Đối đạo hàm của ánh xạ nón pháp cho các tập lồi đa diện có tham số và ứng dụng

Dưói vi phân b¾c hai cna m®t hàm thnc suy r®ng qua m®t đoi đaohàm cna ánh xa dưói gradient đe xuat bói Mordukhovich đưoc nh¾n bietnhư là m®t công cu huu hi¾u đe nghiên cúu nhieu van đe q

Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sưpham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc đã tao đieu ki¾n thu¾n loi trong quátrình tác giá hoc t¾p và nghiên cúu.

Hà N®i, ngày tháng năm 2012

Tác giá

Bùi Tháo Nhung

LèI CAM ĐOAN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Quang Huy

Tác giá xin cam đoan rang so li¾u, ket quá nghiên cúu và các thôngtin trích dan trong lu¾n văn là trung thnc

Hà N®i, ngày tháng năm 2012

Tác giá

Bùi Tháo Nhung

Limsup giói han trên theo nghĩa Painlevé - Kuratowski

N (x¯; Ω) nón pháp tuyen Mordukhovich cna Ω tai x¯

Nˆ (x¯; Ω) nón pháp tuyen Fréchet cna Ω tai x¯

∂f (x) dưói vi phân Mordukhovich cna f tai x

∂ ∞ f (x) dưói vi phân suy bien cna f tai x

∂ˆf (x) dưói vi phân Fréchet cna f tai

Mnc lnc

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Xét t¾p loi đa di¾n có nhieu bói m®t ánh xa tuyen tính có dang

đưoc goi là ánh xa nón pháp cna t¾p loi đa di¾n phu thu®c tham so.

Dưói vi phân b¾c hai cna m®t hàm thnc suy r®ng qua m®t đoi đaohàm cna ánh xa dưói gradient đe xuat bói Mordukhovich đưoc nh¾n bietnhư là m®t công cu huu hi¾u đe nghiên cúu nhieu van đe quan trongtrong toi ưu và giái tích bien phân Đe có thêm thông tin chi tiet nhungphát trien gan đây và các bình lu¾n ve dưói vi phân b¾c hai, đ®c giá cóthe tham kháo trong [11] Quan tâm chính cna chúng tôi trong lu¾n vănnày liên quan tói vi¾c tính dưói vi phân b¾c hai cna hàm chí cna các t¾ploi đa di¾n mà khói đau nghiên cúu bói Dontchev và Rockafellar [2], và





n

áp dung đe kháo sát tính on đ%nh nghi¾m cna bài toán bat đang thúcbien phân có tham so.

Sn can thiet cna vi¾c tính đoi đao hàm Fréchet và đoi đao hàmMordukhovich cna ánh xa nón pháp tuyen F vùa đưoc trình bày và tháo

lu¾n trong [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19] Trong

trưòng hop ma tr¾n D là m®t ma tr¾n đơn v%, Yen và Yao [18, 19] lan

đau tiên thiet l¾p đưoc m®t vài đánh giá trên ho¾c đánh giá dưói đoiđao hàm Fréchet và đoi đao hàm Mordukhovich cna ánh xa nón pháptuyen F Sau đó dưói m®t đieu ki¾n đ®c l¾p tuyen tính liên quan

đen các ràng bu®c hoat, Nam [12] đã cho các công thúc chính xác tínhđoi đao hàm Fréchet và đoi đao hàm Mordukhovich cna F Gan đây

các ket quá trong [12] vùa đưoc phát trien hơn nua bói Qui [14, 15, 16]

và Trang [17], ó đó đieu ki¾n đ®c l¾p tuyen tính đưoc thay bói đieu ki¾nđ®c l¾p tuyen tính dương Hơn nua, Qui [15] đã trình bày m®t côngthúc chính xác tính đoi đao hàm Fréchet cna F , và sau đó m®t công

thúc chính xác tính đoi đao hàm Mordukhovich cna F đã đưoc thiet

l¾p trong [6] mà không đòi hói bat kì m®t giá thuyet chính quy nào

Chúng ta de dàng thay rang các ket quá trong [6, 15] không the áp dnng đe tính đoi đao hàm Fréchet và đoi đao hàm Mordukhovich cúa F neu D không có ma tr¾n ngh%ch đáo vi¾c thiet l¾p đưoc

công thúc chính xác tính đoi đao hàm Mordukhovich cna F là m®t khâu quan trong giúp đat đưoc đieu ki¾n can và đú cho tính Lipschitz kieu Aubin cúa ánh xa nghi¾m cúa cúa bài toán bat đang thúc bien phân có tham so:

Tìm x ∈ Θ(ω) sao cho (f (x, ϑ), u − x) ≥ 0 ∀u ∈ Θ(ω) (0.2) ó đó f : R n × R m → R n là hàm khá vi liên tuc Đe tài “Đoi đao hàm cúa ánh xa nón pháp cho các t¾p loi đa di¾n có tham so

và Nng

dnng” nham thiet l¾p công thúc chính xác tính đoi đao hàm cna ánh

xa F xác đ%nh trong (0.1) và đ¾c trưng can và đn cho tính Lipschitz

kieu Aubin cna ánh xa nghi¾m cna bài toán bat đang thúc bien phân cótham so (0.2)

2 Mnc đích nghiên cNu

Muc đích cna đe tài là nghiên cúu tìm công túc chính xác tính đoiđao hàm Fréchet và đoi đao hàm Mordukhovich cna F xác đ%nh trong

(0.1) và đieu ki¾n can và đn đ¾c trưng tính Lipschitz kieu Aubin cho ánh

xa nghi¾m cna bài toán bat đang thúc bien phân có tham so (0.2)

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Tìm hieu ve giái tích bien phân và đao hàm suy r®ng, cu the là

lý thuyet đoi đao hàm cna Mordukhovich Thiet l¾p công thúc chínhxác tính đoi đao hàm Fréchet và đoi đao hàm Mordukhovich cna F xác

đ%nh trong (0.1) Đưa ra đ¾c trưng can và đn cho tính Lipschitz kieuAubin cho ánh xa nghi¾m cna bài toán bat đang thúc bien phân cótham so (0.2)

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Giái tích bien phân và đao hàm suy r®ng, đai so tuyen tính, quyhoach toán hoc, lý thuyet toi ưu, toi ưu có tham so và tính on đ%nhnghi¾m

5 Phương pháp nghiên cNu

Sú dung các phương pháp nghiên cúu trong giái tích bien phân vàđao hàm suy r®ng, đai so tuyen tính, giái tích đa tr%, giái tích loi và lýthuyet toi ưu

6 Giá thiet khoa hoc (hay nhÑng đóng góp mái)

Neu đưa ra đưoc công thúc chính xác tính đoi đao hàm dukhovich cna F xác đ%nh trong (0.1) se là m®t đóng góp có ý nghĩa cho

Mor-lý thuyet dưói vi phân b¾c hai Tù đó có the giúp thiet l¾p đưoc m®tđ¾c trưng can và đn cho tính Lipschitz kieu Aubin cna ánh xa nghi¾mcna bài toán bat đang thúc bien phân có tham so (0.2)

Chương 1

Đoi đao hàm Fréchet cúa F

Trong chương này chúng ta trình bày m®t so khái ni¾m cơ bán cnagiái tích bien phân và đao hàm suy r®ng Đưa ra công thúc chính xáctính đoi đao hàm Fréchet cna ánh xa nón pháp cho các t¾p loi đa di¾n

có tham so

1.1 M®t so kien thNc cơ bán ve đoi đao hàm

Cho F : R m ⇒ Rn là m®t ánh xa đa tr% Ký hi¾u Limsupx →x¯ F

Nón pháp tuyen Mordukhovich N (x¯; Ω) thu đưoc tù Nˆ (x; Ω) bang cách lay giói han trên theo nghĩa Kuratowski-Painlev khi x → x¯ như sau

N (x¯; Ω) := Lim sup Nˆ (x; Ω).

x→x¯

∈ gphF đưoc đ%nh nghĩa như sau

D ∗ F (x¯, y¯)(y ∗) := .x ∗ ∈ R m (x ∗ , −y ∗) ∈ N ((x¯, y¯); gph F ).,

y ∗ ∈ R n Tương tn, Đoi đao hàm Fréchet cna F tai (x¯, y¯) ∈ gph F xác đ%nh bói Dˆ ∗ F (x¯, y¯)(y ∗) := {x ∗ ∈ R m | (x ∗ , −y ∗) ∈ Nˆ ((x¯, y¯); gph F ))}, y ∗ ∈ R n Chúng ta có m®t moi quan h¾ giua hai

khái ni¾m trên

D ∗ F (x¯, y¯)(y¯ ∗ ) = Lim sup Dˆ ∗ F (x, y)(y ∗ ).

tương úng c¾p phan tú (x, ω) ∈ R n × R p đưoc đ%nh nghĩa bói

Đe đơn gián hơn, chúng ta viet I thay cho I(x¯, ω¯) Xét các t¾p chí

}

λ∈L(x¯,ω¯,ξ¯ ∗) I0(λ) ⊂ I1 Đe chúng minh bao hàm thúc ngưoc lai, ta lay

bat kì i0 ∈ I1 V¾y

thì

ξ¯ ∗ = .i I i τ i C i , τ i ≥ 0 vói moi i ∈ I \ {i0}.

Lay λ0 ∈ R |I| sao cho

λ0 = τ i vói moi i ∈ I \ {i0}, và λ0 = 0 Suy ra

(ii) Ket quá đưoc suy ra trnc tiep tù đ%nh lý De Morgan’s.

Lay tùy ý P, Q thóa mãn P ⊂ Q ⊂ T , đ¾t

1.2 Công thNc tính đoi đao hàm Fréchet cúa F

Bây giò chúng ta tìm m®t công thúc đe tính nón pháp tuyen Fréchetvói gph F tai (x¯, ω¯, ξ¯∗) ∈ gph F

Đ%nh lý 1.1 Cho

Rp ,

x¯ ∈ Θ(ω¯), và

.. (1.5)

Do đó, tù [14, Bo đe 4.3] suy ra

(x ∗ , ξ) ∈ A I,K × B I,K M¾t khác, bang cách đ¾t v ∗ = ξ¯ ∗, ta có

}

−

−→

∗

lim sup

(x,ω)→(x¯,ω¯ )

ξ¯∗∈F (x,ω)

(x ∗ ω¯ , x − x¯) + (ω ) "x − x¯" + "ω − ∗ , ω − ω¯ "

≤

Vói moi λ ∈ L(x¯, ω¯, ξ¯ ∗), đ¾t

Ω(λ) = {(x˜, ω˜) | (C T , x˜) −(D T , ω˜) = 0, i ∈ I \ I0(λ), (C T , x˜) − (D T , ω˜) ≤

0, i ∈ T \ (I \ I0(λ))}.

Ta can chúng minh rang, vói moi (x, ω) ∈ Ω(λ) gan (x¯, ω¯), ξ¯ ∗ ∈ F (x, ω).

Th¾t v¾y, vói moi (x, ω) ∈ Ω(λ), ta có x ∈ Θ(ω), và do đó, I \ I0(λ) ⊂ I(x, ω) Đieu đó có

∗ phái thu®c vào F (x, ω) = pos {C T | i

∈ I(x, ω)} Tù (1.6) chí ra rang

chí ra rang

(x ∗ , ω ∗) ∈ pos {(CT , −D T ) | i ∈ I} (1.8)

Rõ ràng, vói moi j ∈ I1 phái ton tai λ ∈ L(x¯, ω¯, ξ¯ ∗ ) sao cho j ∈

I0(λ) Đieu này có nghĩa vói moi j ∈ I,

i

Lay tùy ý k ∈ I \ j0 Khi đó {(C i , D i) ∈ Rm × R m | i ∈ I} là m®t h¾ đ®c l¾p tuyen tính, và do đó µ j0

= λ k Đieu này suy ra (1.8) Do đó

Nˆ ((x¯, ω¯, ξ¯ ∗); gph F ) ⊂ ,(x ∗ , ω ∗ , ξ) .(x ∗ , ξ) ∈ A I,K

× B I,K (x ∗ , ω ∗) ∈ span {(C T , −D T ) | i ∈ I \ I1}

Giá sú rang (x ∗ , ω ∗ , ξ) ƒ∈ Nˆ ((x¯, ω¯, ξ¯ ∗); gph F ) Khi đó, ton tai

γ > 0 và m®t dãy {(x k , ω k , v ∗)} ⊂ gph F h®i tu tói (x¯, ω¯, ξ¯∗) saocho

1

1

∈ N (x¯; Θ(ω¯)) Khi

(ξ, v ∗ − ξ¯ ∗ ) ≤ 0 ∀k.

(1.10)Không mat tính tong quát bói có the thay bang m®t dãy con neu can

thiet, ta có the giá thiet rang I(x k , ω k ) = Q Ta có

Q \ I1 = I \ I1. (1.11)

Rõ ràng, Q \ I1 ⊂ I \ I1 Neu ξ¯ ∗ ƒ= 0 thì v ∗ ƒ= 0 vói k đn lón Khi đó,

tù [15, Bo đe 2.1], vói moi k ton tai Γ k ⊂ Q sao cho C i , i ∈ Γ k,là đ®c l¾p

can thiet, ta có the giá sú rang Γk = Γ vói moi k Vì lim k→∞ v ∗ = ξ¯ ∗ nên ta có ξ¯ ∗ ∈ pos {C T | i ∈ Γ} Túc là Q\ Γ ⊂ I1 Suy ra I \ I1 ⊂ (Q \ Γ) \ I1, nên, I \ I1 ⊂ Q \ I1 và (1.11) đưoc chúng minh Bên canhđó,

i i∈I1Ket hop đieu này vói (1.10) suy ra rang

Tiep theo chúng ta đưa ra công thúc tính đoi đao hàm Fréchet cna

}

Chúng minh Tù đ%nh nghĩa đoi đao hàm Fréchet cna F tai (x¯, ω¯, ξ¯ ∗), ta có

Chương 2

Trong chương này chúng ta trình bày công thúc tính đoi đao dukhovich cna ánh xa nón pháp cna các t¾p loi đa di¾n có tham so

Mor-2.1 Bo đe ve t¾p các chí so

Các khái ni¾m và kí hi¾u trong chương này van đưoc sú dung như

ó chương trưóc Cho Ω ∈ R n Ta đ%nh nghĩa ri (Ω) và cl Ω lan lưot

là phan trong tương đoi và bao đóng cna Ω

Cho P ∈ Iˆ(x¯, ω¯, ξ¯ ∗) Đ%nh nghĩa

∆ := ri pos {CT | i ∈ P}

và

M((x¯, ω¯, ξ¯ ∗)|P ) = ,S ∈ Iˆ(x¯, ω¯, ξ¯ ∗) | ∆ ∩ ri pos {CT | i ∈

Chúng ta có the phân hoach ∆ thành các t¾p ∆i liên h¾ vói các t¾p chí

so Γi , i ∈ {1, 2, , r P } vói m®t so r P ∈ N như sau:

r P

M((x¯, ω¯, ξ¯ ∗)|P ) = [

Tiep theo chúng ta thiet l¾p m®t bo đe cơ bán ve t¾p chí so.

Bo đe 2.1 Cho P ⊂ Q ⊂ I và P ∈ Iˆ(x¯, ω¯, ξ¯ ∗ ) Giá sú ton tai x ∈

trong đó Iˆ(x¯, ω¯, ξ¯ ∗ ), Γ k và ∆ k đưoc đ%nh nghĩa như trong (1.1) và (2.1).

k

}

k

s

Do lims→∞ ξ ∗ = ξ¯ ∗, nên suy

ra

ξ¯ ∗ ∈ pos {C T

| j

∈

Q˜} Do đó, Q˜

∈ M((x¯, ω¯, ξ¯ ∗)|P ) Do ξ∗ ∈ ∆ k , nên suy ra Q˜ ∈ Γ k Vì v¾y,

Th¾t v¾y, bói vì C i , i ∈ I, là đ®c l¾p tuyen tính, đieu đó chí ra rang

r P = 1, Γ1 = {P } và ∆1 = ∆ Khi đó khang đ%nh trên đưoc suy ra tùĐ%nh lí 2.1

Bo đe 2.2. Giá sú {(C i , D i) ∈ Rm × R m | i ∈ I} là m®t h¾ đ®c l¾p tuyen tính Khi đó, vói moi Q ⊂ I, pos {(C T , −D T ) | i ∈ Q} là

m®t m¾t

cúa N ((x¯, ω¯); gphΘ −1 ).

Chúng minh Ta can chúng minh, vói moi ∅

Đ%nh lý 2.1 Cho

Rm ,

x¯ ∈ Θ(ω¯), và

Chúng minh Lay tùy ý (x ∗ , ω ∗ , ξ) ∈ N ((x¯, ω¯, ξ¯ ∗); gph F ) Khi

đó ton tai dãy {(x k , ω k , v ∗)} ⊂ gph F , (xk , ω k , v ∗) → (x¯, ω¯, ξ¯ ∗),

dãy con neu can thiet ta có the giá sú I(x k , ω k ) = Q vói moi k Tù

k ∈ N (x k ; Θ(ω k )) suy ra ton tai λ ik ≥ 0 sao cho

k i

ξ¯ ∗ ∈ pos {C T | i ∈ P }, và, P

∈

Iˆ Bang cách lay m®t dãy con neu can

thiet, giá sú ton tai m ∈ {1, 2, , r P }, sao cho v ∗ ∈ ∆ m vói moi k và

Đe chúng minh bao hàm thúc ngưoc lai, lay tùy ý (x ∗ , ω ∗ , ξ) thu®c vào

ve phái cna (2.2) Khi đó, tù Bo đe 3.1, pos {(CT , −D T ) | i ∈ Q} là

Chương 3

Úng dnng

Ta biet rang tính chat khá vi suy r®ng cna F (·) cho ta thông

tin huu ích ve tính on đ%nh cna bat đang thúc bien phân vói các t¾p

ràng bu®c loi đa di¾n Cu the là, neu f : R n × R m → R n là hàm khá

vi liên tuc, khi đó t¾p nghi¾m cna bài toán bat đang thúc bien phân có

tham so:

Tìm x ∈ Θ(b) sao cho (f (x, ϑ), u − x) ≥ 0 ∀u ∈ Θ(b) (3.1)trùng vói hàm an đa tr%

G(ϑ, b) := {x | 0 ∈ f (x, ω) + N (x; Θ(b))} (3.2)đưoc đ%nh nghĩa bói m®t phương trình suy r®ng

0 ∈ F (x, ϑ, b) := f (x, ϑ) + N (x; Θ(b)) (3.3)Như đã chí ra trong [7-10] và các tài li¾u tham kháo trong đó, bài toántính đoi đao hàm Fréchet và đoi đao hàm Mordukhovich cna hàm an

đa tr% (ϑ, b) ›→ G(ϑ, b) dan tói vi¾c tính đoi đao hàm cna hàm đa tr

% (x, ϑ, b) ›→ F (x, ϑ, b) Hơn the nua, vì f (x, ϑ, b) là tong cna hàm

khá vi và ánh xa nón pháp F (x, b) := N (x; Θ(b)) nên ta chí còn phái

tính đoi đao hàm cna F và áp dung quy tac tong cna đoi đao hàm cho

các đang thúc trong [10, Đ%nh lí 1.62]

bi¾t cúa (3.3) Do đó f (x, ϑ) = Mx − q là m®t toán tú afin.

Nh¾n xét 3.2 Ta có the coi S(q, b) tù (3.4) là t¾p nghi¾m cúa

tiêu chuan bat đang thúc bien phân afin có tham so như sau:

S(q, b) = {x ∈ Θ(b)| (Mx − q, y − x) ≥ 0∀y ∈ Θ(b)}

Bo đe 3.1 Đ¾t ˜(x, b, q) = Mx−q+F (x, b) và lay bat kì (x¯, ¯b, q¯,

x¯ ∗) ∈

F

Chúng minh Tù tính đ®c l¾p tuyen tính dương cna {a ∗ |i ∈ I(x¯,

là đóng Giá sú rang (x k , b k , q k , v k) là m®t dãy tùy ý trong .vói

(x k , b k , q k , v k) → (x ◦ , b ◦ , q ◦ , v ◦ ) Do (x k , b k) ∈ B¯(x¯, δ) × B¯(¯b, ρ) vói moi k, cho k → ∞ ta có (x ◦ , b ◦) ∈ B¯(x¯, δ) × B¯(¯b, ρ) Do đó I(x ◦ , b ◦) ⊂ I(x¯, ¯b) Bói vì (xk , b k) → (x◦ , b ◦ ) nên bao hàm thúc I(x k , b k)

⊂ I(x ◦ , b ◦ ) co đ%nh vói moi k đn lón Giá sú I(x k , b k ) = I˜ ⊂ I(x ◦ , b ◦)

⊂ I(x¯, ¯b) vói moi k Ta có

i i∈I˜

i

i

k

l

+ Dˆ ∗ F (x¯, ¯b, x¯ ∗ )(v r) × {0}}

{(b r , q r) ∈ Rm+n |(−x r , b r , q r) ∈ MT v r × {0} − {0} × {v r }

+ D ∗ F (x¯, ¯b, x¯ ∗ )(v r) × {0}và

L M,q¯ (x r) =

[

v r ∈R n

{(b r , q r) ∈ Rm+n |(−x r , b r , q r) ∈ MT v r × {0} − {0} × {v r }

+ Ω(x¯, ¯b, x¯∗ )(v r) × {0}}

Nh¾n xét 3.3 Bói vì D ∗ F (x¯, ¯b, x¯ ∗ )(x) ⊂ Ω(x¯, ¯b, x¯ ∗ )(x) vói moi x, ta có K M,q¯ (x r) ⊂ LM,q¯ (x r ).

Ngoài ra, neu F là chính quy đo th% tai (x¯, ¯b, x¯ ∗ ), D ∗ F (x¯, ¯b, x¯ ∗ )x =

Chúng minh Đ¾t ˜(x, b, q) = Mx − q + F (x, b) và sú dung quy tac

tong đoi đao hàm, ta có

˜ là đóng đ%a phương xung quanh z¯ := (x¯, ¯b, q¯, 0) bói Bo đe3.1.

Hơn nua, rõ ràng KerD ∗ ˜(z¯) = {0} Áp dung Đ%nh lí 3.1 trong [7]

dist((q, b); S −1 (x)) ™ µdist(x; S(q, b)) vói moi x ∈ U và (q, b) ∈ V thóa mãn dist(x; S(q, b)) ™ µ.

Neu S là đóng đ%a phương tai (¯b, q¯, x¯) thì, do [10, Đ%nh lí 4.18] S là chính quy metric đ%a phương tai (¯b, q¯, x¯) neu và chí neu D ∗ S −1 (x¯,

thì S là metric đeu đ%a phương tai (¯b, q¯, x¯).

(iii) Neu F là chính quy đo th% tai (x¯, ¯b, x¯ ∗ ) thì S là chính quy metric đ%a phương tai (¯b, q¯, x¯) neu và chs neu KerKˆ M,q¯ = {0}

Chúng minh (i) Bói vì {a ∗ |i ∈ I(x¯, ¯b)} là đ®c l¾p tuyen tính

dương,

theo Bo đe 3.1 ánh xa đa tr%

˜ là đóng đ%a phương tai z¯ := (x¯, ¯b, q¯, 0Rn )

Do đó ton tai η > 0 sao cho

gph ˜ ∩ (x, b, q, v)| "x − x¯" + b − b + "q − q¯" + "v" ≤ η

là đóng Khi đó {gph ˜ ∩ (x, b, q, 0)| "x − x¯" + b − b + "q − q¯" + "v" ≤

η} là đóng Suy ra

{gphS ∩ (x, b, q)| b − b + "q − q¯" + "x − x¯" ≤ η}

¯

là đóng, S là đóng đ%a phương tai (¯b, q¯, x¯).

Bói vì S là chính quy metric đ%a phương tai (¯b, q¯, x¯), đang thúc (3.10) co đ%nh Tù (3.7) và (3.10) ta có KerKˆ M,q¯ = {0}

(ii) Bói vì {a ∗ |i ∈ I(x¯, ¯b)} là đ®c l¾p tuyen tính dương,tù Đ%nh lí

3.1

ta có đánh giá (3.8) Tù giá thuyet KerLM,q¯ = {0} và đánh giá (5.4)

suy ra KerD∗ S(b¯, q¯, x¯) = {0} Đieu đó chí ra rang S là chính quy metric đ%a phương tai (¯b, q¯, x¯).

(iii) Theo Đ%nh lí 3.1, neu