Điểm bất động và ứng dụng trong bài toán tựa cân bằng

Sn ra đòi cna Nguyên lý ánh xa co Banach 1922 và Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer 1912 đã hìnhthành hai hưóng chính cna lý thuyet điem bat đ®ng: sn ton tai điem batđ®ng cna ánh xa dang co

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN GIÁI TÍCH

Ngưài hưáng dan khoa hoc: GS TSKH Nguyen Xuân

Tan

LèI CÁM ƠN

Trưóc khi trình bày n®i dung chính cna khóa lu¾n, tôi xin bày

tó lòng biet ơn sâu sac tói GS TSKH Nguyen Xuân Tan ngưòi đã đ%nhhưóng chon đe tài và t¾n tình hưóng dan đe tôi có the hoàn thành khóalu¾n này

Tôi cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng sau đaihoc, các thay cô giáo giáng day chuyên ngành Toán giái tích trưòng Đaihoc Sư pham Hà N®i 2 đã giúp đõ tôi trong suot quá trình hoc t¾p vàlàm lu¾n văn

Cuoi cùng, tôi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình,ban bè đã đ®ng viên và tao moi đieu ki¾n thu¾n loi đe tôi hoàn thànhlu¾n văn này

Hà N®i, tháng 6 năm 2012

Nguyen Th% Nga

LèI CAM ĐOAN

Dưói sn hưóng dan cna GS TSKH Nguyen Xuân Tan lu¾n vănThac sĩ chuyên ngành Toán giái tích vói đe tài “Điem bat đ®ng và úngdung trong bài toán tna cân bang” đưoc hoàn thành bói chính sn nh¾nthúc cna bán thân, không trùng vói bat cú lu¾n văn nào khác

Trong khi nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung thành tnucna các nhà khoa hoc và đong nghi¾p vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, tháng 6 năm 2012

Nguyen Th% Nga

Mnc lnc

Báng kí hi¾u 4

Má đau 5 Ch ương 1 Các kien th Nc cơ bán 8 1.1 Không gian metric 8

1.2 Không gian đ%nh chuan 15

1.3 Không gian Hilbert 17

1.4 Ánh xa đa tr% 18

Ch ương 2 Đi e m bat đ®ng cúa ánh xa đơn tr% 20 2.1 Điem bat đ®ng cna ánh xa dang co 20

2.2 Điem bat đ®ng cna ánh xa kh ô n g giãn 24

2.3 Điem bat đ®ng cna ánh xa liên tuc 29

Ch ương 3 Đi e m bat đ®ng cúa ánh xa đa tr% 39 3.1 Đ%nh lý điem bat đ®ng cna Nadler 39

3.2 Đ%nh lý Caristi 45

3.3 Đ%nh lý điem bat đ®ng cna Ky F an 47

Ch ương 4 Úng dnng 54 4.1 Bài toán tna cân bang suy r®ng loai m®t 54

4.2 M®t so bài toán liên quan 55

4.3 Sn ton tai nghi¾m cna bài toán cân bang 58

Ket lu¾n 63

inf f c¾n dưói đúng cna hàm f

sup f c¾n trên đúng cna hàm f

min f giá tr% nhó nhat cna hàm

f max f giá tr% lón nhat cna

hàm f rge f ánh cna hàm f

Gr f đo th% cna hàm f

dom f mien huu hi¾u cna hàm f

Fix f t¾p các điem bat đ®ng cna hàm f

Mé ĐAU

1 Lí do chon đe tài

Lý thuyet điem bat đ®ng ra đòi gan m®t the ký nay và đưoc pháttrien manh me trong th¾p ký gan đây Sn ra đòi cna Nguyên lý ánh xa

co Banach (1922) và Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer (1912) đã hìnhthành hai hưóng chính cna lý thuyet điem bat đ®ng: sn ton tai điem batđ®ng cna ánh xa dang co và sn ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa liêntuc

Đen nhung năm 60, Nguyên lý ánh xa co Banach tiep tuc đưoc mór®ng nghiên cúu theo hai hưóng: đưa ra khái ni¾m co mói, ánh xa co đatr% và mó r®ng ánh xa co đen ánh xa không giãn Tù vi¾c tìm ra moiquan h¾ giua ánh xa co vói ánh xa không giãn và sn ton tai điem batđ®ng cna ánh xa co đã đ%nh hưóng cho nhung nghiên cúu ve điem batđ®ng cna ánh xa không giãn đưoc rõ ràng hơn Tuy nhiên, các nhà khoahoc cũng chí ra đưoc rang sn ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa khônggiãn thưòng gan vói cau trúc hình hoc cna các không gian Banach, haycác không gian khác như không gian metric siêu loi, không gian trac đ%av.v

Tiep đó, mó r®ng tn nhiên cho lý thuyet điem bat đ®ng cna ánh xakhông giãn là nghiên cúu sn ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa Lipschitzvói h¾ so lón hơn 1 Khói đau, Kakutani đã chí ra ton tai ánh xa Lip-schitz vói h¾ so đn gan 1 trong hình cau đơn v% đóng cna không gianHilbert mà không có điem bat đ®ng Sau đó, bang vi¾c đưa ra khái ni¾mLipschitz đeu, K Goebel và W A Kirk (1973) đã nêu ra mó r®ng hop

lý cho ánh xa không giãn

6Song song vói sn mó r®ng cna Nguyên lý ánh xa co Banach, Nguyên

lý điem bat đ®ng Brouwer cũng đưoc phát trien manh Ban đau, ngưòi

ta mó r®ng ket quá này trên các lóp không gian tong quát như là: đ%nh lýSchauder (1930) trong không gian đ%nh chuan, đ%nh lý Tikhonov (1935)trong không gian loi đ%a phương, Sau đó là sn mó r®ng đen ánh xa đatr% núa liên tuc trên, mó đau là ket quá cna Kakutani (1941), và tiêubieu là ket quá cna Ky Fan (1952), Browder - Ky Fan (1965),

M®t đieu thú v% là vào năm 1929 ba nhà toán hoc Knaster, towski và Mazurkiewicz đã đưa ra Bo đe KKM, bo đe này tương tn vóiNguyên lý Brouwer và chí cách chúng minh đơn gián Nguyên lý điembat đ®ng Brouwer mà trưóc đó cách chúng minh cna nó khá phúc tapphái dna vào m®t so công cu cna tôpô

Kura-Sn xuat hi¾n Bo đe KKM đã mó ra m®t hưóng nghiên cúu mói là

Lý thuyet KKM Bưóc ngo¾t phát trien cna lý thuyet này đưoc đánhdau bang vi¾c Ky Fan (1961) đã chúng minh m®t dang tưong tn cna Bo

đe KKM cho không gian vô han chieu, goi là Nguyên lý ánh xa KKM,đây đưoc xem như trung tâm cna Lý thuyet KKM Nhò đó, nó đưoc súdung r®ng rãi như m®t công cu huu ích cho lý thuyet điem bat đ®ng, lýthuyet bien phân, bài toán kinh te,

Tam quan trong cna lý thuyet điem bat đ®ng và Lý thuyet KKMtrong các ngành toán hoc khác nhau cũng như nhung úng dung cna nócan đưoc chúng ta nghiên cúu, tìm hieu ky hơn nua Chính vì v¾y, vói

sn hưóng dan cna thay Nguyen Xuân Tan, tôi đã chon đe tài “Điem batđ®ng và úng dung trong bài toán tna cân bang” đe nghiên cúu

2 Mnc đích nghiên cNu

Nam đưoc các khái ni¾m và úng dung cna lý thuyet điem bat đ®ng

đe bo sung kien thúc, cnng co và hieu biet sâu hơn ve Toán giái tích vàúng dung cna nó

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

bang

Tìm hieu ve điem bat đ®ng và úng dung trong bài toán tna cân

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Lý thuyet điem bat đ®ng và úng dung

5 Phương pháp nghiên cNu

- Tìm hieu các thông tin trong sách báo liên quan đen n®i dungnghiên cúu

- Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu

6 NhÑng đóng góp mái cúa đe tài

Trình bày đưoc m®t cách có h¾ thong các kien thúc cơ bán ve điembat đ®ng và m®t so tính chat Nghiên cúu m®t so úng dung cna lý thuyetđiem bat đ®ng trong bài toán tna cân bang và úng dung trong lý thuyettoi ưu

Chương 1 Các kien thNc cơ bán

Trong toán hoc, m®t bài toán đưoc đ¾t ra luôn gan vói m®t khônggian nào đó Chính vì v¾y vi¾c nghiên cúu toán hoc, hay tìm lòi giái chocác bài toán cu the, trưóc het ta phái quan tâm tói không gian cna bàitoán Trong chương này, ta nhac lai nhung không gian cơ bán hay g¾pkhi nghiên cúu giái tích hi¾n đai và các kien thúc liên quan Phan chitiet và chúng minh cho các h¾ quá có the tham kháo trong các tài li¾u

so [1], [2], [3]

Nhieu van đe nghiên cúu cna giái tích bán chat chí dna trên tínhchat cna khoáng cách, mà không quan tâm tói nhung tính chat kháccna đưòng thang, m¾t phang hay không gian 3 chieu thông thưòng Vìv¾y, đe kháo sát bán chat các van đe đó và hieu sâu hơn ve khoángcách ngưòi ta đưa ra khái ni¾m không gian metrric

Đ%nh nghĩa 1.1.1 Ta goi là không gian metric m®t t¾p hop M ƒ=

∅ cùng vói m®t ánh xa d tù không gian tích Descarter M × M vào t¾p

hop so thnc R thoá mãn các tiên đe sau đây:

(i) (∀x, y ∈ M ) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

(ii) (∀x, y ∈ M ) d(x, y) = d(y, x);

(iii) (∀x, y, z ∈ M ) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Không gian metric ký hi¾u là (M, d), (viet tat là M ) Ánh xa d goi

là metric trên M , so d(x, y) goi là khoáng cách giua hai phan tú x và

y.

Ví di :

(i) M®t t¾p con M bat kỳ cna t¾p so thnc R, vói khoáng cách

d(x, y) = |x − y| (đ® dài đoan noi x vói y), là m®t không gian

met-ric

(ii) Tong quát hơn, trong không gian n chieu R n, có the xác đ%nh

khoáng cách giua hai điem x = (x 0, , x n ) và y = (y0, , y n) là

Tù đ%nh nghĩa, ta de dàng có nhung tính chat đơn gián sau:

(i) (∀xi ∈ M, i = 1, 2, , n, n ∈ N ∗ ) d (x1, xn) ≤ .n−1 d (xi, xi+1);(ii) (∀x, y, u, v ∈ M ) |d (x, y) − d (u, v)| ≤ d (x, u)+d (y, v), (bat

đang thúc tú giác);

(iii) (∀x, y, u ∈ M ) |d (x, y) − d (y, u)| ≤ d (x, u), (bat đang thúc

tam giác)

Đ%nh nghĩa 1.1.2 Cho hai không gian metric (M1, d1), (M2, d2)

Ánh xa F tù không gian metric M1 vào không gian metric M2 goi làđang cn neu

d2(F x, F y) = d1(x, y) ( ∀x, y ∈ M ).

Đ%nh nghĩa 1.1.3 Hai không gian metric (M1, d1), (M2, d2) goi là

đang cn neu ton tai m®t ánh xa đang cn tù M1 lên M2

Hien nhiên, ánh xa F ánh xa C [0,1] lên C [0,2] Vói ∀x(t), y(t) ∈ C [0,1]

Do đó F là ánh xa đang cn tù C [0,1] lên C [0,2] Vì v¾y, hai không

gian metric C [0,1] và C [0,2] là đang cn

Nh¾n xét :

Quan h¾ đang cn trong không gian metric có tính bac cau Đoi vóihai không gian metric đang cn, m®t khái ni¾m hay m¾nh đe đã đúngtrong không gian này thì đúng trong không gian kia, nên chúng đưoc coi

là như nhau

Trong không gian metric, ta có the đưa ra khái ni¾m dãy h®i tunhư sau:

Đ%nh nghĩa 1.1.4 Ta nói rang dãy điem {x n } cna không gian M h®i

tu tói điem x0 cna không gian đó neu vói (∀s > 0) (∃n0 ∈ N ∗) (∀n ≥

đieu này tương đương vói x n → xi, (i = 1, 2, , k) V¾y sn h®i tu

trong không gian Rk là h®i tu theo toa đ®

Đieu hien nhiên rang, neu m®t dãy đã h®i tu thì moi dãy con cna nó

t

i i

cũng h®i tu Ta de dàng nh¾n ra hai tính chat quan trong sau đây:

(i) Neu x n → x và xn → x r thì x = x r, nghĩa là giói han cna m®t dãy điem là duy nhat

(ii) Neu x n → x và yn → y thì d(xn , y n) → d(x, y), nghĩa là khoáng

cách d là m®t hàm liên tuc đoi vói x và y.

Khi đưa vào t¾p nen cna không gian metric khái ni¾m các t¾p mó,

ta có the xác đ%nh tôpô trong metric

Đ%nh nghĩa 1.1.5 Cho không gian metric (M, d), a ∈ M , so r > 0

Đ%nh nghĩa 1.1.6 Cho không gian metric (M, d) Ta goi là lân cân cna

điem x ∈ M moi hình cau mó tâm x, bán kính r nào đay.

Nhò đ%nh nghĩa này ta có the phân loai các điem trong không gianmetric như sau:

Cho không gian metric (M, d), t¾p A ⊂ M , điem x ∈ M :

Điem x goi là điem trong cna t¾p A, neu ton tai lân c¾n cna điem x bao hàm trong t¾p A;

Điem x goi là điem ngoài cna t¾p A, neu ton tai lân c¾n cna điem x không chúa điem nào cna t¾p A;

Điem x goi là điem biên cna t¾p A, neu moi lân c¾n cna điem x đeu chúa nhung điem thu®c t¾p A, và nhung điem không thu®c t¾p

A T¾p tat cá các điem biên cna t¾p A ký hi¾u là ∂A;

Điem x goi là điem giói han (hay điem tu) cna t¾p A, neu moi lân c¾n cna điem x đeu chúa ít nhat m®t điem cna t¾p A khác x T¾p tat

cá

các điem giói han cna t¾p A đưoc goi là t¾p dan suat và ký hi¾u là A r;

Điem x goi là điem cô l¾p cna t¾p A, neu x ∈ A và x không là điem

giói han cna t¾p A.

Đ%nh nghĩa 1.1.7 Cho không gian metric (M, d) và t¾p A ⊂ M :

T¾p A goi là t¾p mó trong không gian (M, d), neu moi điem thu®c

A đeu là điem trong cna A;

T¾p A goi là t¾p đóng trong không gian (M, d), neu moi điem không thu®c A đeu là điem ngoài cna A.

Đ%nh lý 1.1.1 (Xem [1]) Trong không gian metric bat kỳ, moi hình

cau mó là t¾p mó, moi hình cau đóng là t¾p đóng.

Đ%nh lý 1.1.2 (Xem [2]) Cho không gian metric (M, d), t¾p A ⊂ M,

A ƒ= ∅ T¾p A đóng trong không gian M khi và chí khi moi dãy điem

H¾ quá 1.1.1 Trong không gian metric (M, d), phan bù cúa m®t t¾p

mó là t¾p đóng, phan bù cúa m®t t¾p đóng là t¾p mó Các t¾p M, ∅ vùa là đóng vùa là mó.

H¾ quá này de dàng suy ra tù hai đ%nh lý trên

Đ%nh nghĩa 1.1.8 Cho không gian metric (M, d) và t¾p A ⊂ M :

Hop cna tat cá các t¾p mó chúa trong A goi là phan trong cna A, và

o

ký hi¾u A hay intA;

Giao cna tat cá các t¾p đóng chúa A goi là bao đóng cna A và ký hi¾u A hay [A].

Dna vào đ%nh nghĩa ta de dàng có nhung tính chat sau đây:

(v) A ⊂ M là t¾p mó khi và chí khi A = A;

(vi) A ⊂ M là t¾p đóng khi và chí khi A = A.

Đ%nh lý 1.1.3 (Xem [2]) Cho không gian metric (M, d) và t¾p A ⊂ M,

o phan

đóng A cúa A là t¾p tat cá các điem giói han cúa t¾p A.

H¾ quá 1.1.2 (Xem [2]) Trong không gian metric (M, d) phan trong

cúa m®t t¾p hop là t¾p mó, bao đóng cúa m®t t¾p hop là t¾p đóng.

Đ%nh lý 1.1.4 (Xem [1]) Cho không gian metric (M, d) và t¾p A ⊂ M.

trong cna t¾p R\Q đeu là t¾p φ.

Đ%nh nghĩa 1.1.9 Cho m®t t¾p M bat kỳ, ta nói m®t ho T nhung t¾p

con cna M là m®t tôpô (hay xác đ%nh m®t cau trúc tôpô) trên M neu:

(i) Hai t¾p ∅ và X đeu thu®c ho T

(ii) Giao cna m®t so huu han t¾p thu®c ho T thì cũng thu®c ho đó.

(iii) Hop cna m®t so bat kỳ t¾p thu®c ho T thì cũng thu®c ho đó.

M®t t¾p M cùng vói m®t tôpô T trên M goi là không gian tôpô

(M, T ).

Các khái ni¾m lân c¾n, h®i tu, t¾p mó, t¾p đóng đeu xác đ%nh trên không gian metric cùng m®t cau trúc ta goi là cau trúc tôpô

Đ%nh lý 1.1.5 (Xem [1]) Trong không gian metric (M, d), ho tat cá

các t¾p mó trong M l¾p thành m®t tôpô trên M.

Đ%nh nghĩa 1.1.10 Ho T tat cá các t¾p mó trong không gian metric

(M, d) goi là tôpô sinh bói metric d.

Đ%nh lý 1.1.6 (Xem [2]) Trong không gian metric (M, d), tôpô T sinh

bói metric d là tôpô có cơ só lân c¾n đen đưoc.

Đ%nh nghĩa 1.1.11 Cho hai không gian metric (M1, d1) và (M2,

d2), ánh xa f tù không gian M1 đen không gian M2:

Ánh xa f goi là liên tuc tai điem x0 ∈ M1 neu (∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x ∈

M1 : d1(x, x0) < δ) d2(f (x), f (x0)) < ε;

Ánh xa f goi là liên tuc trên t¾p A ⊂ M , neu ánh xa f liên tuc

tai moi điem x ∈ A Khi A = M thì ánh xa f goi là liên tuc;

Ánh xa f goi là liên tuc đeu trên t¾p A ⊂ M , neu (∀ε > 0) (∃δ >

0) (∀x, x r ∈ A : d1(x, x r ) < δ) d2(f (x), f (x r )) < ε.

De dàng thay, neu ánh xa f liên tuc đeu trên t¾p A ⊂ M , thì

ánh xa f liên tuc trên t¾p A.

Đ%nh lý 1.1.7 (Đ%nh lý năm m¾nh đe tương đương ve ánh xa liên

tnc) (Xem [1]) Cho ánh xa f tù không gian metric (M1, d1) đen

Đ%nh nghĩa 1.1.12 Cho không gian metric (M, d), dãy {xn} đưoc goi

là dãy có bán neu lim

n,m→∞ d(x n , x m) = 0, túc là vói ∀ε > 0, ∃N ∈ N ∗ sao

cho ∀n, m ≥ N thì d(xn , x m ) < ε.

De thay moi dãy (x n) ⊂ M h®i tu trong M đeu là dãy cơ bán.

Đ%nh nghĩa 1.1.13 Không gian metric (M, d) goi là không gian đay

đn, neu moi dãy cơ bán trong không gian này đeu h®i tu

Ví di :

(i) Không gian metric R là không gian đay đn

(ii) Không gian C [a,b] (không gian các hàm b% ch¾n trên đoan [a, b])

là không gian đay đn

Đ%nh nghĩa 1.2.1 T¾p M khác rong đưoc goi là không gian tuyen tính

trên trưòng K = {R, C}, các phan tú x, y ∈ M đưoc goi là các véctơ

neu trên M xác đ%nh hai phép toán

Ví di :

T¾p Rn vói phép c®ng và phép nhân thông thưòng là m®t không giantuyen tính

Đ%nh nghĩa 1.2.2 Không gian tuyen tính đ%nh chuan là c¾p (M, "."),

trong đó M là m®t không gian tuyen tính còn ( ".") là m®t ánh xa M → R

thoá mãn:

(i) "x" ≥ 0, ∀x ∈ M, "x" = 0 ⇔ x = θ;

(ii) "λx" = |λ| "x" ;

(iii) "x + y" ≤ "x" + "y"

So "x" đưoc goi là chuan cna x.

Ví di :

Không gian đ%nh chuan C [a,b] (không gian các hàm b% ch¾n trên đoan

[a, b]) vói chuan "x" = max |x(t)|

a≤t≤b

Ta thay rang moi không gian đ%nh chuan đeu là không gian metric

vói d(x, y) = "x − y".

Đ%nh nghĩa 1.2.3 Cho không gian tuyen tính M và "."1, "."2 là hai

chuan trên M Hai chuan "."1 và "."2 goi là tương đương neu ton tai

hai so dương a, b sao cho

a"x"1 ≤ "x"2 ≤ b"x"1, ∀x ∈ M.

Ví di :

Cho không gian vectơ n chieu En, vói E = {R, C} Ta xác đ%nh

Đ%nh lý 1.2.1 (Xem [1]) Hai chuan "."1 và "."2 cho trên không gian tuyen tính M là tương đương khi và chi khi hai chuan đó sinh cùng m®t tôpô trên M.

Đ%nh nghĩa 1.2.4 Không gian Banach là không gian đ%nh chuan và

đay đn

Các ví du ó trên cũng là các không gian Banach

1.3 Không gian Hilbert

Đ%nh nghĩa 1.3.1 Cho M là không gian tuyen tính trên trưòng K =

{R, C} Hàm (., ) : M × M → K đưoc goi là tích vô hưóng trên M

neu: (i) (y, x) = (x, y), ∀x, y ∈ M ;

(ii) (∀x, y ∈ M ) (∀λ ∈ K) (x, λy) = λ (x, y).

Th¾t v¾y, (x, λy) = (λy, x) = λ (y, x) = λ(y, x) = λ (x, y).

Đ%nh nghĩa 1.3.2 Không gian M đưoc trang b% m®t tích vô hưóng

đưoc goi là không gian tien Hilbert

Không gian tien Hilbert đay đn đưoc goi là không gian Hilbert

|xn|2 h®i tu ) vói tích vô hưóng (x, y) = ∞ x i y i là không

i=1

1.4 Ánh xa đa tr%

Cho M là t¾p hop bat kỳ Ký hi¾u 2 M là t¾p gom các t¾p con cna M

Đ%nh nghĩa 1.4.1 Moi ánh xa T tù t¾p X vào Y đưoc goi là ánh xa

đa tr% tù X vào Y , ký hi¾u T : X → 2 Y

Mien đ%nh nghĩa, đo th% và mien ánh cna T đưoc đ%nh nghĩa lan lưot

Đ%nh nghĩa 1.4.2 Cho T : X → 2 Y , ánh xa T −1 : Y → 2 X xác đ%nhbói

đưoc goi là ánh xa ngưoc cna T

Như v¾y, khác vói ánh xa đơn tr%, ánh xa đa tr% luôn ton tai ánh xangưoc

Đ%nh nghĩa 1.4.3 Cho X, Y là hai không gian tôpô, T : X → 2 Y là m®t ánh xa đa tr%:

Ánh xa T goi là núa liên tuc trên tai điem x0 ∈ X neu vói moi t¾p

hop G mó chúa T x0, ton tai lân c¾n U cna x0 sao cho Tx ⊂ G vói

moi x ∈ U Ánh xa T đưoc goi là núa liên tuc trên neu nó núa liên

tuc trên

tai moi điem cna X;

Ánh xa T đưoc goi là núa liên tuc dưói tai điem x0 ∈ X neu vói moi

t¾p hop G mó thoá mãn G ∩ T x0 ƒ= φ, ton tai lân c¾n U cna x0 sao

cho G ∩ Tx ƒ= φ vói moi x ∈ U Ánh xa T đưoc goi là núa liên tuc

dưói neu nó núa liên tuc dưói tai moi điem cna X;

Ánh xa T đưoc goi là liên tuc neu nó vùa liên tuc trên vùa liên tuc

dưói

Hien nhiên, neu T là ánh xa đơn tr% thì cá ba khái ni¾m: liên tuc,

liên tuc trên, liên tuc dưói trùng nhau

Chương 2 Điem bat đ®ng cúa ánh xa đơn tr%

Tiep tuc nghiên cúu và phát trien nguyên lý ánh xa co Banach (1922)

và nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer (1912), các nhà toán hoc đã hìnhthành hai hưóng chính cna lý thuyet điem bat đ®ng: sn ton tai điem batđ®ng cna ánh xa dang co và sn ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa liêntuc Theo đó, ho phân loai lý thuyet điem bat đ®ng cna ánh xa đơn tr%theo dang cna ánh xa Đó là, điem bat đ®ng cna ánh xa dang co, dangánh xa không giãn và dang ánh xa liên tuc

2.1 Điem bat đ®ng cúa ánh xa dang co

Ánh xa dang co là trưòng hop đ¾c bi¾t cna ánh xa Lipschitz khi h¾

so Lipschitz b% giói han Ta hãy nhac lai khái ni¾m ánh xa Lipschitz đe

có cái nhìn khái quát hơn ve ánh xa dang co

Đ%nh nghĩa 2.1.1 Cho (M, d) là m®t không gian metric M®t ánh xa

F : M → M đưoc goi là ánh xa Lipschitz neu ton tai α không âm sao

cho:

So α nhó nhat thoá mãn (2.1) đưoc goi là h¾ so Lipschitz cna ánh

xa F và ký hi¾u là α(F ).

Neu α(F ) < 1 thì ánh xa F : M → M đưoc goi là ánh xa co.

Đ%nh lý 2.1.1 (Banach, 1922) Cho (M, d) là m®t không gian metric

bat đ®ng này.

Khi h¾ so Lipschitz đưoc thay đoi ta có khái ni¾m ánh xa mói

Đ%nh nghĩa 2.1.2 Cho (M, d) là không gian metric M®t ánh xa

d(F x, F y) < d(x, y), ∀x, y ∈ M, x ƒ= y.

Đe Nguyên lý ánh xa co Bancach van đúng khi F là ánh xa co yeu

thì ta can đieu ki¾n bo sung là tính compact cna không gian

Đ%nh lý 2.1.2 (Edelstein, 1962) Cho (M, d) là không gian metric đay

đú và F : M → M là ánh xa co yeu, và vói x0 ∈ M dãy {F n x0} có dãy con h®i tn Khi đó, F có duy nhat m®t điem bat đ®ng trong M

và vói moi x0 ∈ M dãy {F n x0} h®i tn đen điem bat đ®ng này.

Chúng minh Lay x0 thu®c M Đ¾t x1 = F x0, xn = F x n−1, ∀n ≥

2, (x n = F n x0)

Xét d(F n x0, F n+1x0) ≤ d(F n−1 x0, F n x0) ≤ ≤ d(x1, x0) = d(F x0,

x0) Tù đó suy ra dãy .d(F n x0, F n+1x0) h®i tu

M¾t khác, do {F n x0} ⊂ M có dãy con {F n k x0} h®i tu, giá sú

F n k x0 → y.

Tù d(F n k x0, F n k+1 x0) → 0, ta có d(y, F y) = 0 V¾y Fy = y Đ%nh

Đ%nh lý 2.1.3 Cho (M, d) là không gian metric đay đú và F : M → M

là ánh xa không nhat thiet liên tnc Giá sú đieu ki¾n sau đưoc thoá

mãn (*) Vói moi e > 0, ton tai δ(e) > 0, sao cho:

Neu d(x, F x) < δ(e) thì F [B(x, e)] ⊂ B(x,

e).

Khi đó, neu d(F n u, F n+1u) → 0 vói u nào đó thu®c M, thì {F n u} h®i tn đen điem bat đ®ng cúa F.

Cauchy

Th¾t v¾y, cho e > 0, chon N đn lón sao cho d(u n, un+1) < δ(e) vói moi n ≥ N Vì d(uN , F uN ) < δ nên theo tính chat (*) ta có F [B(u N , e)] ⊂ B(u N , e) Suy ra F u N = u N +1 ∈ B(u N , e), và bang quy nap ta

có

F k u N = u N +k ∈ B(u N , e), vói moi k ≥ 0.

Như v¾y, d(u k, us ) < 2e vói moi s, k ≥ N và ta có {un} là dãy

Cauchy Vì M là không gian metric đay đn nên dãy này h®i tu, chang han đen điem z ∈ M Đe chúng tó z là điem bat đ®ng cna F ta

chúng minh bang phán chúng: neu d(z, F z) = a > 0, ta có the chon

u n ∈ B(z, a ) sao cho d(u n , u n+1) < δ( a ) Khi đó, bói tính chat (*)

đó có sn khái quát hoá cna Nguyên lý ánh xa co Banach

Đ%nh lý 2.1.4 (Matkowski, 1975) Giá sú (M, d) là không gian metric

d(F x, F y) ≤ ϕ(d(x, y)), ∀x, y ∈ M,

thiet liên tnc) sao cho ϕ n (t) → 0 vói moi t > 0.

3

Khi đó, T có duy nhat m®t điem bat đ®ng u, và T n x → u vói moi

x ∈ M.

Chúng minh Trưóc het ta nh¾n thay ϕ (t) < 0 vói moi t > 0.

Th¾t v¾y, neu vói t0 > 0 nào đó ta có t0 ≤ ϕ (t0) thì bói tính

đơn đi¾u cna ϕ nên ϕ (t0) ≤ ϕ [ϕ (t0)] Bang quy nap ta có t0 ≤ ϕ n

(t0) vói moi n > 0, mâu thuan vói ϕ n (t0) → 0.

Tù giá thiet suy ra

d(F n x, F n+1x) ≤ ϕ n (d(x, F x)),

do đó d(F n x, F n+1x) → 0 vói moi x ∈ M Cho e > 0 tuỳ ý và chon

δ (e) = e − ϕ (e) Neu d (x, F x) < δ (e) thì vói moi z ∈ B (x, e) ta có

Điem bat đ®ng u là duy nhat Th¾t v¾y, giá sú còn có v ƒ= u cũng

là điem bat đ®ng cna F , túc là v = F v Khi đó

Vói khoáng đóng bat kỳ [a, b] ⊂ R+\ {0},

λ (a, b) = sup {∂ (x, y) : a ≤ d (x, y) ≤ b < 1}.

x ∈ M.

2.2 Điem bat đ®ng cúa ánh xa không giãn

Khi cho h¾ so cna ánh xa Lipschitz α(F ) = 1 ta có khái ni¾m ánh

xa mói là ánh xa không giãn Khi đó, m®t câu hói đ¾t ra là có hay khôngđiem bat đ®ng cna lóp ánh xa này? Nghiên cúu van đe này ta đã cónhung ket quá nhat đ%nh sau

Đ%nh nghĩa 2.2.1 Cho (M, d) là m®t không gian metric, A ⊂ M

M®t ánh xa F : A → M đưoc goi là ánh xa không giãn neu

Đ¾c bi¾t, trong trưòng hop M là không gian Banach vói chuan "."

và K là t¾p khác rong cna M thì ánh xa F : K → M là không giãn neu

"F x − F y" ≤ "x − y" , ∀x, y ∈ K. (2.3)Hien nhiên, các ánh xa co, co yeu và tat cá các phép đang cn đeu lànhung ánh xa không giãn

Ta thay các ánh xa không giãn có the không có điem bat đ®ng vàneu có thì điem bat đ®ng không nhat thiet là duy nhat (chang han, ánh

xa đong nhat)

Đ%nh nghĩa 2.2.2 T¾p hop A ⊂ M đưoc goi là có tính chat điem bat

đ®ng đoi vói ánh xa không giãn neu moi ánh xa không giãn tù A vào A

đeu có điem bat đ®ng

Khi nghiên cúu điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn, ta can ganvói các tính chat ve cau trúc hình hoc cna không gian Banach Sau đây

ta trình bày sơ lưoc ve các cau trúc này

Đ%nh nghĩa 2.2.3 Không gian Banach (M, ".") đưoc goi là không gian

loi ch¾t neu thoá mãn vói moi x, y ∈ M : "x" ≤ 1, "y" ≤ 1 và "x − y"

>

0 ta đeu có x +y < 1.

2

Đ%nh nghĩa 2.2.4 Không gian Banach (M, ".") đưoc goi là không gian

loi đeu neu thoá mãn vói moi e > 0, ton tai δ (e) > 0 sao cho vói moi

x +y phái có khoáng cách dương đen biên cna hình cau đó,

mà khoáng cách này chí phu thu®c vào khoáng cách giua x và y chú

không phu thu®c vào v% trí cna chúng (tính loi đeu)

(i) Moi không gian Hilbert là loi đeu

(ii) Không gian R2 vói chuan

"x"1 = x2 + x2, ∀x = (x1, x2) ∈ R

1 2

là không gian loi đeu

(iii) Không gian R2 vói chuan

"x"2 = |x1| + |x2| và "x" ∞ = max ( |x1| , |x2|) vói x = (x1, x2) ∈ R

là các không gian không loi ch¾t và như v¾y cũng không loi đeu

Đe xác đ%nh "múc đ®" loi cna hình cau đơn v% trong không gian,ngưòi ta đưa ra khái ni¾m môđun loi

2

2

Đ%nh nghĩa 2.2.5 Môđun loi cna không gian Banach M là hàm δM :

Ta thay, e0 là đ® dài đoan thang lón nhat nam trên m¾t cau đơn v%

Ta công nh¾n các m¾nh đe và đ%nh lý sau ve cau trúc hình hoc cnakhông gian Banach

M¾nh đe 2.2.1 Không gian Banach M là loi đeu khi và chí khi e0 (M )

= 0.

M¾nh đe 2.2.2 Giá sú M là không gian Banach vói môđun loi δM và đ¾c trưng loi e0 Khi đó, δM là hàm liên tnc trên [0, 2) và tăng ng¾t trên [e0, 2].

M¾nh đe 2.2.3 Không gian Banach M là loi ch¾t khi và chí khi

δ M (2) = 1.

Đ%nh nghĩa 2.2.7 Cho M là không gian Banach, A là t¾p con b%

ch¾n cna M Kí hi¾u:

r x (A) = sup {"x − y" : y ∈ A} , (x ∈ M );

r (A) = inf {r x (A) : x ∈ M};

diamA = sup {"x − y" : x, y ∈ M} = sup {r x (A) : x ∈ M}.

So r x (A) đưoc goi là bán kính cna A đoi vói x; r (A) và diamA lan lưot goi là bán kính Chebyshev và đưòng kính cna t¾p A.

M¾nh đe 2.2.4 Vói moi t¾p con b% ch¾n A trong không gian Banach

M thì r x (A) là hàm liên tnc.

Đ%nh nghĩa 2.2.8 M®t t¾p con A cna M đưoc goi là có cau trúc chuan

tac neu moi t¾p con loi, đóng, b% ch¾n H cna nó vói diamH > 0 đeu chúa m®t điem x ∈ H sao cho rx (H) < diamH.

Ví di :

(i) Moi t¾p hop compact A trong không gian Banach đeu có cau

trúc chuan tac

(ii) T¾p hop bat kỳ trong không gian Banach M vói e0(M ) < 1

có cau trúc chuan tac

Đ%nh nghĩa 2.2.9 Cho M là không gian Banach, A là t¾p con cna M

T¾p A đưoc goi là có cau trúc chuan đeu neu A loi, b% ch¾n, khác rong, vói moi t¾p con loi, đóng H cna A đeu ton tai hang so α ∈ (0, 1) sao

cho

r (H) ≤ αdiamH.

Đ%nh nghĩa 2.2.10 Không gian Banach M đưoc goi là có cau trúc

chuan đeu neu ton tai α ∈ (0, 1) sao cho

r (H) ≤ αdiamH,

vói moi t¾p con loi, đóng, b% ch¾n H cna M

Đ%nh nghĩa 2.2.11 H¾ so chuan tac cna không gian Banach M là so

: A ⊂ M loi, b% ch¾n và diamA > 0

Nh¾n xét :

(i) So N (M ) là so nhó nhat sao cho r (A) ≤ N (M ) diamA vói

moi t¾p con A loi, b% ch¾n cna M

(ii) N (M ) < 1 neu và chí neu M có cau trúc chuan đeu.

Trưóc khi chúng minh đ%nh lý điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn,

ta thùa nh¾n bo đe sau:

Bo đe 2.2.1 Cho A là t¾p loi, đóng, bi ch¾n, khác rong cúa không

gian Banach M và F là ánh xa không giãn tù A vào A Khi đó

inf {"x − F x" : x ∈ A} = 0.

Đ%nh lý 2.2.1 (Kirk, 1965) Cho A là t¾p loi, compact yeu, có cau

trúc chuan tac trong không gian đ%nh chuan M và F là ánh xa không giãn tù A vào A Khi đó, F có điem bat đ®ng trong A, túc ton tai x ∗

∈ A sao cho F x ∗ = x ∗

Vì A ∈ L nên L ƒ= φ Trong L l¾p quan h¾ thú tn theo bao hàm, ta

đưoc t¾p sap thú tn b® ph¾n (L, ⊂) Giá sú

L~

là m®t t¾p con đưoc sap

thú tn hoàn toàn cna L, túc là

L~

= {L α } vói các L α ∈ L và long nhau.

Khi đó Tα L α ƒ= φ do A compact yeu và F (Tα L α) ⊂ Tα L α V¾y Tα

L α

là c¾n dưói cna L~ Theo bo đe 2.2.1, L chúa phan tú cnc tieu H.

Ta chúng minh H chí gom m®t điem bang phán chúng Giá sú H

có nhieu hơn m®t điem, túc là d = diamH > 0 Do A có cau trúc

chuan

tac nên ton tai z ∈ H sao cho r z (H) = sup {"z − x" : x ∈ H} < d Suy

ra, ton tai r ∈ (0, d) sao cho t¾p hop

29V¾y

conv

F (H) bat bien đoi vói F , túc là convF (H) ∈ L.

Do convF (H) ⊂ H và H là cnc tieu nên convF (H) = H Tù đây

suy ra H ⊂ B [F z, r], hay Fz ∈ C Vì z ∈ C bat kỳ nên F (C) ⊂ C.

Ta se chúng tó C là loi và đóng Th¾t v¾y, cho z1, z2 ∈ C, z =

αz1 + (1 − α)z2 vói α ∈ [0, 1] Khi đó, "x − z i " ≤ r, i = 1, 2 vói

moi x ∈ H Tù đó "x − z" ≤ r vói moi x ∈ H, nên z ∈ C.

Neu {z n } ⊂ C và z n → z thì tù "x − z n " ≤ r, ∀x ∈ H, suy ra

"x − z" ≤ r, ∀x ∈ H.

V¾y C loi, đóng và bat bien đoi vói F , túc là C ∈ L Vì C ⊂ H và

H là cnc tieu nên C = H Khi đó, vói moi u, v ∈ C = H ta có "u − v"

≤ r Tù đây

d = diamH = diamC ≤ r < d, (mâu thuan)

V¾y H chí gom m®t điem, túc là H = {x ∗ } Vì H bat bien đoi vói F

2.3 Điem bat đ®ng cúa ánh xa liên tnc

Nguyên lý Brouwer là đ%nh lý mó đau cna lý thuyet điem bat đ®ng.Đ%nh lý này đưoc Brouwer chúng minh năm 1912 dna vào công cu tôpô

và lý thuyet b¾c cna ánh xa còn khá phúc tap Dưói đây, chúng ta trìnhbày phương pháp khác theo Knaster, Kuratowski và Mazukiewicz sơ caphơn đe chúng minh nguyên lý này Trưóc het, ta nhac lai m®t so đ%nhnghĩa đơn gián

Đ%nh nghĩa 2.3.1 Cho M là m®t không gian tuyen tính T¾p hop S

trong M đưoc goi là m®t n −đơn hình neu S = conv {a0, a1, , an}

vói a0, a1, , a n ∈ M và các vectơ a1 − a0, , a n − a0 đ®c l¾p tuyen

tính Các điem a i , i = 1, 2, , n đưoc goi là các đính; bao loi cna k + 1

đính đưoc goi là k −di¾n cna S Phép tam giác phân m®t đơn hình S là

m®t phép phân chia S thành các n −đơn hình con S i , i = 1, 2, , m,

sao cho hop

cna chúng bang S và hai đơn hình con neu giao nhau thì giao phái là

m®t di¾n chung cna hai đơn hình đó

Đoi vói m®t phép tam giác phân cna S, Sperner (1928) đưa ra m®t phép gán cho moi đính cna các đơn hình con m®t trong các so 0, 1, ,

toa đ® trong tâm cna x, nó bien đoi liên tuc theo x.

Ta thùa nh¾n hai bo đe sau:

Bo đe 2.3.1 (Sperner, 1928) Vói phép gán các so Sperner, trong m®t

phép tam giác phân m®t đơn hình bat kỳ luôn có m®t so lé các đơn hình tot.

Bo đe 2.3.2 (Bo đe KKM) Cho đơn hình S = conv {a0, a1, , a n } trong R n và các t¾p hop đóng P0, P1, , P n trong S thoá mãn các đieu ki¾n sau:

Vói moi t¾p con I ⊂ {0, 1, , n}, ta có

Đe chúng minh Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer, ta can m¾nh đesau đây:

M¾nh đe 2.3.1 Giá sú M là m®t t¾p hop trong m®t không gian tôpô

Chúng minh Cho ρ là phép đong phôi tù M lên M r và F r : M r → M r là

ánh xa liên tuc Ta can chúng minh F r có điem bat đ®ng

Th¾t v¾y, đ¾t F = ρ −1 F r ρ ta đưoc F : M → M là ánh xa liên tuc,

nên theo giá thiet, ton tai x0 ∈ M vói F x0 = x0 Khi đó, ρ(x0) là

điem bat đ®ng cna F r và ta có đieu phái chúng minh QTính chat trên đây còn đưoc goi là "Tính chat điem bat đ®ng (đoivói ánh xa liên tuc)" Khi đó, m¾nh đe trên thưòng đưoc phát bieudưói dang sau: "Tính chat điem bat đ®ng là m®t bat bien tôpô"

Đ%nh lý 2.3.1 (Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer, 1912) Moi ánh xa

bat đ®ng.

Chúng minh Vì hình cau đơn v% đóng trong R n đong phôi vói m®t

n−đơn hình S nên ta chí can chúng minh ánh xa liên tuc F : S → S

có điem bat đ®ng trong S Vói moi x ∈ S ta có x = (x0, x1, , xn) và

y = Fx = (y0, y1, , y n ) Vói moi i = 1, 2, , n ta đ¾t P i = {x ∈ S : x i

≥ yi} Do F liên tuc nên các Pi đeu đóng Ta se chúng minh các P i

tháo mãn đieu ki¾n (KKM)

Lay I ⊂ {0, 1, , n} và x ∈ conv {a i : i ∈ I} Có the giá thiet

đây là di¾n nhó nhat chúa x Khi đó, x = (x0, x1, , x n ) vói x i = 0

neu i ∈/ I và

x i > 0 neu i ∈ I, và y = (y0, y1, , y n ) vói y i ≥ 0,

minh x ∈ Ti∈I P i ta can chúng minh ton tai i0 ∈ I đe cho x ∈ P i0 , túc

là x i0 ≥ yi0 Giá sú ngưoc lai rang x i < yi vói moi i ∈ I Khi đó, ta g¾p

mâu thuan:

1 = .n x

i=0 = .

xi i∈I

y i ≤ i∈I

V¾y đieu ki¾n (KKM) đưoc thoá mãn Theo Bo đe KKM, ton tai

M¾nh đe 2.3.2 Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer tương đương vói

Bo đe KKM.

Chúng minh Chí can chúng minh Bo đe KKM tù Nguyên lý điem bat

đ®ng Brouwer Ta se chúng minh bang phán chúng

Cho S = {a0, a1, , a n } là m®t đơn hình và P0, P1, , P n là các t¾p

hop đóng trong S thoá mãn đieu ki¾n (KKM), nhưng

cách tù x đen P i Vì Tn P i = φ nên vói moi x ∈ S ton tai i sao cho

x ∈/ Pi , túc là α i (x) > 0 do P i đóng V¾y ta có the đ%nh nghĩa hàm

moi x ∈ S Vói moi x ∈ S ta đ¾t Fx = .n η i (x)a i Do S loi ta có

i= 0

n

i= 0

i= 0