skkn các bài toán quỹ tích về đường tròn

- Hiện tại trong các môn học ở trờng THCS thì môn Toán đợccoi là một môn khó đối với đại đa số học sinh vì bài tập toán có nhiều loại nh: bài tập đại số, bài tập số học, bài tập hìnhhọc.

Phần I: Mở đầui/ Lý do chọn đề tài:

1/ Cơ sở lý luận:

- Toán học là một môn khoa học cơ bản trong nhà trờng phổthông vì nó liên quan chặt chẽ, là cầu nối cho các môn khoahọc khác Thông qua việc dạy học môn Toán giúp học sinh pháttriển t duy sáng tạo, suy luận lôgíc Đối với học sinh việc học giỏimôn Toán là điều kiện để học giỏi các bộ môn khác Việc họcToán giúp các em hình thành phẩm chất nhân cách nh tínhcần cù chịu khó, tính tự lực, tính kiên trì sáng tạo không chịukhuất phục trớc khó khăn Việc học Toán cũng giúp các em cảmthụ cái hay cái đẹp của tự nhiên, xã hội, là nguồn cảm hứng giúpcác em học tập tốt các môn khác Chính vì vậy toán học là nềntảng cho khoa học kỹ thuật của đất nớc và cả trên thế giới

- Hiện tại trong các môn học ở trờng THCS thì môn Toán đợccoi là một môn khó đối với đại đa số học sinh vì bài tập toán

có nhiều loại nh: bài tập đại số, bài tập số học, bài tập hìnhhọc Trong mỗi loại có nhiều dạng khác nhau, mỗi dạng có tínhchất, đặc thù riêng, nhất là các bài toán nâng cao thì lại càngkhó với học sinh đại trà nói chung và học sinh giỏi nói riêng

2/ Cơ sở thực tiễn:

- Qua việc giảng dạy toán ở THCS và các tiết dự giờ (vì điềukiện thời gian hạn hẹp với 45 phút trong một tiết dạy) nên tôithấy đại đa số giáo viên chỉ dừng lại ở việc giải xong bài toán,chỉ dạy kiến thức đại trà cha chú trọng kiến thức nâng cao chohọc sinh giỏi, cha hệ thống kiến thức thành các chuyên đề, cácdạng Nên trong một số kỳ thi học sinh giỏi tôi nhận thấy đề thichỉ thay đổi chút ít dữ kiện, thay đổi một chút đầu bài sovới bài tập các em đã đợc học nhng các em vẫn không làm đợc

Nguyên nhân chính theo tôi là việc học thụ động “ học đâubiết đấy”, không phân dạng, không có phơng pháp giải tổngquát cho từng dạng Vì vậy việc học toán giáo viên phải phândạng, có phơng pháp giải tổng quát cho từng dạng giúp học sinhhiểu sâu kiến thức đã học, phát triển t duy sáng tạo tiếp thutốt kiến thức, hình thành cách học cho các em từ đó gây hứngthú và lòng say mê học Toán.

- Trong điều kiện đất nớc ta hiện nay, trình độ dân tríngày càng cao Phần lớn các em xác định đúng động cơ họctập, đặc biệt có nhiều em say mê học Toán Trớc tình hình nhvậy tôi nghĩ mỗi giáo viên cần phải có phơng pháp dạy thíchhợp, biên soạn các chuyên đề nhằm cung cấp cho các em mộtphơng pháp học tích cực và tiếp thu kiến thức hiệu quả nhất.Với quan điểm dạy là dạy phơng pháp học, dạy phơng pháp tduy suy luận sáng tạo, đấy cũng là một điều kiện để nângcao chất lợng dạy và học trong nhà trờng Xuất phát từ lý do trênnên tôi chọn đề tài:

“ Phương phỏp giải bài toán quỹ tích về đờng tròn và cung chứa góc”

II/ Mục đích nghiên cứu:

“ Phương phỏp giải bài toán quỹ tích về đờng tròn và cung chứa góc” nhằm hệ thống các dạng bài tập và tạo cho

học sinh thói quen, phơng pháp làm, cách t duy (vì bài toánquỹ tích là một trong các dạng khó nhất không chỉ với học sinh

đại trà mà cả với học sinh giỏi) Từ đó nhằm khắc sâu kiếnthức cho học sinh, phát triển t duy lôgíc sáng tạo, tính chủ

động, ham mê tìm tòi, ham hiểu biết của học sinh

Trên cơ sở những u khuyết điểm đề ra giải pháp thực hiện,

đồng thời rút ra bài học kinh nghiệm từ thực tế

III/ Phơng pháp nghiên cứu:

- Đọc tài liệu tham khảo

- Điều tra, khảo sát

- Phơng pháp thực nghiệm ( Thông qua các tiết dạy thựcnghiệm, các tiết dạy trên lớp và đội tuyển Toán 9 trờng THCS TTNếnh và THCS Thân Nhân Trung)

- Phơng pháp thảo luận ( Trao đổi với đồng nghiệp trong cáctiết dự giờ, và các buổi sinh hoạt nhóm chuyên môn)

IV/ Đối tợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu:

Học sinh lớp 9A3 trờng THCS Thân Nhân Trung, đội tuyểnhọc sinh giỏi Toán 9 trờng THCS thị trấn Nếnh và THCS ThânNhân Trung

Phần II: Nội dung cụ thểA/ Điều tra ban đầu:

Qua việc giảng dạy một số năm trớc, một số tiết dạy thựcnghiệm của năm học này, việc giảng dạy trên lớp và đội tuyểnToán 9 trờng THCS thị trấn Nếnh và THCS Thân Nhân Trung tôinhận thấy:

- Nhận thức của các em cha đồng đều, nhiều em cha say mêhọc Toán

- Kiến thức cơ bản nắm cha chắc

- Kỹ năng phân tích, tổng hợp một bài toán cha thành thạo; tduy lôgíc, t duy trìu tợng cha phong phú; cha liên hệ giữa kiếnthức cũ và mới; việc vận dụng giữa lý thuyết và thực hành cònchậm Mặc dù một số học sinh thông minh, nắm bắt bài nhanhnhng các em thờng chỉ dừng lại ở việc nắm bắt kiến thức và

pháp giải, tìm đến bài toán tổng quát và liên hệ đến nhữngbài toán đã học nên các em rất nhanh quên kiến thức.

* Kết quả khảo sát đầu năm của lớp 9B trờng THCS thị trấnNếnh và 9A3 của trờng THCS Thân Nhân Trung nh sau:

nó chứa các điểm có tính chất T

II Cách giải bài toán quỹ tích.

Muốn chứng minh quỹ tớch (tập hợp) cỏc điểm M thỏa món tớnh chất T là mộthỡnh H nào đú, ta phải chứng minh hai phần :

1) Phần thuận: Mọi điểm cú tớnh chất T đều thuộc hỡnh H.

Trong nhiều bài tập, khi chứng minh phần thuận, ta tỡm được hỡnh H, chứacỏc điểm M cú tớnh chất T, nhưng do cỏc điều kiện hạn chế của bài toỏn, tập hợpđiểm M là hỡnh H’ chỉ là một bộ phận của hỡnh H Trong trường hợp này ta phải

thực hiện thờm một cụng việc nữa gọi là: “ giới hạn quỹ tớch”.

2) Phần đảo: Mọi điểm thuộc hỡnh H ( hoặc hỡnh H’) đều cú tớnh chất T.

Sau khi chứng minh cả hai phần trờn ta rỳt ra kết luận: Quỹ tớch những điểm

M thỏa món tớnh chất T là hỡnh H ( hoặc hỡnh H’)

Đối với bài toỏn tỡm tập hợp điểm cú tớnh chất T thỡ phải lập luận để đưa vềmột trong cỏc tập hợp điểm cơ bản ( Trong chương trỡnh hỡnh học ở THCS cú 5

tập hợp điểm cơ bản), nhưng vì thời gian có hạn tôi xin giới thiệu hai tập hợp cơbản là “ đường tròn” và “cung chứa góc”.

III TẬP HỢP ĐIỂM VỀ ĐƯỜNG TRÒN VÀ CUNG CHỨA GÓC.

1) Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng R ( R > 0) không đổi

là đường tròn tâm O, bán kính R.

2) Tập hợp điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc ·AMB có số đo bằng α (0 ≤ ≤ α 180 ) 0 cho trước là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB, gọi là cung chứa góc α dựng trên đoạn AB.

Chú ý:

- Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích

- Khi α = 90 0 thì hai cung này là hai nửa đường tròn đường kính AB Như vậy

ta có: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.

IV NHỮNG ĐIỀU CẦN CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH.

1) Tìm hiểu kĩ bài toán:

Tìm hiểu kĩ bài toán để nắm vững các yếu tố đặc trưng cho bài toán Trongmột bài toán quỹ tích thường có ba loại yếu tố

a) Yếu tố cố định: thông thường là các điểm, đoạn thẳng, đường thẳng.

b) Yếu tố không đổi: như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tích của

hình …

c) Yếu tố thay đổi: thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích, hoặc các

đoạn thẳng, hoặc các hình mà trên đó chứa điểm ta cần tìm quỹ tích

2) Dự đoán quỹ tích:

Trong nhiều trường hợp, ta cần dự đoán hình H trước khi chứng minh Đểđoán nhận quỹ tích ta thường tìm ba điểm của quỹ tích Muốn vậy nên xét ba vị

trí đặc biệt, tốt nhất là sử dụng các vị trí giới hạn, với điều kiện hình vẽ chínhxác, bằng trực giác sẽ giúp ta hình dung được hình dạng của quỹ tích

- Nếu ba điểm ta vẽ được là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích làđường thẳng (ta không xét trong chuyên đề này)

- Nếu ba điểm ta vẽ được không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là đường trònhoặc cung tròn

V CÁC VÍ DỤ MINH HỌA.

1) QUỸ TÍCH VỀ ĐƯỜNG TRÒN.

Phương pháp: Tìm được tập hợp các điểm cách điểm O cố định một

khoảng R ( R > 0) không đổi là đường tròn tâm O, bán kính R.

Bài 1: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm A cố định trên đường

tròn Điểm M di động trên tiếp tuyến d tại điểm A của (O; R) Qua M vẽ tiếptuyến thứ hai với (O; R) Gọi B là tiếp điểm Gọi H là trực tâm của tam giácAMB

a) Chứng minh tứ giác AOBH là hình thoi

b) Tìm quỹ tích điểm H

* Hướng dẫn:

Yếu tố cố định: Điểm A, O, đoạn OA

Yếu tố không đổi: Độ dài OA, OB

Yếu tố thay đổi: điểm M, B, H, độ dài MB, MO, MH…

Ở câu a) ta đã chứng minh được AOBH là hình thoi nên suy ra HA = R (khôngđổi), A cố định Vậy ta đã đưa về bài toán quỹ tích cơ bản đường tròn, từ đó ta cólời giải như sau:

* Phần đảo:

Lấy H’ thuộc (A; R), nối OH’ cắt d tại M’, vẽ tiếp tuyến M’B’ Chứng minh H’

là trực tâm của tam giác AM’B’ Thật vậy:

Ta chứng minh được tứ giác AOB’H’ là hình thoi

⇒OA // B’H’, OA ⊥AM’

⇒ B’H’ ⊥ AM’ (1)

Chứng minh tương tự AH’ ⊥ B’M’ (2)

Từ (1), (2) ⇒ H’ là trực tâm của tam giác AM’B’

* Kết luận quỹ tích:

Vậy M di động thì H di động theo nhưng H luôn cách A cố định một khoảngkhông đổi là HA = AO = R Nên H thuộc đường tròn tâm A, bán kính R

Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, AC là một dây cung bất kỳ, M

là điểm chính giữa của cung »AC Hai đường thẳng AM và BC cắt nhau ở D a) Chứng minh tam giác BAD cân

b) Tìm quỹ tích điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đã cho

* Hướng dẫn:

Yếu tố cố định: Điểm A, O, B đoạn OA, OB, AB

Yếu tố không đổi: Độ dài OA, OB, AB…

Yếu tố thay đổi: điểm M, C, D, độ dài BM, AC

Ở câu a) ta đã chứng minh được tam giác BAD

cân nên suy ra BA = BD = 2R (không đổi), B cố

định Vậy ta đã đưa về bài toán quỹ tích cơ bản

đường tròn, từ đó ta có lời giải như sau:

D'

C'

M' M

C

E D

B O

Tam giác ABD có BM vừa là đường phân giác vừa là đường cao nên là tam giáccân tại B.

Vì điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính BC nên:

- Khi C trùng với A thì D trùng với A

- Khi C trùng với B thì BC trở thành tiếp tuyến của đường tròn (O) ở B, khi

đó D trùng với E là giao điểm của đường tròn tâm B, bán kính BA với tiếptuyến nói trên

Vậy D chạy trên 1

4 đường tròn tâm B, bán kính BA (trên cùng nửa mặt phẳng bờ

AB chứa nửa đường tròn (O) là cung »AE như hình vẽ)

* Phần đảo:

Lấy D’ bất kỳ thuộc cung »AE Nối D’A, D’B cắt nửa đường tròn (O) lầnlượt tại M’ và C’ Ta phải chứng minh M’ là điểm chính giữa của ¼ 'AC Thật vậy:

Ta có tam giác BAD’ cân tại B (vì BA = BD’ = 2R)

Mà BM A· ' = 90 0(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) ⇒BM' ⊥ AD'

⇒BM’ là đường cao đồng thời là phân giác của tam giác ABD’

BA (trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) là cung »AE nhưhình vẽ).

Bài 3: Cho đường tròn (O; R) cố định, B và C là hai điểm cố định trên đường

tròn, A là một điểm tuỳ ý trên đường tròn Gọi M là điểm đối xứng của điểm Cqua trung điểm I của AB Tìm quỹ tích các điểm M

Hướng dẫn:

I'

A' M'

I

C B

A M

Yếu tố cố định: Điểm B, C, O đoạn OC, OB, BC

Yếu tố không đổi: Độ dài OB, OC, BC…

Yếu tố thay đổi: điểm M, I, A, độ dài BA, CM, CA, BM

Theo bài ra ta dễ dàng chứng minh được tứ giác AMBC là hình bình hành

⇒ MB = AC nhưng AC thay đổi nên không thể sử dụng được bài toán quỹ tíchđường tròn Nên có thể ta sử dụng độ dài không đổi là bán kính R và BC, từ đó tanghĩ tạo thêm đường phụ, tạo thêm điểm cố định bằng cách vẽ OO’// BC vàOO’= BC ⇒ O’ cố định và dễ dàng chứng minh được AMO’O là hình bình hành

⇒ MO’ = OA = R (không đổi) Vậy ta đã đưa về bài toán quỹ tích cơ bản đườngtròn, từ đó ta có lời giải như sau:

* Tóm tắt lời giải:

a) * Phần thuận:

Kẻ OO’// BC và OO’= BC (O’ và B trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC)

⇒ O’ cố định (vì O, B, C cố định và BC không đổi)

Tứ giác AMBC là hình bình hành (vì I là trung điểm của hai đường chéo AB vàMC)

⇒ MA // BC và MA = BC mà OO’// BC và OO’= BC (cd)

⇒MA // OO’ và MA = OO’

⇒ Tứ giác AMO’O là hình bình hành (dhnb)

⇒O’M = OA = R (không đổi), O’ cố định

Vậy A di động thì M di động theo nhưng M luôn cách O’ cố định một khoảngkhông đổi là O’M = OA = R Nên M thuộc đường tròn tâm O’, bán kính OA = R

b)* Phần đảo:

Trên (O’, R) lấy điểm M’ bất kỳ Nối M’B Qua C kẻ đường thẳng song songvới BM’ cắt đường tròn (O) ở điểm thứ hai A’ Ta phải chứng minh M’ đối xứngvới C qua trung điểm I’ của A’B (Bạn đọc tự chứng minh)

* Kết luận quỹ tích:

Vậy A di động thì M di động theo nhưng M luôn cách O’ cố định một khoảng

không đổi là O’M = OA = R Nên M thuộc đường tròn tâm O’, bán kính OA = R

1) QUỸ TÍCH VỀ CUNG CHỨA GÓC.

Phương pháp: Tìm tập hợp điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc ·AMB có số đo bằng α (0 ≤ ≤ α 180 ) 0 cho trước là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB, gọi là cung chứa góc α dựng trên

đoạn AB.

Chú ý:

- Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích

- Khi α = 90 0 thì hai cung này là hai nửa đường tròn đường kính AB Như vậy

ta có: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.

Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Gọi C, D là hai điểm trên nửa

đường tròn sao cho OC⊥OD (C thuộc cung AD) Các tia AC và BD cắt nhau ở P.Tìm tập hợp điểm P khi C và D chuyển động trên nửa đường tròn

APB= (không đổi), AB cố định Áp

dụng bài toán cơ bản về quỹ tích cung chứa

góc, từ đó ta có lời giải như sau

C'

D' D

A

* Tóm tắt lời giải:

a) * Phần thuận:

ACB= (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) ⇒BCP· =900

⇒ Tam giác BCP vuông mà · 1·

2

CBP= COD (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâmcùng chắn »CD); COD· = 90 0 (vì OC⊥OD) ⇒CBP· = 45 0

Tam giác BCP vuông cân ở C, ta có ·BPC =450 hay BPA· = 450

Điểm P tạo với hai mút A, B của đoạn thẳng AB cố định góc BPA· =450 nên Pthuộc cung chứa góc 450 vẽ trên đoạn AB

* Giới hạn: Qua A và B vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn (O)

cắt cung chứa góc nói trên ở P1, P2 Kẻ bán kính OK ⊥ AB.

- Khi C trùng với A thì D trùng với K, AC trùng với tia tiếp tuyến Ax nên Ptrùng với P1

- Khi C trùng với K thì D trùng với B, BD trùng với tia tiếp tuyến By nên Ptrùng với P2.

Vậy P chạy trên cung ¼

Nên OC’ ⊥ OD’

* Kết luận: Vậy tập hợp điểm P là cung ¼

1 2

PP thuộc cung chứa góc 450 vẽ trênđoạn AB (hình vẽ)

Bài 2: Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC Trên cùng một nửa mặt phẳng

bờ BC chứa nửa đường tròn (O) vẽ tam giác đều BAC, AB cắt nửa đường tròn(O) ở E Gọi M là một điểm chuyển động trên nửa đường tròn Vẽ tam giác đềuMCN sao cho đỉnh N nằm khác phía với điểm B qua MC

a) Chứng minh ba điểm M, E, N thẳng hàng;

b) Tìm quỹ tích điểm N

Hướng dẫn: Nếu chứng minh E, M, N thẳng hàng thì ta có :

Yếu tố cố định: Điểm A, C, B, E đoạn OC, OB, BC, CE…

Yếu tố không đổi: Độ dài BC, AB, CE, CAB· = 60 0, ·ENC= 60 0…

Yếu tố thay đổi: điểm M, N, độ dài MC, NC, NM, NE

Theo câu a) chứng minh được ·ENC= 60 0 (không đổi), EC cố định Vậy áp dụng

a) ·BEC =900 ⇒CE ⊥ AB

CE là đường cao của tam giác đều

ABC nên CE là phân giác của góc

A

N

C O

* Giới hạn: Vì M chuyển động trên nửa đường tròn (O) nên:

- Khi M trùng với B thì N trùng với A

- Khi M trùng với C thì N trùng với C

Vậy M chuyển động trên cung »AC thuộc cung chứa góc 600 vẽ trên đoạn CE(hình vẽ)

b)* Phần đảo:

Trên cung »AC nói trên, lấy điểm N’ bất kỳ Nối N’E cắt nửa đường tròn (O) ởM’ Ta phải chứng minh tam giác CM’N’ đều Thật vậy:

Nối C với M’, C với N’ ta có

EN C = ⇒M N C = (vì N’ thuộc cung chứa góc 600 vẽ trên CE)

Ta chứng minh được ·N M C' ' = ·EBC =600 (góc ngoài của tứ giác nội tiếpBEM’C bằng góc trong của đỉnh đối diện)

Bài 3: Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định Gọi N là một điểm chuyển

động trên đường tròn, I là trung điểm của AN, M là hình chiếu của điểm I trên

BN Tìm tập hợp các điểm M

Hướng dẫn:

Yếu tố cố định: Điểm A, O, B đoạn AB

Yếu tố không đổi: Độ dài OA, OB, AB,

Yếu tố thay đổi: điểm N, I, M, độ dài

AN, BN, AI, BM,

Theo bài ra ta chỉ có AB cố định Vậy ta

xem có chứng minh được M nhìn AB

dưới một góc không đổi không? Nếu

không chứng minh được thì ta phải vẽ

thêm đường phụ để tìm ra thêm đoạn cố

định bằng cách gọi giao điểm của BO với

I'

N'

M'

I Q

P

N M

O

B A

đường tròn (O) là P thì điểm P cố định, nên AP cố định Gọi MI cắt AP ở Q thìcũng chứng minh được Q cố định, nên PQ cố định ⇒QMB· =900, BQ cố định.Vậy ta đã đưa về bài toán cơ bản về quỹ tích cung chứa góc (trường hợp α = 90 0),

từ đó ta có lời giải như sau:

* Tóm tắt lời giải: