Ứng dụng các trạng thái rối kết hợp đa mode trong viễn chuyển lượng tử

Có thể nói sựbùng nổ của khoa học lượng tử thông tin thời gian gần đây là do hai 2 nguyênnhân cơ bản: Thứ nhất, lý thuyết thông tin cổ điển do Shanmon phát minh ranăm 1948 là một nhánh c

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc đến

TS.Trần Thái Hoa, người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho em

những kiến thức nền tảng để em hoàn thành bài luận văn này Thầy cũng làngười đã giúp em ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốtthời gian được làm việc cùng thầy

Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô công tác tại phòng sau ĐạiHọc, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ

đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em những kiến thức quý báu về chuyênmôn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua

Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thântrong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho emtrong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Hà Nội, ngày 25 tháng 12 năm 2012

Học viên

Vũ Thị Thu Thuỷ

1

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Vũ Thị Thu Thuỷ, học viên cao học khóa 2010 – 2012

chuyên nghành Vật lý lý thuyết và vật lý toán – Trường Đại học Sư phạm HàNội 2

Tôi xin cam đoan đề tài: Ứng dụng các trạng thái rối kết hợp đa mode

trong viễn chuyển lượng tử” là kết quả nghiên cứu của riêng tôi Các luận

cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giảkhác Nếu có gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu tráchnhiệm trước hội đồng khoa học

Hà Nội, ngày 25 tháng 12 năm 2012

Học viên

Vũ Thị Thu Thuỷ

MỞ ĐẦU

MỤC LỤC

1 Lý do ch ọn đề tài 1

2 M ục đích nghiên cứ u 3

3 Nhi ệ m v ụ nghiên c ứ u 3

4 Đối tượ ng và ph ạ m vi nghiên c ứ u 3

5 Phương pháp nghiên c ứ u 4

6 Cấu trúc luận văn. 4 NỘI DUNG 5 Chương 1: Giớ i thi ệ u 5

Chương 2: Các khái niệm cơ bản 12 2.1 Bit lượ ng t ử 12

2.2 Đị nh lý không th ể nhân b ả n tr ạng thái lượ ng t ử 15

2.3 R ối lượ ng t ử 16

2.4 T ạ o r ối lượ ng t ử 21

2.5 Trạng thái rối kết hợp 31 Chương 3: Viễn chuyển trạng thái rối kết hợp 2 mode 34 3.1 Vi ễ n chuy ểnlượ ng t ử 34

3.2 Viễn chuyển trạng thái rối kết hợp 2 mode 36 3.2.1 Sơ đồ th ự c hi ệ n 37

3.2.2 Vi ễ n chuy ể n tr ọ n v ẹ n 41

Chương 4: Vi ễ n t ạ o tr ạng thái lượ ng t ử 44

4.1 Đặ t v ấn đề 44

4.2 Viễn tạo trạng thái lượng tử 45 4.3 Vi ễ n t ạ o tr ạng thái lượ ng t ử trong không gian d chi ề u 50

K Ế T LU Ậ N 52

TÀI LI Ệ U THAM KH Ả O 53

DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ

Hình 2.1: Quả cầu Bloch có bán kính đơn vị được dùng để biểu diễn hình học

cho qubit Vị trí của mỗi qubit được xác định qua hai thông số,

θ φ 16Hình 2.2: Trạng thái của bit cổ điển chỉ có thể nằm ở hai cực của quả cầu

Bloch còn trạng thái của qubit có thể nằm ở mọi điểm trên quả cầu Bloch 17

Hình 2.3: Biểu diễn hình học của cổng Hadamard 25Hình 2.4: Biểu diễn hình học của cổng CNOT 25Hình 2.5 : Các mode ánh ánh khi tới bộ tách chùm BS(T) thì bị phản xạ một

phần và truyền qua một phần 27

28

B䆀 i 1⁄2

Piπ⁄2

䆀 䆀

MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài

Sự xuất hiện của vật lý lượng tử và thuyết tương đối là cuộc cách mạngcủa ngành Vật lý học vào cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20 và là cơ sở khoa họccủa nhiều ngành công nghệ cao như: công nghệ điện tử và vi điện tử, côngnghệ viễn thông, công nghệ quang tử, công nghệ tự động hóa, công nghệthông tin… Có thể nói rằng, cơ học lượng tử là một trong những lý thuyếtthành công nhất của thế kỷ 20

Dựa trên các quy luật của vật lý, toán học, khoa học máy tính, kỹ thuật

và sự kết hợp của các chuyên ngành đã tạo nên sự ra đời của khoa học thôngtin lượng tử, một lĩnh vực mới của khoa học Mục đích của khoa học thông tinlượng tử là để hiểu làm thế nào để khai thác và cải thiện một cách tối ưu một

số nguyên tắc cơ bản của vậy lý được phát hiện trước đó có thể áp dụng trongviệc truyền tải và xử lý thông tin Những nguyên tắc cơ bản của lý thuyếtlượng tử được áp dụng vào đó cho phép thông tin được mã hóa trong cáctrạng thái lượng tử có tính chất kỳ lạ và phản giác quan Song, những nghiêncứu gần đây về lý thuyết này đã mang đến nhiều ngạc nhiên Có thể nói sựbùng nổ của khoa học lượng tử thông tin thời gian gần đây là do hai 2 nguyênnhân cơ bản: Thứ nhất, lý thuyết thông tin cổ điển do Shanmon phát minh ranăm 1948 là một nhánh của toán học ứng dụng và kỹ thuật điện, tuy đã mởrộng phạm vi ứng dụng ra nhiều hướng khác nhau như xử lý thông tin, mật

mã học, v v…và đạt được những thành công không thể phủ nhận song nó vẫncòn rất nhiều hạn chế và chính những hạn chế đó đã đặt nền móng cho sự rađời của lý thuyết thông tin lượng tử Thứ hai, sự phát triển của khoa học côngnghệ kèm theo đó là sự xuất hiện của nhiều phòng thí nghiệm hiện đại, tinh vi

có khả năng thực hiện các thao tác và kiểm chứng các hiệu ứng lượng tử tácđộng lên các trạng thái lượng tử đã thực sự có sức lôi cuốn mạnh mẽ các nhàkhoa học tham gia nghiên cứu trên lĩnh vực này Nổi bật nhất là giải NobelVật lý 2012 giành cho Serge Haroche và David J.Wineland, những người đãphát minh ra các phương pháp để thực hiện các thao tác cần thiết trên các hạthoặc các hệ lượng tử riêng lẻ mà vẫn bảo toàn được bản chất lượng tử củachúng [9,10], mở ra một kỷ nguyên mới cho các nghiên cứu sâu rộng vềthông tin lượng tử.

Điều mấu chốt khi tìm hiểu lĩnh vực này là sự tách biệt rõ ràng giữadấu hiệu hàng ngày của thông tin cổ điển và bản đối ứng lượng tử kém trựcgiác của nó Thông tin cổ điển có thể bị đọc và sao chép lại y nguyên màkhông hề để lại một dấu vết nào về sự đọc trộm và sao chép đó Trong khi đó,thông tin lượng tử không thể nào sao chép được nguyên vẹn và bất cứ một sựđọc trộm nào đều có thể bị phát hiện Đây là một đặc điểm rất quan trọng của

cơ học lượng tử mà có thể tận dụng để trao đổi thông tin một cách hoàn toàntuyệt mật Các trạng thái rối lượng tử còn có thể tạo ra một mức độ song songtrong tính toán cao hơn hẳn Đó là các tính toán được thực hiện một cách hoàntoàn mới, gọi là tính toán lượng tử

Trong lý thuyết thông tin cổ điển, đại lượng cơ bản của thông tin là bit,còn trong thông tin lượng tử thì đại lượng cơ bản của nó là bit lượng tử, cònđược gọi là qubit (thuật ngữ này đã được Ben Schuhmacher đưa ra năm1995) Nói chung thông tin lượng tử có thể xem như sự tổng quát hóa hay sự

mở rộng của thông tin cổ điển Bất kì một hệ lượng tử nào cũng có thể xemnhư là một qubit nếu nó được xác định bởi hai trạng thái độc lập tuyến tínhvới nhau Các photon phân cực, các spin ½, các nguyên tử hai mức, các cấutrúc chấm lượng tử kép,…đều có thể sử dụng như các qubit

Mục đích quan trọng trong lý thuyết thông tin lượng tử là làm thế nào

để tạo ra, định hướng và sử dụng rối lượng tử để tạo nguồn tài nguyên choviệc xử lý thông tin lượng tử như việc mã hóa thông tin lượng tử, giải mãthông tin lượng tử, truyền thông tin lượng tử,…Trong đó, các trạng thái rốikết hợp thu hút được sự chú ý của các nhà khoa học bởi khả năng ứng dụngrỗng rãi và hiệu quả của nó

Để có hiểu biết tổng quát hơn về khả năng ứng dụng các trạng thái rối

kết hợp, tôi chọn đề tài “Ứng dụng các trạng thái rối kết hợp đa mode trong

thông tin lượng tử”.

2.Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu các ứng dụng của các trạng thái rối kết hợp đa mode trong cácphương pháp thực hiện viễn chuyển trạng thái lượng tử

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

Từ các khái niệm cơ bản: bit lượng tử, rối lượng tử, trạng thái kết hợp,trạng thái rối kết hợp… và sử dụng các thiết bị quang học tuyến tính, các phép

đo trạng thái giả Bell, toán tử dịch chuyển thích hợp, cổng lượng tử… nghiêncứu ứng dụng các trạng thái rối kết hợp đa mode để tìm ra phương pháp viễnchuyển trạng thái viễn chuyển lượng tử đạt xác suất thành công lớn nhất, thựchiện đơn giản nhất

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Các trạng thái rối kết hợp và ứng dụng các trạng thái rối kết hợp trong viễn

chuyển lượng tử

- Một số thiết bị quang học tuyến tính như: bộ tách chùm, bộ dịch pha,…;

các toán tử dịch chuyển, các toán tử lượng tử, để tính toán cách viễn chuyểntrạng thái kết hợp đa mode

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán,thông tin lượng tử để nghiên cứu ứng dụng các trạng thái rối kết hợp đa modetrong viễn chuyển lượng tử

6 Bố cục luận văn

Chương 1: Giới thiệu

Chương 2: Các khái niệm cơ bản

Chương 3: Viễn chuyển lượng tử trạng thái rối kết hợp sử dụng cácthiết bị quang học

Chương 4: Viễn tạo lượng tử trạng thái rối kết hợp sử dụng toán tửlượng tử

CHƯƠNG 1:

GIỚI THIỆU

Thế kỷ 20 đã chứng kiến sự bùng nổ của vật lý học, trong đó cơ họclượng tử có thể coi là một thành tựu trí tuệ tột đỉnh của thời kỳ này Từ khikhởi đầu cách đây hơn 100 năm về trước, cơ học lượng tử đã trở thành mộtphần cơ bản và cốt yếu trong hành trang của các nhà vật lý Chính xác nguyên

lý của nó đã đặt nền móng cho sự vận hành laser, transistor, hiển vi điện tửhay đi-ốt là các thiết bị điện tử không thể thiếu trong xã hội ngày nay Tuyệtvời hơn nữa là các tính toán của nó đã tiên đoán về tính chất của các hạt cơbản phù hợp với những phép đo thực nghiệm với độ chính xác cao đến kinhngạc Tuy vậy, ngay từ đầu không phải cơ học lượng tử đã được công nhận làmột lý thuyết đầy đủ với tất cả các nhà vật lý Einstein – nhà vật lý vĩ đại củamọi thời đại – đã phủ nhận tính đầy đủ của lý thuyết này Đối với ông, luônluôn tồn tại một hiện thực khách quan, độc lập với nhận thức của chúng ta, dù

ở cấp độ nào vĩ mô hay vi mô Ông phủ nhận tính xác suất của sự tồn tại cáctrạng thái lượng tử với quan điểm “ Chúa không chơi xúc xắc” Đặc biệt năm

1935 cùng 2 đồng nghiệp của mình là Podolsky và Rosen, ông đã công bố bàibáo “ Can quantum-mechanical description of physical reality be consideredcomplete?” [1], trong đó đã vạch ra cái mà tác giả coi như một lỗi lầm có thểchứng minh trong cơ học lượng tử Sự phân tích của EPR yêu cầu chúng taxét hai hạt xuất hiện từ một sự kiện nào đó sao cho một số tính chất của chúngtương quan với nhau, sau đó bay ra xa nhau Nếu đó một tính chất nào đó củamột trong hai hạt ấy thì ngay lập tức sẽ biết tính chất của hạt còn lại Einstein,Podolsky và Rosen lập luận rằng vì điều đó cho phép nhận được sự hiểu biết

của hạt mà không cần trực tiếp quan sát, đo đạc nó nên tính chất của hạt phảithuộc nội tại của nó, nghĩa là nó đã được cố định từ trước như tư duy cổ điểnquy định chứ không phải bất định như trong cơ học lượng tử Mãi đến năm

1964, John Bell mới đưa ra được một bất đẳng thức Bell [2] và thật ngạcnhiên nó lại kiểm chứng được tính đúng đắn trong lập luận của EPR trái vớimục đích ban đầu của Bell là bảo vệ quan điểm của Einstein Nói tóm lại, cơhọc lượng tử là một thuyết đã được kiểm nghiệm rất chi tiết, hữu ích một cáchtoàn diện và đồng thời rất đáng tin cậy Mặc dù đã quen thuộc đến thấu đáonhư vậy nhưng đa phần các nhà vật lý đều thừa nhận rằng họ vẫn chưa hoàntoàn nắm bắt được những điều bí ẩn còn tồn tại trong cơ học lượng tử và sựvận hành nội tại của nó Những thập niên cuối thế kỷ 20 người ta hay nhắcđến thuật ngữ như rối lượng tử (quantum entanglement) [3], viễn chuyểntrạng thái lượng tử ( quantum teleportation) [4-7] hay mật mã lượng tử(quantum cryptography)[8],… Chúng được nhắc đến như những điều kì lạxuất hiện trong khoa học và công nghệ thông tin lượng tử, một lĩnh vực đangthực dự thu hút đông đảo các nhà khoa học trên thế giới trong những thậpniên gần đây

Dựa trên các quy luật của vật lý, toán học, khoa học máy tính và kỹthuật và sự kết hợp của các chuyên ngành đã tạo nên sự ra đời của khoa họcthông tin lượng tử, một lĩnh vực mới của khoa học Mục đích của khoa họcthông tin lượng tử là để hiểu làm thế nào để khai thác và cải thiện một cáchtối ưu một số nguyên tắc cơ bản của vậy lý được phát hiện trước đó có thể ápdụng trong việc truyền tải và xử lý thông tin Những nguyên tắc cơ bản của lýthuyết lượng tử được áp dụng vào đó cho phép thông tin được mã hóa trongcác trạng thái lượng tử có tính chất kỳ lạ và phản giác quan Song, nhữngnghiên cứu gần đây về lý thuyết này đã mang đến nhiều ngạc nhiên Có thểnói gần đây, khoa học thông tin bùng nổ là do hai yếu tố cơ bản Thứ nhất, lý

10

thuyết thông tin cổ điển đã mở rộng phạm vi ứng dụng ra nhiều hướng khácnhau như xử lý thông tin, mật mã học, v v…và đạt được những thành côngkhông thể phủ nhận song nó vẫn còn rất nhiều hạn chế và chính những hạnchế đó đã đặt nền móng cho sự ra đời của lý thuyết thông tin lượng tử Thứhai, sự phát triển của khoa học công nghệ kèm theo đó là sự xuất hiện củanhiều phòng thí nghiệm hiện đại, tinh vi có khả năng thực hiện các thao tác vàkiểm chứng các hiệu ứng lượng tử tác động lên các trạng thái lượng tử đãthực sự có sức lôi cuốn mạnh mẽ các nhà khoa học tham gia nghiên cứu trênlĩnh vực này Nổi bật nhất là giải Nobel Vật lý 2012 giành cho Serge Haroche

và David J.Wineland, những người đã phát minh ra các phương pháp để thựchiện các thao tác cần thiết trên các hạt hoặc các hệ lượng tử riêng lẻ mà vẫnbảo toàn được bản chất lượng tử của chúng [9,10], mở ra một kỷ nguyên mớicho các nghiên cứu sâu rộng về thông tin lượng tử

Theo lý thuyết thông tin cổ điển, đơn vị cơ bản của thông tin là bit một hệ vật lý chỉ tồn tại ở một trong hai trạng thái biểu diễn hai giá trị logickhông hoặc có, đúng hoặc sai hay đơn giản là 0 hoặc 1 Thông tin bất kỳ đều

-có thể biểu diễn bằng các bit dưới dạng một dãy số 0 và 1 Trong các máytính, bit được biểu diễn giống như trạng thái vật lý của một hệ vật lý nhất địnhnào đó Khi thông tin được truyền đi dưới dạng các bit cổ điển thì nó có thể dễdàng bị đọc và sao chép trộm một cách y nguyên mà không bị phát hiện Vìvậy sự truyền thông tin cổ điển là một cách không an toàn Đến năm 1985[12] David Deutsch dựa vào tính chất lượng tử song song [13] đã chỉ ra sự tồntại của máy tính lượng tử với việc xử lý thông tin được mã hóa trong các bitlượng tử một cách hoàn hảo, giải quyết những hạn chế của máy tính cổ điển.Hơn thế nữa, lý thuyết lượng tử còn cho phép tồn tại một trạng thái đặc biệtcủa các qubit đó là trạng thái rối lượng tử, một tính chất lạ, một mối tươngquan phi định xứ vô cùng tinh tế giữa các phần của một hệ lượng tử, điều mà

trong lý thuyết cổ điển không có được Nhờ vào tính chất lỳ lạ đó mà các hạtlượng tử trở nên tương quan mật thiết với nhau đến nỗi mà chúng chia sẻcùng nhau tính chất rất đặc biệt: một phép đo trên hạt này ngay lập tức ảnhhưởng đến hạt kia cho dù chúng ở cách xa nhau bao xa Cách đây vài thậpniên, rối lượng tử trở thành một chủ đề nghiên cứu sâu của các nhà khoa họcquan tâm tới lý thuyết lượng tử và gần đây hơn nữa, nó không những trởthành công cụ để bộc lộ sự huyền bí của cơ học lượng tử mà còn là một nguồntài nguyên vô cùng có giá trị được các nhà khoa học khai thác một cách hữuích, đóng vai trò là điều kiện để hoàn thành nhiều nhiệm vụ mang tính chấtkhông tưởng, ví dụ như: viễn chuyển trạng thái lượng tử [4-7], mật mã lượng

tử [8],…

Xử lý thông tin lượng tử như đã nói ở trên là một lĩnh vực hoàn toànmới có tính chất rộng lớn và bao phủ nhiều vấn đề Bảo mật và truyền tảithông tin là vô cùng quan trọng, nó ảnh hưởng trực tiếp tới sự phát triển kinh

tế - chính trị - xã hội của đất nước Chính vì thế con người phải tìm ta nhữngcách thức để thông tin được bảo vệ và truyền đi một cách an toàn nhấ Sự rađời của máy tính lượng tử đang trở thành một ngành có khả năng thương mạihóa lớn Ngày nay những hệ thống này đã được thí nghiệm thành công trênsợi quang học với độ dài 120km và đã được áp dụng vào các thiết bị bảo vệ

dữ liệu nhạy cảm bằng loại mật mã này vào năm 2004 Đó là những thành tựutrong công cuộc bảo vệ thông tin, tuyền tải thông tin cũng đã cho kết quảkhông ngờ Đầu năm 2012, các nhà nghiên cứu châu Âu đã sử dụng laser đểtruyền thành công một photon từ hòn đảo này tới hòn đảo khác cũng nằmtrong quần đảo Canary Đúng vào lúc một chùm laser mất đi ở quần đảo nàythì một chùm laser giống hệt nó lại xuất hiện ở một quần đảo khác cách đó143km, mặc dù chùm sáng không hề được di chuyển nhưng vì hai chùm sáng

đó giống nhau nên người ta thấy rằng chùm sáng đã được di chuyển tức thời

Các nhà khoa học gọi đó là sự viễn chuyển trạng thái lượng tử, một khái niệmkhi được đã được chứng minh rõ ràng, gây chấn động khoa học hiện đại.Đồng thời họ cũng đã khai thác một hiện tượng kỳ lạ của cơ học lượng tử, đó

là rối lượng tử với sự tác động của một kiểu tương quan mà nó còn mangnhiều bí hiểm chờ đợi các nhà khoa học khám phá

Viễn chuyển trạng thái lượng tử là một giao thức lần đầu tiên được đềxuất vào năm 1993 bởi Bennett cùng 5 cộng sự của ông [4] Đây là ví dụ điểnhình nhất về vai trò của rối lượng tử trong công nghệ truyền thông Bài toánđặt ra là: Alice và Bob là hai người sống ở hai nơi khác biệt, họ không gặpnhau kể từ khi tạo được với nhau một cặp rối Nhiều năm sau đó Alcie đượcgiao nhiệm vụ chuyển cho Bob một trạng thái lượng tử một cách an toàn vànguyên vẹn khi hai người đều không được biết thông tin về nó Đó là một bàitoán thực sự khó bởi theo lý thuyết cơ học lượng tử, một trạng thái lượng tửkhông biết không thể đọc và cũng không thể sao chép được, Alice không thểđọc trạng thái này để gửi thông tin về nó cho Bob Mặt khác, nếu trạng tháinày trực tiếp được gửi đi trong không gian thì nó hoàn toàn có khả năng bịthất lạc hoặc đánh cắp rồi làm giả trạng thái, v.v… May mắn rằng họ đã đượctạo với nhau một cặp rối từ trước nên nhiệm vụ này có thể được hoàn thànhchỉ bằng việc Alice gửi đi một lượng nhỏ bit cổ điển thông báo kết quả phép

đo trên các qubit của mình để Bob thu được trạng thái gốc chỉ bằng các thaotác địa phương Đây là bài toán cổ điển sử dụng rối lượng tử trong việc truyềntải thông tin lượng tử đảm bảo an toàn, chính xác và bảo mật

Việc chuyển thông tin lượng tử khi mà người gửi được biết trạng tháigốc gọi là viễn tạo trạng thái lượng tử (Remote state preparation) [14-17].Trong trường hợp này Alice sẽ thực hiện phép đo của cô ấy trong hai phươngthức viễn chuyển trạng thái lượng tử và viễn tạo trạng thái lượng tử khi cùng

gửi một trạng thái lượng tử thì trong trường hợp viễn tạo trạng thái lượng tửđòi hỏi ít hơn Tuy nhiên trong viễn tạo trạng thái lượng tử, Alice hoàn toànbiết bí mật thông tin đã được mã hóa trong trạng thái lượng tử Nhưng nếunhư Alice là người không đáng tin cậy, cô ấy có thể đem thông tin đó chongười khác biết Vậy làm thế nào để có thể đảm bảo cho việc thông tin cầntruyền đi được bảo mật, thậm chí ngay cả với người được giao trách nhiệmgửi? Phương án đưa ra để giải quyết vấn đề rất đơn giản, chỉ cần đưa thêmvào ít nhất một người nữa có nhiệm vụ gửi thông tin, hay cụ thể là quá trìnhtruyền tin này cần có ít nhất hai người gửi thông tin Thông tin nằm trong một

bộ thông số của các trạng thái cần gửi sẽ được tách ra làm nhiều phần theomột quy luật bí mật nào đó do người giao nhiệm vụ quyết định, và mỗi ngườiđược gửi cho phép chỉ biết duy nhất một phần thông tin đó nhờ vậy tránhđược sự mất toàn bộ thông tin Những giao thức những thực hiện theo ý tưởngnày được gọi là đồng viễn tạo trạng thái lượng tử (Joint remote stateprepatation) [18-34] Từ đây, chúng ta có một bài toán truyền tin mới hấp dẫncác nhà khoa học nghiên cứu tìm ra lời giải

Để hoàn thành bài toán truyền tin theo phương thức đồng viễntạo trạng thái lượng tử, những người gửi và người nhận ban đầu chia sẻ cùngnhau những trạng thái rối giống như nguồn tài nguyên không thể thiếu choquá trình thực hiện Bài toán đòi hỏi chúng ta tìm ra những phương pháp giải

để chuyển một trạng thái lượng tử từ một nơi này đến một nơi khác với nguồnrối ban đầu đơn giản, dễ làm và ít tốn kém nhất Tuy nhiên mục đích lớn nhấtvẫn là đạt được xác suất thành công cực đại Các nguồn rối rất phong phú, họ

có thể tạo với nhau các cặp rối EPR [1], trạng thái rối GHZ Horne-Zeilinger) [35] hay trạng thái W [36], v.v… việc tạo ra và phân phốirối lượng tử là một vấn đề khó và thực sự tốn kém Bởi vì chúng ta không thểtránh khỏi những nguy hiểm khi luôn có kẻ cố tìm cách để phá hỏng trạng thái

(Greenberger-rối cần tạo, điều đó buộc chúng ta phải có những quy trình nghiêm ngặt đểkiểm tra sự chia sẻ các trạng thái cho những người gửi và người nhận Việctạo rối đôi đơn giản và dễ thực hiện hơn rất nhiều so với việc tạo ra các bộ rốinhiều thành phần hơn, bởi các thao tác kiểm tra khi phân phối cho hai ngườiđơn giản hơn và ít tốn kém hơn do đó việc sử dụng nó là đơn giản nhất và cólợi ích hơn về kinh tế.

Các trạng thái rối kết hợp được sử dụng trong thông tin lượng tử rộng rãi,hiệu quả vì các trạng thái này dễ tạo rối, chi phí đầu tư ít, phù hợp với nhiềuphương thức truyền trạng thái lượng tử Trong khuôn khổ luận văn này, chúngtôi chỉ tìm hiểu, nghiên cứu ứng dụng của trạng thái rối kết hợp đa modetrong viễn chuyển lượng tử và viễn tạo lượng tử

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

2.1 Bit lượng tử

Bit lượng tử (quantum bit) hay còn gọi là qubit là khái niệm cơ bản vàquan trọng nhất trong lĩnh vực khoa học thông tin lượng tử khái niệm nàyđược đưa ra lần đầu tiên vào năm 1995 [37] do Benjamin Schuhmacher đềxuất Qubit được sử dụng như một đối tượng dung để truyền tải, lưu dữ và xử

lý thông tin trên cơ sở lý thuyết lượng tử

Trạng thái lượng tử của qubit là một vecto trong không gian Hibert haichiều được biểu diễn dưới dạng

Bit cổ điển chỉ có thể ở một trong hai trạng thái là |0�, |1� nhưngtrạng thái của qubit lại là chồng chập tuyến tính của cả hai trạng thái |0�, |1� do vậy qubit có thể lưu trữ thông tin trong các bit cổ điển và các bitlượng tử đã dẫn đến sự khác nhau về chất ngay từ đầu giữa việc xử lý thôngtin của các máy tính cổ điển với các máy tính lượng tử Với việc tìm ra cácthừa số nguyên tố của một số nguyên dài hàng trăm chữ số, máy tính cổđiển phải mất hàng tỉ năm nhưng máy tính lượng tử hoàn thành công việc

đó trong vài giây Khi quan sát hay đo một bit cổ điển ta luôn thu được giátrị xác định nhưng khi đo một qubit ta sẽ nhận được ngẫu nhiên một tronghai kết quả với xác suất nhất định nào đó Cụ thể, khi ta đo trạng thái (2.1)

thu được ngẫu nhiên một trong hai kết quả |0� với xác suất g hoặc |1�

(2.1) nhiều lần vì sau mỗi lần đo trạng thái ban đầu bị hủy Mọi cố gắng đểgiải mã toàn bộ thông tin nằm trong trạng thái gốc đều thất bại vì ta khôngthể tạo ra một trạng thái giống hệt trạng thái ban đầu do có sự ngăn chặncủa định lý không thể nhân bản một trạng thái lượng tử bất kỳ Như vậyqubit chứa một lượng thông tin khổng lồ nhưng ta chỉ có thể biết hai giá trị

cơ sở của nó, còn các thông tin khác mặc định đã bị ẩn đi Một phép đo lượng

tử giống như một “hộp đen” mà bên trong nó đã xử lý toàn bộ thông tin bị

ẩn nhưng ta không thể tiếp cận mà chỉ có thể biết hai kết quả ở đầu ra

Do thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa và các trạng thái lượng tử chính xáctới một thừa số pha nên ta có thể biểu diễn qubit (2.1) dưới dạng:

| � cos

Bloch |ψ� là vecto r xuất phát từ tâm đến một điểm nằm trên quả cầu

2.1)

Hình 2.1: Quả cầu Bloch có bán kính đơn vị được dùng để biểu diễn hình học cho qubit Vị trí của mỗi qubit được xác định qua hai thông số 䆀,

Về bản chất, mỗi điểm trên mặt cầu biểu diễn cho một trạng thái củaqubit Mà mặt cầu thì có vô hạn điểm, do đó, ta thấy ngay khả năng biểu diễnthông tin lượng tử lên đến vô hạn chứ không phải chỉ là 0 hoặc 1 như bit cổđiển Trong khi đó, xét theo mô hình này, bit cổ điển chỉ có thể là một điểmnằm trên cực của mặt cầu này thôi (hình 2.2)

Hình 2.2: Trạng thái của bit cổ điển chỉ có thể nằm ở hai cực của quả cầu Bloch còn trạng thái của qubit có thể nằm ở mọi điểm trên quả cầu Bloch.

Ngoài ra ta cũng có thể biểu diễn trạng thái của qubit dưới dạng ma trậntọa độ:

2.2 Định lý không thể nhân bản trạng thái lượng tử

Định lý không thể nhân bản trạng thái lượng tử được đưa ra lần đầu tiênvào năm 1982 bởi Wootter và Zurek [38] Nguyên nhân của hiện tượng này là

do tính chất chồng chập của các trạng thái lượng tử

Định lý không thể nhân bản trạng thái lượng tử được phát biểu như sau:Không thể coppy chính xác một trạng thái lượng tử bất kỳ

Định lý này có ý nghĩa quan trọng trong quá trình xử lý thông tin lượng

tử Không thể coppy một trạng thái lượng tử làm cho việc sao chép thông tinlượng tử không thể thực hiện được, dẫn đến quá trình chuyển nó từ nơi nàysang nơi khác được bảo mật sự bảo mật phân phối khóa lượng tử trong thểthức BB84 đã nói ở trên cũng dựa trên tính chất này Alice gửi cho Bob ngẫunhiên một trong bốn trạng thái không hoàn toàn trực giao |0�, |1�, | �, |

� họ có thể tin tưởng rằng không có một phép đo nào có thể lấy được thôngtin mà không làm nhiễu loạn nó Tuy nhiên, điều đáng nói là cho tới năm

1982 định

lý mới chỉ ra nhưng nó lại hoàn toàn phù hợp với mọi quy luật của thuyếtlượng tử đã tồn tại trước đó Nếu có thể coppy được một trạng thái lượng tửthì ta sẽ có vô số bản sao của nó và thực hiên các phép đo lên nó mà khônglàm mất đi trạng thái gốc Như vậy ta có thể xác định được tất cả các thông tincủa một trạng thái lượng tử Định lý trên cho thấy ta chỉ có thể được một phầngiới hạn thông tin về trạng thái lượng tử bất kỳ, nó khác hoàn toàn với lýthuyết cổ điển vì thông tin cổ điển có thể được đọc và sao chép hoàn toàn màkhông hề ảnh hưởng tới trạng thái gốc, vì vậy mà ta chỉ cần một bản sao cổđiển là có thể giải mã đầy đủ thông tin của trạng thái ban đầu Đặc biệt, nếu

có thể sao chép một trạng thái lượng tử bất kỳ thì ta hoàn toàn có thể truyềnthông tin đi nhanh hơn vận tốc ánh sáng trong chân không thông qua việc sửdụng các rối lượng tử, điều này mâu thuẫn với thuyết tương đối của Einstein

Sự phù hợp của định lý với thuyết tương đối đã được chỉ ra trong các bài báo[39-41] Định lý không nhân bản một trạng thái lượng tử cũng ngăn cản các

kỹ thuật sửa lỗi cổ điển trên một trạng thái lượng tử vì không thể sao chép đểtạo ra một bản sao trong quá trình xử lý và tính toán để đem ra sử dụng và sửalỗi Đến năm 1995 Shor đã cung cấp giải pháp sửa lỗi lượng tử đầu tiên đểphát hiện và sửa lỗi một trạng thái lượng tử [42]

2.3 Rối lượng tử

Rối lượng tử là điều bí ẩn tuyệt vời của cơ học lượng tử Nó là mộttrong những nguyên nhân của sự khác nhau giữa cơ học lượng tử và cơ học cổđiển Rối lượng tử là sự tồn tại trạng thái chung của hai hay nhiều hệ lượng tửcon có mối liên hệ rằng buộc với nhau Khi các hạt lượng tử được rối vớinhau thì ta không thể biết được trạng thái riêng của từng hạt mà ta chỉ có thểbiết trạng thái tồn tại chung của chúng Để có thể xác định trạng thái riêng củatừng hạt ta phải thực hiên các phép đo lên nó Trong lý thuyết cổ điển, các hệ

20

con sẽ hoàn toàn độc lập với nhau nếu chúng không có sự tác động của bênngoài liên kết chúng lại, tính chất này cũng đúng với các hệ lượng tử khi màchúng nằm trong những trạng thái hoàn toàn tách rời Tuy nhiên nếu các hệlượng tử bị rối với nhau thì chúng sẽ không còn tồn tại độc lập nữa, Mỗi tácđộng lên hệ con này sẽ ảnh hưởng tức thời tới các hệ con khác Mỗi phép đotrên một hệ con bất kỳ có thể cho nhiều kết quả với xác suất nhất định, từ đó

ta xác định được trạng thái của hạt còn lại Điều thú vị là quá trình này khôngphụ thuộc vào khoảng cách giữa các hệ con

Ta sẽ xem xét một hệ lượng tử như thế nào sẽ được gọi là rối? Ta xét

Sau đây ta xét trường hợp cụ thể đối với hai qubit A và B trong không

|00�, |01�, |10, |11� , khi đó trạng thái tổng quát của hai qubit được viết dưới dạng:

B Thật vậy, nếu αδβγ thì với mọi số phức bất kỳ ta có

Đây là trạng thái tích của hai qubit A và B

trường hợp này, hai qubit A và B rối với nhau

䆀 h

thức tổng quát biểu diễn ngược lại như sau:

Xem xét các công thức trên ta thấy rằng các trạng thái EPR thỏa mãn làcác trạng thái rối Một trạng thái EPR được đặc trưng bởi hai bit thông tin, bit

nhau một trong bốn cặp rối trên thì không thể biết trạng thái rối của cả hệnếu chỉ thực hiện phép đo địa phương lên từng hạt bởi mỗi phép đo chỉ cóthể xác định một phần thông tin của trạng thái, chẵn lẻ hoặc pha Điều này có

ý nghĩa rất quan trọng bởi thông tin được mã hóa trong các trạng thái đó mang

ý nghĩa bảo mật tuyệt đối, ngăn chặn hoàn toàn sự đánh cắp thông tin khi

mà hai hạt được rối với nhau không lại gần nhau

Giả sử Alice muốn chuyển cho Bob hai bit cổ điển thay vì phải chuyển

đi hai qubit thì Alice chỉ phải gửi đi một qubit khi hai người tạo với nhau một

trong bốn trạng thái EPR, |Φ � 4 chẳng hạn Ở đây qubit A của Alcie, Bcủa Bob Alice có thể dùng các toán tử địa phương để chuyển đổi qua lại cáctrạng thái EPR cho nhau.

Sau đây chúng tôi xin giới thiệu thêm về các trạng thái rối khác nhưtrạng thái rối GHZ và trạng thái rối W, đó là các trạng thái rối của ba hạtlượng tử trở lên

Đối với rối ba, GHZ và W có dạng như sau:

䆀

∑䆀

tạo thành tám vecto cơ sở cho phép đo GHZ

Đối với rối nhiều thành phần hơn GHZ và W có dạng:

tử mới chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu thấu đáo độ rối của một hệ lượng tử

gồm hai qubit Việc xác định độ rối đối với trạng thái lượng tử rối nhiều thànhphần như rối ba (GHZ,W) hay trạng thái khóm (cluster states) hay các trạngthái qudit (một hệ lượng tử trong không gian d chiều),… là rất khó và chưađược giải quyết triệt để.

Bây giờ ta xác định độ rối lượng tử của một trạng thái hai qubit a và b

2.4Tạo rối lượng tử

Rối lượng tử là nguồn tài nguyên quan trọng không thể thiết trong quátrình xử lý thông tin lượng tử Tuy nhiên, trong thực tế, việc tạo rối lượng tử

䆀,i

không đơn giản và rất tốn kém cho dù cơ sở lý thuyết cho phép làm được điều

đó Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ dừng lại ở việc trình bày haicách đơn giản để tạo ra các trạng thái rối, đó là dùng các cổng lượng tử vàdùng các thiết bị quang học

*Cách thứ nhất: dùng các cổng lượng tử để tạo các trạng thái rối Đầutiên, muốn tạo được một trạng thái rối EPR ta cần hai qubit a và b có dạng:

thái EPR? Để làm điều đó ta sử dụng một cổng lượng tử Hadamad (H) và một cổng lượng tử controlled- NOT( CNOT)

với hai đầu vào và hai đầu ra, được biểu diễn như sau:

qubit bia Ma trận biểu diễn CNOT có dạng như sau:

ở đầu ra cac trạng thái rối EPR (hình 2.3)

CNOT䆀 gH䆀|1�䆀|

√g

Tương tự, ta sẽ tạo trạng thái rối ba GHZ từ ba trạng thái qubit a,b,c bằng

t䆀 g chỉ tác dụng lên qubit a và dùng qubit b làm bia, một cổng 䆀 à t䆀 l

chỉ tác dụng lên qubit a và dùng qubit c làm bia ta thu được ở đầu ra các trạngthái rối GHZ (hình 2.4)

√g 䆀

√g 䆀

√g 䆀

√g 䆀

CNOT䆀 gCNOT䆀 lH䆀|1�䆀|0�g|

CNOT䆀 gCNOT䆀 lH䆀|1�䆀|1�g|

Như vậy ta đã tạo được trạng thái rối EPR và GHZ bằng các cổng

lượng tử Hadamrd H và CNOT.

Ngoài ra, ta cũng có thể tạo các trạng thái rối từ các thiết bị quang họctuyến tính gồm một bộ tách chùm 50:50, một bộ dịch pha và một trạng tháiban đầu như sau:

là các thừa số chuẩn hóa

Bộ tách chùm là một trong những thiết bị quang quan trọng trong các

sơ đồ tính toán và tạo ra trạng thái rối kết hợp Bộ tách chùm có thể xem nhưmột tấm gương bán mạ Khi ánh sáng đi qua nó thì sẽ bị phản xạ một phần vàtruyền qua một phần Tác dụng chính của bộ tách chùm là trộn hai chùm ánhsáng mode a và mode b lại với nhau và được mô tả bởi toán tử Unita như sau:

trong đó I là toán tử đơn vị, a a và b b là các toán tử hủy (sinh) photon củahai mode chùm ánh sáng tới

lượng bạc phủ lên gương và hướng đặt của nó

䆀

√g 䆀

√g

Hình 2.5 : Các mode ánh ánh khi tới bộ tách chùm BS(T) thì bị phản xạ một

phần và truyền qua một phần

Bộ tách chùm tác dụng lên các mode đầu vào theo hệ thức :

Hoàn toàn tương tự ta có thêm các biểu thức sau:

√Ta |0�䆀|0�c i√1 Tb |0�䆀|0�c

ở đầu ra của nó ta có được trạng thái rối lượng tử (hình 2.6) Mức độ rốiphụ thuộc vào T

Hình 2.6: Trạng thái tích | 1� |0� khi đi qua bộ tách chùm cho trạng thái