Phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình toán tử vi phân tuyến tính

Phươngphápgiáibàitoánbiênđoiváip hươngtrìnhtoántNviphânthưàngtuye ntính Trưóckhinghiêncúuvecácphươngphápgiáibàitoánbiênđoivóiphươngtrình toántúviphân thưòngchúngtacùngtìmhieum®tsovanđeve

Lu¾nvănđưochoànthànhtaitrưòngĐaihocSưphamHàN®i2dưóis n hưóngdanc n a thaygiáoP G S T S KhuatVănNinh.S n giúpđõvàhưóngdant¾ntìnhs o n g ratnghiêmtúcc n a thaytrongsuotquátrìnhthnchi¾nlu¾nvănnàyđãgiúptácgiátrưóngthànhhơnratnhieutrongcáchtiepc ¾ n m®tvanđemói.Tácgiáxinbàytólòngbietơ n , lòngkínhtrongs â u s a c nhatđoivóithay

Tácgiáxintrântrongc á m ơ n B a n giámhi¾utrưòngĐaihocSưphamHàN

®i2,phòngSauđaihoc,c á c thayc ô giáotrongnhàtrưòngvàcácthaycôgiáodaycaohocchuyênngànhToángiáitíchđãgiúpđõ,taođieuki¾nthu¾nloichotácgiátrongsuotquátrìnhhoct¾p

Tácgiáxinchânthànhc á m ơ n P h ò n g G D –

ĐThuy¾nSócSơn,Bangiámhi¾u,các thaycôgiáo,đongnghi¾ptrưòngTHCSNamSơnc ùnggiađình,ngưòithân,banbèđãgiúpđõ,đ®ngviênvàtaođieuki¾nthu¾nloiđetácgiáhoànthànhkhóahocT h a c s ĩ vàhoànthànhlu¾nvănnày

HàN®i,ngày25tháng11năm2013

Tácgiá

HànTh%M¾n

Lu¾nvănđưochoànthànhtaitrưòngĐaiHocSưphamHàN®i2dưóisnhưóngdancnaPGS.TS.KhuatVănNinh

Tôixincamđoanlu¾nvănlàcôngtrìnhnghiêncúucnariêngtôi.Trongquátrìnhnghiêncúuvàhoànthànhlu¾nvăntôiđãkethùanhungthànhquákhoahoccnacácnhàkhoahocvàđongnghi¾pvóisntrântrongvàbietơ n Tôixinc a m đo

anrangc á c thôngtintríchdantronglu¾nvănđãđưocchírõnguongoc

HàN®i,ngày25tháng11năm2013

Tácgiá

HànTh%M¾n

iii

2 Phươngpháp giáibàitoánbiênđoiváiphươngtrìnhtoán

2.1 Phươngtrìnhviphânthưòngtuyentínhcapn 18

2.1.1 M®tsokháini¾mvephươngtrìnhviphânthưòng 18 2.1.2 Phươngtrìnhviphântuyentính 20

2.2 M®ts o phươngphápc u thegiáibàitoánbiênđoivóiphươngtrìnhto ántúviphânthưòngtuyentính 26

2.2.1 Giáiđúngbàitoánbiên 26

2.2.2 Phươngpháps a i phân 29

2.2.3 Phươngphápkhúl¾p 30

2.2.4 Phươngphápban 33

2.2.5 PhươngphápRitz(phươngphápbienphân) 34

2.2.6 PhươngphápG a l e r k i n 43

3 Úngdnngcúam®tsophươngphápgiáibàitoánbiênđoiváiphươn gtrìnhviphânthưàngtuyentính 45 3.1 Giáiđúngbàitoánbiên 45

3.2 Úngdungc n a phươngpháps a i phângiáibàitoánbiên 48 3.3 Úngdungcnaphươngphápkhúl¾pgiáibàitoánbiên 50 3.4 Úngdungc n a phươngphápbangiáibàitoánbiên 51

3.5 Úngdungc n a phươngphápRitzgiáibàitoánbiên 54 3.6 ÚngdungcnaphươngphápGalerkingiáibàitoánbiên 59

iv

1 Lýdochonđetài

Phươngtrìnhtoántúviphânlàm®ttrongnhunglĩnhvncquantrongcnatoánhochi¾nđai.Ratnhieuvanđecnatoánhoc,v¾tlý, đeudanđenvi¾cgiáiphươngtrìnhtoántúviphân.Tùth¾pký70,ngưòitađãchúýnhieuđenvi¾cxâydnnglíthuyetvebàitoánbiênđoivóiphươngtrìnhtoántúviphân.Nhieuphươngphápkhácnhauđãđưocđưaras ú dungtrongvanđenày.Thídu:lýthuyettoántúFredholm,phươngphápthamsonhó,phươngphápTôpô, T ù quanđiemđươngthòi,cóthenóirangphươngphápgiáitíchhàmvàphươngphápTôpôlànhungphươngpháphuudungnhat.Quanhungúngdungcótínhh¾thongcn ac ácphươngphápnày,cơ s ó líthuyetvebàitoánbiênchom®tlópr®ngphươngtrìnhtoántúviphânđãđưocxâydnng.Vóimongmuontìmhieusâuhơnvebàitoánbiênđoivóiphươngtrìnhtoántúviphân,trongđieuki¾ncóhan,ólu¾nvănnàyt

3 Nhi¾mvnnghiêncNu

Nghiêncúum®tsophươngphápgiáiđúngvàgiáixapxíbàitoánbiênđoivóiphươngtrìnhviphânthưòngtuyentính

4 ĐoitưangvàphamvinghiêncNu

Phươngphápgiáiđúngbàitoánbiênđoivóiphươngtrìnhviphânthưòngtuyentính

6 PhươngphápnghiêncNu

Súdungcáckienthúc,phươngphápcnaĐaisotuyentính,Giáitíchhàm,Giáitíchso

Sưutam,nghiêncúucáctàili¾uliênquan

Suylu¾nlogic,phântích,tonghopvàh¾thonghoá

K×X→X (λ,x)›→λ.x

Đ%nhnghĩa1.1.9.Dãyđiem {x n }cúakhônggianđ

%nhchuanXđưocgoilàh®itntóiđiemx∈Xneu

⇒"e2"=1vàh¾{e1,e2}trncchuan.

Bangquynaptaxâydnngđưoch¾(e n)n≥1 ⊂ Hvói

e n = y n "y n "

,y n =x n − .( x n ,e i )e i ,n=1,2,

i=1

H¾trênlàh¾trncchuan

1)A (x1+ x2)=A(x1)+A(x2),∀x1,x2∈X

ToántúliênhopBthưòngkýhi¾ulàA ∗

Đ%nhlý1.2.5.ChoAlàtoántútuyentínhb

%ch¾nánhxakhônggianHilbertXvàokhônggianHilbertY.Khiđótontaitoán túA ∗ liên hopvóitoántúAánhxakhônggianYvàokhônggianX.

(p n)2=p n , p n F=F n ,(n=1,2, )

Phươngtrình(1.5)đưocthaytheganđúngbóiphươngtrình

p n (Lu n −f)=0,u n ∈E n (1.6)

n→∞ "u n −u m "=0.DoHlàkhônggianBanachvàtínhđóng

cnakhônggianconH0tađưocl i m

Phantúy trongbieudien(1.7)c ò n đưocgoilàphantúc n a H0ganphantúxnh attheonghĩa

d(x,y)="xưy"≤"xưu"=d(x,u),∀u∈H0 Takýhi¾uy=Pxvành¾nđưoctoántútuyentínhliêntucPánhxaHlênH0,"P

P)nghĩalà∀x,y∈H,(P x,y)=(x,P y).

Th¾tv¾y,giás ú x =u+v,y= r+svóiu , r∈H0,v,s⊥H0⇒Px=

h . Bieuthúc

!

n n

n

∀α,β∈R;∀f,g⇒∆(αf+βg)=α∆f+β∆g 2) Neuc=constthì∆c=0.

5) f(x+nh)= .C i ∆ i f(x).

i=0 n

Phươngphápgiáibàitoánbiênđoiváip hươngtrìnhtoántNviphânthưàngtuye ntính

Trưóckhinghiêncúuvecácphươngphápgiáibàitoánbiênđoivóiphươngtrình toántúviphân thưòngchúngtacùngtìmhieum®tsovanđevephươngtrìnhviphânthưòngtuyentính

- Neuhàmcantìmphnthu®cvàohaihaynhieubienđ®cl¾ptacóphươngtrìnhđaohà mriêng.

- Phươngtrìnhviphânthưòngb¾cnlàm®th¾thúccódang:

F(x,y,y r ,y rr , ,y (n))=0 (2.1)

18

trongđóxlàbienđ®cl¾p,ylàhàmcantìm.Neutù(2.1)tagiáirađưocđaohàmcap caonhat,túclàphươngtrình(2.1)códang

Tuynhiêncónhungnghi¾mcúaphươngtrìnhkhôngnh¾nđưoctùnghi¾mtongquátt agoilànghi¾mkìd%.

%nhnghi¾mtongquáty = ϕ (x,C1,C2, C n )cúaphươngtrìnhđótrongmienD.

Đ%nhnghĩa2.1.4.Hàmf(x,y1,y2, y n )xácđ%nhtrongmienD⊂R n+1 đưocgoilàthoámãnđieuki¾nLi psit theocácbieny1,y2, y n neutontaihangso

L > 0 saochođoivóihaiđiembatkì( x,y1,y2, y n)∈ D,

(x,y1,y2, y n)∈Dtacóbatđangthúc

2.1.2 Phươngtrìnhviphântuyentính

Cácphươngtrìnhviphânmàbieuthúclàtuyentínhđoivóianvàđaohàmc n anóđưocgoilàphươngtrìnhviphântuyentính

y (n)+p1(x)y (n−1)+p2(x)y (n−2)+ +p n 1(x)y r + p n (x)y=0 (2.6)

Đ¾tL n [y]=y (n)+p1(x)y (n−1)+p2(x)y (n−2)+ +p n

Vídn2.1.1.Bahàm:y1(x)=e −3x ,y2(x)=cos2x,y3(x)=sin2xlàcác nghi

¾mcnaphươngtrìnhthuannhatcapba

y(3)+3y rr + 4y r + 12y=0

Tùđ%nhlý2.1.2.tathayto

hoptuyentínhbatkìcnabanghi¾my1,y2,y3y(x)=−3y1(x)+3y2(x)

−2y3(x)=−3e −3x + 3cos2x−2sin2x

- NeuW= 0thìy1,y2, ,y n phnthu®ctuyentính.

- NeuW ƒ=0thìy1,y2, ,y n đ®cl¾ptuyentính.

y n =0

dC1

y r dx

dC i DoW[y1,y2, ,y n]ƒ=0nênh¾trêngiáiraduynhatcác

dx, (i=0,1,2, ).

(2x−1)+2xe −2x e −2x

.−2e −2x −e −2x (2 x−1).

=−e−4x (2 x−1)+2xe −4x =(−2x+1+2x)e−4x = e −4x

VìWƒ=0nên{y1(x),y2(x)}đ®cl¾ptuyentính.Nghi¾mtongquátc n a phươ

ngtrình(2.8)là

C1(x)=− ¸

1

1

e −4 x

2.2 M®tsophươngphápcnthegiáibàitoánbiênđoivái

phươngtrìnhtoántNviphânthưàngtuyentính

Trongphannàygiásúcóđnđieuki¾nđecácbàitoánbiêntontaivàduynhatnghi¾m

2.2.1 Giáiđúngbàitoánbiên

Chophươngtrình

P0(x)y rr + p1(x)y r + p2(x)y=f(x),x0≤x≤x1 (2.9)

%cuthecnahangsobatkì(neuđieunàyc ó the)trongbieuthúcc n a nghi¾mtongquát.

p0(s

),nghĩalà

G(s+0,s)=G(s−0,s),

G r (s+0,s)=G r0(s−0,s)+ 1 (2.12)HàmG (x,s)c ó cáctínhchattrênđưocgoilàhàmG r i n c n a bàitoánbiên(2.9)–

( 2 1 0 ) M u o n xâydnnghàmG r i n c n a bàitoánbiên(2.9)

–

(2.10),trưóchettìmhainghi¾mkhôngtamthưòngy1(x),y2(x)c n a phươngtrìn

h(2.11)thoámãntươngúngc á c đieuki¾nbiênthúnhatvàthúhaic n a (2.10).Neu

y1(x)khôngđongthòithoámãncá haiđieuki¾nbiênthìhàmGrin tontaivàcó th

etìmdưóidang

.ay

1(x) (x0≤x≤s), G(x,s)=

by2(x) (s≤x≤x1) (2.13)

λ2+4=0⇒λ=±2iNghiêmriêngcn aphươngtrình(2.14)là

Nhưngm®tsolóncácbàitoánbiênchúngtakhônggiáichínhxácđưoc.Vìv¾ychúngtađưavàocácphươngphápgiáiganđúngbàitoánbiên

L(y(x))≡y rr + p(x)y r + q(x)y=f(x),a≤x≤b

l0(y(a))≡α0y(a)+β0y r (a)=γ0,

a i phân

3) Tìmnghi¾mcnalưocđosaiphân.Nhưv¾ytaxácđ

%nhđưocnghi¾mxapxícnabàitoánbiên.Solưongvàphânbocácnútlưóiphuthu®cvàoyêucauđ®chínhxáccnanghi¾mcnabàitoán.Thôngthưòngngưòitaxâydnnglưóiđeu

2.2.3 PhươngphápkhNl¾p

Vóiphươngphápnàytathayc á c đaohàmbangc á c týs a i phânđeđưoch

¾bađưòngchéo.Tieptheotađưah¾bađưòngchéoveh¾haiđưòngchéonhòm®t

“bưócthu¾n”.Sauđóđưah¾haiđưòngchéoveh¾đưòngchéobang“bưócngưoc”.Cuthenhưsau:

Xétbàitoánbiên

L(y(x))≡y rr + p(x)y r + q(x)y=f(x),a≤x≤b

l0(y(a))≡α0y(a)+α1y r (a)=A,

y i+1 =c i (d i −y i+2 )(i=0,1,2, ,n−2) (2.22)

Các soc i ,d ilan lưotđưoctínhtheocôngthúcsau:Vóii=0

%donhailan.Vi¾ctínhtoánó quátrìnhthu¾nt r ư ó c tiêntínhcács o c i ,d itheochie

utăngc n a cácchís o i ,trongđót r ư ó c tiênđetínhc0,d0pháis ú dungđieuki¾nbiên

ó đaumúttráic n a đoanlaytíchphân.é quátrìnhngh

%ch,t r ư ó c tiêns ú dungđieuki¾nbiênbênpháiđetínhy n,s a u đótheoc ô n g thúc

truyhoiđetìmy itheo chieugiámc n a chís o i

2.2.4 Phươngphápban

Phươngphápnàykháđơngiánvàthưòngđưocsúdungđegiáibàitoánbiêntuyentính.Đegiáibàitoánbiên

y rr = p(x)y r + q(x)y+r(x), a≤x≤b, y(a)=α,y(b)=β

(2.28)bangphươngphápnày,trưóchettađưavegiáibàitoángiátr

%banđauu rr = p(x)u r + q(x)u+r(x),a≤x≤b,u(a)=α,u r (a)=0 (2.29)

v rr = p(x)v r + q(x)v, a≤x≤b, v(a)=0,v r (a)=1 (2.30)

Giás ú u (x),v(x)lanlưotl à nghi¾mc n a c á c bàitoán(2.29),

v(b) v(b)=u(b)+βưu(b)=β.

Nhưv¾ybàitoánbiên(2.28)dedàngđưocgiáiquyetbangcáchgiáicácbàitoángiátr%banđau(2.29),(2.30)vàtínhtheocôngthúc(2.31)

Phươngpháptrênkháđơngián,hi¾uquávàchísúdungý tưóngc n a phươngphápban– đólàđưavec á c bàitoángiátr%banđautươngúng.

2.2.5 PhươngphápRitz(phươngphápbienphân)

Trongkhiphươngphápbanđưabàitoánbiênvecá c bàitoángiátr

%banđautươngúng,phươngphápsaiphânxapxícáctoántúviphânliêntuctrongphươngtrìnhbóicácsai phânhuuhanròiracthìphươngphápbienphântiepc¾nbàitoánbiêntheom®thưóngkhác.Vi¾cgiáibàitoánbiênđưocđưavevi¾clnachonhàmlàmcnctieum®ttíchphânxácđ

%nhtùt¾ptatcácáchàmkhávivàthoámãncácđieuki¾nbiên.Vìv¾ytrưóchettađitìmhieuve“dãycnctieuhoá”

• DãycNctieuhoá

Giás ú H làkhônggianH i l b e r t thnc,A làtoántútuyentínhxácđ

%nhtrênm®tt¾phopH Atrù m¾tkhapnơitrongH.Xétphươngtrìnhtoántú

trongđóf ∈Hlàphantúchot rư ó c , x ∈H Alàphantúc a n tìm.M ® t trongnhungphươngphápđegiáiphươngtrình(2.32)làchuyenbàitoánvegiáiphươngtrìnhtoántúvebàitoántìmc n c tieuc n a phiemhàm.Tasechúngminhrangtontaim®tphie

mhàmJ(x)saochonghi¾mcnaphươngtrình(2.32)làc n c tieuc n a phiemhàm

J (x)vàn gư o c lai.

Ngoàirađoivóiphươngtrìnhtoántú,khikhôngtìmđưocnghi¾mchínhxác,taxâydnngdãynghi¾mxapxíh®ituđennghi¾mchínhxácthìbàitoáncnctieun

gưòitacũngxâydnngđưocdãy(x n)h®ituđenđiemmàhàmsođatcnctieu.Vóicáchlàmtrên,tasúdungđưoccácketquánghiêncúuvebàitoántìmcnctieucnaphiemhàm,óđócáccôngcusúdunglàcácđaohàm,viphânc á c phiemhàm.Đieunàytươngtntronglýthuyethàmbien

PhươngphápRitzđưoctrìnhbàydưóiđâys e nóivevi¾ctìmnghi¾mphươngtrìnhtoántúthôngquavi¾ctìmc n c tieuc n a phiemhàm

Đ

%nhlý2.2.1.GiásútoántúAdươngvàđoixúng.Neuphươngtrình(2.32)cónghi

¾mx=x ∗ ,thìtaigiátr%đóphiemhàm

J(x)=(Ax,x)−2(f,x) đatgiátr

=J(x ∗ )+2(Ax ∗ − f,h)+(Ah,h)=J(x ∗ )+(Ah,h).

Do(Ah,h)≥0⇒J(y)≥J(x ∗ )cónghĩalàtaix ∗ phiem hàmJ (x)đatgiátr

%cnctieu

Ngưoclaigiás ú taix ∗∈ H Anào đóphiemhàmJ (x)đatgiátr%c n c

tieu.Laym®tphantútuỳýy∈H Avà m®tsotuỳýλ∈R.Dolàkhônggianconnên

x ∗ + λy∈H A ,J(x ∗ + λy)≥J(x ∗ ),∀λ∈R,∀y∈H A (2.33)

Tacó

J(x ∗ + λy)= (A(x ∗ + λy),x ∗ + λy)−2(f,x ∗ + λy)

=(Ax ∗ ,x ∗ )+2λ(Ax ∗ ,y)+λ2(Ay,y)−2(f,x ∗)−2λ(f,y)

=J(x ∗ )+2λ(Ax ∗ − f,y) +λ2(Ay,y).J(x ∗ + λy)−J(x ∗ )=2λ(Ax ∗ − f,y)

(Ax ∗ − f,Ax ∗ − f)=0="Ax ∗ − f 2

chonênAx ∗= f.V¾yx ∗lànghi¾mcnaphươngtrình(2.32).Đ

®h®itnđưocxácđ%nhbóiđangthúc

"x n −x ∗ "≤ 1

[J(x n)−J(x∗ )], trongđóγ làm®thangsodươngnàođó.

J(x n)−J(x∗)≥γ"xn −x ∗2Haylà

2

"x n −x ∗ " ≤ γ J(x n)−J(x)Đ%nhlýđưocchúngminh

Tùđ

%nhlýnàysuyrarang,cóthelaynghi¾mganđúngcnaphươngtrình(2.32)làm®tp

hantútuỳý x ncna dãycnctieuhoáphiemhàmJ(x),vóin đnlón.

Bâygiòtachuyens a n g xâydnngdãyc n c tieuhoá

Giású{ϕn }làm®tdãycácphantútrongH Athoámãncáctínhchatsau:

a) Moit¾pc o n huuhanc n a dãynàyđeutaonênm®th¾đ®cl¾ptuyentính;

b) Vóimoiε>0vàmoiphantútuỳýx ∈H Ađeu tìmđưocm®tsom

%nhdươngtrongH A Giásúx,y∈H A.Khiđó

+¸x r y r dt+¸

qxydt=xy r | T

T T

Đegiáiganđúngbàitoán(2.42)chícanxâydnngdãycnctieuhoácnaphiemhàmJ (x) Laym®tdãynhunghàmkháviliêntuctrênđoan[0,T],ϕ1(t),ϕ2(t), ,ϕ n (t)

Giás ú trênđoan[ a,b]chodãyhàm{ ϕ n (x)} n=1,∞ thoámãnđieu

Úngdnngcúam®tsophươngphápgiái bàitoánbiênđoiváiphươngtrìnhviphâ nthưàngtuyentính

y= C1

2 x2+C2 45

y rr + 1−x2 y − r 1−x2 y=−1−x

− 2e

Tathayy1=x làm®tnghi¾mc n a phươngtrình(3.6).T h e o đ

%nhlýLiouvillethìnghi¾my2đưoctínhnhưsau

x3y(x)= x+

x3y(x)= x+

Giái.C h i a đoan[ 1 ; 1,4]thành4 đoanbangnhauvóih = 0 ,1,x i =

1+0,1i.

Đ¾tx=x ithay(3.8)bangtýsaiphântađưoc

3.3 ÚngdnngcúaphươngphápkhNl¾pgiáibàitoánbiên

Bàitoán3.4.Giáibàitoánbiên

y rr − 2xy r − 2y=−4x y(0)−y r (0)=0;y(1)=1+e=3,718 (3.9)

⇒y i+2 −2y i+1 +y i −0,2x i (y i+1 −y i)−0,02yi =−0,04x i

⇒y i+2 −(2+0,2x i )y i+1 +(0,98+0,2x i )y i =−0,04x i

i x i m i k i f i Quátrìnhthu¾n Quátrìnhngh%ch y(x i)

K u t t a b¾c4 vóibưóch =0,2đetìmcácnghi¾msou i (x),(i=

{u i+ w i }đưoctínhtrongbáng3.2

x i u i w i y i =u i +w i

0,0 1,250000 0,000000 1,2500000,2 1,220131 0,097177 1,3173080,4 1,132073 0,194353 1,3264260,6 0,990122 0,291530 1,2816520,8 0,800569 0,388707 1,1892761,0 0,570844 0,485884 1,0567281,2 0,308850 0,583061 0,8919111,4 0,022522 0,680237 0,7027591,6 -0,280424 0,777413 0,4969891,8 -0,592609 0,874591 0,2819822,0 -0,907039 0,971767 0,0647282,2 -1,217121 1,068944 -0,1481772,4 -1,516639 1,166121 -0,3505182,6 -1,799740 1,263297 -0,5364432,8 -2,060904 1,360474 -0,7004303,0 -2,294916 1,457651 -0,8372653,2 -2,496842 1,554828 -0,9420143,4 -2,662004 1,652004 -1,0100003,6 -2,785960 1,749181 -1,0367793,8 -2,864481 1,846358 -1,0181234,0 -2,893535 1,943535 -0,950000

x2ln(1+x2)

2

tađưocketquáchobóibáng3.3

x i

y i

h=0,2

y(x i)nghi¾mđúng

y(x i)−yisaiso

x i

y i h=0,1

y(x i)nghi¾mđúng

y(x i)−yisaiso0,0 1,250000 1,250000 0,000000 0,0 1,250000 1,250000 0,000000

0,1 1,291116 1,291117 0,0000010,2 1,317308 1,317350 0,000042 0,2 1,317348 1,317350 0,000002

0,3 1,328986 1,328990 0,0000040,4 1,326426 1,326505 0,000079 0,4 1,326500 1,326505 0,000005

0,5 1,310508 1,310514 0,0000060,6 1,281652 1,281762 0,000110 0,6 1,281756 1,281762 0,0000060,8 1,189276 1,189412 0,000136 0,8 1,189404 1,189412 0,0000081,0 1,056728 1,056886 0,000158 1,0 1,056876 1,056886 0,0000101,2 0,891911 0,892086 0,000175 1,2 0,892076 0,892086 0,0000101,6 0,496989 0,497187 0,000198 1,6 0,497175 0,497187 0,0000122,0 0,064728 0,064931 0,000203 2,0 0,064919 0,064931 0,0000122,4 -0,350518 -0,350325 0,000193 2,4 -0,350337 -0,350325 0,0000122,8 -0,700430 -0,700262 0,000168 2,8 -0,700273 -0,700262 0,0000113,2 -0,942014 -0,941888 0,000126 3,2 -0,941895 -0,941888 0,0000073,6 -1,036779 -1,036708 0,000071 3,6 -1,036713 -1,036708 0,0000054,0 -0,950000 -0,950000 0,000000 4,0 -0,950000 -0,950000 0,000000

báng3.3

3.5 ÚngdnngcúaphươngphápRitzgiáibàitoánbiên

Bàitoán3.7. Giáibàitoánbiên

xrr =(t2+3)x+2t, x(0)=x(1)=0 (3.17)

Khiđóbàitoán(3.17)cóthevietdưóidangtoántú

Ax=−f TachúngminhAlàtoántúđoixúngxácđ

%nhdươngtrongH A Giásúx,y∈H A.Khiđó

.(t2+3)x2+4xt .dt

2t5 2t4.dt = −1

15

1

3 1

1

4 1

=

0 15

b

Ápdungcôngthúc:a ik=¸

a L(ϕ k )ϕ i (x)dxtac ó

15V¾ynghi¾mganđúngcnabàitoán(3.18)là:

y(x)=x+24.x2− 3.−17.x3− 4.y(x)=−17x3+24x2+x−4.

Ápdungc ô n g thúc:

b

a ik =¸

a L(ϕ k )ϕ i (x)dxtac ó

c3=3

Vóikhánăngvàthòigiancóhan,chacchanlu¾nvănkhôngtránhkhóinhungthieusót.Kínhmongquýthaycôvàcácbangópýđelu¾nvănđưochoànthi¾nhơn.Tôixinchânthànhcámơn.

[5]NguyenPhuHy(2005),Giáitíchhàm,NXBKhoahocvàkythu¾tHàN®i [6]HoàngXuânSính(2008),Đaisođaicương,NXBGiáoduc.

[7]LêĐìnhTh%nh,Đ¾ngĐìnhChâu,LêĐìnhĐ

%nh,PhanVănHap(2001),Phươngtrìnhsaiphânvàm®tsoúngdung,NXBGiáoduc

[10]D.Rusell,M M M a t t h e i j (1995),NumericalSolutionofBoundaryVal ueProblemsforOdinaryDifferentialEquation,bytheSocietyf o r I n d u s t

r i a l andAppliedM a t h e m a t i c s

[11]R.SVarga(1971),FunctionalAnalysisandApproximationTheoryinNu mericalAnalysis,bySIAM,Philadelphia,Pensylvania.

[12]V.K Ivanov,I V.Melnikova,A.I