Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử schrödinger trong một số trường hợp

Xin chân thành cám ơn các thay cô giáng day chuyên ngành ToánGiái tích đã nhi¾t tình cung cap các tri thúc khoa hoc giúp em nâng caotrình đ® tư duy, hoàn thành tot quá trình hoc t¾p và l

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

NGUYEN CHÍ HÁI

ƯéC LƯeNG SO CÁC GIÁ TR± RIÊNG

ÂM CÚA TOÁN TÚ SCHRO¨ DINGER TRONG M®T SO TRƯèNG HeP

Chuyên ngành: Toán giái tích

Mã so: 60.46.01

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS Ta Ngoc Trí

Hà N®i-2012

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn này đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i

2 dưói sn hưóng dan cna TS Ta Ngoc Trí

Em xin đưoc chân thành cám ơn TS Ta Ngoc Trí Sn t¾n tình chíbáo cna Thay trong suot quá trình hoc t¾p và làm lu¾n văn đã giúp emtrưóng thành hơn rat nhieu ve cách tiep c¾n m®t van đe mói

Xin chân thành cám ơn các thay cô giáng day chuyên ngành ToánGiái tích đã nhi¾t tình cung cap các tri thúc khoa hoc giúp em nâng caotrình đ® tư duy, hoàn thành tot quá trình hoc t¾p và làm lu¾n văn.Tôi cũng xin đưoc cám ơn Phòng Sau đai hoc Trưòng Đai hoc Sưpham Hà N®i 2, trưòng Cao đang Kinh te-Ky thu¾t Trung ương, đãluôn quan tâm giúp đõ và tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tôi trong suotquá trình hoc t¾p và nghiên cúu

Cuoi cùng, tôi bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ban bè đã giúp đõ,đ®ng viên k%p thòi đe tôi hoàn thành bán lu¾n văn này

Hà N®i, tháng 6 năm 2012

Nguyen Chí Hái

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôidưói sn hưóng dan cna TS Ta Ngoc Trí

Trong khi thnc hi¾n lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung thành quá khoahoc cna các nhà khoa hoc và đong nghi¾p vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, tháng 6 năm 2012

Nguyen Chí Hái

Mnc lnc

Má

đau 6

Chương 1 Kien th Nc chuan b%

8

1.1 Không gian Banach 8

1.2 Không gian Lebesgue L p 11

1.3 Không gian L p yeu 12

1.4 Bat đang thúc Sobolev 13

1.5 Không gian Hilbert 16

1.6 T oán tú tn liên hop 18

1.7 T oá n t ú S c hr ¨ odinger 20

1.8 Ket lu¾n c hương 1 21

Chương 2 Đieu ki¾n Rollnik 22

2.1 Quan h¾ vói không gian L p 23

2.2 Dang p-không gian 26

2.3 Quan h¾ vói chuoi Born 30

2.4 Hac h tích phân 35

2.5 The năng mien huu han 38

2.6 M®t so ví du 39

2.7 Ket lu¾n c hương 2 40

Chương 3 Ưác l ưang so các giá tr% riêng âm cúa toán t N S c h r o ¨ dinge r

41

3.1 Phương trình tích phân c h o trang thái tói han 42

3.2 C¾n trên cna so các giá tr% riêng âm 46

3.3 Ket lu¾n c hương 3 49

3

∂f (x)

∂x

i

đao hàm riêng cna f tai theo x i

|

|

i

Mé ĐAU

1 Lí do chon đe tài

Lý thuyet pho cna toán tú Schr¨odinger đã thu hút đưoc sn quantâm và nghiên cúu cna nhieu nhà toán hoc Nó là sn ket hop ch¾t checna giái tích hàm, phương trình đao hàm riêng và bien đoi Fourier, và cóvai trò quan trong trong v¾t lý

Trong cơ hoc lưong tú chúng ta g¾p toán tú Schr¨odinger −∆ + V

Trong rat nhieu các trưòng hop cna V , pho cna toán tú −∆ + V có

m®t phan giong như pho cna toán tú Schr¨odinger "tn do" −∆, túc

là [0, ∞) và m®t so các giá tr% riêng âm M®t so trưòng hop ta có theưóc lưong đưoc so các giá tr% riêng âm đó Vi¾c làm này có ý nghĩatrong v¾t lý (xem [4], [8], [12] và nhung tài li¾u trích dan trong đó).Lu¾n văn này nghiên cúu m®t so ưóc lưong ve so giá tr% riêng âmcna toán tú Schr¨odinger khi toán tú the năng V đưoc xét trong m®t solóp hàm đ¾c bi¾t

Sau khi đưoc hoc nhung kien thúc ve giái tích hàm, phương trình đaohàm riêng và bien đoi Fourier, cùng vói sn đ%nh hưóng cna thay TS.TaNgoc Trí, vói mong muon tìm hieu sâu hơn ve nhung kien thúc đã hoc,moi quan h¾ và úng dung cna chúng, tôi đã chon đe tài nghiên cúu:

“ Ưóc lưong so các giá tr% riêng âm cúa toán tú Schro¨dinger trong m®t

so trưòng hop” đe làm lu¾n văn tot nghi¾p cna mình.

2 Mnc đích nghiên cNu

Nam đưoc các khái ni¾m và úng dung cna “Ưóc lưong so các giá tr%riêng âm cna toán tú Schr¨odinger trong m®t so trưòng hop” đe bosung kien thúc, cnng co và hieu biet sâu hơn ve toán giái tích , lý thuyettoán tú

3 Nhi¾m vn nghiên cNu Tìm hieu ve “Ưóc lưong so các giá tr% riêng

âm cna toán tú Schr¨odinger trong m®t so trưòng hop”

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

• Đoi tưong: Nghiên cúu ve “Ưóc lưong so các giá tr% riêng âm cna

toán tú Schr¨odinger trong m®t so trưòng hop”

• Pham vi: Các bài báo, các tài li¾u trong và ngoài nưóc nghiên cúu

ve “Ưóc lưong so các giá tr% riêng âm cna toán tú Schr¨odingertrong m®t so trưòng hop”

5 Phương pháp nghiên cNu

• Tìm hieu các thông tin trong sách báo liên quan đen n®i dung nghiên

cúu;

• Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu thu th¾p

đưoc qua nhung tài li¾u liên quan đen đe tài, sú dung các phươngpháp nghiên cúu cna giái tích hàm, lý thuyet toán tú

• Tham kháo ý kien cna chuyên gia.

6 NhÑng đóng góp cúa đe tài

• Trình bày đưoc m®t cách có h¾ thong nhung kien thúc cơ bán ve

“Ưóc lưong so các giá tr% riêng âm cna toán túSchr¨odingertrong m®t so trưòng hop” và các tính chat cna nó

• Tong hop, h¾ thong m®t so ket quá đã đưoc các nhà khoa hoc

nghiên cúu và công bo ve “Ưóc lưong so các giá tr% riêng âm cnatoán tú Schr¨odinger trong m®t so trưòng hop”

7

Chương 1 Kien thNc chuan b

%

Chương này dành cho vi¾c trình bày m®t so khái ni¾m và ket quá canthiet ve nhung không gian và nhung toán tú mà chúng ta can dùng đentrong các chương sau Nhung kien thúc trình bày trong chương này đưocchon tù các tài li¾u [1],[2], [5],[12]

1.1 Không gian Banach

Cho X là m®t không gian vectơ trên trưòng so phúc C

Đ%nh nghĩa 1.1.1 M®t chuan, kí hi¾u || · ||, trong X là m®t ánh xa đi

tù X vào R thóa mãn các đieu ki¾n:

1) ||x|| ≥ 0 vói moi x ∈ X ;

3) ||λx|| = |λ|||x|| vói moi so λ ∈ C và moi x ∈ X;

4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| vói moi x, y ∈ X.

So ||x|| đưoc goi là chuan (hay đ® dài) cna vectơ x ∈ X M®t

không gian vectơ X cùng vói m®t chuan xác đ%nh trong không gian

ay, đưoc goi là m®t không gian đ%nh chuan

M¾nh đe 1.1.2 Giá sú X là m®t không gian đ%nh chuan Vói moi

x, y ∈ X, đ¾t

ρ (x, y) = ||x − y||

Khi đó, ρ là m®t metric trên X.

Đ%nh nghĩa 1.1.3 Dãy (x n ) trong không gian đ%nh chuan X đưoc goi

là h®i tu đen x0 ∈ X neu lim n→∞ ||x n − x0|| = 0.

8

Khi đó, ta kí hi¾u

lim

n→∞ x n = x0 ho¾c x n → x0, khi n → ∞.

Đ%nh nghĩa 1.1.4 Dãy (x n ) trong không gian đ%nh chuan X đưoc goi

là m®t dãy cơ bán, hay dãy Cauchy, neu

lim

m,n→∞ ||x m − x n || = 0.

Đ%nh nghĩa 1.1.5 Giá sú không gian đ%nh chuan X là m®t không gian

metric đay đn (vói khoáng cách ρ(x, y) = ||x−y||) Khi đó X đưoc goi là

m®t không gian đ%nh chuan đay đn, hay còn goi là không gian Banach

Đ%nh nghĩa 1.1.6 Cho X và Y là hai không gian véc tơ trên trưòng C

Ánh xa A tù không gian X vào không gian Y đưoc goi là toán tú tuyen

Đ%nh nghĩa 1.1.7 Cho X và Y là hai không gian Banach Cho toán

tú tuyen tính A : D(A) ⊂ X → Y xác đ%nh trên không gian véc tơ con

D (A) cna X vào không gian Y T¾p D(A) goi là mien xác đ%nh cna

A T¾p

goi là hach cúa A Ta nói A b% ch¾n trên X neu D(A) = X và ton tai hang so c ≥ 0 sao cho:

||Ax|| ≤ c||x|| ∀x ∈ X.

11

M¾nh đe 1.1.8 Giá sú toán tú tuyen tính A ánh xa không gian đ%nh

chuan X vào không gian đ%nh chuan Y Khi đó, các m¾nh đe sau là tương đương:

1) A b% ch¾n;

2) A liên tnc;

3) A liên tnc tai 0.

Đ%nh nghĩa 1.1.9 Cho hai không gian đ%nh chuan X và Y Kí

hi¾u L(X, Y ) là t¾p tat cá các toán tú tuyen tính b% ch¾n tù không

gian X vào không gian Y Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán:

• Tong cna hai toán tú A, B ∈ L(X, Y ) là toán tú, kí hi¾u A + B,

xác đ%nh bói bieu thúc

(A + B)(x) = Ax + Bx, vói moi x ∈ X;

• Tích vô hưóng cna α ∈ C vói toán tú A ∈ L(X, Y ) là toán tú,

kí hi¾u αA, đưoc xác đ%nh bói bieu thúc

(αA)(x) = α(Ax).

De kiem tra đưoc rang A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và

hai phép toán trên thóa mãn các tiên đe cna không gian véc tơ Khi đó,t¾p L(X, Y ) tró thành m®t không gian véc tơ trên trưòng C Trong

trưòng hop Y = C, thì L(X, C) đưoc goi là không gian liên hop cna X,

kí hi¾u X ∗ Neu Y = X thì L(X, Y ) đưoc kí hi¾u gon lai là L(X) Vói moi A ∈ L(X, Y ), đ¾t

||A|| = sup ||Ax||

xƒ=0 ||x||

Ta có || · || xác đ%nh như trên là m®t chuan trong L(X, Y ) Như the,

không gian L(X, Y ) vói chuan vùa nêu tró thành m®t không gian đ%nhchuan

M¾nh đe 1.1.10 Neu Y là m®t không gian Banach thì L (X, Y ) cũng

là không gian Banach.

Tù đ%nh lý trên suy ra X ∗ luôn là không gian Banach

1.2 Không gian Lebesgue Lp

Cho (X, S, µ) là m®t không gian đo đưoc, nghĩa là X là m®t t¾p và

(i) S là m®t σ −đai so trong X, nghĩa là S là m®t ho nhung t¾p con

cna X sao cho:

Phan tú cna S goi là t¾p đo đưoc Đôi khi ta viet |A| thay cho µ(A).

T¾p A ∈ S vói tính chat µ(A) = 0 goi là t¾p có đ® đo không Ta

nói rang, m®t tính chat nào đó đúng hau khap nơi trên X neu tính chat đó đúng khap nơi trên X ngoai trù m®t t¾p có đ® đo không nào

đó cna X.

Hàm f : X → R goi là đo đưoc trên A neu

∀a ∈ R : {x ∈ A : f (x) < a} ∈ S.

Trong trưòng hop X = Rn và S là nhung t¾p hop đo đưoc theo

nghĩa Lebesgue thì ta nói tat f (x) là hàm đo đưoc (xem [2], t¾p 1,

tr 125]) Khi đó tích phân Lebesgue cna hàm f (x) trên t¾p đo đưoc A đưoc kí

11

Đ%nh nghĩa 1.2.1 Cho (X, S, µ) là m®t không gian đo đưoc Kí hi¾u

L1(X, µ) (hoăc L1) là không gian các hàm khá tích trên X vói

Cho p ∈ R vói 1 < p < ∞, kí hiêu L p là không gian các hàm so f (x)

có lũy thùa b¾c p khá tích trên X, nghĩa là |f (x)| p ∈ L1 vói

"f" L ∞ = "f" p = inf{C : |f (x)| ≤ C hau khap nơi trên X}.

Đ%nh lý 1.2.2 (xem [2], t¾p 2, tr 21] ho¾c [4], pp 89-92) Các không

gian L p vói chuan cho bói "f" L p như trong đ%nh nghĩa trên là nhung không gian Banach.

1.3 Không gian Lp yeu

Trong muc này chúng ta trình bày sơ lưoc ve không gian L p yeu, m®tloai không gian đưoc dùng nhieu trong V¾t lý

14

Hàm phân bo m f (t) (ho¾c đơn gián là m(t)) cna hàm đo đưoc f trên

không gian đo đưoc (M, µ) đưoc đ%nh nghĩa:

Không gian L p yeu đưoc kí hi¾u là (L p)W và đưoc đ%nh nghĩa như sau:

Đ%nh nghĩa 1.3.2 f ∈ (L p)W khi và chí khi m f (t) ≤ c/t p vói m®t

c < ∞.

Như v¾y L p ⊂ (L p)W , nhưng có the chúng minh đe thay rang L p

là t¾p con thnc sn cna (L p)W Ví du (L p)W (R) chúa các hàm có dang

x −1/p M®t tính chat quan trong đoi vói không gian L p yeu là bat

đang thúc khác nhau vói f ∈ L p có the mó r®ng thành f ∈ (L p)W Vì

v¾y các tích phân ban đau có the là logarit phân kì lai tró thành h®i

tu M®t đ¾c trưng rat cơ bán cna (L p)W ó dang không tưòng minh có

trong nghiên cúu cna Calderon, Lions và Peetre, Stein và Weiss (xem

[12], Chương I)

Bo đe 1.3.3 Cho p0 < p < p1 Khi đó f ∈ (L p)W khi và chí khi ton tai

c0, c1 sao cho vói moi λ, f = f 0,λ + f 1,λ vói

"f i,λ " p

i <

C i (λ)

1−(p/p i) i = 0, 1.

chúng minh, theo ngôn ngu cna muc 2 1 , là f ∈ (L p ), thì f > ∈ L q vói

1.4 Bat đang thNc Sobolev

Trong muc này ta điem qua m®t so n®i dung ve bat đang thúc

Sobolev se dùng đen trong chương sau:

0

W

Chúng minh đau tiên cna ket quá này thu®c ve Hardy và Littlewood

cho trưòng hop n = 2, và Sobolev quy tù trưòng hop tong quát ve n =

1 Sau đó, Du Plessis tìm đưoc chúng minh hoàn toàn sơ cap bang thn

thu¾t quy tù n bat kì ve n = 1 (xem [12], chương I và các tài li¾utrích trong đó) Chúng minh ket quá này cna Stein và Weiss khá lí thúbang cách sú dung mó r®ng đ%nh lý n®i suy cna Marcinkiewicz Tatrình bày m®t chúng minh đơn gián bang cách dùng hai công thúc n®isuy:

i) Đ%nh lý n®i suy Marcinkiewicz (xem [12]):

é đây, ta nói rang có cùng m®t ánh xa trên các không gian L p nghĩa

là ta có m®t ánh xa trên các tong huu han cna các hàm đ¾c trưng cnacác t¾p có đ® đo huu han mà ta thác trien nhò tính liên tuc Ta nói ánh

xa T : L p → (L q)W là ánh xa b% ch¾n neu ton tai so C không phu thu®c vào t sao cho m Tf (λ) < C[ "f " p ]q vói moi f ∈ L p

i) Đ%nh lý n®i suy (xem [12]):

Cho q1 ƒ= q2, p1 ƒ= p2 Cho

T : L p i → L q i

λ

b% ch¾n, i = 1, 2 Khi đó, vói 0 < t < 1, T : (L p)W → (L q)W là b% ch¾n,

trong đó p và q cho bói (1 1)

Trong phan còn lai cna, q, q r (ho¾c q, q r ) là c¾p chí so liên hop: p −1 + (p r)−1 = 1

Bo đe 1.4.1 Cho f ∈ L p Neu g ∈ L pr, thì f ∗ g ∈ L ∞ , và "f ∗ g"

Chúng minh p −1 + q −1 > 1 nên 1 < q < p r < ∞ Vì v¾y f ∗ g ∈ L rr .

1.5 Không gian Hilbert

Đ%nh nghĩa 1.5.1 ([7], pp 201-222) Cho H là m®t không gian véc tơtrên trưòng C(goi tat là không gian véc tơ phúc) Ánh xa B : H×H → C

đưoc goi là m®t dang tuyen tính rưõi (sesqiulinear form) neu B(x0, ·) là

tuyen tính, B(·, y0) là liên hop tuyen tính:

goi là không gian có tích vô hưóng (0 kí hi¾u phan tú không trong H ).

Khi đó, (·, ·) goi là tích vô hưóng trên H, so (x, y) goi là các tích vô

hưóng cna hai phan tú x và y Không gian có tích vô hưóng còn đưoc goi là không gian tien Hilbert.

Nh¾n xét 1.5.3 Tích vô hưóng (·, ·) thóa mãn các đieu ki¾n sau:

1 (y, x) = (x, y) vói moi x, y ∈ H ;

2 (x + y, z) = (x, z) + (y, z) vói moi x, y, z ∈ H;

3 (αx, y)(αx, y) = α(x, y) vói moi so α ∈ C và moi x, y ∈ H;

4 (x, x) > 0 vói moi x ∈ H \ {0};

5 (x, x) = 0, neu x = θ.

Cho H là m®t không gian tien Hilbert Vói moi x ∈ H, ta đ¾t ||x|| =

(x, x) Khi đó, ta có bat đang thúc (Bat đang thúc Cauchy-Schwarz):

|(x, y)| ≤ ||x||.||y||, ∀x, y ∈ H.

Tù bat đang thúc trên ta suy ra ket quá sau:

M¾nh đe 1.5.4 Moi không gian tien Hilbert đeu là không gian đ%nh

chuan, vói chuan ||x|| = ,x, x).

Tù đây ve sau, neu không nói khác đi, ta luôn hieu không gian tienHilbert là không gian đ%nh chuan, vói chuan ||x|| =

,

x, x).

Đ%nh nghĩa 1.5.5 Neu không gian tien Hilbert H vói metric cho bói

ρ (x, y) = "x, y" là m®t không gian metric đn, thì H đưoc goi là

không gian Hilbert.

Tù đây tró đi, H se luôn đưoc hieu là không gian Hilbert

Đ%nh lý 1.5.6 (Riesz, xem [12]) Moi phiem hàm tuyen tính liên tnc f

f (φ) = (ψ, φ),

(nghĩa là B thoá mãn |B(ψ, φ)| ™ c"ψ""φ") đeu có dang B(ψ, φ) = (ψ, Aφ), vói A là toán tú b% ch¾n xác đ%nh m®t cách duy nhat.

Úng dung trnc tiep cna đ%nh lý trên ta có đ%nh nghĩa toán tú liên

hop b% ch¾n: Neu A là toán tú b% ch¾n, B(ψ, φ) = (Aψ, φ) thoá

Đ%nh nghĩa 1.5.7 Cho toán tú b% ch¾n A, ta đ%nh nghĩa toán tú A ∗,

goi là liên hop cúa A, bói đang thúc sau

(ψ, A ∗ φ) = (Aψ, φ).

Đ%nh nghĩa 1.5.8 Ta nói rang trong không gian Hilbert H, ψ n h®i tu

đen ψ theo chuan khi và chí khi "ψ n − ψ" → 0.

1.6 Toán tN tN liên hap

Không phái tat cá các toán tú v¾t lý đeu b% ch¾n Nhung toán túkhông b% ch¾n không the xác đ%nh khap nơi trên toàn b® không gian Tacó

Đ%nh lý 1.6.1 (Hellinger-Toeplitz, [7], p 203) Toán tú A xác đ%nh

khap nơi thóa mãn (φ, Aψ) = (Aφ, ψ) thì b% ch¾n.

Như v¾y, ket quá trên nói rang, ngay cá vói toán tú đoi xúng A,

D (A) không the là cá không gian Hilbert H Tuy v¾y, ton tai m®t lóp quan trong các toán tú A mà D(A) trù m¾t trong H: D(A) = H.

(Xem [7], p 204) Đe nghiên cúu nhung toán tú không b% ch¾n, tadùng đ%nh nghĩa sau

Đ%nh nghĩa 1.6.2 ([7], Def A.9.) Cho A vói D (A) Ta nói rang ψ ∈

D khi và chí khi ánh xa φ → (ψ, Aφ) xác đ%nh vói φ ∈ D(A) là ánh xa

liên tuc, và có thác trien (mó r®ng) lên tat cá các φ ∈ H Toán tú liên

(ψ, Aφ)

Có the thay rang, A ∗ là toán tú tuyen tính

Đ%nh nghĩa 1.6.3 Ta nói rang A là toán tú Hermit neu (φ, Aψ) = (Aφ, ψ) vói moi φ, ψ ∈ D(A).

Đ%nh nghĩa 1.6.4 Cho A là m®t toán tú Ta nói A là tn liên hop neu

A = A ∗

Đ%nh nghĩa 1.6.5 Cho A là m®t toán tú tn liên hop T¾p giái thúc cna

A, kí hi¾u là ρ (A), gom tat cá nhung so phúc z sao cho {((A − z))φ, φ) :

φ ∈ D(A)} là đo th% cna m®t toán tú b% ch¾n, nghĩa là: ton tai toán tú

b% ch¾n A˜ đe

{(φ, ψ) ∈ H × H : φ ∈ D(A˜), ψ = A˜φ} = {((A − z))φ, φ) : φ ∈

D (A)}.

T¾p σ(A) = C \ ρ(A) goi là pho cna A.

Đ%nh nghĩa 1.6.6 ([7], tr 206) Cho Avà B là hai toán tú trên H vói

B là toán tú Hermit Neu

(i) D(A) ⊂ D(B)

(ii) Ton tai a < 1 và b > 0 sao cho

"Bψ" ≤ a"ψ" + b"ψ"

vói moi ψ ∈ D(A), thì ta nói B nhó hơn A theo nghĩa Kato(Kato-small

relative to A) Neu trong (ii) ta có the chon a nhó tùy ý và b không phu thu®c a thì khi đó ta nói B bé hơn A theo nghĩa Kato(Kato-tiny relative

đưoc goi là toán tú Hilbert-Schmidt.

Đ%nh nghĩa 1.6.8 Toán tú A đưoc goi là compact neu nó liên tuc và

bien moi t¾p b% ch¾n thành t¾p compact tương đoi, nghĩa là: Neu M là t¾p b% ch¾n thì A(M ) là compact tương đoi (A(M ) compact)

21

Đ%nh lý 1.6.9 (Đ%nh lý giái tích Fredholm, xem [12], tr.218) Cho A (z)

(mien đưoc hieu là t¾p mó, liên thông) Khi đó, m®t trong các khang đ%nh sau thóa mãn:

(b) Ton tai m®t t¾p ròi rac S trong D sao cho (1 − A(z)) −1 ton tai neu

giái tích trong D\S và có cnc tai nhung điem cúa S.

1.7 Toán tN Schro ¨dinger

Đ%nh nghĩa 1.7.1 Cho V , H0 là toán tú nhân vói V và Schr¨odinger

tn do trên L2(Rn ) Toán tú H = H0 +V trên không gian Hilbert L2(Rn)

cho bói Hψ = H0ψ + V ψ vói ψ ∈ L2(Rn ), đưoc goi là toán tú

Lưu ý rang, trong v¾t lý hoc toán tú H0 đưoc cho dưói dang H0 = −∆,

Ve mien xác đ%nh cna toán tú H và tính tn liên hop cna nó đưoc

khang đ%nh trong đ%nh lý sau:

Đ%nh lý 1.7.2 (Kato-Rellich, [11], Theorem 1) Cho H0 là toán tú tn

sao cho có a < 1 và so b đe

đã và đang đưoc nghiên cúu bói nhieu tác giá (xem [4], [8], [11], [12] vànhung tài li¾u trích dan trong đó).

Đ%nh nghĩa 1.7.3 M¾t phang cat chính tac là t¾p m¾t phang so phúc

bó đi nhung điem có phan thnc không âm

1.8 Ket lu¾n chương 1

Chương 1 đã trình bày h¾ thong m®t kien thúc cơ bán trong giái tíchhàm se dùng đen trong các chương sau

23

Chương 2 Đieu ki¾n Rollnik

Nhieu tác giá đã nghiên cúu toán tú Schr¨odinger H = H0 + V

dưói nhung khía canh khác nhau Trong moi trưòng hop ngưòi ta thưòng

đ¾t m®t so đieu ki¾n lên toán tú V Chương này dành cho vi¾c nghiên cúu m®t cách chi tiet các tính chat khác nhau cna hàm đo đưoc V (x)

thóa mãn đieu ki¾n Rollnik:

thóa mãn (2 1) đưoc kí hi¾u là R Moi phan tú cna R đưoc goi là the

năng Rollnik Ta đ%nh nghĩa chuan Rollnik trong R như sau:

2.1 Quan h¾ vái không gian Lp

Trong phan này, ta nghiên cúu moi liên h¾ cna the năng Rollnik

cho đieu ki¾n L p Nhac lai rang, không gian L p đưoc đ%nh nghĩa: f ∈

L p khi và chí khi ¸ |f (x)| p d3x < ∞ Trong trưòng hop này "f" =

.¸

|f (x)| p dx.p (1 ≤ p < ∞) L ∞ đưoc xác đ%nh là t¾p cna nhung hàm b%ch¾n hau khap nơi vói "f" ∞ = inf{L ||f (x)| < L } hau khap nơi.

Ket quá cơ bán liên ket L p và R là:

Đ%nh lý 2.1.1 (Kato [12]) Neu V ∈ L 3/2 , thì V ∈ R Cn the là :

trong đó hang so C không phn thu®c vào V

Chúng minh Đây là h¾ quá trnc tiep cna bat đang thúc Sobolev, đã

Trong phan 2 6 , ta se trình bày m®t ví du ve toán tú V thu®c R nhưng không thu®c L 3/2

Cho m®t hàm f , ta có the đ%nh nghĩa f > (x) = f (x) khi |f (x)| >

1 và bang 0 neu trái lai Đ¾t f < = f − f > Thì f > ∈ L q vói q ≤ p

và f < ∈ L r vói r ≥ p Vì v¾y Đ%nh lý 2 1 1 có hai h¾ quá trnc tiep

H¾ quá 2.1.2 Neu p ≥ 3/2, L p + L ∞ ⊂ R + L ∞ , đ¾c bi¾t

L2 + L ∞ ⊂ R + L ∞ Chúng minh Cho V = f + g; f ∈ L p , g ∈ L ∞ Thì f > ∈ L 3/2

Chúng minh Neu V ∈ L p ∩ L q , thì V > ∈ L 3/2 (khi đó V ∈ L q) và

"2)

2/3 ("V

Vì v¾y, vói m®t hàm trên {(x, y) ||x − y| ≤ r}, |V (x)| / |x − y| ∈ L2

và do đó là |V (y)| / |x − y| Theo bat đang thúc Cauchy-Schwartz ta

Nh¾n xét 2.1.5 Đ%nh lý 2 1 4 (vói m®t hang so khác) có the

Đe nghiên cúu đieu ki¾n V ∈ R yeu hơn V ∈ L 3/2 ta can đen khái

ni¾m không gian L p yeu Nhac lai rang,

f ∈ (L p)W (L p yeu) khi và chí khi µ {x| |f (x)| > t} < c/t p vói m®t vài

c.

Đ%nh lý 2.1.6 Cho V (x) là trung tâm (nghĩa là V (x) = V (|x|)) và

đơn đi¾u (nghĩa là |V (r1)| > |V (r2)| neu r1 < r2) Thì V ∈ R kéo theo V ∈ (L 3/2)W + L ∞

Neu V b% ch¾n thì nó thu®c L ∞ Giá sú rang, V → ±∞ tai r = 0 Lay

r t xác đ%nh bói |V (r t )| = t Khi đó r < r t kéo theo |V (r)| > t V¾y, tù

tai r t thóa mãn |V (x)| > t vói |x| < r t và |V (x)| < λt vói |x| > Er t Vì

v¾y, vói moi t co đ%nh ta có the phác hoa dáng đi¾u đưoc chí ra.

Đ%nh lý 2.1.8 Cho V ∈ R và giá sú V là bình on Khi đó V ∈ (L 3/2)W

+

C0≤|V (x)|≤Λ

|V (x)| 3/2 dx

Neu V ∈ R ∩ L1 là bình on, thì V ∈ L p vói bat kì 1 ≤ p < 3/2.

Đe nghiên cúu tiep quan h¾ cna V vói không gian L p ta se can đen:

Đ%nh lý 2.1.9 Cho V ∈ R + L ∞ và cho V có giá b% ch¾n (nghĩa là vói r, |x| > r kéo theo V (x) = 0) Khi đó V ∈ R ∩ L1 Đ¾c bi¾t vói bat kì V ∈ R + L ∞ là đ%a phương L1.

Chúng minh Vì bat kì hàm nào trong L ∞ cũng đeu có giá compact

trong R (trong L 3/2 ), không mat tính tong quát ta có the giá sú rang V

∈ R Vì "V " R < ∞, ta có ¸

dy | V ( x ) |

<

vói m®t x nào đó (theo đ%nh lý Fubini) Do đó, tù |x − y|2 < (|x| + r)2

suy ra ¸ dy|V (y)| < ∞, nghĩa là V ∈ L1 (ó đó V (y) ƒ= 0). Q

2.2 Dang p-không gian

Trong phan này chúng ta se nghiên cúu các dang p −không gian khác

nhau cna đieu ki¾n Rollnik Nhung moi liên h¾ giua các dang p −không

gian và dang x −không gian, đ¾c bi¾t là ¸ V |x − y| (x)V (y)2d3xd3y ≥ 0, xuat

hi¾n và đưoc chú ý lan đau m®t cách tưòng minh trong các tài li¾u v¾t lýcna Ghirardi và Rimini [6] Chúng ta se trình bày nhung n®i dung nàytheo [12]

Bo đe 2.2.1 Cho V ∈ L1 ∩ L2 Cho

Chúng minh Kí hi¾u ˆ là chuan hóa, nghĩa là nhân vói h¾ so phù

hop, vói bat kì f , h ∈ L2, g ∈ L1 ta có: