Sáng kiên kinh nghiệm:Rèn kĩ năng giải hệ phương trình

Hệ phương trình đại số là mảng kiến thức quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, nó thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi học sinh giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. Mặc dù học sinh được cọ sát phần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thường lúng túng trong quá trình tìm ra cách giải

TÓM TẮT SÁNG KIẾN

1. Hoàn cảnh ra đời

Hệ phương trình đại số là mảng kiến thức quan trọng trong chươngtrình toán học phổ thông, nó thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi học sinhgiỏi các cấp, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Mặc

dù học sinh được cọ sát phần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thườnglúng túng trong quá trình tìm ra cách giải

Trong chương trình Đại số 9 - học kì II, xác định hệ phương trình bậcnhất hai ẩn là một trong những kiến thức quan trọng Bởi lẽ đây cũng là mộttrong những nội dung trọng tâm ôn tập theo định hướng trong tài liệu củaSGD để ôn thi vào 10 THPT hàng năm

Với tất cả những lí do nêu trên Tôi quyết định chọn chuyên đề “Rèn kĩ

năng giải hệ phương trình” trong khuôn khổ chương trình bậc THCS

2. Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến

Để thực hiện đề tài này, tôi thực hiện nghiên cứu tại đơn vị công tác làTrường THCS Cụ thể là những học sinh lớp 9, HS tham gia đội tuyển họcsinh giỏi Toán của trường và của Huyện, ôn thi vào THPT

3. Nội dung sáng kiến

Sáng kiến kinh nghiệm của tôi về mặt hình thức là không mới Cái mới

ở đây chính là sự phân loại có tính chất xuyên suốt chương trình nhưng vẫnbám vào các kĩ thuật quen thuộc, phù hợp với tư duy của học sinh Thêm vào

đó, với mỗi bài toán đều có sự phân tích, có sự tổng quát và điều đặc biệt làcho học sinh tìm ra cái gốc của bài toán, các bài toán từ đâu mà có, người ta

đã tạo ra chúng bằng cách nào Mỗi dạng toán đều có phương pháp giảichung, hệ thống các bài tập được sắp xếp từ dễ đến khó, nhằm mục đích làmtài liệu để học sinh có thể luyện tập, bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn tập thi vào

trường THPT

Thông qua các việc làm thường xuyên này, học sinh đã dần dần thíchnghi một cách rất tốt, có tư duy sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra cácbài toán mới Học sinh thường hiểu sâu có kĩ năng giải các bài tập về hệphương trình và có hứng thú khi học phần này

4. Kết quả đạt được của sáng kiến

Sáng kiến được áp dụng đã mang lại cho cho học sinh có thói quen tổngquát bài toán và tìm ra bài toán xuất phát Thông qua việc tìm ra bài toán gốc,việc tổng quát bài toán, việc tạo ra bài toán mới, dần dần hình thành cho các

em khả năng làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực của họcsinh theo đúng tinh thần phương pháp mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo Điềuquan trọng là tạo cho các em niềm tin, hứng thú khi học tập bộ môn và pháttriển được năng lực của học sinh

5. Đề xuất, kiến nghị để thực hiện áp dụng sáng kiến

Giáo viên phải tích cực đầu tư thời gian nghiên cứu phương pháp dạyhọc, các kiến thức cơ bản về hệ phương trình, các dạng toán có liên quan tới

hệ phương trình đối với học sinh lớp 9 để nâng cao hiệu quả dạy học, giúphọc sinh giải thành thạo các bài toán về hệ phương trình

Ban giám hiệu phải quan tâm, đôn đốc sát sao quá trình áp dụng sàng kiến kinh nghiệm

Học sinh phải tích cực, chủ động tiếp thu kiến thức, chuẩn bị đầy đủdụng cụ trong học tập

Tăng cường, khuyến khích các sáng kiến cấp trường và triển khai ngayvào thực tế giảng dạy

Phần 2: MÔ TẢ SÁNG KIẾN

1 HOÀN CẢNH NẢY SINH SÁNG KIẾN

Hệ phương trình đại số là mảng kiến thức quan trọng trong chươngtrình toán học phổ thông, nó thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi học sinhgiỏi các cấp, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Mặc

dù học sinh được cọ sát phần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thườnglúng túng trong quá trình tìm ra cách giải Nguyên nhân là vì:

Thứ nhất, hệ phương trình là mảng kiến thức phong phú và khó, đòi hỏingười học phải có tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhiều mảng kiến thức khácnhau, có sự nhìn nhận trên nhiều phương diện

Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần này khá đơn giản, các tài liệutham khảo đề cập đến phần này khá nhiều song chưa có sự phân loại các dạngtoán, nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, định hình và chưa có cái nhìntổng quát về hệ phương trình

Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quentổng quát bài toán và tìm ra bài toán xuất phát, chưa biết được bài toán trongcác đề thi do đâu mà có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đãgây khó khăn cho các em

Để đảm bảo phù hợp với điều kiện thực tế nhà trường trong việc chỉđạo hoạt động dạy học: Thực hiện việc dạy các chủ đề tự chọn bám sát chomôn toán ở tất cả các khối lớp thông qua tứng chuyên đề gắn với trọn tâmkiến thức

Trong chương trình Đại số 9 - học kì II, xác định hệ phương trình bậcnhất hai ẩn là một trong những kiến thức quan trọng Bởi lẽ đây cũng là mộttrong những nội dung trọng tâm ôn tập theo định hướng trong tài liệu củaSGD để ôn thi vào 10 THPT hàng năm

Với tất cả những lí do nêu trên Tôi quyết định chọn chuyên đề “Rèn kĩ

năng giải hệ phương trình” trong khuôn khổ chương trình bậc THCS.

Mặc dù đã có sự đầu tư và thu được những thành công đáng kể song vìđiều kiện thời gian còn hạn chế nên sự phân loại có thể chưa được triệt để vàchỉ mang tính chất tương đối, rất mong được sự đóng góp của các bạn đồngnghiệp và những người yêu thích môn toán để đề tài này có ý nghĩa thiết thựchơn trong nhà trường Góp phần nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dụcTHCS Giúp các em có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toán liên quanđến hệ phương trình trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp và thi tuyển vàoTHPT, đồng thời bước đầu trang bị cho các em kiến thức về toán trong nhữngnăm học THPT

Đưa ra hệ thống các các dạng bài tập liên quan đến hệ phương trình có

sự sắp xếp hợp lôgíc về mặt tư duy kiến thức bộ môn

Xây dựng được hệ thống các bài tập phù hợp với đối tượng học sinhtheo từng phương pháp cụ thể, nhằm giúp học sinh có được bài tập luyện tậpkhắc sâu kiến thức, giáo viên giảng dạy có được hệ thống bài tập minh hoạphong phú cho từng phương pháp

3 CƠ SỞ NGHIÊN CỨU

3.1 Cơ sở tâm lí

Theo tâm lí học lứa tuổi, học sinh trung học cơ sở đang có sự thay đổilớn về tâm sinh lí Tính nết các em thay đổi thất thường, tính tò mò, hiếuđộng, ham hiểu biết Các em đang bắt đầu “tập làm người lớn” nên rất tíchcực tham gia vào các hoạt động học tập sáng tạo, độc lập Đó chính là tiền đề

cho sự tự giác, tự khám phá và phát hiện kiến thức mới nếu có sự định hướng

và khai thác của giáo viên

3.2 Cơ sở thực tiễn

Chúng ta đều biết, mọi học sinh có sức học bình thường dều có khảnăng nắm bắt được các kiến thức, kĩ năng chuẩn trong chương trình THCS.Hiện tượng có không ít học sinh học kém toán và sợ học toán hiện nay donhiếu nguyên nhân: Phần lớn các em chưa có phương pháp học tập tốt, chưa

có điều kiện để học tập tốt, có nhiều lỗ hổng kiến thức, năng lực tư duy kém,

… Và một phần do giáo viên chưa tìm ra phương pháp dạy học phù hợp dànhcho những đối tượng đó Do vậy mỗi giáo viên phải có trách nhiêm làm saocho mọi học sinh đều nắm bắt được những kiến thức kĩ năng tối thiểu Để làmđược điều đó giáo viên phải lựa chọn nội dung, lựa chọn phương pháp giảngdạy sao cho phù hợp với từng tiết, đặc biệt là những tiết luyện tập Bởi vìnhững tiết luyện tập giúp các em củng cố, khắc sâu kiến thức và rèn luyệnđược những kĩ năng giải toán Nếu giáo viên thực hiện tốt điều đó thì chắcchắn sẽ không còn học sinh yếu toán, chán học toán và sợ học toán nữa

3.3 Cơ sở giáo dục

Những kết quả nghiên cứu của giáo dục học cho thấy kết quả giáo dục

sẽ cao hơn nếu quá trình đào tạo được biến thành quá trình tự đào tạo, quátrình giáo dục được biến thành quá trình tự giáo dục

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây:

– Phương pháp nghiên cứu lý luận – Phương pháp khái quát hóa– Phương pháp khảo sát thực tiễn – Phương pháp kiểm tra

– Phương pháp phân tích – Phương pháp quan sát

– Phương pháp tổng hợp – Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

5 CÁC GIẢI PHÁP VÀ BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.

5.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN

5.1.1 Định nghĩa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng ' ' '

5.1.3 Nghiệm của hệ phương trình

- Nếu (x0; y0) là nghiệm chung của hai phương trình thì (x0; y0) được gọi

là nghiệm của hệ phương trình

5.1.4 Số nghiệm của hệ phương trình

- Thay (*) vào phương trình (1) của hệ ta được: 3x 2 5 2  x 4  7x 14.

- Theo quy tắc thế hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y ;  2; 1 

* Ta thường chọn ẩn có hệ số là 1 hay (-1) (nếu có) hoặc chọn ẩn có hệ

số nhỏ hơn để rút ẩn này theo ẩn còn lại cho việc tính toán đơn giản hơn

5.2.2 Phương pháp cộng đại số

Cách giải

- Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (Nếu cần) sao cho các hệ số của biến x (hoặc y) trong hai phương trình của hệ là bằng nhauhoặc đối nhau

- Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó

có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phươngtrình một ẩn)

- Giải phương trình một ẩn vừa thu được, rồi suy ra nghiệm hệ đã cho

Hướng dẫn: - Ta thấy hệ số của biến y ở cả hai phương trình nhỏ hơn, vì vậy

ta chọn hệ số của biến y để cân bằng hệ số

- Vì BCNN(2; 1) = 2, nên chỉ nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2, ta

được hệ tương đương:

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y ;  2; 1 

* Chú ý: Trước khi thực hiện phép nhân hai vế của các phương trình của hệ

với các hệ số, ta cần quan sát để tìm ra các số thích hợp Việc làm này đôi khi giúp ta tìm được cách giải ngắn gọn hơn Chẳng hạn:

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

x 5y 7 (1) 3x 2y 4 (2)

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

18x 3y 21 (1) 12x 15y 99 (2)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y ;  2; 5 

Cách 2: Vì BCNN (3;15) = 15 nên ta có thể nhân hai vế của (1) với 5 để có hệ:

- Ý tưởng chung của hai phương pháp cộng đại số và phương pháp thế

là đưa từ việc giải hệ hai phương trình với hai ẩn về việc giải một hệ phươngtrình trong đó có một phương trình với một ẩn mà ta đã biết cách giải.Ý tưởngnày được vận dụng trong việc giải hệ nhiều phương trình với nhiều ẩn số

- Số nghiệm của phương trình một ẩn này quyết định số nghiệm của hệphương trình

Trên cơ sở này nó sẽ giúp giải quyết các bài toán về hệ phương trình

5.3 MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

5.3.1 Dạng I: Xác định số nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ 1: Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích?

Hướng dẫn: Vì bài toán này không được giải hệ phương trình mà phải đoán

số nghiệm của mỗi hệ phương trình nên ta phải dựa vào các hệ thức về số

nghiệm của hệ phương trình Muốn vậy ta phải tính các tỉ số '

a

1 1 ' 2 2

b b





1 2

a

1 1 ' 1

a

1 ' 3

b

b  ;

2 1 ' 2

a) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm

c) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm

Hướng dẫn: Ta thấy với m = 0 thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.Với m 0 thì:

a) Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất 

1 1

m m



 m 2 1  m 1Vậy với m 1 thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

b) Hệ phương trình vô nghiệm 

m

m m

Vậy với m 1 thì hệ phương trình vô nghiệm

c) Hệ phương trình có vô số nghiệm 

m m

5.3.2 Dạng II: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng hai phương pháp thông thường

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:

x R x y

Hướng dẫn: Ta thấy các hệ số của các biến chưa là số nguyên, ta nên đưa các

hệ số về số nguyên để việc giải hệ phương trình đơn giản hơn

Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) = (6; 1)

* Lưu ý: Trong trường hợp các hệ số của các biến là số thập phân, hoặc phân

số ta nên đưa về hệ số nguyên

Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau:

2 2

3

2 3 3

2

x x

Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) = 0;3  5

5.3.3 Dạng III: Giải hệ hai phương trình đưa được về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

+) Phương pháp khai triển bỏ dấu ngoặc – rút gọn.

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:

Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) = 0;0

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau: a)

2 2

2 3 5 5

a b

a b

x y

Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) = 5;3

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau: a)

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm (x; y) = 1; 3 ; 1; 1 ; 3; 3 ; 3; 1 

* Nhận xét Qua ví dụ trên ta thấy: từ một hệ phương trình đơn giản, bằng

cách đổi biến số, ta thu được một hệ phức tạp Vậy đối với một hệ phức tạp ta

sẽ nghĩ đến phép đặt ẩn phụ để hệ trở nên đơn giản

* Chẳng hạn xuất phát từ hệ phương trình đơn giản:

- Thay a x 22 ,x b y vào hệ (I) ta được hệ (1) 1

2 x 2x y 1 0

3 x 2x 2 y 1 7 0

- Thay a x 2 2 ,x b2x y vào hệ (I) ta được hệ (2)

2 2

* Như vậy, với hệ xuất phát (I), bằng cách thay biến ta thu được rất nhiều hệ

pt mới Thay hệ xuất phát (I) bằng hệ xuất phát (II)

tự như trên ta lại thu được các hệ mới khác Chẳng hạn:

- Thay a = a x 1 ;b y 2 vào hệ (II) ta được hệ

x y x x

- Thay a x 22 ,x b y 22x vào hệ (II) ta được hệ (5)

Như vậy, nếu chúng ta biết cách tạo ra bài toán thì chúng ta có thể nghĩ

ra cách giải của những bài toán khác

5.3.4 Dạng IV: Giải và biện luận số nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 1: Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình sau theo tham số



 Hệ có nghiệm duy nhất: (x; y) = (

2m+3 m+2 ; 2

m m

Với m = - 2 thì phương trình (3) trở thành 0x = 4 (Vô lí) Hệ vô nghiệm

Vậy: - Nếu m ¿ ± 2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x, y) = (

2m+3 m+2 ; 2

m m

- Nếu m = - 2 thì hệ vô nghiệm

* Chú ý: Sử dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình trên, bắt

buộc ta phải nhân hai vế của một trong hai phương trình với m nên vẫn có thểmắc thiếu sót nếu như không phân biệt trường hợp m = 0 hay m  0 Vì vậy

ta nên giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế.

- Việc giải và biện luận hệ phương trình theo tham số là quan trọng Nó

giúp ta tìm được điều kiện của tham số để hệ phương trình có một nghiệm, vônghiệm, vô số nghiệm Để từ đó là cơ sở giải tiếp các bài toán có liên quan tớinghiệm của hệ phương trình

5.3.5 Dạng V: Một số bài toán về điều kiện nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

+) Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm cho trước.

Cách giải thông thường:

- Thay giá trị của x; y vào hệ phương trình đã cho ta được hệ phương trình mới (ẩn là tham số cần tìm giá trị)

- Giải hệ phương trình mới, ta tìm được giá trị của tham số

Hướng dẫn: Thay x = 2 và y = - 1 vào hệ đã cho ta được:

thức, bất đẳng thức cho trước.

Cách giải thông thường:

- Giải hệ phương trình đã cho theo tham số, ta tìm được x; y theo tham số

- Thay x; y vào đẳng thức, bất đẳng thức, ta được phương trình, bất

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn x + y > 0

Hướng dẫn: Cộng hai vế của (1) và (2) ta có phương trình: (2m+1)x=m+3 (3)

- Nếu 2m + 1 = 0  m =

1 2



 hệ đã cho tương đương với:

3 3

Hướng dẫn: Ta giải (I) theo m được

2 1

Nghiệm này thỏa mãn hệ thức x2 – 2y2 = 1 nghĩa là 4m2 – 2(m - 1)2 = 1

Giải phương trình ẩn m được 1 2

Hướng dẫn: Giải hệ phương trình theo m, ta được y m 1, x 2m 1

2 30 (2 1)2 (2 1)( 1) 30

x xy  m  m m   2m2  m 10 0 

2 5 2

m m

Cách giải thông thường:

- Giải hệ phương trình đã cho theo tham số, ta tìm được x; y theo tham số

- Thay x; y vào biểu thức (cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất), ta được mộtbiểu thức ẩn là tham số cần tìm

- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức mới, ta tìm được giá trị của tham số