ( )

8

Từ (*) ta lại biến đổi được (2) thành ( ( ) ) ( ) hay (( ) ) ( )

hay ( ) ( )

Bước 3 : Đặt ẩn phụ để đưa (2) về phương trình bậc hai ẩn y

Ta cùng xem một vài ví dụ :

VD5 : Giải phương trình

( ) Bài toán cũng có thể giải bằng cách nhóm ( ) nhanh hơn Nhưng vẫn xin được hướng dẫn nhanh theo các bước trên

Do không phải nghiệm của phương trình nên chia cả 2 vế của (3) cho

ta được hay ( ) ( ) hay ( )

VD6 : Giải phương trình

( )

Do không phải nghiệm của phương trình nên chia cả 2 vế của (3) cho

ta được ( ) ( ) hay

( ) ( ) Chủ yếu việc biến đổi khiến ta lưu ý việc cho ta những hằng số và ta

có thể vận dụng cho những bài toán sau khác sau này ví dụ như dạng :

( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) (

)

Bài Tập Tự Luyện

1

2

9

2 Phương trình bậc bốn có dạng :

( ) ( ) (1)

Ta giải quyết dạng toán bằng cách đặt ẩn phụ để đưa phương trình (1) về dạng ( ) ( ) ,tận dụng hệ quả khai triển Nhị thức Newton sau :

( ) ( ) ( ) (*)

ta viết gọn ( ) Đây là phương trình trùng phương trình trùng phương ẩn Ta cùng làm một số ví dụ sau :

VD1: ( ) ( ) =4 (2)

Đây là trường hợp đặc biệt khi a+b=0 thì ta không cần đặt ẩn phụ mà khai triển trực tiếp.Đối với các bạn chưa học nhị thức Newton ta có thể đi chứng minh :

( ) ( ) ( ) ( )

Tương tự ta có :

( ) Cộng lại ta được (*) nên (2) được khai triển thành VD2: ( ) ( ) =24 (3)

Đặt ,ta đưa (3) về dạng : ( ) ( ) =24

Và khai triển để thu được :

** Do tính đối xứng của việc khai triển hệ thức Newton ta sẽ có định hướng giải các dạng toán ( ) ( ) ( ) Sau đây tôi xin giới thiệu một phương trình đặc biệt :

( ) ( ) ( ) Phương trình trên có 2 nghiệm là m và m+1 ,ta đi chứng minh phương trình trên không còn nghiệm nào khác,đặt ( ) ( ) ( )

- Nếu ( ) ( ) ( )

- Nếu ( ) ( )

( )

- Nếu m < < m+1 thì 0 < và 0< => ( )

Bài Tập Tự Luyện Giải các phương trình sau :

( ) ( )

2

10

3.Phương trình bậc bốn có dạng

( )( )( )( ) thỏa mãn (*)

Từ (*) ta nhân ( ) ( ) ( )( ) để thu được dạng :

( ( ) )( ( ) )

Do nên ta được :

( )( ) Đặt ẩn phụ ta thu được phương trình dạng :

( )

Ta cùng đi vào các ví dụ để làm quen với dạng toán này :

VD1: ( )( )( )( )

Ta chọn việc nhân ( )( ) ( )( )ta được :

( )( ) Lưu ý : Phép nhân có tính giao hoán nên ta cần lựa chọn nhóm hợp lý để thu được phương trình đơn giản

VD2: ( )( )

Đây là phương trình rất hay và có nhiều cách giải tôi xin trình bày các cách làm để bạn đọc có thêm nhiều nhận định về việc định hướng giải các dạng phương trình đặc biệt

Cách 1 : Bài toán có vẻ không đúng dạng trên nhưng tôi vẫn áp dụng bằng cách phân tích :

( )( ) ( )( ) Nhóm hợp lý ta được phương trình dạng :

( )( )

Cách 2 : Tôi xin đề cập đến một dạng phương trình bậc biệt có dạng :

( )( ) ( )(1)

Để giải dạng này ta cần nhận xét xem có phải là nghiệm của (1) không và dĩ nhiên điều này chỉ xảy ra khi và có ngay nhân tử chung

Nếu ,ta chia cả 2 vế của (1) cho , ta có :

( )( )

( ) ( )

Chia phân phối ta được ( ) ( )

Đặt ẩn phụ bài toán được giải quyết

11