File cung cấp đề bài và bài giải chi tiết đề thi toán cao học trường đại học Mở TP HCM năm 2010. File sẽ cung cấp cho các bạn thông tin tham khảo về đề thi cũng như bài giải và đáp án chi tiết cho từng câu. Tài liệu có tính chất tham khảo.
Trang 1Giải đề thi tuyển sinh Sau Đại Học môn Toán năm 2010
Trường Đại Học Mở TP.HCM
Người giải đề: ho_vinh1412
PHẦN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH (4 điểm)
Câu 1
1 Giải và biện luận hệ phương trình:
(1)
Xét ma trận hệ số:
A =
m m
m m
m m
1 3
4 1
2
A = -m2 + 5m +24 = (-m+8)(m+3)
A = 0 m = 8 hay m = -3
Trường hợp 1: m = 8
Hệ (1) tương đương:
0 8 7 3
0 4 8 7
11 8 2 8
z y x
z y x
z y x
Ta có ma trận hệ số mở rộng:
A =
0 0 11
8 7
3
4 8
7
8 2
8
33 77 11
88 50 0
88 50 0
8 2 8
44 77 11
0 0 0
88 50 0
8 2 8
R(A) = 2 < R( A ) = 3 Hệ (1) vô nghiệm
Trường hợp 2: m = -3
Hệ (1) tương đương:
0 3 4 3
0 4 3 4
0 3 2 3
z y x
z y x
z y x
A =
0 0 0
3 4 3
4 3 4
3 2
3
0 0 0
0 2 0
0 17 0
3 2 3
0 0 0
0 0 0
0 17 0
3 2 3
R(A) = R( A ) = 2 < số ẩn Hệ (1) có vô nghiệm
0 )
1 (
3
0 4 )
1
(
3 2
mz y m
x
z my x
m
m mz y
mx
Trang 2Hệ (1) tương đương:
0 0
0 17
0 3 2 3
z y
z y x
z y
z x
0
Trường hợp 3: m 8 và m -3
A 0 Theo Cramer: Hệ (1) có nghiệm duy nhất
Đặt:
D1 =
m m
m
m m
1 0
4 0
2 3
= (m+3)
m m
m
1
4
= (m+3)(m
2
-4m + 4) = (m+3)(m-2)2
D2 =
m m
m m
m
0 3
4 0 1
3
= -(m+3)
m
m
3
4 1
= -(m+3)(m2 – m - 12) = -(m+3)2(m-4)
D3 =
0 1 3
0 1
3 2
m
m m
m m
= (m+3)
1 3
1
m
m m
= (m+3)(m2 – 5m +1)
Nghiệm của hệ (1) là:
3) 8)(m (-m
) 1 5 3)(m (m
3) 8)(m (-m
4) -(m 3) (m
-3) 8)(m (-m
2) -3)(m (m
2 3
2 2
2 1
m A
D
z
A
D
y
A
D
x
8) (-m
) 1 5 (m
8) (-m
4) -3)(m (m
-8) (-m
2) -(m
2 2
m z
y x
2 Cho mô hình Input-Output Leontief với ma trận:
A =
3 , 0 1 , 0
2
,
0
4 , 0 2 , 0
3
,
0
1 , 0 3 , 0
2
,
0
và D = (95; 85; 90)
Gọi X = (x1; x2; x3) là sản lượng của mỗi ngành
I3 là ma trận đơn vị cấp 3
Ta có:
Trang 3(I3 – A)X = D
7 , 0 1 , 0 2 , 0
4 , 0 8 , 0 3 , 0
1 , 0 3 , 0 8 , 0
X =
90 85 95
Đặt:
C =
7 , 0 1 , 0 2
,
0
4 , 0 8 , 0
3
,
0
1 , 0 3 , 0 8
,
0
= 100
31 0
C1 =
7 , 0 1 ,
0
90
4 , 0 8
,
0
85
1 , 0 3 ,
0
95
= 10 861
C2 =
7 , 0 90
2
,
0
4 , 0 85
3
,
0
1 , 0 95
8
,
0
= 20 2099
C3 =
90 1 , 0 2
,
0
85 8 , 0 3
,
0
95 3 , 0 8
,
0
= 20 1589
31 7945 31 10495 31 8610
3
2
1
3
2
1
C
C
x
C
C
x
C
C
x
Vậy sản lượng của mỗi ngành là X = (x1; x2; x3) X =
31
7945
; 31
10495
; 31 8610
Câu 2
1 Tính giới hạn:
lim
0
) 1 ln(
2 ) 2
1
ln(
2
x x
x e
e x x
= lim
0
x
x x
e
1
2 2 1 2
1
2 2
= lim
0
x
e
e x x
2
1
2 2
) 1 )( 2 1 ( x x
= lim
0
x
) 1 )(
2
1
( x x lim
0
x
e
e x x
2
1
2 2
= lim
0
4 2
x
x
e e
= 2 3
Trang 42 Tìm mức sản lượng để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất
= TR – TC = -Q21 – Q1Q2 – Q22 + 170Q1 + 235Q2 – 100
Ta có:
235 2Q
Q
-170 Q
-2Q
-2 1
'
2 1 '
2
1
Q
Q
235 2Q
Q -0
170 Q
-2Q -0
2 1 '
2 1 '
2 1
Q
Q
0 100 Q
0 35 Q
2 1
Lập ma trận Hess:
2
1
1
2
H1 = -2 < 0 Q1; Q2 > 0
H2 = H =
2 1
1 2
= 3 > 0 Q1; Q2 > 0
Vậy: max tại
100 Q
35 Q
2 1
PHẦN XÁC SUẤT
Câu 1:
Gọi: Ai là biến cố bắn trúng lần thứ i (i=1,2)
B là biến cố bắn trúng phát II
C là biến cố bắn trật hết cả hai phát
a B = A1A2 + A1 A2 P(B) = P(A1A2 +
1
A A2 ) = P(A1A2) + P(
1
A A2 ) P(B) = P(A1) P(A2/A1) + P(
1
A ).P(A2/
1
A ) = 0.8 x 0.6 + 0.2 x 0.3 = 0.54 = 54%
b C =
1
A A2 P(C) = P(
1
A A2 ) = P(
1
A ).P(
2
A /
1
A ) P(C) = 0.2 x 0.7 = 0.14 = 14%
Câu 2:
a Gọi X là trọng lượng của con bò X ~ N(250; 402)
Ta cần tính: P( X <10) = 2 2 0.25
40
10
= 2 x 0.0987 = 0.1974
b P(X>300) = 1- P(X<300) = 1 -
40
250 300 2
1
= 1.25
2
1
= 0.5 – 0.3944 = 0.1056
Trang 5PHẦN THỐNG KÊ
1 Kiểm định trung bình
Tính được: n = 100; x = 27; s = 18.254
Độ tin cậy = 96% z = 2.054
Đặt H: 0 23.75
H : 0
Với là mức sử dụng nước trung bình một tháng hiện nay
z =
s
n
x0 = 1.78
1.78 = z < z = 2.054 Chấp nhận H
Vậy mức sử dụng nước hiện nay không tăng so với trước đây
2 Ước lượng tỷ lệ
Tính được: f =
100
15 20
29
= 0.64 = 64%
Độ tin cậy = 98% z = 2.326
Gọi p là tỷ lệ hộ có mức tiêu thụ bình thường
p = f z
n
f
f( 1 )
= 64% 2.326
100
) 64 0 1 ( 64
= 64% 11.16%
52.84% < p < 75.16%
3 Tính số hộ
Độ tin cậy = 98% z = 2.326
= 10%
n = 2 (1 )
2
f f
z
= 0.64(1 0.64) 1
0
326 2
2
2
= 125
Vậy số hộ cần là 125 hộ
4 Ước lượng mức tiêu thụ bình thường
Lượng nước bình thường 20 32.5 50
Tính được: n = 64; x = 30.9375; s = 11.9315
Độ tin cậy = 98% z = 2.326
= x z
n
s
= 30.9375 2.326
64
9215 11
= 30.9375 3.4691
27.4684 < < 34.4066