skkn khai thác phát triển bài toán đại số 8

Trong quá trình giảng dạy nói chung và việchọc toán nói riêng thì việc dạy toán để học sinh dễ hiểu vàthông qua đó để học sinh phát triển tính sáng tạo, suy luậnlôgíc là nhiệm vụ quan tr

mở đầu

1 Lý do chọn đề tài:

Toán học là môn học cơ bản trong chơng trình các ờng phổ thông Thông qua việc dạy học môn toán giúp họcsinh phát triển t duy sáng tạo, suy luận lô gíc Đối với họcsinh việc học giỏi môn toán là điều kiện học giỏi các cán bộmôn khác Thông qua việc học toán giúp các em hình thànhcác phẩm chất của nhân cách nh tính cần cù chịu khó, tính

tr-tự lực, tính kiên trì sáng tạo, không chịu khuất phục khókhăn Thông qua việc học toán giúp các em cảm thụ cái hay,cái đẹp của tự nhiên, xã hội Học giỏi toán là yếu tố quantrọng để khởi nguồn cảm hứng học tập tốt các môn kháccho học sinh Trong quá trình giảng dạy nói chung và việchọc toán nói riêng thì việc dạy toán để học sinh dễ hiểu vàthông qua đó để học sinh phát triển tính sáng tạo, suy luậnlôgíc là nhiệm vụ quan trọng của ngời giáo viên dạy toán.Hình thành kỹ năng giải toán là mục tiêu quan trọngtrong quá trình dạy- học toán ở trờng trung học cơ sở Quátrình giải toán chính là quá trình rèn luyện phơng pháp tduy linh hoạt, sáng tạo Việc hình thành cho học sinh những

kỹ năng thực hành trong giải toán là mục tiêu chính trongquá trình dạy học bộ môn, đây cũng là giải pháp quantrọng để thực hiện việc đổi mới phơng pháp dạy học ở tr-ờng THCS hiện nay

Trong thực tế dạy học hiện nay, việc hình thành chohọc sinh có một kỹ năng phân tích tìm tòi lời giải cho mộtdạng toán, một bài toán cha đợc các thầy, cô giáo quan tâmthích đáng Vì điều kiện thời gian hạn hẹp (với 45’ trongmột tiết dạy ) đa số các thầy, cô giáo chỉ quan tâm tới việc

chữa đủ các bài tập cho học sinh trong các giờ luyện tập

mà không quan tâm nhiều đến việc bồi dỡng phơng pháptìm tòi lời giải cho một bài toán Chính điều này đã dẫn tớibài giảng của giáo viên mang tính áp đặt, các em học sinhtiếp thu bài học một cách thụ động Trong một số kỳ thi th-ờng xảy ra việc đề thi chỉ thay đổi chút ít dữ liệu so vớicác bài tập mà các em đã làm (hoặc thầy cô giáo đã chữa)nhng học sinh vẫn không làm đợc Nguyên nhân chính,theo tôi, đó là việc dạy và học thụ động nh đã trình bày ởtrên Trong nhiều năm giảng dạy và trực tiếp bồi dỡng họcsinh giỏi lớp 8 tôi thấy kỹ năng khai thác các bài tập của họcsinh còn yếu, đa số các em cha biết cách suy nghĩ, tìm tòi

để khai thác các bài toán hoặc ngợc lại cha biết đa bài toáncần giải về bài toán quen thuộc đã biết cách giải

Trớc tình hình nh vậy, tôi nghĩ mỗi giáo viên cần phải

có một phơng pháp giảng dạy thích hợp nhằm kích thíchhứng thú học tập cho học sinh và cung cấp cho các em cómột phơng pháp học tập tích cực, cũng nh một t duy linhhoạt sáng tạo trong giải toán, nhất là cách khai thác các bàitoán Nhằm giúp học sinh có một kỹ năng học tập tốt bộ môntoán - nhất là kỹ năng giải các bài tập toán, Với quan điểmdạy học là dạy phơng pháp học tập, dạy cho học sinh có một

t duy suy luận sáng tạo, một năm học qua tôi đã nghiên cứu

và thử nghiệm cách soạn giảng bài học bằng cách chú trọngbồi dỡng phơng pháp phân tích tìm tòi khai thác, pháttriển một bài toán, bớc đầu đã có những chuyển biến tíchcực trong nhận thức của học sinh Là một giáo viên trực tiếpdạy môn Toán ở THCS đặc biệt là đợc nhà trờng giao chobồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi môn Toán 8 ở cấp THCS Tôi

có rất nhiều suy nghĩ , trăn trở làm sao cho chất lợng học

sinh ngày một tốt hơn , các em có thể tự mình tìm ranhững lời giải hay hơn , giải đợc nhiều bài toán khó hơn Qua việc quan sát học sinh ở các lớp khác nhau , các trờngkhác nhau và qua việc tham khảo đồng nghiệp tôi xin mạnhdạn nói ra một kinh nghiệm mà mình đã tìm ra trong quá

trình nghiên cứu thực tế đó là "khai thác và phát triển

từ một bài toán"

2 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Tìm hiểu, phân tích, đánh giá tình hình thực tếtrong giảng dạy bộ môn toán ở trờng THCS Trên cở sởnhững u khuyết điểm đề ra giải pháp thực hiện Đồng thờirút ra bài học kinh nghiệm từ thực tế

3 Đối t ợng, phạm vi nghiên cứu:

Tìm hiểu cách dạy của GV, cách học của học sinh ở cáclớp đại trà và lớp bồi dỡng HSG môn toán 8 của trờng THCSThân Nhân Trung và đội tuyển HSG cụm Thân NhânTrung của huyện Việt Yên

4 Các ph ơng pháp nghiên cứu chính:

+ Điều tra tìm hiểu việc dạy và học ở các lớp bồi dỡngHSG

+ Dự giờ rút kinh nghiệm giảng dạy

+ Phân tích đánh giá quá trình tiếp thu bài học củahọc sinh thông qua kiểm tra, trắc nghiệm

+ Tham khảo các bài viết, các ý kiến trao đổi về việcdạy và học toán trong các cuộc thảo luận về đổi mới phơngpháp giảng dạy, trong các tài liệu và sách tham khảo về bộmôn toán

5 Những đóng góp mới của đề tài.

Khai thác, phát triển một số bài toán cơ bản trong

ch-ơng"phép nhân và phép chia các đa thức"- Đại số 8

§a ra c¬ së lÝ luËn trong qu¸ tr×nh d¹y vµ gi¶i to¸n:

ph-¬ng ph¸p gi¶ng d¹y thÝch hîp nh»m kÝch thÝch høng thóhäc tËp cho häc sinh vµ cung cÊp cho c¸c em cã mét ph¬ngph¸p häc tËp tÝch cùc, còng nh mét t duy linh ho¹t s¸ng t¹otrong gi¶i to¸n, nhÊt lµ c¸ch khai th¸c, ph¸t triÓn c¸c bµito¸n

§a ra quan ®iÓm d¹y häc lµ d¹y ph¬ng ph¸p häc tËp,d¹y cho häc sinh cã mét t duy suy luËn s¸ng t¹o, båi dìng ph-

¬ng ph¸p ph©n tÝch t×m tßi khai th¸c, ph¸t triÓn mét bµito¸n

BÝch §éng,

th¸ng 5 n¨m 2007

nội dung cơ bản

Chơng 1: Cơ sở lí luận

Trong giảng dạy môn toán, con đờng tìm tòi cách giải

là cả một quá trình t duy suy luận lôgíc của học sinh đợcrèn luyện thông qua cả một quá trình học toán Đằng saumột bài toán đơn giản lại chứa đựng bao điều thú vị, đó

là các cách giải khác nhau và các bài tập phát triển dầnthành các bài toán tổng quát Do đó các bài tập đợc xâydựng theo một trình tự nhất định, đợc phân chia thànhcác dạng cơ bản, đảm bảo phù hợp với sự phát triển dầnnâng cao nhận thức của học sinh Hệ thống các bài tập đợcxây dựng từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, tậptrung vào việc đảm bảo đợc mục đích và yêu cầu đạt đợcthông qua giải các dạng bài tập đó Hình thành cho họcsinh thói quen nhìn nhận một bài toán khoa học, không bị

động, lúng túng khi giải và đồng thời các em chủ độngtìm tòi, khai thác, phát triển những vấn đề nảy sinh từ cácbài toán đó

Chơng 2: Thực trạng của vấn đề.

Trong quá trình nhiều năm dạy học sinh lớp 8 và bồi ỡng học sinh giỏi , khi giải bài toán tôi thấy đa số các em họcsinh cha có t duy, suy luận toán học lôgíc Học sinh thờngkhông biết bắt đầu từ đâu và không định hình đợc cáchgiải nh thế nào Đối với học sinh giải đợc thì các em ít cóthói quen đúc rút kinh nghiệm để phân chia thành từngdạng và phơng pháp giải cho từng dạng Trong quá trình giảicác em trình bày thiếu chặt chẽ, không lôgíc, không hiểucơ sở các dạng bài Chính vì thế mà các em học tập cha có

d-chuyển biến rõ rệt khi khi giải các loại toán nâng cao vàphát triển Hầu hết các em cha biết và cha nắm vững ph-

ơng pháp giải, những kiến thức cần vận dụng nên dẫn đếngiải sai.Chính vì thế mà tôi đã đề cập và nghiên cứu đề

tài "khai thác và phát triển từ một bài toán" Song vì

điều kiện thời gian và tính ứng dụng thực tế của nó nên tôichỉ nghiên cứu một số bài toán cơ bản phù hợp chủ yếu vớihọc sinh ở trờng

Giải phần b có

sử dụng kết quả phần a

Giải phần bkhông sử dụngkết quả phần aSL

%

SL

18

90

12

60

7

35Nhận xét: Rất nhiều các em học sinh cha có thói quenkhai thác, liên hệ kiến thức giữa các phần với nhau

Với kết quả trên tôi thấy việc giải toán trong quá trìnhdạy học toán nói chung, dạy học sinh giải toán nói riêng giáoviên cần giúp cho học sinh có một thói quen phân tích, tựmình tìm ra kiến thức và phơng pháp Hơn thế, với đối t-ợng HSG cần tập dợt cho các em có thói quen sáng tạo Đứngtrớc mỗi bài toán khó các em cần biết cách phân tích, tựmình tìm ra hớng đi thích hợp Các em không những giải

đợc các bài toán mà còn biết khai thác, phát triển nhữngsáng tạo trong cách giải và đề xuất ra những bài toán mới

Đây thực sự là những phẩm chất hết sức cần thiết cho việcphát triển những tài năng toán học sau này Trong đề tàinày tôi mới đa ra một số bài toán cơ bản phù hợp chủ yếu ởchơng I - Đại số lớp 8 Với Toán học bậc THCS thì chơng phépnhân và phép chia đa thức đóng vai trò rất quan trọng,

đặc biệt là kiến thức về hằng đẳng thức và phân tích

đa thức thành nhân tử , việc vận dụng nó vào giải phơngtrình bậc cao , việc biến đổi đồng nhất các biểu thứctoán học, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm giátrị lớn nhất, nhỏ nhất Ngoài ra việc vận dụng các kiến thức

về hằng đẳng thức và phân tích đa thức thành nhân tửgiúp chúng ta có thể giải đợc các bài toán có nội dung phức

tạp Với mỗi bài toán đợc đa ra, ta có thể giúp học sinh khai

thác, phát triển thành các bài toán nâng cao hay và khóhơn

Chơng 3: Nội dung nghiên cứu.

Trong môn toán ở trờng phổ thông có rất nhiều bàitoán cha có hoặc không có thuật toán để giải, đặc trngnày càng học lên lớp 8 càng phổ biến Đối với những bài toán

ấy, chúng ta hãy cố gắng hớng dẫn học sinh cách suy nghĩ,

cách tìm tòi lời giải Đây là cơ hội để giáo viên trang bịcho học sinh một số tri thức phơng pháp giải toán Không cómột thuật toán tổng quát nào để giải mọi bài toán, chúng

ta chỉ có thể thông qua dạy học giải một số bài toán cụ thể

mà dần dần truyền cho học sinh cách thức, kinh nghiệmtìm tòi lời giải cho các bài toán “ Tìm đợc cách giải một bàitoán là một điều phát minh” (Pôlya)

Hệ thống các bài tập đợc xây dựng theo từng đơn vịkiến thức nhằm củng cố và rèn luyện kỹ năng cơ bản tronggiải toán Hầu hết các bài tập mà học sinh có thể giải đợc

, giáo viên phải tạo điều kiện, hớng dẫn để học sinhsuy nghĩ tự mình tìm ra chìa khoá của lời giải Mặt khác,những bài toán tởng nh đơn giản lại chứa đựng rất nhiều

điều thú vị Nếu giáo viên biết khai thác thì các bài tậpnày cũng đủ để bồi dỡng học sinh khá giỏi Bồi dỡng kiếnthức cho học sinh từ các bài tập đơn giản là cách tốt nhất

để học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản và phát triển tduy, năng lực sáng tạo một cách tự nhiên, bền vững

Hớng dẫn học sinh khai thác, phát triển một số bài tập cơ bản trong chơng I- đại số lớp 8:

Dới đây tôi xin đa ra một số ví dụ áp dụng phơngpháp trên để hớng dẫn học sinh tìm tòi cách giải và khaithác, phát triển một bài toán cụ thể

Khai thác bài toán:

Từ ví dụ trên ta thấy nếu (a+b+c)(ab+ac+bc) = abc(1) thì hoặc a=-b hoặc b=-c hoặc a=-c Biến đổi giả

thiết (1): Chia cả 2 vế cho abc ta đợc (a b c) 1 1 1 1

Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số đối nhau

*Giả thiết (2) còn có thể viết: 1 1 1 1

*Ta tiếp tục phát triển bài toán bằng cách không chotrực tiếp giả thiết (3) mà yêu cầu phải biến đổi mới có giảthiết này Đồng thời ta sử dụng kết quả của bài toán để giảibài toán khác nh sau:

=3(a+b)[a(b+c)+c(b+c)]

=3(a+b)(b+c)(c+a)

*Tõ vÝ dô trªn ta thÊy nÕu (a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 (1)

th× hoÆc a=-b hoÆc b=-c hoÆc a=-c Ta cã bµi to¸n míi nhsau:

*§Æt a = x+y; b = y+z; c = x+z th× a+b+c =

2(x+y+z) Dùa vµo kÕt qu¶ trªn ta cã:

8(x+y+z)3- (x+y)3- (y+z)3- (z+x)3= 3(x+2y+z)

(y+2z+x)(z+2x+y)

Ta cã bµi to¸n:

Bµi 2:

Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:

8(x+y+z)3- (x+y)3- (y+z)3- (z+x)3

* NÕu cho a = x+y-z, b = x-y+z, c = y+z-x th× a+b+c

= x+y+z Dùa vµo kÕt qu¶ trªn ta cã: (x+y+z)3-( x+y-z)3-( y+z)3-( y+z-x)3=24xyz

* NÕu cho a =2x-2006; b = 3-2007x; c = 2006x+2005th× a+b+c=x+2 Ta cã bµi to¸n míi :

*KÕt hîp víi bµi to¸n A ta cã bµi to¸n rót gän:

Khai thác bài toán: Dựa vào kết quả của bài toán

trên ta có thể khai thác và phát triển thành các bài toán khác

Dạng II: Chứng minh đẳng thức có điều kiện

IV Bài toán D:

Khai thác bài toán:

*Từ kết quả trên ta có ngay bài toán:

*Nếu thay a=x-3; b=2x+1; c=2-3x thì a+b+c=0 Sửdụng kết quả trên ta có (x-3)3+(2x+1)3+(2-3x)3=3(x-3)(2x+1)(2-3x) Ta đến với bài toán:

Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn a+b+c = 0

Tính giá trị của biểu thức:

x13 + y13 + z13 =3 1 1 1x y z xyz= 3 Ta biến đổi giả thiết và kết luận

của bài toán:

x y z+ + =

1 1 1

0 => xy+xz+yz = 0

yz xz xy xyz xyz.

Cho x, y, z là các số khác 0 thoả mãn xy+xz+yz =

0 Tính giá trị của biểu thức:

yz xz xy P

Khai thác bài toán:

*Ta có thể mở rộng bài toán cho n số a1 , a2 , , an

(a+b+c)2=3(ab+bc+ca) Chứng minh rằng tam giác đó

là tam giác đều

* Ta thấy a2+b2+c2=ab+bc+ca <=>(a+b+c)2=3(a2+b2+c2) Đồng thời ta sử dụng kết quả của bàitoán để giải bài toán khác nh sau:

*Ta tiếp tục phát triển bài toán bằng cách không chotrực tiếp giả thiết (2) mà yêu cầu phải biến đổi mới có giảthiết này Đồng thời ta sử dụng kết quả của bài toán để giảibài toán khác nh sau:

nh sau:

Bài 6:

Cho x, y, z là các số khác 0 thoả mãn:

+ +

=+ +

2

Dạng III: Chứng minh Bất đẳng thức

VI Bài toán F:

Khai thác bài toán:

*Nhận thấy rằng nếu cho m = x-1; n = 1-y thì :

(x-1)2- (x-1)(1-y) + (1-y)2≥0

<=> x2 - 2x +1 - x + xy +1 - y +1 - 2y + y2 ≥0

Chøng minh r»ng: a4+b4≥a3b+ab3 víi mäi a, b.

*TiÕp tôc cho a = x2; b = y2 vµ x, y kh¸c 0, ta cã:

Chứng minh rằng với mọi x, y khác 0 ta luôn có:

đề tài này tôi chỉ xin nêu ra một số ví dụ ở các bài toán

điển hình, hay gặp ở chơng 1- phần Đại số lớp 8 Ngoài racòn nhiều các bài toán trong chơng này cũng nh chơng khác

mà ta có thể khai thác, phát triển thành các bài toán để bồidỡng học sinh giỏi Việc bồi dỡng năng lực phân tích tìm tòilời giải bài toán là cách tốt nhất để các em có thể tiếp cậnkiến thức, phơng pháp một cách tích cực và chủ động nhất

Đó cũng là giải pháp nhằm nâng cao chất lợng dạy và họcnhất là công tác bồi dỡng học sinh giỏi đáp ứng yêu cầu ngàycàng cao của giáo dục trong giai đoạn mới

kết luận

Trong quá trình dạy học toán nói chung, dạy học sinhgiải toán nói riêng giáo viên cần giúp cho học sinh có mộtthói quen phân tích, tự mình tìm ra kiến thức và phơngpháp Hơn thế, với đối tợng HSG cần tập dợt cho các em cóthói quen sáng tạo Với việc áp dụng phơng pháp giảng dạy

nh trên, tôi nhận thấy học sinh bớc đầu đã có những chuyểnbiến tích cực, học sinh đã có hứng thú hơn trong học tập

Đứng trớc mỗi bài toán khó các em đã biết cách phân tích, tựmình tìm ra hớng đi thích hợp Một số em không những đã

giải đợc các bài toán mà bớc đầu đã có những sáng tạo trongcách giải và đề xuất ra những bài toán mới Đây thực sự lànhững phẩm chất hết sức cần thiết cho việc phát triểnnhững tài năng toán học sau này.

Sau một năm thể nghiệm phơng pháp giảng dạy trên.Tôi thấy đa số các giờ lên lớp các em đã tự giác chủ độngtiếp cận kiến thức Các giờ luyện tập đợc tiến hành hết sứcnhẹ nhàng, giáo viên thật sự chỉ là ngời tổ chức; học sinh

đợc phát huy hết khả năng sáng tạo của mình Từ chỗ cònnhiều em ngại học toán đến nay 100% học sinh đã tự tinhào hứng trong học tập Kết quả cuối năm về bộ môn cũngtăng lên rõ rệt Cụ thể đối với môn toán của lớp 8A1 - lớp màtôi trực tiếp giảng dạy - Có 90% giỏi; 10% khá; không có họcsinh xếp loại trung bình Trong kỳ thi HSG cấp huyện vừaqua có 20 học sinh dự thi đã đạt giải từ công nhận HSG trởlên, đây thực sự là nguồn cổ vũ động viên rất lớn thầy vàtrò trong quá trình học tập

Phát huy tính tích cực chủ động của học sinh, đây làmột yêu cầu trọng tâm của việc đổi mới phơng pháp dạyhọc Việc thực hiện bồi dỡng phơng pháp tìm tòi, khai thác,phát triển lời giải bài toán cho học sinh trên đây cũng lànhằm giúp học sinh có một phơng pháp học tập chủ động,tích cực và sáng tạo Điều mà sau này rất cần thiết đối vớicác em, khi đã trở thành những con ngời lao động trên mọilĩnh vực để xây dựng đất nớc

Mặc dầu rất cố gắng song do quỹ thời gian có hạn,năng lực còn hạn chế chắc chắn những vấn đề mà tôi vừatrình bày ở trên cha hẳn là tối u nhất và không thể tránhkhỏi sai sót Một lần nữa rất mong nhận đợc nhiều ý kiến