Phân tích thích nghi kết cấu phẳng 2d dùng mô hình không lưới cân bằng

Phân tích thích nghỉ kết cấu phẳng 2D dùng phương pháp không lưới cân bằng Phương pháp không lưới Element Free Galerkin EFG được sử dụng cho việc xác định cận dưới tải thích nghỉ của bà

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH

NGUYÊN ANH LIÊM

PHAN TICH THICH NGHI KET CAU PHANG 2D

DÙNG MÔ HÌNH KHÔNG LƯỚI CÂN BẰNG

Chuyên ngành : Xây dựng Công trình Dân dụng và Công nghiệp

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS LÊ VAN CANH

TP Hồ Chí Minh, Năm 2014

Phân tích thích nghỉ kết cấu phẳng 2D dùng phương pháp

không lưới cân bằng

Phương pháp không lưới Element Free Galerkin (EFG) được sử dụng cho việc

xác định cận dưới tải thích nghỉ của bài toán tắm phẳng 2D Trường ứng suất dư

được xấp xỉ sử dụng kỹ thuật bình phương cực tiểu (Moving least square (MLS))

Phương pháp EFG chỉ yêu cầu hai bậc tự do tại mỗi nút EFG, không xét thêm điểm

Gauss, đảm bảo rằng lượng ẩn số trong bài toán tối ưu ở mức nhỏ nhất

Tích phân nút ổn định (Stabilised conforming nodal intergration (SCNI)) duge

dùng để làm trơn hóa, tích phân được lấy ngay tại nút mà không phải sử dụng

những điểm Gauss Điều này không chỉ giúp giảm chỉ phí tính toán, mà còn cho kết quả tốt Mặt khác, việc sử dụng SCNI còn đảm bảo cho phương pháp là không lưới

thực sự

Tinh toán ứng suất đàn hồi bằng phương pháp xấp xỉ Penalty

Tiêu chuẩn Von Mises được dùng để rời rạc trường ứng suất dẻo bài toán thích

nghỉ

Bài toán tối ưu thường, được đưa về bài toán tối ưu hình nón bậc hai, khối lượng

bài toán được giảm đi đáng kể so với khi đưa về những ràng buộc tuyến tính

Phương pháp này được áp dụng cho một số bài toán tắm với những dạng hình

học và điều kiện biên khác nhau Kết quả thu được được đánh giá thông qua việc so

sánh với kết quả đã công bố của các tác giả khác

DANH MỤC HÌNH VÀ ĐỎ THỊ

Trang

Hình 1.1 Mô hình ứng xử của các trạng thái cơ hỌc - «cv etsrxererkcee 3

Hình 2.1 Mô hình ứng xử vật liệu thật và giả định ccccccccecseeececer 8

Hình 2.2 Miền ứng suất dẻo của Von Mises và Tresca 25c2cccccrcccc 9

Hình 2.3 Miễn tải trọng D thành Hư Hưng gu 10

Hình 2.4 Hàm xắp xỉ theo MLS £ (x) tại điểm thứ I -::¿+ 522cc 13

Hình 2.5 Hình dạng miền ảnh hưởng của các phương pháp

Hình 2.6 Sơ đồ miền ảnh hưởng của nút đang xét 20

Hình 2.7 Sơ đồ hàm dạng EFG với miền ảnh hưởng khác nhau 23

Hình 2.8 Sơ đồ đạo hàm theo x hàm dang của EFG

Hình 2.9 Sơ đồ đạo hàm theo y hàm dạng của EFG -.-.¿52cccccccvcccrrvee 24 Hình 2.10 Sơ đồ miền đại diện Voronoi 22-52 2c222t2Evcvvxevrxrerrrcrrree 25 Hình 2.11 Tính toán SCNI của một Voronoi điển hình -.-¿-5sc5ccscz 27

Hình 2.12 Không gian nón bậc hai cành HH như 30

Hình 2.13 Sơ đồ tính toán bài toán tối ưu trạng thái thích nghỉ . - 36 Hình 3.1 Tắm vuông có lỗ tròn tại tâm .-22¿-©22¿222+2+tS21EEEA2errrrrerrrer 37

Hình 3.2 Mô phỏng lưới nút 1⁄4 tắm lỗ tròn -.-csecrssecceeeerrree.38

Hình 3.8 Tắm vuông có lỗ vuông tại tâm 2-2222 E2 xerxrtrrtrrrrrrrertree 44

Hình 3.9 Mô hình tắm được chia - -.¿- 2+5: 92S22E+22E2EEt2EeExkvrerkxzrrsrvee 45

Hình 3.10 Mô hình lưới nút 1⁄4 tắm 2i: 552scectrerseecererrxeeeececersre.ce.r đỔ Hình 3.11 Sơ đồ miền tải trạng thái giới hạn của tắm lỗ vuông -.- 46

Hình 3.14 So sánh miễn tải của tâm lỗ vuông ở hai trạng thái phân tích

Hình 3.15 Tắm vuông có vết nứt bằng 1⁄4 cạnh

Hình 3.16 Trường ứng suất thích nghỉ tắm có vết nứt tại tâm

Hình 3.17 Sơ đồ miền tải ứng với các trạng thái tắm vuông có vết nứt tâm

DANH MUC BANG

Trang

Bang 3.1 So sánh kết quả bái toán tắm phẳng vuông khoét lỗ tròn 40 Bang 3.2 Kết quả và sai số bài toán ống trụ tròn .-.ccccccccrccrvereey 44

Bảng 3.3 Kết quả phân tích giới hạn bài toán lỗ vuông tại tâm 46

Bảng 3.4 Kết quả khảo sát miền tải của bài toán có lỗ vuông 48 Bảng 3.5 Kết quả phân tích giới hạn tắm vết nứt tại tâm : cc+cccc¿ 50

Bảng 3.6 Kết quả khảo sát miền tải của bài toán vết nứt tại tâm - 51

: Tối ưu cận trên

MUC LUC Churong 1: MO DAU .ecessssssssssccscsssessnsnennneseececececesnsananusseeseccecesnnnanunnmssses 3

1.2.1 _ Tình hình nghiên cứu trên thế giới

1.2.2 Tình hình nghiên cứu tại Việt Nam

1.3 Mục tiêu và nhiệm vụ luận văn

na 8

1.3.2 _ Nhiệm vụ luận văn ch Hàn ưyn 8

1.4 _ Phạm vi nghiên Cứu share 8

Chong 2: CO SO LY THUYET .ccecccsssscssssesssssneesssscesssnecsssnsecsssnecsssnecessnseces 9

PIN 0öa anh 9

2.2 Tiêu chuẩn dẻo Von Mises

2.3 Tích phân nút ổn định (SCNI) ¿- ©5222 tverkvtrrvrrrtrrrrtrertsyovi

2.4 Hàm cân bằng với SCNI

2.7 Rời rạc miễn tính toán và phát biểu bài toán tối ưu

2.7.1 Tính toán ứng suất đàn hồi - cv ctrtrriirtrrrrirrrrrrrrie 32 2.7.2 Xấp xỉ trường ứng suất dư -cccstrkkriirrrrrtirirreriierreee 33 2.7.3 Thiết lập bài toán tối ưu thích nghỉ cận dưới theo EFG 35

2.8 Trình tự giải quyết bài toán phân tích thích nghỉ -cs.ccccccvy 38

Bai 1: Tam hình vuông với một lỗ tròn trung tâm

Bài 2: Ông tròn đầy chịu áp lực từ trong hướng ra

Bài 3: Tắm hình vuông với một lỗ vuông trung tâm -2+©2+:+ec+2 44

Bài 4: Tắm hình vuông với vết nứt tại tâm . .-ccccccccvttrrrrrtrrrrirrrrrer 49

Chương 4: KÉT LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ . - 2: ©22222222zccvrvvecrrrsee 52

4.1 KẾt luận c2 ch h2 tre 52 4.2 Kiến nghị

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Chương 1: MỞ ĐẦU 1.1 Giới thiệu chung

Tìm tải trọng giới hạn của kết cấu là công việc thường thấy của người kỹ sư

thiết kế Với những công trình quan trọng thì điều này càng trở nên cần thiết Để

tính toán miễn tải giới hạn này có hai phương pháp phân tích thường được nhắc đến

đó là: phân tích giới hạn (limit analysis) và phân tích thích nghỉ (shakedown analysis)

Dựa vào các mô hình vật liệu đàn đẻo hay cứng dẻo lý tưởng, mà lý thuyết phân tích giới hạn giúp đánh giá khả năng chịu tải của kết cầu Vượt quá giới hạn này thì kết cầu sẽ bị phá hủy đo chảy dẻo toàn cục Hai đóng góp đầu tiên được kể đến cho việc phát triển lý thuyết phân tích giới hạn là Kazincky năm 1914 và Kist năm

1917 Đến năm 1951 thì Drucker, Greenberg, Prager đã hoàn chỉnh lý thuyết cận

trên và cận dưới

Trong đó, việc áp dụng phân tích giới hạn để tính toán miễn tải của kết cấu đòi hỏi phải gia tải tỉ lệ và liên tục Tuy nhiên, trên thực tế tải trọng thường phụ thuộc

vào thời gian và có thể biến thiên một cách độc lập Vì vậy, kết cấu có thể bị phá

hoại đưới một cấp tải nhỏ hơn đáng kể so với tải được dự đoán bởi phân tích giới

hạn Thật vậy, điều này được chứng minh bởi Gruning năm 1926 (V.D.Khoi 2001)

Xem xét một trường hợp nữa là kết cầu có thể trở lại hành vi đàn hồi của nó hay không, sau một thời gian chịu tải lặp cao hơn giới hạn đàn hồi Khảo sát những khía

cạnh này là mục đích của lý thuyết thích nghỉ

Lý thuyết thích nghỉ đầu tiên được phát biểu bởi Bleich năm 1932 và lý thuyết

tĩnh học được mở rộng bởi Melan năm 1936 cho trường hợp tổng quát hơn của

miền liên lục Lý thuyết động học tổng quát được xây đựng bởi Koiter năm 1960

Những lý thuyết này sử dụng những giả thiết của vật liệu đàn - dẻo lý tưởng và biến

dạng bé

Khi đó, cấu kiện với vật liệu đàn đẻo sẽ có năm hiện tượng ứng xử như sau

(V.D.Khoi 2001)

e Biến dạng dẻo xảy ra khi cường độ tải trọng vừa vượt qua giới hạn đàn hồi

Nhưng biến dạng dẻo sẽ dừng lại sau vài chu kỳ, nếu tải trọng không cao

Vật liệu sẽ làm việc đàn hồi trở lại Hiện tượng này gọi là thích ứng dẻo

(Shakedown or adaptation pasticity)

e Nếu tải trọng lớn hơn, dòng chảy dẻo tiếp tục phát triển Biến dạng dẻo

không đổi dấu nhưng phát triển theo mỗi chu kỳ Cuối cùng tổng biến dạng

sẽ trở nên lớn, kết cấu bị mất ổn định Hiện tượng này gọi là phá hoại dẻo

tích lũy (ncremental or ratchetting plastic collape)

s Một hiện tượng nữa xảy ra khi biến dạng dẻo không ngừng lại nhưng đổi dấu

theo mỗi chu ky Cho nên chúng triệt tiêu nhau, dẫn đến tổng biến dạng là

nhỏ Cuối cùng cấu kiện sẽ bị phá hoại mỏi khi đủ số chu kỳ Hiện tượng

này gọi là dẻo mỏi (alternating plasticity)

se Nếu cường độ tải trọng quá cao, hơn khả năng mang tải tức thời của cấu

kiện Trong trường hợp này, cấu kiện bị sụp đỗ

Đàn hồi lý tưởng Thích nghỉ Dẻo mỏi Déo tich lay

c?&,)=0 timz2(/)=0 A2? = [ “2P, =0 Ag? =[ 7Ð +0

Hình 1.1 Mô hình ứng xử của các trạng thái cơ học

Ta thấy chỉ có hai hiện tượng đầu đàn hỏi lý tưởng và thích ứng dẻo là an toàn với cấu kiện Trong đó, hiện tượng thích ứng dẻo bắt cấu kiện làm việc với hiệu

suất cao hơn hiện tượng dan hồi lý tưởng Vì vậy phân tích theo hiện tượng này sẽ làm cấu kiện an toàn mà tiết kiệm vật liệu nhất

Vì những ưu điểm trên mà nghiên cứu này chọn hiện tượng thích nghi để phân tích kết cấu

1.2 Tình hình nghiên cứu liên quan đề tài

1.2.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới

Tiêu chuẩn độc lập đầu tiên của thích nghỉ (tiêu chuẩn phá hủy gia tăng) đã

được tìm ra bởi Gokhftld năm 1966 và Sawczuk năm 1967 Konig hoàn chỉnh lý

thuyết này vào năm 1976 bởi những tiêu chuẩn thay thế Lý thuyết thích nghỉ độc

lập dựa trên thực tế hai mô hình phá hủy gây ra sự không thích nghỉ của kết cấu

Điều này dân đến đề xuất về những phát biểu khác nhau trong việc giải hai hệ số tải

trọng tương ứng, theo ví dụ của Gokhfeld va Cherniavsky (1980), Konig (1987),

Polizzotto (1993)

Dựa trên định lý cận trên và cận dưới, nhiều phương pháp số khác nhau được

xây dựng để phân tích những kết cấu phức tạp, cái mà những công cụ phân tích thất

bại khi giải quyết Thực tế, sử dụng phương pháp phân tích từng bước rất nặng nề

trong việc phân tích bài toán thích nghỉ Phương pháp trực tiếp vì vậy trở nên cần

thiết Với sự trợ giúp của phương pháp phần tử hữu hạn, việc tìm hệ số tải trọng giới hạn thích nghỉ có thể được rời rạc và chuyển đổi về các bài toán của chương

trình toán học Dựa trên sự tuyến tính hóa từng phần của kỹ thuật miền dẻo, cương

trình tuyến tính được đề xuất bởi Maier (1969) Phương pháp này sau đó được cải

tiến bởi Corradi (1974) Belystchko (1972) đã áp dụng chương trình phi tuyến để

rời rạc định lý cận dưới và thực hiện khảo sát số cho tắm hình vuông khoét lỗ ở tâm

chịu lực theo hai phương trong điều kiện ứng suất phẳng

Tiêu chuẩn dẻo chính được đề xuất bởi Nguyen Dang Hung và Konig (1976) để

giảm bớt số lượng của rời rạc điều kiện déo phi tuyến trong chương trình thích nghi

Bằng việc sử dụng phương pháp tĩnh học và tiêu chuẩn của phương tiện Nguyen

Dang Hung và Konig đã chứng tỏ rằng hệ số tải trọng giới hạn thích nghỉ có thể thu

được bởi bài toán cực đại và cực tiểu Tiêu chuẩn dẻo của phương tiện này được áp

Morelle và Nguyen Dang Hung (1983) đã nghiên cứu sự đối ngẫu trong phân tích thích nghỉ và cho thấy rằng có hai loại đối ngẫu khác nhau trong chương trình thích nghi và những quy luật của nó rất quan trọng Cả cận trên và cận dưới của hệ

số tải trọng giới hạn thích nghỉ lần lượt tương ứng với định lý động học và tĩnh học được phát biểu bởi Morelle (1984) Morelle cho thấy rằng nếu những rời rạc đặc biệt được chọn, sau đó những lời giải của bài toán cực tiểu lấy kết quả từ điều kiện

Koiter sẽ là lời giải chính xác của một đối ngẫu từ định lý tĩnh học của Melan

Với mục đích cung cấp lời giải chính xác hơn cho giá trị cận dưới, nhiều

phương pháp khác nhau của phân tích thích nghỉ được phát triển và áp dụng trong

tính toán thực tiễn bởi Stein và Zhang (1992), Zhang (1995), Staat và Heitzer (1997), Ponter va Carter (1997), Carvelli và các cộng sự (1999)

Trong việc cố gắng làm cho lý thuyết thích nghỉ trở nên thực tiễn hơn, ảnh

hưởng của tái bền vật liệu được nghiên cứu bởi Maier (1973), Mandel (1976), Konig (1987), Polizzotto và các cộng sự (1991), Druyanov và Roman (1995, 1997), Feng and Liu (1997), Fuschi (1999), Bodoville va Saxce (2001) Nhtmg áp dụng số học của vài mô hình tái bền được khảo sát bởi Weichert và Gross-Weege (1988), Stein và các cộng sự (1992, 1993 và 1995), Zhang (1995), Heitzer và các cộng sự (2000) Vài thực nghiệm được thực hiện bởi Lang và các cộng sự (2001) cho nhiều

phân tích thích nghỉ dựa trên FEM

Vài khảo sát số được hiện thực hóa dé đánh giá sự thay đổi của ứng xử thích

nghỉ của kết cấu đưới sự ảnh hưởng của những mô hình vật liệu như Hachemi

(1994), Hachemi và Weichert (1992, 1997, 1998), Siemaszko (1993), Feng và Yu (1995), Polizzotto và các cộng sự (1996), Druyanov và Roman (1998, 1999)

Bên cạnh tái bền và thích nghỉ, lý thuyết và ứng dụng của thích nghỉ với những

ảnh hưởng của hình học còn được tìm thấy trong nghiên cứu của Maier (1973), Weichert (1986), Tritsch (1993), Maier và các cộng sự (1993) Gan đây, lý thuyết

thích nghỉ còn được mở rộng cho cơ học phá hủy, một vấn đề khó mô phỏng đối

với lý thuyết thích nghỉ truyền thống Có rất ít bài báo quan tâm đến vấn đề này

được xuất bản, có thể tìm thấy trong nghiên cứu của Huang và Stein (1996),

Belouchrani (1997), Belouchrani va Weichert (1999), Feng va Gross (1999)

Về phương pháp số thì phương pháp phần tử tự do Galerkin (EFG) được đề xuất

bởi T.Belytschko (1994) Đây là một kiểu phương pháp không lưới Hàm của EFG,

được phát triển để tính bài toán gãy đổ và hiệu lực của nó là áp dụng cho bài toán

dự đoán trong đất và nước thông qua việc phân tích số bởi M.N Oliaei và A Pak

Tuy nhiên, phương pháp EFG truyền thống thường vụng về và tốn kém để tỉnh

chỉnh các mảng của các nút xung quanh đỉnh vết nứt cần mô tả đẩy đủ để có độ

chính xác cao Từ đó có một số phương pháp được đề xuất để khắc phục nhược

điểm này, phương pháp rời rạc hàm cơ bản EFG cải tién (enrich EFG) do T

Belytschko (1997) hay phương pháp kết hợp FEM và EFG được nghiên cứu bởi

Thomas-Peter Fries va Hermann G Matthies, D.Hegen (1995)

Bên cạnh đó cũng có nhiều nghiên cứu được đề xuất đê phát triển phương pháp EFG như: nghiên cứu dự đoán sai số cục bộ hay tổng thể cho phương pháp EFG bởi

T Belytschko (1998), phương pháp này cung cắp một phương tiện hiệu quả thêm

các nút để nghiệm đạt chính xác cao với lượng tối thiểu các ẩn số Hay dùng tích

phân số trong tính toán dạng yếu EFG Y.X.Mukherjee và S.Mukherjee (1997),

T.Belytschko (1999)

1.2.2 Tình hình nghiên cứu tại Việt Nam

Về phương pháp tiếp cận thì phương pháp Galerkin được quan tâm nhiều hơn Trong nước cũng có nhiều nghiên cứu đóng góp: Sử dụng phương pháp không lưới

Galerkin cho bài toán tắm , Ng.T Phong và V Ð H Cường (2008), xây dựng dạng

yếu của bài toán phá hủy tuyến tính bằng EFG và áp dụng giải tắm chịu kéo đọc và

ngang trục, Ng.T.Tại (2011), dùng phương pháp phan tir ty do Galerkin để phan

tích đao động tắm dày, T.T.H.Lân (2012)

Mục tiêu đề tài này là phát triển phương pháp phân tích thích nghi bài toán

phẳng 2D với vật liệu ứng xử đàn dẻo chịu tải biến thiên theo thời gian bằng

phương pháp không lưới EFG cân bằng

1.3.2 Nhiệm vụ luận văn

Nhiệm vụ của luận văn bao gồm các nội dung sau:

© Tính toán ứng suất đàn hồi dưới nhiều tải trọng bằng phương pháp

không lưới EFG

o_ Rời rạc trường ứng suất dẻo tương ứng theo tiêu chuẩn Von Mises

o_ Chuyển bài toán phân tích thích nghỉ về bài toán tối ưu hình nón bậc

hai

© Khảo sát nghiệm của phương pháp bằng ngôn ngữ Matlab và so sánh với nghiệm của các phương pháp khác

1.4 Phạm vi nghiên cứu

+ Tải trọng coi như là tĩnh để các hiệu ứng động được bỏ qua

+ Vật liệu cũng được giả sử là đàn dẻo lý tưởng

+ Biến dạng và chuyển vị được giả sử là rất nhỏ để thay đổi hình- học có thể

được bỏ qua trong phương trình cân bằng và mối quan hệ chuyển vị và biến dạng là

tuyến tính.

Chuong 2: CO SO LY THUYET

2.1 Mô hình vật liệu

Để phân tích một trạng thái cơ học người ta thường giả sử mô hình vật liệu có

ứng xử thật gần với ứng xử của trạng thái đó Tuy nhiên, việc phân tích kết cấu với

ứng xử thật của vật liệu gặp rất nhiều khó khăn, vì vậy, trong lý thuyết đẻo, quy luật ứng xử của vật liệu được đưa về những mô hình lý tưởng Sự lý tưởng hóa này làm

cho việc phân tích kết cấu trở nên đơn giản hơn Giá trị tải trọng phá hủy ứng với

trạng thái đang xét sẽ được xác định nhanh chóng mà không thông qua quá trình hình thành cơ cấu

Trong luận văn này, trạng thái thích nghi được giới thiệu và phân tích bằng

phương pháp số Với ứng xử như đã nêu (Mục 1.1) và để đơn giản hóa việc mô phỏng thì mô hình vật liệu đàn dẻo lý tưởng được giả sử, với ý nghĩa bỏ qua giai

đoạn tái bền và mềm hóa Mối quan hệ ứng suất - biến dạng được thể hiện như sau:

OE

SE &p

Ung xử thật của thép Vat liệu đàn dẻo lý tưởng

Hình 2.1 Mô hình ứng xử vật liệu thật và giả định

2.2 Tiêu chudn déo Von Mises

Cùng với mô hình vật liệu thì tiêu chuẩn dẻo cũng đóng vai trò quyết định trong việc phân tích bằng phương pháp số Trong trường hợp khảo sát bài toán phẳng 2D

như luận văn thì có hai tiêu chuẩn thường được sử dụng: Von Mises và Tresca So

sánh với Tresca thi Von Mises có miền ứng suất bao quát hon, cho kết quả gần

nghiệm giải tích hơn

o Ham déo Von Mises trong trường hợp tổng quát:

W{Ø) =\z|7- -o,) +(0,-0.) +(0,-0,) -6(02, +02, +02)] (2.1)

o_ Bài toán ứng suất phẳng:

W(Ø)=.|ơ; +ơ; —ơ,ø, +30), (2.2)

o_ Bài toán biến dạng phẳng:

Hình 2.2 Miễn ứng suất dẻo của Von Mises va Tresca

11

2.3 Lý thuyết phân tích thích nghỉ

Lý thuyết phân tích thí nghỉ tĩnh và động được đề xuất bởi Melan (1936) và Koiter (1960) (Chen, Haofeng, 2009) Đây là hai lý thuyết nền tảng của phân tích

thích nghỉ, mà sau này có nhiều lý thuyết khác của G Maier, Belytschko, Corradi

va Zavelani, hay B Aboustait và Reddy phát triển dựa trên nền tảng này,

Định lý Melan (thích nghỉ tnh) (V.D.Khoi 2001):

+ Xét miền tải trọng D có ø phương, tải trọng 77 (z) thay đổi theo thời gian ta

có miền D được xác định như sau:

Ta có sơ đồ tải P, trong miễn tải trọng D như sau:

Trong đó: yg <u, (sup k= 1a

V6i tmg suat dan héi gia dinh of (x,r)cho tat ca t6 hop tai trong xay ra trong mién

D Nếu kết cấu trở nên thích nghỉ sau vài chu kỳ tải, thì biến dạng dẻo của cấu kiện

#7 =0 Từ đó phải tồn tại một hằng số ứng suất dư Pj (x) dé trường ứng suất thực

Øy (x,r) như sau:

ø,(#)=ø‡ (s)+2,()

Theo tiêu chuẩn chảy dẻo:

7(ø,(x+))=7(ø‡ 6)+z,())<0

Điều kiện cần và đủ để kết cấu thích nghỉ (Koiter 1960) là:

a Hién tượng thích nghỉ xảy ra néu tén tại Ì trường ứng suất du vĩnh cữu Py:

kha di tinh, chang hạn như:

F (a5 (=) + 24 (x) <0 (2.4)

b Nếu không có B, thỏa điều kiện dưới thì hích nghỉ sẽ không xảy ra:

Z(ø7(#)+ø(x))<0 _ 08)

©o_ Dựa trên thuyết tĩnh cơ bản, có thé tìm được 1 trường ứng suất dư khả dĩ tĩnh

vĩnh cữu để thu được 1 miền tải cực đại ø„Ð thỏa (2.5) Dé thu được hệ số tải thích

nghỉ ø~ thường là dùng cận dưới Từ thuyết tĩnh học trên, bài toán thích nghỉ có thé

đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất của dạng phi tuyến:

Tuy nhiên, hầu hết trường hợp thực tế đều không thé áp dụng định lý Melan để

xác định giới hạn thích nghỉ Vì rất khó để tìm trường ứng suất phụ thuộc thời gian

of (x,t) như trong (2.4) & (2.5) Tuy nhiên, cản trở này có thể được khắc phục

bằng định lý chu kỳ - lồi, được đề xuất bởi Konig & Kleiber (1978):

a Thích nghỉ sẽ xảy ra trên miễn tải trọng D khi và chỉ khi nó xảy ra trên biên lôi của D

13

b Thich nghỉ sẽ xảy ra với bắt kỳ đường tải trọng nào trong miền D khi va chi

khi xảy ra trên một chu kỳ đường tải trọng chứa các đỉnh của D

miễn gia tải Nó không xảy ra trong quá trình thay đổi tải trọng Cho nên tính chất

thời gian là độc lập trong việc xác định trạng thái thích nghỉ Hai định ly này được

dùng cho cả miền tải trọng lồi và mặt chảy dẻo lôi

2.2 Phwong phap Element Free Galerkin cân bằng

'Yêu cầu tải phá hủy của bản thân công trình có thể được dự đoán bằng lý thuyết cận trên hay cận dưới Chuyẻn vị và ứng suất có thể được xắp xỉ bởi phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) Tuy nhiên, kết quả từ phương pháp này chỉ chính xác cao khi là những bài toán có cường độ ứng suất hay chuyển vị đặc biệt Trong vài năm

trở lại đây, phương pháp không lưới (Meshfree) được phát triển dựa trên việc tiếp

cận thay thế cho FEM

Phương pháp không lưới được ứng dụng rộng rãi để tính những bải toán, do đặc

tính hội tụ nhanh chống và độ chính xác cao cả những bài toán có trường ứng suất

không liên tuc[5] Phương pháp phần tử tự do Galerkin (EFG) được phát triển gần đây từ phương pháp không lưới cho phân tích phá hủy và phát triển đường nứt Lợi

thế của phương pháp EFG là có thể mô hình sự tăng trưởng tùy ý của vết nứt mà

không chia lưới và thích nghỉ nút tại các vị trí có sai số lớn Với thích nghỉ nút,

những yếu tố cường độ ứng suất có thể được tính chính xác (T BELYTSCHKO

1997) Điều này có ý nghĩa rất to lớn vì nó giúp giải được những bài toán phức tạp

mà không tốn nhiêu tài nguyên tính toán

Do đó, trong nghiên cứu này, phương pháp phần tử tự do Galerkin cân bằng được dùng rời rạc công thức (2.7) của phân tích thích nghỉ cận dưới

2.2.1 Phương pháp xấp xỉ bình phương cực tiểu (MLS)

Xấp xỉ bình phương cực tiểu (Moving least squares (MLS)) là một phương pháp

nội suy phi tuyến Nó được mô tả hoàn chỉnh bởi Lancaster & Salkauskas (1981)

Kỹ thuật xấp xi nay được phát triển xa hơn bởi Belytsehko (1994), đó chính là phương pháp Element-Free Galerkin ŒFG)

Hình 2.4 Hàm xấp xỉ theo MLS š(x) tại điểm thứ I

Trong phương pháp EFG thì MLS được dùng như là một bước để xắp xỉ trường chuyên vị hay ứng suất, được thể hiện như sau (Zhangzhi Cen, 2008, 2007):

Trong đó, n là số đa thức cơ sở, pi(x) 1a ham da thie co sé va a;(x) là tham số phụ thuộc vào tọa độ x Đa thức cơ sở bậc s được cho bởi:

15

p'(x) =(1,x,y,Z,xy, YZ,ZX,X”, VỶ,Z”, , XỀ, y,z) 3D

Hệ số a(x) thu được tại điểm x bat kì bằng việc tiến hành bình phương cực tiểu

Ham bac bin: 9 W= 0 s>1 (2.15)

¬.`1 sa pen cian aon ber HE tren cố ta

Trong đó: 8; = R „ Rị là bán kính ảnh hưởng của nút š¡ là tham số tại

1

nút thứ I và n là điểm lân cận của x Điều kiện cực tiểu yêu cầu:

Can

da Dẫn đến những hệ phương trình tuyến tinh sau:

Theo phát biểu những phương trình chủ đạo, lời giải xấp xỉ trực tiếp từ những

phương trình vi phân được sử dụng Ý nghĩa của việc này là dạng mạnh của những

phương trình chủ đạo cho điều kiện biên được rời rạc một cách trực tiếp tại các nút

để thu được một hệ phương trình hệ thống Nếu chuỗi Taylor được sử dụng và

những vi phân được thay thế, phương pháp được gọi là phương pháp dạng mạnh Phương pháp dạng mạnh không cần tích phân số Những phương pháp không

lưới dạng mạnh có những thuận lợi đáng chú ý: thuật toán đơn giản, hiệu quả tính toán và là không lưới thực sự Tuy nhiên, phương pháp không lưới dạng mạnh

thường không ổn định và độ chính xác không cao, đặc biệt là những bài toán có

điều kiện biên đạo hàm (điều kiện biên Neumann)

" Dạngyếu

Đặc trưng của phương pháp không lưới dạng yếu là phương trình vi phân riêng

(Partial diffrential equation (PDE)) với những điều kiện biên Neumann được thay

thế hoặc chuyển đổi sang những phương trình tích phân dạng yếu sử dụng những kỹ thuật khác nhau Những phương trình dạng yếu sau đó có thể được suy ra từ những tích phân từng phần

Toán tử tích phân có thể loại bỏ những sai số khỏi miền tích phân, do đó có thể

cải thiện độ chính xác của lời giải Yêu cầu về tính liên tục của hàm cơ sở được làm

giảm hoặc làm yếu đi, vì vậy phép tích phân toàn phần làm giảm bậc của toán tử vi

phân Việc áp đặt điều kiện biên đạo hàm được thực hiện một cách tự nhiên sử dụng

những tích phân biên Những phương trình hệ thống trong miền và những điều kiện

biên đạo hàm được kết hợp một cách thuận lợi vào một phương trình đơn giản

Những đặc trưng đó mang lại cho phương pháp không lưới dạng yếu nhiều thuận lợi Phương pháp không lưới dạng yếu ứng xử ổn định và chính xác cho nhiều

bài toán Những điều kiện biên Neumann có thẻ sát nhập một cách thuận lợi và tự

nhiên vào cùng phương trình dang yếu Không cần những phương trình hoặc lời

giải thêm vào trong việc áp đặt điều kiện biên Một phương pháp được phát triển

những đặc điểm sử dụng phương pháp dạng yếu được áp dung cho nhiều bài toán

khác nhau Một tập tham số thích hợp cho một bài toán có thể sử đụng rộng rãi cho

nhiều bài toán khác Sự mạnh mẽ của phương pháp không lưới dạng yếu được

chứng minh thông qua rất nhiều bài toán riêng biệt

Tuy nhiên, phương pháp không lưới dạng yếu yêu cầu những ô lưới để tích

phân Những tích phân số làm tăng chỉ phí tính toán, những ô lưới nền là phương

tiện tích phân, điều này không phải là không lưới thực sự Những tích phân số vẫn

còn nặng nề, đặc biệt là đối với những nút nằm trên hoặc nằm gần những biên có

hình dạng phức tạp Vì vậy, việc cần làm là cực tiểu hóa những thông số cần thiết cho tích phân số

= Phuong phap Galerkin

Phương pháp Galerkin được biết đến như là phương pháp trọng số dư phổ biến

Xét một phương trình vi phân riêng trên miền © với biên động học Pu được định nghĩa như sau:

Lu(x)=f(x) trong @ (2.23)

Trong đó, L là vi phân, u có thể gồm cả bậc tự do chuyển vi va géc xoay ,

Sai số dư š được xác định bởi:

19

Thông thường, bậc của hàm u"(x)phu thudc vào bậc của vi phân (L), nếu nụ là

bậc của đạo hàm xuất hiện trong vi phân L thì (nạ -1) là bậc của hàm u° (x), tức là

(n¿ -1) đạo hàm liên tục Tích phân từng phần được áp dụng cho phương trình

(2.25) để giảm bậc của vi phân chủ đạo L và yêu cầu về tính liên tục của hàm u°(x) được làm yếu đi, yêu cầu liên tục của hàm @ được làm nghiêm ngặt hơn Kết

quả là, phương trình (2.26) được gọi là dạng yếu của dạng mạnh (2.25)

Những phương pháp không lưới dựa trên phát biểu Galerkin được trình bày bởi

nhiều tác giả khác nhau như Belytschko et al (1994), Duarte & Oden (1996), Melenk & Babuska (1996) và Liu et al (1995) Một khuynh hướng quan trọng của

những phương pháp này là việc tính toán tích phân trong những phương trình dạng

yếu Tích phân Gauss được sử dụng phổ biến nhất trong những kỹ thuật này Những

ô nền được tạo ra đẻ tính tích phân, vì vậy, chúng không phải là không lưới thực sự

Hơn nữa, để thu được lời giải chính xác, cần có một lượng lớn điểm lấy tích phân vì những hàm dạng bậc cao được sử dụng Kết quả là chi phí tính toán của những

phương pháp không lưới sử dụng điểm Gauss tăng cao

Tích phân nút trực tiếp có thể được sử dung dé vượt qua khó khăn trên, khi đó

tích phân sẽ được tính tại nút Trong phương pháp này không cần tạo ra ô nền Đây

là phương pháp không lưới thực sự và có thê tính toán nhanh hơn Tuy nhiên, kết

quả thu được không ổn định vì sự triệt tiêu đạo hàm của hàm dang tại các nút

Beissel & Belytschko (1996) đã đề xuất một phương pháp để khử những dạng

suy biến này Một phương pháp khác là tích phân nút ổn định được đề xuất bởi

Chen et al (2001), những đạo hàm của hàm dạng được tính toán tại đỉnh của những

miễn đại diện của nút (không phải tại nút) Vì thế, những dạng không xác định bị

loại bỏ Phương pháp này đã được áp dụng rộng rãi cho nhiều bài toán, cả không

lưới lẫn phần tử hữu hạn.

2.2.3 Miền ảnh hưởng

Phương pháp không lưới không rời rạc miễn bài toán thành những phần tử như

FEM Mà nội suy miễn giá trị xung quanh nút bằng việc xây dựng một miền gọi là

miền ảnh hưởng của nút đó Miền ảnh hưởng cho ta biết các nút nằm trong đó,

những nút này quan hệ với nút đang xét thông qua ma trận hàm dạng

Miền ảnh hưởng có một trọng số quy định kích thước của miền và nó tùy thuộc vào hàm trọng số được lựa chọn

Trong phương pháp phần tử hữu hạn, miền ảnh hưởng của một nút là tất cả những phần tử liên kết với nút đó Điều này hoàn toàn khác trong phương pháp

không lưới, miền ảnh hưởng có thể chọn hình dạng bắt kì và có thê thay đổi kích cỡ

theo mong muốn

Mién ảnh hưởng FEM Miễn ảnh hưởng Meshless

Hình 2.5 Hình dạng miền ảnh hưởng của các phương pháp Trong phương pháp không lưới nói chung và phương pháp EFG nói riêng, việc lựa chọn kích cỡ miền ảnh hưởng phù hợp là cực kì quan trọng vì nó không những

ảnh hưởng đến độ chính xác của lời giải mà còn ảnh hưởng đến khối lượng và thời

gian tính toán Miễn ảnh hưởng được chọn phải thỏa mãn những yéu cau sau:

o_ Miễn ảnh hưởng có bán kính R¡ không quá nhỏ để đảm bảo ma trận A

không bị suy biến (ma trận A có thể nghịch đảo được)

o Miền ảnh hưởng không quá lớn để đảm bảo thỏa các đặc trưng cục

bộ, từ đó dé dang x4p xi va tính toán

Bán kính ảnh hưởng được xác định như sau:

21

R, =B.,

Trong đó: - tham số điều chỉnh vùng ảnh hưởng

hị - khoảng cách lớn nhất của hai nút lân cận nhau

Trong trường hợp bố trí nút không đều, kích thước miền ảnh hưởng cần được

xác định một cách cục bộ Dựa vào vùng Voronoi, những nút lân cận của nút I có

thể được nhận dạng và được nhóm lại như sau:

N, ={P, :VŒ,)¬VŒ,) z Ø} = {Pu›Pz›Pà› Pạ›s› Ps› Pz}

Trong đó: V(P)) là vùng Voronoi của nút Pị

Hình 2.6 Sơ đồ miền ảnh hưởng của nút đang xét

Vì vậy, khoảng cách lớn nhất được xác định bởi:

h, =max {4, :d, =P, VP, EN,}

Bén canh da thite co sé p(x), ham trọng số w(x), kích cỡ miền ảnh hưởng xác định đặc trưng của những hàm dạng MLS Với những giá trị nhỏ, hàm dạng MLS

và các đạo hàm của nó ứng xử tương tự với hàm dạng phần tử hữu hạn, với những

giá trị ð lớn, hàm dạng MLS ứng xử giống với đa thức bậc cao hơn Như vậy cần

chon gia tri B nhu thế nào để miền ảnh hưởng đảm bảo những yêu cầu đã nêu ở

trên

2.2.4 Ham dang và các đạo hàm của hàm dạng

Bình phương cực tiểu được sử dụng để xắp xỉ trường ứng suất cụ thê như sau:

Với p(x) là một hệ những hàm cơ sở, wq(x) là hàm trọng số ứng với nút thứ I

Đối với bài toán bậc 4, hàm đa thức cơ sở p(x) phải tối thiểu là bac 2 (Krysl &

Belytschko, 1995)[1] Đa thức cơ sở cho bài toán 2D được xác định như sau:

Ham trong sé w;(x) có vai trò quan trọng trong việc thành lập hàm dạng trong

phương pháp EFG Nếu hàm trọng số và đạo hàm của nó liên tục thì hàm dạng và

đạo hàm của nó cũng liên tục Để thõa mãn xấp xỉ MLS và hệ phương trình rời rạc,

hàm trọng số được chọn dương trong mỗi miền con và bằng 0 ở bên ngoài miền

Một trong những hàm trọng số được sử dụng phổ biến nhất trong phương pháp EFG

chuẩn là hàm bậc 4 đẳng hướng như sau:

1—6s? +8s) —3sf <1

23

k-xJ

R 1

Trong do: s, = „ Rị là bán kính ảnh hưởng của nút

Từ biểu thức (2.28), ta suy ra đạo hàm cấp 1 của hàm dạng như sau:

®j@œ) =p”A”B,+p”A7B, +pTA7B,, (2.33)

Véi Aj! duge tinh nhu sau: A7==A”A,A”

Một chú ý quan trọng là việc tính toán về phải của phương trình (2.33) gặp phải khó khăn vì sử dụng Aj Cho nên, một bắt lợi của phương pháp EFG chuẩn, là

thời gian tính toán tăng lên do việc xây dựng hàm dạng và đạo hàm của nó

Một cách tốt hơn để cải thiện cả thời gian tính toán và độ chính xác về số là sử

dụng phân tích LU Từ đây, một phương pháp tính toán hiệu quả hàm dạng và đạo hàm của nó được trình bày Hàm dạng trong phương trình (2.28) được viết lại như sau:

Đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của C(x) đạt được bằng cách lấy đạo hàm phương trình

và sắp xếp lại các hàm đã biết ở về phải

Các phương trình (2.35), (2.36), (2.37) được giải với C, C,j, C,jk và hàm dạng

và đạo hàm của nó nhận được bởi:

Cần chú ý, một kỹ thuật khác để giúp giảm sai số từ việc làm tròn số trong

phương pháp EFG là dịch chuyển điểm gốc đến một điểm ước lượng Đối số x được thay thế bằng phép thay đổi tuyến tính X=x—x„;„ Các số hạng trong phương

trình (2.35) đến (2.40) được xác định như sau:

B(x) = wi(X)PŒi — Xu)

pŒ&)=p(0; p„(x)=p,(0; p„(x)=p,„(0)

Một số sơ đồ hàm dạng của phương pháp không lưới EFG với các bán kính

miền ảnh hưởng khác nhau

Hình 2.7 Sơ đồ hàm dạng EFG với miền ảnh hưởng khác nhau