??ƯƠ?? ??Á? ĐẶ? ??Ệ? ????? ??Ả? ??? ????ễ? ??ườ?? ??á? ??.
Trang 1𝑷𝑯ƯƠ𝑵𝑮 𝑷𝑯Á𝑷 ĐẶ𝑪 𝑩𝑰Ệ𝑻 𝑻𝑹𝑶𝑵𝑮 𝑮𝑰Ả𝑰 𝑯𝑷𝑻
(𝑵𝒈𝒖𝒚ễ𝒏 𝑻𝒓ườ𝒏𝒈 𝑷𝒉á𝒕 𝑻𝑷 𝑯𝑪𝑴)
Lời nói đầu tiên giới thiệu phương pháp này đó là: hay +mạnh bởi vì cái mạnh ở đây có thể áp dụng hầu hết mọi
bài Phương pháp này tôi đã nghĩ ra nó trong quá trình suy nghĩ các bài toán về hpt +pt và rút ra được từ những kinh nghiệm
đã đúc kết OK ! không nói nhiều nữa vào vấn đề chính đi
Như chúng ta đã biết pt vô tỉ có dạng : (√𝑛 + 𝑘 + 𝑎)(√𝑛 + 𝑘 + 𝑏) = 0 nó hầu như đã quá quen thuộc với mỗi người rồi, hầu hết thì mọi người đầu tách rồi đưa về dạng gì gì đó rất là vất vả bởi vì nếu phá ra thì mọi người sẽ không thể nhìn ẩn nó
là n+k nó giống như là tàng hình vậy ^^! Ok cùng thử 1 bài nhé !
𝑏à𝑖 𝑡𝑜á𝑛 1: { (4𝑦 − 1)√𝑥2+ 4 = 2𝑥2+ 2𝑦 + 7(1)
𝑥5− 3(4𝑦2− 4𝑦 − 3)2− 𝑥3 + 4(3𝑥2− 𝑦2) − 4(3𝑥 − 𝑦) + 7 = 0(2)
(nguồn:Những bài hpt hay và khó )
𝑔𝑖ả𝑖 Ban đầu nếu người nào nhìn không quen hpt dạng này thì thật sự khá kinh khủng và đáng sợ nhưng 1 dân chuyên cũng chưa chắc hốt bài này 1 cách nhanh gọn và triệt để được nếu xài pp tách vv…
Ta thấy trong căn là 𝑥2 đơn lẻ không có y vậy liệu có thể biễu diễn 1 cái bình phương denta theo y được không ???
𝑐ℎ𝑖𝑎 2 𝑣ế 𝑐ℎ𝑜 2 𝑐ủ𝑎 𝑝𝑡(1): (2𝑦 −1
2) √𝑥2+ 4 = 𝑥
2+ 𝑦 +7
2 đặ𝑡 𝑡ℎử (√𝑥2+ 4 + 𝑎) (√𝑥2+ 4 + 𝑏) = 0
𝑘ℎ𝑖 đó: 𝑥2+ 4 + 𝑎𝑏 + (𝑎 + 𝑏)√𝑥2+ 4 = 0
{
𝑥2+ 4 + 𝑎𝑏 = 𝑥2+ 𝑦 +7
2
𝑎 + 𝑏 = − (2𝑦 −1
2)
{
−𝑦 +1
2+ 𝑎𝑏 = 0(∗)
𝑎 = (1
2− 2𝑦) − 𝑏(∗∗)
𝑡ℎế 𝑣à𝑜(∗∗)𝑣à𝑜 (∗): (1
2− 2𝑦) 𝑏 − 𝑏
2+1
2− 𝑦 = 0
𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 =1
4− 2𝑦 + 4𝑦
2+ 4 (1
2− 𝑦) = 4𝑦
2− 6𝑦 +9
4= (2𝑦 −
3
2)
2
≥ 0 Đến đây thì ta tìm được a,b rồi thế vào nào ^^! !!
[
√𝑥2+ 4 = 2𝑦 −
1
2+ 2𝑦 −
3 2
4𝑦 − 2
−2 = 1 − 2𝑦(𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡(2))
√𝑥2+ 4 = 2𝑦 −
1
2− 2𝑦 +
3 2
−1
2 (𝑙𝑜ạ𝑖 𝑑𝑜 √𝑥2+ 4 > 0 𝑚à −
1
2 < 0)
𝑏à𝑖 𝑡𝑜á𝑛 2: { 𝑥
2 +4𝑦
𝑥 = 2(9𝑥 − 1)√2𝑥
3− 𝑦(1) 4(2𝑥3− 𝑦)√𝑥 − 1 + (9𝑥 − 1)√4𝑥 + 4 = 140(2) (Nguồn:Những bài hpt hay và khó )
𝑔𝑖ả𝑖
Trang 2Nhìn là biết ngay pt(2) không thể làm ăn được gì ^^! Ta nhìn lại pt(1) thì thấy rằng trong căn có 𝑥3 và y nhưng nếu biễu diễn theo y thì không thể đưa về pt bậc 2 được bởi vì y đơn lẻ và không có bậc 2 thử theo x nào ^^!
𝑏𝑖ế𝑛 đổ𝑖 1 𝑡í ∶ 𝑥3+ 4𝑦 = 2𝑥(9𝑥 − 1)√2𝑥3− 𝑦 𝑐ℎ𝑖𝑎 𝑐ℎ𝑜 4:𝑥
3
4 + 𝑦 = (
9𝑥2
2 −
𝑥
2) √2𝑥3− 𝑦 đặ𝑡 (√2𝑥3− 𝑦 + 𝑎) (√2𝑥3− 𝑦 + 𝑏) = 0 𝑡ℎà𝑛ℎ 𝑙à ∶ 2𝑥2− 𝑦 + 𝑎𝑏 + (𝑎 + 𝑏)√2𝑥3− 𝑦 = 0
𝑛ế𝑢 đư𝑎 𝑣ề 𝑑ạ𝑛𝑔 ∶
{
2𝑥2− 𝑦 + 𝑎𝑏 = 𝑥
3
4 + 𝑦
𝑎 + 𝑏 = (𝑥
2−
9𝑥2
2 )
𝑡ℎì 𝑠ẽ 𝑣ẫ𝑛 𝑐ò𝑛 𝑦 𝑛ê𝑛 𝑡𝑎 𝑠ẽ đư𝑎 𝑣ề 𝑑ạ𝑛𝑔 𝑛ℎư 𝑠𝑎𝑢:
{
2𝑥2− 𝑦 + 𝑎𝑏 = −𝑥
3
4 − 𝑦
𝑎 + 𝑏 = 9𝑥
2
2 −
𝑥 2
{
2𝑥2+𝑥
3
4 + (
9𝑥2
2 −
𝑥
2) 𝑏 − 𝑏
2 = 0
𝑎 = (9𝑥
2
2 −
𝑥
2) − 𝑏 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 =81𝑥
4
18𝑥3
𝑥2
4 + 4 (2𝑥
2+𝑥
3
4) =
81𝑥4
9𝑥3
2 +
𝑥2
4 = (
9𝑥2
2 +
𝑥
2)
2
≥ 0 𝑞𝑢á 𝑡𝑢𝑦ệ𝑡 𝑣ờ𝑖 ‼! 𝑣ậ𝑦 𝑡ℎì 𝑐ó 𝑡ℎể đư𝑎 𝑣ề 𝑑ạ𝑛𝑔 𝑡í𝑐ℎ đượ𝑐 𝑟ồ𝑖
[
√2𝑥3− 𝑦 =
𝑥
2−
9𝑥2
2 −
9𝑥2
2 −
𝑥 2
−9𝑥2
−2 =
9𝑥2 2
√2𝑥3− 𝑦 =
𝑥
2−
9𝑥2
2 +
9𝑥2
2 +
𝑥 2
𝑥
−2 = −
𝑥 2 (đế𝑛 đâ𝑦 𝑡ℎì 𝑐á𝑐 𝑏ạ𝑛 𝑏𝑖ế𝑡 𝑝ℎả𝑖 𝑙à𝑚 𝑔ì 𝑟ồ𝑖 )
𝑏à𝑖 𝑡𝑜á𝑛 3: {(1 − 𝑦)√𝑥2+ 2𝑦2 = 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑥𝑦(1)
√𝑥 + 1 + √𝑥2+ 2𝑦2 = 2𝑦 − 𝑥(2) (Nguồn: Trương Văn Hào )
𝑔𝑖ả𝑖 Hình thức bài này khá lạ là các mũ trong căn đều là bậc 2 và không có thằng nào đơn lẻ nhưng nếu bình phương thì sẽ dẫn đến chữ “tạch” OK !!!! cũng pp đó ta sẽ làm như sau :
đặ𝑡 𝑡ℎử (√𝑥2+ 2𝑦2+ 𝑎) (√𝑥2+ 2𝑦2+ 𝑏) = 0
𝑥2+ 2𝑦2+ 𝑎𝑏 + (𝑎 + 𝑏)√𝑥2+ 2𝑦2 = 0 {𝑥
2 + 2𝑦2 + 𝑎𝑏 = 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑥𝑦
𝑎 + 𝑏 = 𝑦 − 1 Nếu đưa về dạng như sau denta sẽ không ra dạng bình phương được chết !!! giờ sao đây ??? ta thử đổi dấu lại xem nào !!
{𝑎𝑏 + 𝑥
2+ 2𝑦2+ 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑥𝑦 = 0
𝑎 = (1 − 𝑦) − 𝑏 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 ∶ (1 − 𝑦)𝑏 − 𝑏2+ 𝑥2+ 2𝑦2+ 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑥𝑦 = 0
Trang 3𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 = 1 − 2𝑦 + 𝑦2+ 4(𝑥2+ 2𝑦2+ 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑥𝑦) 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 = 4𝑥2+ 9𝑦2+ 1 + 6𝑦 + 4𝑥 + 12𝑥𝑦 = (2𝑥 + 3𝑦 + 1)2 ≥ 0 Ngon lành cành đào !!!! tới đây “đẹp trai” rồi ^^!
[
√𝑥2 + 2𝑦2 =𝑦 − 1 + 2𝑥 + 3𝑦 + 1−2 =4𝑦 + 2𝑥−2 = −2𝑦 − 𝑥
√𝑥2+ 2𝑦2 =𝑦 − 1 − 2𝑥 − 3𝑦 − 1−2 =−2𝑦 − 2𝑥 − 2−2 = 𝑦 + 𝑥 + 1
𝑏à𝑖 𝑡𝑜á𝑛 4:
{
2√𝑥 − (𝑦 − 2)√𝑥 + 2𝑦 − 2√𝑥 + 2𝑦 = 2𝑥 − 𝑦 + 32 − 8√125𝑥4
(1) log4+𝑥𝑦
2 + 2
2 + √9(log3 log𝑥−3𝑦864(𝑥 − 3)3 = −1
𝑦+ 3(2) (nguồn :Tự chế)
𝑔𝑖ả𝑖
Ôi !! chu choa má ơi hắn dài rứa ?? nhìn pt(2) ở dưới dính tới log biết là không thể làm ăn được gì nhưng mà ngó thử pt (1) xem tách thử :
đặ𝑡 𝑥 + 2𝑦 + 𝑎𝑏 + (𝑎 + 𝑏)√𝑥 + 2𝑦 = 0
{𝑥 + 𝑎𝑏 = 𝑥 + 2𝑦
𝑎 + 𝑏 = −(𝑦 − 2)
{(𝑦 − 2)𝑏 − 𝑏2 − 2𝑦 = 0
𝑎 = (𝑦 − 2) − 𝑏 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 = 𝑦2− 4𝑦 + 4 + 4.2𝑦 = 𝑦2+ 4𝑦 + 4 = (𝑦 + 2)2 ≥ 0
[
√𝑥 + 2𝑦 =2 − 𝑦 + 𝑦 + 2−2 = −2
√𝑥 + 2𝑦 = 2 − 𝑦 − 𝑦 − 2−2 =−2𝑦−2 = 𝑦 Viết lại ta được:2√(√𝑥 + 2𝑦 + 2)(√𝑥 + 2𝑦 − 𝑦) − 2√𝑥 + 2𝑦 = 2𝑥 − 𝑦 + 32 − 8√125𝑥4
𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑐𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦 𝑡𝑎 𝑐ó ∶ 2√(√𝑥 + 2𝑦 + 2)(√𝑥 + 2𝑦 − 𝑦) ≤ 2√𝑥 + 2𝑦 + 2 − 𝑦
8√125𝑥4 ≤ 2(𝑥 + 15) = 2𝑥 + 30 𝑣ậ𝑦 𝑐ộ𝑛𝑔 𝑙ạ𝑖 𝑡𝑎 đượ𝑐 … ≤ 32 + 2𝑥 − 𝑦 𝑑ấ𝑢=𝑥ả𝑦 𝑟𝑎 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 5, 𝑦 = −2 𝑣à 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡(2)𝑡𝑎 𝑡ℎấ𝑦 𝑡ℎõ𝑎
𝑏à𝑖 𝑡𝑜á𝑛 5:6𝑥
4− 4√2𝑥3− 2√2𝑥 + 6 6√2𝑥 − 4𝑥2− 2 = √𝑥
4+ 1
(Nguồn: Tự chế )
𝑔𝑖ả𝑖
Ta biến đổi 1 tí nó sẽ ra được như thế này :
6𝑥4− 4√2𝑥3− 2√2𝑥 + 6 + (4𝑥2− 6√2𝑥 + 2)√𝑥4+ 1 = 0 Chia 2 vế cho 6 bởi vì trong căn là số 1 đơn lẻ nên ta sẽ triệt thằng đó đi:
𝑥4 −2√2𝑥3
√2𝑥
3 + 1 + (
2𝑥2
3 +
1
3− √2𝑥) √𝑥4+ 1 = 0 OK!!! Bây giờ ta có thể giải theo cách bình thường được rồi ^^!!!!:
Trang 4𝑥4+ 1 + 𝑎𝑏 = 𝑥4−2√2𝑥3
√2𝑥
3 + 1
𝑎 + 𝑏 =2𝑥
2
3 +
1
3− √2𝑥 (2𝑥
2
3 +
1
3− √2𝑥) 𝑏 − 𝑏
2+2√2𝑥3
√2𝑥
3 = 0 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 = 4𝑥
4
9 +
1
9+ 2𝑥
2+4𝑥
2
9 −
2√2𝑥
4√2
3 𝑥
3+8√2𝑥3
4√2𝑥 3 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 =4𝑥
4
9 +
1
9+ 2𝑥
2+4𝑥
2
9 +
4√2𝑥3
2√2𝑥
3 = (
2𝑥2
3 + √2𝑥 +
1
3)
2
≥ 0
[
√𝑥4+ 1 =√2𝑥 −
1
3−
2𝑥2
3 +
2𝑥2
3 + √2𝑥 +13
√𝑥4+ 1 =√2𝑥 −
1
3−
2𝑥2
3 −
2𝑥2
3 − √2𝑥 −13
1
3+
2𝑥2
3 Sau 5 bài “quái vật “ vừa rồi thì chúng ta cùng thư giãn với những bài hpt khác cùng với ý tưởng khác nhau nhá ^^!
𝑏à𝑖 𝑡𝑜á𝑛 6:
{
1 3𝑥+
2𝑥 3𝑦 =
𝑥 + √𝑦 2𝑥2 + 𝑦(1)
√𝑦 + √𝑦 + 𝑥 + 2 + √3𝑥 + 1 = 5(2) (nguồn :những bài hpt hay và khó )
𝑔𝑖ả𝑖 Nhìn vào thì thấy ngay pt(1) có cái gì đó không ổn ^^!!! Nên ta sẽ bắt bài pt(1)
𝑝𝑡(1): (3𝑦 + 6𝑥2)(2𝑥2+ 𝑦) = 9𝑥𝑦(𝑥 + √𝑦) 6𝑥2𝑦 + 3𝑦2+ 12𝑥4+ 6𝑥2𝑦 = 9𝑥2𝑦 + 9𝑥𝑦√𝑦 𝑇𝐻1: 𝑣ớ𝑖 𝑦 = 0 𝑡ℎì 𝑥 = 0 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 (2)𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑡ℎõ𝑎 𝑇𝐻2: 𝑣ớ𝑖 𝑦 𝑘ℎá𝑐 0 𝑡𝑎 𝑐ℎ𝑖𝑎 2 𝑣ế 𝑐ℎ𝑜 𝑦2
3 ( 𝑥
√𝑦)
2
+ 3 + 12 ( 𝑥
√𝑦)
4
= 9 ( 𝑥
√𝑦)
𝑣ậ𝑦 𝑥 = √𝑦
2 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡(2)𝑙à 𝑥𝑜𝑛𝑔 ‼!
𝑏à𝑖 𝑡𝑜á𝑛 7: { 𝑥 − 𝑦 + (𝑥 − 1)√𝑦 + 5 = 5(1)
𝑦√𝑥2− 4𝑥 + 5 + (𝑥 − 2)√𝑦2+ 1 = 0(2) (nguồn:Những bài hpt hay và khó)
𝑔𝑖ả𝑖 𝑝𝑡(2): 𝑦√(𝑥 − 2)2+ 1 − (𝑥 − 2)√𝑦2+ 1 = 0 𝑏ì𝑛ℎ 𝑝ℎươ𝑛𝑔 2 𝑣ế 𝑙ê𝑛 ∶ 𝑦2(𝑥 − 2)2+ 𝑦2 = (𝑥 − 2)2𝑦2+ (𝑥 − 2)2
𝑣ậ𝑦 𝑥 − 2 = 𝑦 ℎ𝑎𝑦 𝑥 − 2 = −𝑦 𝑏à𝑖 8: 8𝑥 − (𝑥3+ 3𝑥2− 6) 4𝑥+ 2(𝑥3+ 3𝑥2− 6)3 = 0
Trang 5𝑔𝑖ả𝑖 (2𝑥)3− (𝑥3+ 3𝑥2− 6) (2𝑥)2+ 2(𝑥3+ 3𝑥2− 6)3 = 0 𝑇𝐻1: 2𝑥 = 0 𝑡𝑎 𝑡ℎấ𝑦 𝑟ằ𝑛𝑔 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑐ó 𝑠ố 𝑛à𝑜 𝑡ℎõ𝑎 2𝑥 = 0 ℎế𝑡
𝑇𝐻2: 2𝑥 𝑘ℎá𝑐 0 𝑛ê𝑛 𝑡𝑎 𝑐ℎ𝑖𝑎 2 𝑣ế 𝑐ℎ𝑜 (2𝑥)3
1 − (𝑥
3+ 3𝑥2− 6
2𝑥 ) + 2 (𝑥
3+ 3𝑥2− 6
3
= 0 𝑔𝑖ả𝑖 𝑟𝑎 𝑡𝑎 đượ𝑐 𝑥3+ 3𝑥2 − 6 = −2𝑥 𝑣ậ𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 = 1
𝑏à𝑖 9: {11√3 − 𝑥 + 3𝑦√2 − 𝑦 = 8√2 − 𝑦 + 3𝑥√3 − 𝑥(1)
√𝑥 + 2 + √2 − 𝑦 = 𝑥3+ 𝑦2− 2𝑦 − 4(2) (Nguồn:Những bài hpt hay và khó)
𝑔𝑖ả𝑖 Bài này để ý pt(1) thì nếu đưa về 2 vế x,y riêng sẽ ra được 1 cái hàm
2√3 − 𝑥 + 3(√3 − 𝑥)3 = 2√2 − 𝑦 + 3(√2 − 𝑦)3 𝑥é𝑡 𝑓(𝑡) = 2𝑡 + 3𝑡3 𝑣ậ𝑦 𝑓′(𝑡) = 2 + 9𝑡2 > 0 𝑡ứ𝑐 𝑓(𝑡)đơ𝑛 đ𝑖ệ𝑢 𝑡ă𝑛𝑔 𝑛ê𝑛 3 − 𝑥 = 2 − 𝑦
𝑥 − 𝑦 = 1 (𝑡ừ đâ𝑦 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡(2)) Nếu bạn nào không quen xài tính chất hàm đơn điệu tăng,giảm thì có thể xài hằng đẳng thức 𝑎3− 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2+ 𝑎𝑏 +
𝑏2)
𝑏à𝑖 10: {(𝑥 + 1)√𝑦2+ √𝑥 + 3 + (2𝑦2+ √𝑥)√𝑦 − 1 = 2𝑦3+ 𝑦2 + √𝑥 + 3(1)
(𝑥 + 1)[(𝑦2+ 1)(√𝑥 − 𝑦) + 3] = 3(𝑦2+ 1)(2) (Nguồn:Những bài hpt hay và khó)
𝑔𝑖ả𝑖
để ý 𝑘ℎứ𝑎 𝑝𝑡(2): (𝑥 + 1)(𝑦2+ 1)(√𝑥 − 𝑦) + 3𝑥 + 3 = 3𝑦2+ 3
(𝑥 + 1)(𝑦2+ 1)(√𝑥 − 𝑦) = 3(𝑦 − √𝑥)(𝑦 + √𝑥) 𝑣ậ𝑦 √𝑥 − 𝑦 = 0 ℎ𝑎𝑦 (𝑥 + 1)(𝑦2+ 1) = −3(𝑦 + √𝑥)(∗∗)
(∗∗)𝑣ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑑𝑜 𝑦 ≥ 1 𝑣à 𝑥 ≥ 0 𝑛ℎậ𝑛 √𝑥 = 𝑦 (𝑡ℎế 𝑣à𝑜(1)) Nhận xét: nói chung thì pp này cũng cồng kềnh nhưng bù lại nó cũng có sức công phá khá là ghê gớm không kém ?? dù trong đây bài không nhiều nhưng tôi cũng mong nó cũng giúp được phần nào cho các bạn học hpt+pt (nhớ đặt đk nữa nhen
^^!)