Phương pháp xấp xỉ liên tiếp trong lí thuyết phương trình phi tuyến với toán tử (K,Uo) - Lõm chính quy

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp trong lí thuyết phương trình phi 61 tuyến với toán tử K , u0 - lõm chính quy Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67... Tuy nhiên điều kiện u o - đo được trong đ

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sựhướng dẫn của PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơnchân thành, sâu sắc tới PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy, người đã luôn quantâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện luận vănnày

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, các thầygiáo, cô giáo của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo điềukiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thànhluận văn này

Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, Ban giám hiệutrường THPT Đoan Hùng - Phú Thọ cùng bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điềukiện, động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiêncứu

Hà Nội, ngày 27 tháng 6 năm 2012.

Tác giả

Nguyễn Thị Huyền

1

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn của PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy Tôi cũng xin cam đoan rằngmọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thôngtin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Tác giả

Nguyễn Thị Huyền

đầu 5

1.1 Không gian định chuẩn thực 7

1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 8

1.3 Không gian E 10

u0

1.4 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 19

trình phi tuyến với toán tử (K , u0 ) - lõm chính quy

3.1 Sự tồn tại điểm bất động của toán tử ( K , u 0 ) - lõm chính quy 59

3.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp trong lí thuyết phương trình phi 61

tuyến với toán tử (K , u0 ) - lõm chính quy

Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài Trong toán học, vật lí và kĩ thuật có rất nhiều bài toán

mà việc giải quyết chúng đều dẫn đến việc xét các toán tử lõm Chính vì vậy

mà vấn đề này đã được nhiều nhà toán học lớn trên thế giới quan tâm nghiêncứu Năm 1956, nhà toán học người Nga M A Kraxanôxelxki đã khởi đầunghiên cứu về lớp toán tử phi tuyến lõm Tiếp sau đó năm 1984, I A Bakhtin

mở rộng kết quả đến lớp toán tử phi tuyến (K , u0 ) - lõm Tuy nhiên điều

kiện u o - đo được trong định nghĩa toán tử (K , u0 ) - lõm khiến cho việc ứngdụng các kết quả đã đạt được theo hướng này gặp khó khăn đối với nhữnglớp toán

tử không thỏa mãn điều kiện kể trên nhưng lại có tính chất phổ dụng như toán

tử (K , u0 ) - lõm

Năm 1987, PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy đã mở rộng các kết quả đối vớitoán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới: Toán tử lõm chính quy, trong đó

không yêu cầu toán tử có tính chất u o - đo được

Với mong ước tìm hiểu sâu sắc hơn về lớp toản tử phi tuyến này, nhờ sự giúp

đỡ, hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy, tôi đã

mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Phương pháp xấp xỉ liên tiếp trong lí thuyết phương trình phi tuyến với toán tử (K , u0 ) -lõm chính quy”, trong đó không yêu cầu lớp toán tử (K , u0 ) - lõm chính quy có tính chất u o - đo được

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống, chi tiết

về phương pháp xấp xỉ liên tiếp trong lí thuyết phương trình phi tuyến với

toán tử (K , u0 ) -lõm chính quy

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

- Tìm hiểu về toán tử (K , u0 ) -lõm chính quy

- Tìm hiểu về tính hội tụ của phương pháp xấp xỉ liên tiếp trong lí thuyết

phương trình phi tuyến với toán tử (K , u0 ) -lõm chính quy

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về phương pháp xấp xỉ liên

tiếp trong lí thuyết phương trình phi tuyến với toán tử (K , u0 ) -lõm chính quy

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu các tài liệu tham khảo

- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Giả thiết khoa học (hay những đóng góp mới)

Nghiên cứu: “Phương pháp xấp xỉ liên tiếp trong lí thuyết phương trình phi tuyến với toán

tử (K , u0 ) -lõm chính quy” sẽ cho ta hiểu sâu sắc hơn về

vấn đề này Hơn nữa, kết quả thu được sẽ mở rộng cho lớp các toán tử khác.Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho những vấn đề toán họctương tự khác

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian định chuẩn thực

Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn thực (hay không gian tuyến

tính định chuẩn thực) là không gian tuyến tính X trên trường số thực ¡ cùng với một ánh xạ từ X vào tập ¡ , kí hiệu là (đọc là chuẩn), thỏa mãn các

điều kiên sau đây

Số x -gọi là chuẩn của véc tơ x

Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn tương ứng là X Các tiên đề (i) , (ii)

và (iii) gọi là các tiên đề chuẩn.

là hội tụ tới điểm x Î

Định nghĩa 1.4 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu

mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

n n =

n n =

Định nghĩa 1.5 Không gian Banach X gọi là không gian Banach thực nếu

X là không gian con định chuẩn thực Không gian Banach thực thường kí hiệu bởi E

1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

1.2.1 Nón trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.6 Cho không gian Banach thực E Tập con khác rỗng K Ì E

gọi là một nón, nếu K thỏa mãn các điều kiện sau đây

(N 1) K là một tập đóng trong không gian E ; (N 2 ) " x

1.2.2 Quan hệ sắp thự thự trong không gian Banach thực Giả sử E là không

gian Banach thực, K là một nón trong không gian E Ta đưa quan hệ sắp thứ

tự vào không gian E như sau

Với x, y Î

E ta viết x £ y nếu y - x Î K Khi đó quan hệ " £ " là

một quan hệ sắp thự trên E Thật vậy, ta có

+ Tính chất phản xạ: Với mọi x Î E thì hiển nhiên x £ x , vì

Điều này mâu thuẫn với giả thiết y £ x

Do đó, quan hệ " £ " là quan hệ sắp thứ tự trên không gian E với nón K Lúc này, ta nói không gian E cùng với nón K trở thành không gian Banach

sắp thứ tự bộ phận hay không không gian Banach nửa sắp thứ tự

Từ định nghĩa, dễ dàng suy ra các tích chất đơn giản sau (ngoài các tính chất

và khái niệm đã biết trong lí thuyết tập hợp)

x 0

t + u0signt Î K ; với mọi t Î ¡ Cho t ® ¥ , do K là tập đóng, ta được u0 Î K và - u0 Î K Mâu thuẫn với tính chất của nón K Vì vậy , tồn tại số thực t nhỏ nhất sao cho x 0

£

tu 0

Tính chất 4 Giả sử u0 Î K , x 0 Î

E

sao cho $t0 > 0, x 0 ³ - t0u0 Khi đó,

tồn tại số thực nhỏ nhất t sao cho x0 ³ - tu0 Thật vậy, vì

b(x ) 12

có tính chất u0 - đo được Khi

(i) E là không gian tuyến tính con của E Thật vậy, ta có

max {inf(t1 + t3 ), inf(t2 + t4

Ngược lại, nếu x Î E *

hay x * - đo được thì ($t ¢

n ynEE

yn

n yn E

xn

xn E

Định nghĩa 1.3.1 Cho không gian Banach thực E với nón K Nón K được

gọi là nón chuẩn nếu tồn tại số d > 0 sao cho với mọi e1,e2 Î K mà

e1 = e2 = 1 thì ta có

e1 + e2 ³ d

Định lí 1.3.1 Giả sử K là một nón trong không gian Banach thực E Khi

đó, K là một nón chuẩn khi và chỉ khi

E ,(y n )n = 1 Ì

xn E

- xn

xn E

xn

xn E

xn

xn E

- xn

xn E

- xn

xn E

gn gn E

hn hn E

gn gn E

hn hn E

gn gn E

hn gn E

hn hn E

hn gn E

- xn

xn E

y n

n y n E

= 1 -

E

= 1 -

= 1 + 1 .

n E

20

xn E

xn

xn E

gn

gn E

hn

hn E

Suy ra

- h n E

= 1 + 1 ,

n E

Vì vậy, K là nón chuẩn.

Định nghĩa 1.3.2 Cho không gian Banach thực E với nón K Chuẩn trên

không gian E gọi là nửa đơn điệu, nếu tồn tại N > 0 sao cho với mọi

Chứng tỏ, chuẩn trên không gian E là nửa đơn điệu.

Ngược lại, giả sử chuẩn trên không gian E là nửa đơn điệu Khi đó, theo tính

chất của nửa chuẩn đơn điệu

($N

> 0)(" x, y Î K : x £ y) x £ N y .

³ 1 =

d > 0

Vậy K là nón chuẩn.

Định lí 1.3.3 Nếu K là nón chuẩn trong không gian Banach thực E , thì

không gian E là không gian Banach theo u - chuẩn.

hội tụ trong E Vậy

0 E là không gian Banach theo

-1.4 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

1.4.1 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự £

1.4.1.1 Không gian Banach thực £

Trong không gian các số phức £ ,

hội tụ của dãy số(z )¥ trong £ tương đương với sự hội tụ của hai dãy số

hội tụ tới z khi n ® ¥ .

1.4.1.2 Nón trong không gian Banach thực £ Trong không gian Banach

£ , tập

K = {z Î £ : Re z

³ 0, Im z ³ 0}

là một nón Thật vậy, hiển nhiên K ¹ q vì 0 Î K

(i) Lấy dãy

x, y n ® y (n ® ¥ )

2 + 2 )(x1 y1(x + y )2 + (y + y )2

Chọn d = 1 ta suy ra e1 + e1 ³ d Vậy K là một nón chuẩn.

1.4.1.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự £ Không gian £ cùng

với nón K là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự.

00

Vậy , không gian £ cùng với nón K là một không gian Banach thực nửa sắp

Theo mục 1.4.1.2 ta đã biết K là nón chuẩn, nên theo định lí 1.3.3 thì

không gian Banach theo u0 - chuẩn

1.4.2.1 Không gian Banach thực l2 Ký hiệu

0

l2 = ïìí x

=ï

Khi đó, công thức (1.7) xác định một chuẩn trên l2 Thật vậy

+ Với mọi x Î l2 do chuỗi

(x ) Î

n n =

(x ) Î

Vậy công thức (1.7) xác định một chuẩn trên l2 .Tiếp tục ta chứng minh l2 là

không gian Banach Thật vậy, giả sử x (k )

å

n = 1

2 (k + p) -(k )

x

2 ¥

(x ) Î

å

n = 1

2 (k ) -(0)

xn xnĐiều đó, suy ra rằng

Chọn d = 1 ta nhận được e1 + e2 ³ d Vậy K là một nón chuẩn.

1.4.2.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự l2 K là một nón trong

không gian l2 , nên không gian l2 cùng với nón K là một không gian Banach

thực nửa sắp thứ tự Để chứng minh điều đó, trước hết ta chú ý rằng, với

+ Trước hết, với mọi x Î l 2,u thì x Î l2 và x có tính chất u0 - đo được.

Do đó tồn tại t > 0 sao cho

Vì K là nón chuẩn theo mục 1.4.2.2 , nên theo định lí 1.3.3 ,

gian Banach theo u0 - chuẩn

1.4.3.1 Không gian định chuẩn c0 Cho tập hợp

Định lí 1.4.1 Không gian tuyến tính c0 cùng với ánh xạ xác định bởi hệ thức

lập thành một không gian định chuẩn.

Chứng minh Dễ dàng thấy công thức (1.11) cho ánh xạ từ c0 vào ¡ , thật

Ta kiểm tra các tiên đề về chuẩn

(i) Với mọi

n n = 1 c0 và mọi l Î ¡ , ta có sup l x n =

kì trong c0 Khi đó, với mọi e >

dương p sao cho

0 tồn tại số nguyên dương m

Từ đó, suy ra với mỗi n cố định tùy ý dãy (x

bản, nên phải tồn tại giới hạn

0 tồn tại n Î ¥ * sao

x (m1 )

< e; với mọi n ³ n 0.Như vậy

c0 , tập hợp

K = {x = (x n ) Î c0 : x n ³ 0, " n Î ¥ *}

là một nón Thật vậy, hiển nhiên K Ì

các điều kiện còn lại đối với nón

< e; với mọi m ³

m 0

Do đó

Tập K thỏa mãn 4 điều kiện về nón nên K là một nón trong không gian c0 .

Ta chứng minh K là một nón chuẩn.Thật vậy, giả sử x =

x n , y = y n là haiphần tử tùy ý trong K ;x £

y Khi đó ta có

0 £ x n £ y n , " n

=

1, 2,

+ Trước hết, với mọi x Î c

0,u0 thì x Î c0 và x có tính chất u0 - đo được

n Î I1hay Þ - tu n

Vì K là nón chuẩn theo mục 1.4.3.2, nên theo định lí 1.3.3,

gian Banach theo u0 - chuẩn

c 0,u là không

{ n

{ n

0

Chương 2 TOÁN TỬ (K , u

2.1. Toán tử (K , u0 ) - lõm

) - LÕM CHÍNH QUY

2.1.1 Các định nghĩa Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

nhờ nón K Ì

E , A là toán tử phi tuyến ánh xạ không gian E vào không gian

E , q là kí hiệu phần tử không của không gian E

Định nghĩa 2.1.1 Toán tử A được gọi là dương trên nón K , nếu A K Ì K

Toán tử A được gọi là dương nghiêm ngặt trên nón K , nếu với mọi

b(x ) > 0 : au

0 £ x £ bu0

61

Tiếp theo, ta chứng minh từ x ³ ty Þ t < 1 Thật vậy, do x -

t ¹ 1 Giả sử t > 1 , đặt l = a - b

a - bt

a

y ÷÷+ l (x -

Do K là một nón trong không gian E , nên K là tập đóng trong E Do đó

2.1.3 Ví dụ về toán tử (K , u0 ) -lõm Trong không gian Banach thực nửa sắp

ìï ỉ ỉ ưx

÷ự

ta có k Î

I1

k Î I 1

¥

)

Như vậy Ax £ Ay và A là toán tử đơn điệu trên nón K

æ öx k

çè5ø÷

ç

÷

k

+ Tiếp theo ta chứng minh " t Î

(0, 1) có A tx > tA x

í çç5ï

ïïî 0

ln 1

-æ1öt

x k t

ln 1 > 0

çè5÷ø

ïï

÷

÷

÷

2.2.1 Định nghĩa 2.2.1 Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

nhờ nón K Ì E , A là toán tử phi tuyến ánh xạ không gian E vào không gian

E , q là kí hiệu phần tử không của không gian E , u0 là phần tử nào đó thuộc

K \ {q}

Toán tử A gọi là (K , u0 ) -lõm chính quy nếu

1 A là dương và đơn điệu trên nón K ;

2 " x

Î K \ {q}, " t

Î

(0, 1), A tx > tA x;

• Do A là toán tử dương, nên

Theo tính chất của toán tử A, $d > 0 sao cho

Điều đó, mâu thuẫn với tính chất cực đại của số t0 , vì (t0 + db - 1)

ï av £ x £ bv

Þ

ìïï x > 0í

ï

Như vậy A tz

>

tA z.

> 0 sao cho Az - tA w > du0 .

max( 3 u 2 , 3 v2 )

Vì vậy A là toán tử (K , u0 ) - lõm chính quy

+ Tuy nhiên toán tử A không có tính chất

u0 - đo được với bất kì

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ LIÊN TIẾP TRONG LÍ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VỚI

3.1 Sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K , u0 ) -lõm chính quy

Định lí 3.1.1 Giả sử toán tử A : E ®

1)A là toán tử (K , u0 ) - lõm chính quy và bị chặn trên bởi

x n + 1 ³ x n ³ t n x Þ t n + 1

³

t n (n = 1, 2, )

Ta nhận được dãy (t n ) tăng, bị chặn trên, nên tồn tại lim t n = g £ 1 , số

) ³ t n g

1)A là toán tử (K , u0 ) - lõm chính quy và bị chặn trên bởi

u0

trên nón K ;

96

1

Khi đó toán tử A có điểm bất động trong K (u0 )

97

Chứng minh Theo giả thiết dãy (x n ) tăng và chứa dãy con (x

hội tụ theo u0 - chuẩn tới x

Chứng minh Đầu tiên ta giả sử x 0

trong đó r =

Từ đó

0 0

lõm, toán tử u0 - lõm … Từ đó trình bày và chứng minh một số tính chất

điểm bất động của toán tử (K , u0 )- lõm chính quy, xây dựng các ví dụ về toán

tử (K , u0 )-lõm và toán tử (K , u0 )-lõm chính quy

Chương 3: Luận văn đã mở rộng các kết quả đối với toán tử lõm cho lớp

toán tử phi tuyến mới: Toán tử (K , u0 )- lõm chính quy, trong đó không yêu

cầu toán tử có tính chất u0 - đo được, những kết quả về sự tồn tại điểm bấtđộng với toán tử lõm chính quy và phương pháp xấp xỉ để tìm điểm bất động của lớp toán tử này

Rất cảm ơn đã nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn đồngnghiệp để luận văn của tôi được hoàn thiện như thế này

A Tiếng Việt

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học kĩ thuật Hà Nội [2] Nguyễn Phụ Hy (2007), Bài tập Giải tích hàm, Nxb Khoa học kĩ thuật Hà